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2016北京数学高考大题汇编(含答案)


第一部分三角函数
1. (2013 北京高考理科) 在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A. (I)求 cosA 的值; (II)求 c 的值. 解:(1)因为 a=3,b=2 6,∠B=2∠A, 3 2 6 所以在△ABC 中,由正弦定理得 = . sin A sin 2A 2sin Acos A 2 6 所以 = . sin A 3 故 cos A= 6

. 3 6 3 ,所以 sin A= 1-cos2A= . 3 3

(2)由(1)知 cos A=

1 又因为∠B=2∠A,所以 cos B=2cos2A-1= . 3 2 所以 sin B= 1-cos2B= 2 3 . 9 3 .

5 在△ABC 中,sin C=sin(A+B)=sin AcosB+cos Asin B= a sin C 所以 c= =5. sin A 2.(2014 北京高考理科) 如图,在 ?ABC 中, ?B ?

?
3

, AB ? 8 ,点 D 在 BC 边 1 7

上,且 CD ? 2, cos ?ADC ? (1)求 sin ?BAD (2)求 BD, AC 的长

解: ( I )在 ?ADC 中,因为 COS ?ADC ?
sin ?ADC ? 4 3 。 7

1 ,所以 7

所以 sin ?BAD ? sin(?ADC ? ?B)
? sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B

。 (Ⅱ)在 ?ABD 中,由正弦定理得
3 3 8? AB ? sin ?BAD 14 ? 3 , BD ? ? sin ?ADB 4 3 7

在 ?ABC 中,由余弦定理得
AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos B

? 82 ? 52 ? 2 ? 8 ? 5 ?

1 ? 49 2

所以 AC ? 7
3. (2015 北京高考理科)
x x x 已知函数 f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin 2 . 2 2 2 (Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 [? π ,0] 上的最小值.

试题解析:(Ⅰ)

f(x ) ?

2 sin

x
2

cos

x
2

?

2 sin2

x
2

?

2?

1 sin x ? 2

2?

1 ? cos x ? 2

?

2 2 2 ? 2 sin x ? cos x ? ? sin(x ? ) ? 2 2 2 4 2
2? ? 2? ; 1

(1) f (x )的最小正周期为T ?

(2)? ?? ?

x ? 0,? ?
2 2

3? ? ? ? ? 3? ? x ? ? ,当 x ? ? ? ,x ? ? 时,f (x )取得最小 4 4 4 4 2 4

值为: ?1 ?

4.(2016 海淀期中) 已知函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) . (Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间. 解:

π 3

π 3

π 6

(Ⅰ)因为 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ,

π 3

π 3

所以 f ( ) ? 3sin(2 ?

π 6

π π π π ? ) ? cos(2 ? ? ) , 6 3 6 3
2π 2π 3 1 ) ? cos( ) ? ? ? 1. 3 3 2 2
-

? 3sin(

(Ⅱ)因为 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) , 所以 f ( x ) ? 2[

π 3

π 3

3 π 1 π sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? )] 2 3 2 3

π π π π ? 2[cos sin(2 x ? ) ? sin cos(2 x ? )] 6 3 6 3 π π ? 2sin[(2 x ? ) ? ] 3 6 π ? 2sin(2 x ? ) 2
? 2 cos 2 x ,
所以周期 T ?

2π 2π = ?π . |? | 2

令 2 k π ? π ? 2 x ? 2k π , 解得 kπ ?

π ? x ? kπ , k ? Z , 2
c 法二:因为

π 所 以 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 为 (kπ ? , kπ), k ? Z . 2

π )x? c o ,s ( 2 ) 3 π π π π 所以 f ( x) ? 3(sin2 x cos ? cos2 x sin ) ? (cos2 x cos ? sin2 x sin ) -------------------7 分 3 3 3 3 f ( x )?

π 3 s ixn ?( 2 ? 3

1 3 1 3 ? 3( sin 2 x ? cos2 x ) ? ( cos2 x ? sin 2 x ) 2 2 2 2
? 2 cos 2 x
所以周期 . T ? --------------------------9 分

2π 2π = ?π |? | 2

--------------------------11 分 --------------------------12 分

令 2 k π ? π ? 2 x ? 2k π , 解得 kπ ?

π ? x ? kπ , k ? Z , 2
--------------------------13 分

π 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (kπ ? , kπ), k ? Z . 2

5.(2016 海淀期中) 如图,在四边形 ABCD 中, AB ? 8, BC ? 3, CD ? 5, ?A ? (Ⅰ)求 BD 的长; (Ⅱ)求证: ?ABC ? ?ADC ? π .
A

? 1 ,cos ?ADB ? . 3 7
D C

B

解:

(Ⅰ)因为 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ,

π 3

π 3

所以 f ( ) ? 3sin(2 ?

π 6

π π π π ? ) ? cos(2 ? ? ) , 6 3 6 3
2π 2π 3 1 ) ? cos( ) ? ? ? 1. 3 3 2 2
--------------------------4 分

? 3sin(

(Ⅱ)因为 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) , 所以 f ( x ) ? 2[

π 3

π 3

3 π 1 π sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? )] 2 3 2 3

-------------------------------6 分

π π π π ? 2[cos sin(2 x ? ) ? sin cos(2 x ? )] 6 3 6 3 π π ? 2sin[(2 x ? ) ? ] 3 6

-------------------------7 分

π ? 2sin(2 x ? ) 2
? 2 cos 2 x ,
所以周期 T ? --------------------------9 分

2π 2π = ?π . |? | 2

--------------------------11 分 --------------------------12 分

令 2 k π ? π ? 2 x ? 2k π , 解得 kπ ?

π ? x ? kπ , k ? Z , 2
--------------------------13 分

π 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (kπ ? , kπ), k ? Z . 2
法二:因为 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) , 所以 f ( x) ? 3(sin2 x cos ? cos2 x sin ) ? (cos2 x cos

π 3

π 3

π 3

π 3

π π ? sin2 x sin ) -------------------7 分 3 3

1 3 1 3 ? 3( sin 2 x ? cos2 x ) ? ( cos2 x ? sin 2 x ) 2 2 2 2
? 2 cos 2 x
所以周期 . T ? --------------------------9 分

2π 2π = ?π |? | 2

--------------------------11 分 --------------------------12 分

令 2 k π ? π ? 2 x ? 2k π , 解得 kπ ?

π ? x ? kπ , k ? Z , 2
--------------------------13 分

π 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (kπ ? , kπ), k ? Z . 2

6. (2016 海淀期末) 已知函数 f ( x) ? 2 2 cos x sin( x ? ) ? 1 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

π 4

π π , ] 上的最大值与最小值的和. 12 6 π 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 2 2 cos x sin( x ? ) ? 1 4
(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [

? 2 2 cos x[

2 (sin x ? cos x )] ? 1 …………………………….1 分 2

? 2cos x(sin x ? cos x ) ? 1 ? 2cos x sin x ? 2cos2 x ? 1 …………………………….5 分
(两个倍角公式,每个各 2 分)

? sin 2 x ? cos 2 x

π ? 2 sin(2 x ? ) …………………………….6 分 4
所以函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? (Ⅱ)因为 x ? [

2π ?π. |? |

…………………………….7 分

π π π π π π π , ] ,所以 2 x ?[ , ] ,所以 (2 x ? ) ?[? , ] . ………………………….8 分 12 6 4 12 12 6 3 π π π …………………………….10 分 当 2 x ? ? ? 时,函数 f ( x ) 取得最小值 2 sin( ? ) ; 12 4 12 π π π …………………………….12 分 当 2x ? ? 时,函数 f ( x ) 取得最大值 2 sin , 4 12 12 π π 因为 2 sin(? ) ? 2 sin( ) ? 0 , 12 12 π π …………………………….13 分 所以函数 f ( x ) 在区间 [? , ] 上的最大值与最小值的和为 0 . 12 6
7. (2016 海淀一模) 如图,在 ?ABC 中,点 D 在边 AB 上,且

AD 1 ? . 记 ?ACD ? ? , ?BCD ? ? . DB 3
C

AC sin ? ? (Ⅰ)求证: ; BC 3sin ?
π π (Ⅱ)若 ? ? , ? ? , AB ? 19 ,求 BC 的长. 6 2
解: (Ⅰ) 在 ?ACD 中,由正弦定理,有 在 ?BCD 中,由正弦定理,有
A D

B

AC AD ? ???????2 分 sin ?ADC sin ?

BC BD ? ???????4 分 sin ?BDC sin ?

因为 ?ADC ? ?BDC ? π ,所以 sin ?ADC ? sin ?BDC ???????6 分 因为

AD 1 AC sin ? ? , 所以 ? ???????7 分 DB 3 BC 3sin ?

(Ⅱ)因为 ? ?

π π ,? ? , 6 2

π AC 2 ? 3 ???????9 分 ? 由(Ⅰ)得 BC 3sin π 2 6 sin
设 AC ? 2k , BC ? 3k , k ? 0 ,由余弦定理,

AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cos ?ACB ???????11 分
2 2 代入,得到 19 ? 4k ? 9k ? 2 ? 2k ? 3k ? cos

2π , 3
???????13 分

解得 k ? 1 ,所以 BC ? 3 .

8. (2016 海淀二模) 已知函数 f ( x ) ? ?2sin x ? cos2 x . (Ⅰ)比较 f ( ) , f ( ) 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值. 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? ?2sin x ? cos2 x 所以 f ( ) ? ?2sin

π 4

π 6

π 4

π π ? cos 2 ? ? ? 2 ???????2 分 4 4

π π π 3 f ( ) ? ?2sin ? cos 2 ? ? ? ???????4 分 6 6 6 2
因为 ? 2 ? ?

3 π π ,所以 f ( ) ? f ( ) ???????6 分 2 4 6
2

(Ⅱ)因为 f ( x) ? ?2sin x ? (1 ? 2sin x) ???????9 分

? 2sin 2 x ? 2sin x ? 1

1 3 ? 2(sin x ? ) 2 ? 2 2
2 令 t ? sin x, t ? [?1,1] , 所以 y ? 2(t ? ) ?

1 2

3 , 2

???????11 分

因为对称轴 t ?

1 , 2
???????13 分

根据二次函数性质知,当 t ? ?1 时,函数取得最大值 3

9. (2016 西城期末) 已知函数 f ( x) ? cos x(sin x ? 3 cos x) ?
3 , x?R . 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)设 ? ? 0 ,若函数 g ( x) ? f ( x ? ? ) 为奇函数,求 ? 的最小值. 解: f ( x) ? cos x(sin x ? 3 cos x) ?
? sin x cos x ? 3 (2 cos 2 x ? 1) 2 3 2

?

1 3 sin 2 x ? cos 2 x ??????4 分 2 2

π ? sin(2 x ? ) ,??????6 分 3

所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ?

2π =π . 2

??????7 分

π π π 由 2kπ ? ≤2x ? ≤2kπ+ , k ? Z , 2 3 2

得 kπ ?

5π π ≤x≤kπ+ , 12 12

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [kπ ? (注:或者写成单调递增区间为 (kπ ?

5π π ,kπ+ ] , k ? Z . 12 12

??????9 分

5π π ,kπ+ ) , k ? Z . ) 12 12

π (Ⅱ)解:由题意,得 g ( x) ? f ( x ? ? ) ? sin(2 x ? 2? ? ) , 3

因为函数 g ( x) 为奇函数,且 x ? R ,
π 所以 g (0) ? 0 ,即 sin(2? ? ) ? 0 ,??????11 分 3

所以 2? ? 解得 ? ?

π ? kπ , k ? Z , 3

kπ π ? , k ? Z ,验证知其符合题意. 2 6

又因为 ? ? 0 ,
π 所以 ? 的最小值为 . 3

??????13 分

10. (2016 西城一模)

在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 设 A ? (Ⅰ)若 a ? 7 ,求 b 的值; (Ⅱ)求 tan C 的值. (Ⅰ)解:因为 sin B ? 3sin C , 由正弦定理 得 b ? 3c . 由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 及 A ? 得 7 ? b2 ? c 2 ? bc ,

π , sin B ? 3sin C . 3

a b c ? ? , sin A sin B sin C
??????3 分

π , a ? 7 ,??????5 分 3

b b2 所以 b 2 ? ( ) 2 ? ? 7 , 3 3
解得 b ? 3 . (Ⅱ)解:由 A ? 所以 sin( 即 ??????7 分

2π π ?C . ,得 B ? 3 3
??????8 分

2π ? C ) ? 3sin C . 3

3 1 cos C ? sin C ? 3sin C ,??????11 分 2 2 3 5 所以 cos C ? sin C , 2 2 3 . 所以 tan C ? 5
11. (2016 西城二模)已知函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos2 x . (Ⅰ)若? 是第二象限角,且 sin ? ? (Ⅱ)求函数 f ( x) 的定义域和值域. (Ⅰ)解:因为? 是第二象限角,且 sin ? ? 所以 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 所以 tan ? ?

??????13 分

6 ,求 f (? ) 的值; 3

6 , 3

3 .??????2 分 3

sin ? ? ? 2 ,??????4 分 cos ?

所以 f (? ) ? (1 ? 3 ? 2)(?

3 2 1? 6 . ) ? 3 3

??????6 分

π (Ⅱ)解:函数 f ( x) 的定义域为 {x | x ? R ,且 x ? kπ ? , k ? Z} . ??????8 分 2

化简,得 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos2 x

? (1 ? 3

sin x ) cos 2 x cos x

? cos2 x ? 3 sin x cos x

?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x ??????10 分 2 2

π 1 ? sin(2 x ? ) ? ,??????12 分 6 2
因为 x ? R ,且 x ? kπ ? 所以 2 x ?
π , k ?Z , 2

π 7π ? 2kπ ? , 6 6

π 所以 ?1≤ sin(2 x ? )≤1 . 6
1 3 所以函数 f ( x) 的值域为 [? , ] .??????13 分 2 2

(注:或许有人会认为“因为 x ? kπ ?

π π ,所以 f ( x) ? 0 ” ,其实不然,因为 f (? ) ? 0 .) 2 6

第二部分概率与统计
1. (2013 北京高考理科) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量 指数趋势图,空气质量指数小 于 100 表示空气质量优良,空气 质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市,并停留 2 天.

(Ⅰ)求此人到达当日空 气重度污染的概率; (Ⅱ)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望; (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气 质量指数方差最大?(结论不要求证明) 解:设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市”(i=1,2,?,13). 1 根据题意,P(Ai)= ,且 Ai∩Aj=?(i≠j). 13 (1)设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染” ,则 B=A5∪A8. 2 所以 P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)= . 13

(2)由题意可知,X 的所有可能取值为 0,1,2,且 4 P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= , 13 P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13) =P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= 4 , 13

5 P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= . 13 所以 X 的分布列为 X P 0 5 13 1 4 13 2 4 13

5 4 4 12 故 X 的期望 E(X)=0× +1× +2× = . 13 13 13 13 (3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 2.(2014 北京高考理科) 李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比赛互相独立) :

(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0 .6 的概率. (2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 0 .6 ,一 场不超过 0 .6 的概率. (3)记 x 是表中 10 个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记 X 为李明 在这比赛中的命中次数,比较 E ( X ) 与 x 的大小(只需写出结论)

所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 05. (Ⅱ)设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6” , 事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6” , 事件 C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6, 一场不超过 0.6” 。 则 C= AB ? AB ,A,B 独立。
3 2 根据投篮统计数据, P( A) ? , P( B) ? . 5 5

P(C) ? P( AB) ? P( AB)

3 3 2 2 ? ? ? ? 5 5 5 5 13 ? 25 所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场 13 不超过 0.6 的概率为 . 25

(Ⅲ) EX ? x .
3.(2015 北京高考理科) A , B 两组各有 7 位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下: A 组:10,11,12,13,14,15,16 B 组:12,13,15,16,17,14, a 假设所有病人的康复时间互相独立,从 A , B 两组随机各选 1 人, A 组选出的人记为甲, B 组选出的 人记为乙. (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率; (Ⅱ) 如果 a ? 25 ,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率; (Ⅲ) 当 a 为何值时, A , B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)

【答案】 (1)

3 10 , (2) , (3) a ? 11 或 18 7 49

4. (2016 海淀期末) 已知某种动物服用某种药物一次后当天出现 A 症状的概率为 . 为了研究连续服用该 药物后出现 A 症状的情况,做药物试验.试验设计为每天用药一次,连续用药四天为一个用 药周期. 假设每次用药后当天是否出现 A 症状的出现与上次用药无关. (Ⅰ)如果出现 A 症状即停止试验” ,求试验至多持续一个用药周期的概率; (Ⅱ)如果在一个用药周期内出现 3 次或 4 次 A 症状,则这个用药周期结束后终止试验,试验至多持续两 个周期. 设药物试验持续的用药周期数为 ? ,求 ? 的期望. 解: (Ⅰ)设持续 i 天为事件 Ai , i ? 1,2,3,4 ,用药持续最多一个周期为事件 B ,…………………………….1 分

1 3

1 2 3 3 65 则 P( B) ? P( A1) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? . 81

所以 P( A1 ) ? ,P( A2 ) ? ? ,P( A3 ) ? ? ( )2,P( A4 ) ? ? ( )3 ,…………………………….5 分 …………………………….6 分

1 3

1 2 3 3

1 2 3 3

法二:设用药持续最多一个周期为事件 B ,则 B 为用药超过一个周期,…………………………….1 分

16 , 81 2 65 . 所以 P( B) ? 1 ? ( )4 ? 3 81
所以 P( B) ? ( )4 ? (Ⅱ)随机变量 ? 可以取 1, 2 ,…………………………….7 分

2 3

…………………………….3 分 …………………………….6 分

1 2 14 1 1 8 ? ( ) ? , P(? ? 2) ? 1 ? ? , 3 3 3 9 9 9 1 8 17 所以 E? ? 1? ? 2 ? ? . 9 9 9
3 ( )3 所以 P(? ? 1) ? C4

…………………………….11 分 …………………………….13 分

5. (2016 海淀一模) 2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等权威机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广. 2015 年 12 月 10 日,我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖. 目前,国 内青蒿人工种植发展迅速. 某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响,在山上和山下的试验田中分别种植了 100 株青 蒿进行对比试验. 现在从山上和山下的试验田中各随机选取了 4 株青蒿作为样本, 每株提取的青蒿素产量 (单位:克)如下表所示:

位置

编号

① 5.0 3.6

② 3.8 4.4

③ 3.6 4.4

④ 3.6 3.6

山上 山下

(Ⅰ)根据样本数据,试估计山下试验田青蒿素的总产量; (Ⅱ)记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为 s12 , s2 2 ,根据样本数据, 试估计 s12 与 s2 2 的 大小(只需写出结论) ; (Ⅲ)从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取 1 株,记这 2 株的产量总和为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和 数学期望. 解: (I)由山下试验田 4 株青蒿样本青蒿素产量数据,得样本平均数

x?

3.6 ? 4.4 ? 4.4 ? 3.6 ? 4 ???????2 分 4

则山下试验田 100 株青蒿的青蒿素产量 S 估算为

S ? 100 x ? 400 g

???????3 分
2 2 2 2

(Ⅱ)比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差 s1 和 s2 ,结果为 s1 ? s2 . ???????6 分 (Ⅲ)依题意,随机变量 ? 可以取 7.2, 7.4, 8, 8.2, 8.6, 9.4 , ???????7 分

P (? ? 7.2) ?

1 1 , P (? ? 7.4) ? 4 8 P(? ? 8.2) ? 1 8

P(? ? 8) ?

1 , 4

P(? ? 8.6) ?

1 1 , P (? ? 9.4) ? ???????9 分 8 8

随机变量 ? 的分布列为

?
p

7.2 7.4 8

8.2 8.6 9.4

???????11 分 随 机 变 量

1 4

1 8

1 4

1 8

1 8

1 8

? 的 期 望
1 1 ? 7 . 4 ? 8 4 1 + 8 ? 8 1 + 8 ? . 2. 8 1 + ? 8 . 6 8 + 9 . 4 = 8

E (? ? )

1 7 ?. 2 ? 4

???????13 分

6. (2016 海淀二模) 某家电专卖店试销 A、B、C 三种新型空调,销售情况如下表所示: 第一周 第二周 10 12 8 第三周 15 13 12 第四周 第五周

A 型数量(台) B 型数量(台)
C 型数量(台)

11 10 15

A4
B4

A5
B5

C4

C5

(Ⅰ)求 A 型空调前三周的平均周销售量 ; (Ⅱ)根据 C 型空调连续 3 周销售情况,预估 C 型空调连续 5 周的平均周销量为 10 台. 请问:当 C 型空调周销售量的方差最小时, 求 C4 , C5 的值;
2 (注:方差 s ?

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 ,?, xn 的 n

平均数) (Ⅲ)为跟踪调查空调的使用情况,根据销售记录,从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随 机抽取一台,求抽取的两台空调中 A 型空调台数 X 的分布列和数学期望. 解: (I) A 型空调前三周的平均销售量

x?

11 ? 10 ? 15 ? 12 台???????2 分 5

(Ⅱ)因为 C 型空调平均周销售量为 10 台, 所以 c4 ? c5 ? 10 ? 5 ? 15 ? 8 ? 12 ? 15 ???????4 分 又s ?
2

1 [(15 ? 10)2 ? (8 ? 10)2 ? (12 ? 10) 2 ? ( c4 ? 10) 2 ? ( c5 ? 10) 2 ] 5
2

化简得到 s ?

1 15 91 [2( c4 ? ) 2 ? ] ???????5 分 5 2 2
2

因为 c4 ? N ,所以当 c4 ? 7 或 c4 ? 8 时, s 取得最小值 所以当 ?

?c4 ? 7 ?c5 ? 8

或?

?c4 ? 8 2 时, s 取得最小值???????7 分 ?c5 ? 7

(Ⅲ)依题意,随机变量 X 的可能取值为 0,1, 2 ,

???????8 分

P( X ? 0) ?

20 25 5 ? ? , 30 40 12 10 25 20 15 11 ? + ? = , 30 40 30 40 24 10 15 1 ? ? , 30 40 8
???????11 分

P( X ? 1) ?

P( X ? 2) ?

随机变量 X 的分布列为

X
p

0

1

2

5 12

11 24

1 8

随机变量 X 的期望 E ( X ) ? 0 ?

5 11 1 17 ? 1? ? 2 ? ? . 12 24 8 24

???????13 分

7. (2016 西城期末) 甲、乙两人进行射击比赛,各射击 4 局,每局射击 10 次,射击命中目标得 1 分,未命中目标得 0 分. 两 人 4 局的得分情况如下: 甲 乙 6 7 6 9 9 9
y

x

(Ⅰ)若从甲的 4 局比赛中,随机选取 2 局,求这 2 局的得分恰好相等的概率; (Ⅱ)如果 x ? y ? 7 ,从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局,记这 2 局的得分和为 X ,求 X 的 分布列和数学期望; (Ⅲ)在 4 局比赛中,若甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更稳定,写出 x 的所有可能取值.(结 论不要求证明) (Ⅰ)解:记 “从甲的 4 局比赛中,随机选取 2 局,且这 2 局的得分恰好相等”为事件 A , ??????1 分 由题意,得 P( A) ?
2 1 ? , C2 3 4

1 所以从甲的 4 局比赛中,随机选取 2 局,且这 2 局得分恰好相等的概率为 . ??4 分 3

(Ⅱ)解:由题意, X 的所有可能取值为 13 , 15 , 16 , 18 ,

??????5 分

3 1 3 1 且 P ( X ? 13) ? , P ( X ? 15) ? , P ( X ? 16) ? , P ( X ? 18) ? ,??????7 分 8 8 8 8
所以 X 的分布列为:

X
P
?????? 8 分

13

15

16

18

3 8

1 8

3 8

1 8

3 1 3 1 所以 E ( X ) ? 13 ? ? 15 ? ? 16 ? ? 18 ? ? 15 . 8 8 8 8

??????10 分 ??????13 分

(Ⅲ)解: x 的可能取值为 6 , 7 , 8 .

8. (2016 西城一模)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取 40 名学生的测试 成绩,整理数据并按分数段 [40,50) , [50, 60) , [60, 70) , [70,80) , [80,90) , [90,100] 进行分组,假设同一 组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图(如下).

各 12 分 10 数 8 段 6 人 数 4
2 O

14

? ?

?

? ? ? ?

45

55 6575

85

95?
?

体育成绩

? (Ⅰ)体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育良好” . 已知该校高一年级有 1000 名学生,

试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数; (Ⅱ) 为分析学生平时的体育活动情况, 现从体育成绩在 [60, 70) 和 [80,90) 的样本学生中随机抽取 2 人, 求在抽取的 2 名学生中,至少有 1 人体育成绩在 [60, 70) 的概率; (Ⅲ)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为 a,b,c ,且分别在 [70,80) , [80,90) , [90,100] 三组中, 其中 a,b,c ? N .当数据 a,b,c 的方差 s 2 最小时,写出 a,b,c 的值.(结论不要求证明)

1 2 2 2 2 (注: s ? [( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ] ,其中 x 为数据 x1, x 2 , ?, x n 的平均数) n
(Ⅰ)解:由折线图,知样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 30 人,??????2 分 所以该校高一年级学生中, “体育良好”的学生人数大约有 1000 ?
30 ? 750 人. ??4 分 40

(Ⅱ)解:设“至少有 1 人体育成绩在 [60, 70) ”为事件 A ,??????5 分 由题意,得 P( A) ? 1 ?
2 C3 3 7 ? 1? ? , 2 C5 10 10

因此至少有 1 人体育成绩在 [60, 70) 的概率是

7 . ??????9 分 10

(Ⅲ)解: a , b , c 的值分别是为 79 , 84 , 90 ;或 79 , 85 , 90 .??????13 分

9. (2016 西城二模)某中学有初中学生 1800 人,高中学生 1200 人. 为了解学生本学期课外阅读时间,现 采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名学生,先统计了他们课外阅读时间,然后按“初中学生”和“高中学
[0,10) , [10, 20) , [20,30) , [30, 40) , [40,50] , 生”分为两组, 再将每组学生的阅读时间 (单位: 小时) 分为 5 组:

并分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
频率 组距

频率 组距

0.040 a 0.020 0.035 0.030 0.025

0.005 O 10203040 50 初中生组
时间(小时)

0.005 O 10 20304050 高中生组
时间(小时)

(Ⅰ)写出 a 的值; (Ⅱ)试估计该校所有学生中,阅读时间不小于 30 个小时的学生人数; (Ⅲ)从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 3 人,并用 X 表示其中初中生的人数,求 X 的 分布列和数学期望.

(Ⅰ)解: a ? 0.03 . ??????3 分 (Ⅱ)解:由分层抽样,知抽取的初中生有 60 名,高中生有 40 名. ??????4 分 因为初中生中,阅读时间不小于 30 个小时的学生频率为 (0.02 ? 0.005) ?10 ? 0.25 , 所以所有的初中生中,阅读时间不小于 30 个小时的学生约有 0.25 ?1800 ? 450 人, ??????6 分

同理,高中生中,阅读时间不小 于 30 个小时的学生频率为 (0.03 ? 0.005) ? 10 ?

,学生人数约 有 0.35

0.35 ?1200 ? 420 人.
所以该校所有学生中,阅读时间不小于 30 个小时的学生人数约有 450 ? 420 ? 870 人. ??????8 分 (Ⅲ)解:初中生中,阅读时间不足 10 个小时的学生频率为 0.005 ?10 ? 0.05 ,样本人数为 0.05 ? 60 ? 3 人. 同理,高中生中,阅读时间不足 10 个小时的学生样本人数为 (0.005 ?10) ? 40 ? 2 人. 故 X 的可能取值为 1,2,3. 则 P( X ? 1) ? ??????9 分

2 2 C1 C3 ? C1 C3 3 3 1 3 ? C2 2 3 ? P ( X ? 2) ? ? P ( X ? 3) ? ? . , , 3 3 3 C5 10 C5 5 C5 10

所以 X 的分布列为:

X
P
??????12 分 所以 E ( X ) ? 1?

1

2

3

3 10

3 5

1 10

3 3 1 9 ? 2 ? ? 3? ? . 10 5 10 5

??????13 分

第三部分立体几何
1. (2013 北京高考理科) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形,平面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5. (Ⅰ)求证:AA1⊥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 BC1 存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求

BD 的值. BC1

解:(1)证明:因为 AA1C1C 为正方形,所以 AA1⊥AC. 因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C,且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC, 所以 AA1⊥平面 ABC.

(2)由(1)知 AA1⊥AC,AA1⊥AB. 由题知 AB=3,BC=5,AC=4,所以 AB⊥AC. 如图所示,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A-xyz,则 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4). 设平面 A1BC1 的一个法向量为=(x,y,z),则 → ? A1B=0, ?· ? → ? A1C1=0. ?n·
? ?3y-4z=0, 即? ?4x=0. ?

令 z=3,则 x=0,y=4,所以=(0,4,3). 同理可得,平面 B1BC1 的一个法向量为=(3,4,0). n· m 16 所以 cos〈, 〉= = . |n||m| 25 由题知二面角 A1-BC1-B1 为锐角, 16 所以二面角 A1-BC1-B1 的余弦值为 . 25 → → (3)设 D(x,y,z)是直线 BC1 上一点,且BD=λBC1. 所以(x,y-3,z)=λ(4,-3,4). 解得 x=4λ,y=3-3λ,z=4λ. → 所以AD=(4λ,3-3λ,4λ). → → 由AD· A1B=0,即 9-25λ=0, 9 解得 λ= . 25 9 因为 ∈[0,1],所以在线段 BC1 上存在点 D,使得 AD⊥A1B. 25 BD 9 此时, =λ= . BC1 25

2. (2014 北京高考理科) 如图,正方形 AMDE 的边长为 2, B, C 分别为 AM , MD 的中点,在五棱锥 P ? ABCDE 中, F 为棱 PE 的中点,平面 ABF 与棱 PD, PC 分别交于点 G , H . (1)求证: AB // FG ; (2)若 PA ? 底面 ABCDE ,且 AF ? PE ,求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小,并 求线段 PH 的长.

解: (I)在正方形中,因为 B 是 AM 的中点,所以 AB ∥ DE 。 又因为 AB ? 平面 PDE, 所以 AB ∥平面 PDE, 因为 AB ? 平面 ABF,且平面 ABF ? 平面 PDF ? FG , 所以 AB ∥ FG 。 (Ⅱ)因为 PA ? 底面 ABCDE,所以 PA ? AB , PA ? AE . 如图建立空间直角坐标系 Axyz ,则 A(0, 0, 0) , B(1, 0, 0) , C (2,1, 0) , P(0, 0, 2) , F (0,1,1) ,

??? ? BC ? (1,1, 0) .
设平面 ABF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则
??? ? ? ?n ? AB ? 0, ? x ? 0, 即? ? ? ??? ? ?n ? AF ? 0, ? y ? z ? 0.
, 1 ,, 1 ) 设 直 线 BC 与 平 面 ABF 所 成 角 为 a, 则 令 z ? 1, , 则 y ? ?1 。 所 以 n ? ( 0 ?

??? ? ??? ? n ? BC 1 sin a ? cos n, BC ? ??? ? ? 。 2 n BC

设点 H 的坐标为 (u, v, w). 。

???? ??? ? 因为点 H 在棱 PC 上,所以可设 PH ? ? PC(0 ? ? ? 1), ,
即 (u, v, w ? 2) ? ? (2,1, ?2). 。所以 u ? 2? , v ? ? , w ? 2 ? 2? 。

??? ? 因为 n 是平面 ABF 的法向量,所以 n ? AB ? 0 ,即 (0, ?1,1) ? (2?, ?, 2 ? 2? ) ? 0 。
解得 ? ?
2 4 2 2 ,所以点 H 的坐标为 ( , , ). 。 3 3 3 3

4 2 4 所以 PH ? ( )2 ? ( )2 ? (? )2 ? 2 3 3 3

3.(2015 北京高考理科) 如图,在四棱锥 A ? EFCB 中, △AEF 为等边三角形,平面 AEF ? 平面 EFCB , EF ∥ BC , BC ? 4 , EF ? 2a , ?EBC ? ?FCB ? 60? , O 为 EF 的中点. (Ⅰ) 求证: AO ? BE ; (Ⅱ) 求二面角 F ? AE ? B 的余弦值; (Ⅲ) 若 BE ? 平面 AOC ,求 a 的值.
A

F

C

O E B

【答案】(1)证明见解析, ( 2) ? 【解析】

4 5 , (3) a ? 3 5

试题分析:证明线线垂直可寻求线面垂直,利用题目提供的面面垂直平面 AEF ? 平面 EFCB ,借助性 质定理证明 AO ? 平面 EFCB,进而得出线线垂直,第二步建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,

平面 AEF 的法向量易得,只需求平面 AEB 的法向量,设平面 AEB 的法向量,利用线线垂直,数量积为 零,列方程求出法向量,再根据二面角公式求出法向量的余弦值;第三步由于 AO ? BE ,要想 BE ? 平 面 AOC ,只需 BE ? OC ,利用向量 BE、 OC 的坐标,借助数量积为零,求出 a 的值,根据实际问题 予以取舍. 试题解析: (Ⅰ)由于平面 AEF ? 平面 EFCB ,△AEF 为等边三角形,O 为 EF 的中点, 则 AO ? EF , 根据面面垂直性质定理,所以 AO ? 平面 EFCB,又 BE ? 平面 EFCB ,则 AO ? BE . (Ⅱ)取 CB 的中点 D,连接 OD,以 O 为原点,分别以 OE、OD、OA 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系,

??? ???

A(0,0 3a), E(a,0,0),B(2,2 3 ? 3a,0),AE ? (a,0,? 3a) , EB ? (2 ? a,2 3 ? 3a,0), ?? ? 由于平面 AEF 与 y 轴垂直,则设平面 AEF 的法向量为 n1 ? (0,1,0) ,设平面 AEB 的 法向量 ?? ? ?? ? ??? n2 ? (x ,y ,1), n2 ? AE ,ax - 3a ? 0,x ? 3 , ?? ? ??? ?? ? n2 ? EB ,(2 ? a)x ? (2 3 ? 3a)y ? 0,y ? ?1 ,则 n2 ?
?? ? ?? ? ?? ? ?? ? n1 ? n2 ?1 5 ( 3,?1,1),二面角 F ? AE ? B 的余弦值 cos?n1 ,n2 ? ? ?? ,由二面角 ? ? ? ?? ? ? 5 5 n1 ? n2
F ? AE ? B 为钝二面角,所以二面角 F ? AE ? B 的余弦值为 ?

???

???

5 . 5
???

(Ⅲ) 有 (1) 知 AO ? 平面 EFCB, 则 AO ? BE , 若 BE ? 平面 AOC , 只需 BE ? OC ,EB ? (2 ? a,

??? ??? ??? 2 (2 ? a) ? (2 3 ? 3a) ? 0, 2 3 ? 3a,0),又 OC ? (?2,2 3 ? 3a,0), BE ? OC ? ?2
解得

a ? 2 或a ?

4 4 ,由于 a ? 2 ,则 a ? . 3 3

考点:1.线线垂直的证明;2.利用法向量求二面角;3.利用数量积解决垂直问题.

4. (2016 海淀期末) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PB ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 为梯形, AD ??BC , AD ? AB ,且

PB ? AB ? AD ? 3, BC ? 1 .
(Ⅰ)若点 F 为 PD 上一点且 PF ? 证明: CF ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求二面角 B ? PD ? A 的大小; (Ⅲ)在线段 PD 上是否存在一点 M ,使得 CM ? PA ? 若存在,求出 PM 的长;若不存在,说明理由. 解: (Ⅰ)过点 F 作 FH ?? AD ,交 PA 于 H ,连接 BH , 因为 PF ?

P

1 PD , 3
A B

F

D

C

1 1 PD ,所以 HF ? AD ? BC . 3 3

…………………………….1 分 …………………………….2 分 …………………………….3 分 ………………….4 分(一个都没写的,则这 1 分不给) …………………………….5 分

又 FH ?? AD , AD ??BC ,所以 HF ? BC . 所以 BCFH 为平行四边形, 所以 CF ? BH . 又 BH ? 平面 PAB , CF ? 平面 PAB , 所以 CF ? 平面 PAD .

(Ⅱ)因为梯形 ABCD 中, AD ??BC , AD ? AB , 所以 BC ? AB . 因为 PB ? 平面 ABCD ,所以 PB ? AB,PB ? BC , 如图,以 B 为原点,

BC , BA, BP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,
所以 C (1,0,0), D(3,3,0), A(0,3,0), P(0,0,3) .

…………………………….6 分
z P F y A B C x D

设 平 面 BPD 的 一 个 法 向 量 为 n ? ( x, y, z ) , 平 面 APD 的 一 个 法 向 量 为

?

?? m ? (a, b, c) ,
因为 PD ? (3,3, ?3), BP ? (0,0,3),

??? ?

??? ?

??? ? ? ? ?3 x ? 3 y ? 3z ? 0 ? PD ? n ? 0 ? ? 所以 ? ??? ,即 ? ,…………………………….7 分 ? ?3z ? 0 ? BP ? n ? 0
取 x ? 1 得到 n ? (1, ?1,0) , 同理可得 m ? (0,1,1) ,…………………………….9 分

?

…………………………….8 分

??

? ?? ? ?? n?m 1 所以 cos ? n, m ?? ? ?? ? ? , 2 | n || m |
因为二面角 B ? PD ? A 为锐角,

…………………………….10 分

π . 3 ???? ? ??? ? (Ⅲ)假设存在点 M ,设 PM ? ? PD ? (3?,3?, ?3? ) ,
所以二面角 B ? PD ? A 为 所以 CM ? CP ? ? PM ? (?1 ? 3?,3?,3 ? 3? ) , 所以 PA ? CM ? ?9? ? 3(3 ? 3? ) ? 0 ,解得 ? ? 所以存在点 M ,且 PM ? 5. (2016 海淀一模)

…………………………….11 分

???? ?

??? ?

???? ?

…………………………….12 分

??? ? ???? ?

1 , 2

…………………………….13 分

1 3 3 . PD ? 2 2

…………………………….14 分

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为正方形,点 M , N 分别为线段

PB , PC 上的点, MN ? PB .
(Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求证:当点 M 不与点 P,B 重合时, M , N , D, A 四个点在同一个平 面内; (Ⅲ)当 PA ? AB ? 2 ,二面角 C ? AN ? D 大小为为 解: (Ⅰ)证明:在正方形 ABCD 中, AB ? BC , 因为 PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,所以 PA ? BC . 因为 AB ? PA ? A ,且 AB , PA ? 平面 PAB , 所以 BC ? 平面 PAB ???????4 分 (Ⅱ)证明:因为 BC ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB , 所以 BC ? PB ???????5 分 在 ?PBC 中, BC ? PB , MN ? PB , 所以 MN ? BC . ???????6 分
M

P

N D A

π 时,求 PN 的长. 3

B

C

???????1 分 ???????2 分

在正方形 ABCD 中, AD ? BC , 所以 MN ? AD ,???????7 分

? AD 可以确定一个平面,记为 ? 所以 MN ,
所以 M , N , D, A 四个点在同一个平面 ? 内???????8 分

(Ⅲ)因为 PA ? 平面 ABCD , AB, AD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? AB , PA ? AD . 又 AB ? AD , 如 图 , 以 A 为 原 点 , AB, AD, AP 所 在 直 线 为 x, y, z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系

A ? xyz ,
所以 C (2,2,0), D(0,2,0), B(2,0,0), P(0,0,2) . 设平面 DAN 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) , 平面 CAN 的一个法向量为 m ? (a, b, c) ,

???????9 分
z P

?

M

N D A y

??

B x

C

???? ??? ? 设 PN ? ? PC , ? ? [0,1] ,
因为 PC ? (2,2, ?2) ,所以 AN ? (2?,2?,2 ? 2? ) ,

??? ?

????

???? ? ? ???? ?2? x ? 2? y ? (2 ? 2? ) z ? 0 ? AN ? n ? 0 又 AD ? (0,2,0) ,所以 ? ???? ? ,即 ? ,???????10 分 ? ?2 y ? 0 ? AD ? n ? 0
取 z ?1, 得到 n ? (

?

? ?1 ,0,1) , ?
????

???????11 分

因为 AP ? (0,0,2) , AC ? (2,2,0)

??? ?

??? ? ?? ? ?2c ? 0 ? AP ? m ? 0 所以 ? ???? ?? ,即 ? , ? ?2a ? 2b ? 0 ? AC ? m ? 0
取 a ? 1 得, 到 m ? (1, ?1,0) , 因为二面 C ? AN ? D 大小为

??

???????12 分

?? ? ? π 1 , 所以 | cos ? m, n ?|? cos ? , 3 3 2

?? ? ?? ? m?n ? ? 所以 | cos ? m, n ?|? ?? ?? | m || n |

? ?1 1 ? ? 2 ? ?1 2 2 ( ) ?1 ?

解得 ? ?

1 , 所以 PN ? 3 ???????14 分 2

6. (2016 海淀二模) 如图,等腰梯形 ABCD 中, AB ? CD , DE ? AB 于 E , CF ? AB 于 F , 且 A E? B F ?
D C

E ?F 2,

DE ? CF ? 2 .将 ?AED 和 ?BFC 分别沿 DE 、CF 折起,

使 A 、 B 两点重合,记为点 M ,得到一个四棱锥

A

E

F

B

M ? CDEF ,点 G , N , H 分别是 MC , MD , EF 的中点.

D

C

(Ⅰ)求证: GH ∥平面 DEM ; (Ⅱ)求证: EM ? CN ; (Ⅲ)求直线 GH 与平面 NFC 所成的角的大小. 解: (Ⅰ)证明:连结 NG, NE . 在 ?MCD 中,因为 N , G 分别是所在边的中点,所以 NG ??
E M N G H F

1 CD ,???????1 分 2
???????2 分 ???????3 分 ???????4 分 ???????5 分

1 又 EH ?? CD , 所以 NG ?? EH , 2
所以 NEHG 是平行四边形,所以 EN ? GH , 又 EN ? 平面 DEM , GH ? 平面 DEM , 所以 GH ? 平面 DEM . (Ⅱ)证明:方法一: 在平面 EFCD 内,过点 H 作 DE 的平行线 HP , 因为 DE ? EM , DE ? EF , EM ? EF ? E , 所以 DE ? 平面 EFM , 所以 HP ? 平面 EFM ,所以 HP ? EF . 又在 ?EMF 中,因为 EM ? MF ? EF ,所以 MH ? EF .

以 H 为原点, HM , HF , HP 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系???????6 分 所以 E (0, ?1,0), M ( 3,0,0), C (0,1,2), N (

3 1 , ? ,1) ???????7 分 2 2

???? ? ???? 3 3 , ? , ?1) ,???????8 分 所以 EM ? ( 3,1,0), CN ? ( 2 2 ???? ? ??? ? 所以 EM ? CN ? 0 ,所以 EM ? CN .
方法二: 取 EM 中点 K ,连接 NK , FK . 又 NK 为 ?EMD 的中位线,所以 NK ? DE

???????9 分

又 DE ? CF ,所以 NK ? CF ,所以 NKFC 在一个平面中. 因为 ?EMF 是等边三角形,所以 EM ? FK , 又 DE ? EM ,所以 NK ? EM , 且 NK ? FK ? K , 所以 EM ? 平面 NKFC ,???????8 分 而 CN ? 平面 NKFC , 所以 EM ? CN .

???????6 分

???????7 分

???????9 分

??? ? ???? ? ??? ? (Ⅲ)因为 CF ? (0,0, ?2) , 所以 EM ? CF ? 0 , 即 EM ? CF ,
又 CF ? CN ? C , 所以 EM ? 平面 NFC , ???? ? 所以 EM 就是平面 NFC 的法向量.

???????11 分

???? 3 1 , ,1) ,设 GH 与平面 NFC 所成的角为 ? , 又 HG ? ( 2 2 3 1 ???? ???? ? ? ???? ???? ? HG ? EM 2 ? ?2 2? 则有 sin ? ?| cos ? HG, EM ?|? ????? ???? ???????13 分 2 2 ?2 | HG || EM |
所以 GH 与平面 NFC 所成的角为

π . 4

???????14 分

7. (2016 西城期末) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, ?BCD ? 135? ,侧面 PAB ? 底面 ABCD ,
?BAP ? 90? , AB ? AC ? PA ? 2 , E , F 分别为 BC , AD 的中点,点 M 在线段 PD 上.

(Ⅰ)求证: EF ? 平面 PAC ; (Ⅱ)若 M 为 PD 的中点,求证: ME // 平面 PAB ; (Ⅲ)如果直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线 ME 与平 面 ABCD 所成的角相等,求
PM 的值. PD

P M A D

F C

BE (Ⅰ) 证明: 在平行四边形 ABCD 中, 因为 AB ? AC , ?BCD ? 135? , 所以 AB ? AC . 由 E , F 分别为 BC , AD 的中点,得 EF //AB ,

所以 EF ? AC .??????1 分 因为侧面 PAB ? 底面 ABCD ,且 ?BAP ? 90? , 所以 PA ? 底面 ABCD . 又因为 EF ? 底面 ABCD , 所以 PA ? EF .??????3 分 又因为 PA ? AC ? A , PA ? 平面 PAC , AC ? 平面 PAC , 所以 EF ? 平面 PAC . (Ⅱ)证明:因为 M 为 PD 的中点, F 分别为 AD 的中点, 所以 MF //PA , 又因为 MF ? 平面 PAB , PA ? 平面 PAB , 所以 MF // 平面 PAB . 同理,得 EF // 平面 PAB . 又因为 MF ? EF =F , MF ? 平面 MEF , EF ? 平面 MEF , 所以平面 MEF // 平面 PAB . 又因为 ME ? 平面 MEF , 所以 ME // 平面 PAB . ??????9 分 ??????7 分 BE x C y A ??????5 分 P M D z ??????4 分 ??????2 分

F

(Ⅲ)解:因为 PA ? 底面 ABCD , AB ? AC ,所以 AP, AB, AC 两两垂直,故以 AB, AC, AP 分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴,如上图建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0), B(2,0,0), C(0, 2,0), P(0,0, 2), D(?2, 2,0), E(1,1,0) ,
??? ? ??? ? ??? ? 所以 PB ? (2,0, ?2) , PD ? (?2, 2, ?2) , BC ? (?2,2,0) ,??????10 分 ???? ? PM ? ? (? ? [0,1]) ,则 PM ? (?2?,2?, ?2?) , PD ???? 所以 M (?2? , 2? , 2 ? 2? ) , ME ? (1 ? 2?,1 ? 2?,2? ? 2) ,



易得平面 ABCD 的法向量 m ? (0,0,1) . 设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

??????11 分

??? ? ??? ? ?2 x ? 2 y ? 0, 由 n ? BC ? 0 , n ? PB ? 0 ,得 ? ? ?2 x ? 2 z ? 0,
令 x ? 1 , 得 n ? (1,1,1) . ??????12 分

因为直线 ME 与平面 PBC 所成的角和此直线与平面 ABCD 所成的角相等,

???? ???? ???? ???? | ME ? m | | ME ? n | ,??????13 分 所以 | cos ? ME, m ?|?| cos ? ME, n ?| ,即 ???? ? ???? | ME | ? | m | | ME | ? | n |
所以 | 2? ? 2 |?| 解得 ? ?
2? |, 3

3? 3 3? 3 ,或 ? ? (舍).??????14 分 2 2

8. (2016 西城一模) 如图, 四边形 ABCD 是梯形,AD //BC ,?BAD ? 90? , 四边形 CC1D1D 为矩形, 已知 AB ? BC1 ,AD ? 4 ,
AB ? 2 , BC ? 1 .

(Ⅰ)求证: BC1 // 平面 ADD1 ; (Ⅱ)若 DD1 ? 2 ,求平面 AC1D1 与平面 ADD1 所成的锐二面角的余弦值; (Ⅲ)设 P 为线段 C1 D 上的一个动点(端点除外) ,判断直线 BC1 与直线 CP 能否垂直?并说明理由. D1 C1 A D

B (Ⅰ)证明:由 CC1D1D 为矩形,得 CC1 //DD1 , 又因为 DD1 ? 平面 ADD1 , CC1 ? 平面 ADD1 , 所以 CC1 // 平面 ADD1 ,?????? 2 分 同理 BC // 平面 ADD1 , 又因为 BC ? CC1 ? C , 所以平面 BCC1 // 平面 ADD1 , 又因为 BC1 ? 平面 BCC1 ,

C

?????? 3 分

所以 BC1 // 平面 ADD1 . (Ⅱ)解:由平面 ABCD 中, AD //BC , ?BAD ? 90? ,得 AB ? BC , 又因为 AB ? BC1 , BC ? BC1 ? B , 所以 AB ? 平面 BCC1 , 所以 AB ? CC1 ,

?????? 4 分

又因为四边形 CC1D1D 为矩形,且底面 ABCD 中 AB 与 CD 相交一点, 所以 CC1 ? 平面 ABCD , 因为 CC1 //DD1 , 所以 DD1 ? 平面 ABCD . 过 D 在底面 ABCD 中作 DM ? AD ,所以 DA, DM , DD1 两两垂直,以 DA, DM , DD1 分 别为 x 轴、 y 轴和 z 轴,如图建立空间直角坐标系,?????? 6 分 则 D (0, 0, 0) , A(4, 0, 0) , B (4, 2, 0) , C (3, 2, 0) , C1 (3, 2, 2) , D1 (0, 0, 2) , 所以 AC1 ? (?1, 2, 2) , AD1 ? (?4, 0, 2) . 设平面 AC1D1 的一个法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

????

????

???? ? ???? ? ?? x ? 2 y ? 2 z ? 0, 由 m ? AC1 ? 0 , m ? AD1 ? 0 ,得 ? ??4 x ? 2 z ? 0,
令 x ? 2 ,得 m ? (2, ?3, 4) . ??????8 分 易得平面 ADD1 的法向量 n ? (0,1, 0) . 所以 cos ? m, n ??
x A

z D1 C1 P D

m?n 3 29 . ?? | m || n | 29

B

C

y

即平面 AC1D1 与平面 ADD1 所成的锐二面角的余弦值为 (Ⅲ)结论:直线 BC1 与 CP 不可能垂直.

3 29 . ??????10 分 29
??????11 分

??? ? ???? ? 证明:设 DD1 ? m(m ? 0) , DP ? ? DC1 (? ? (0,1)) ,
由 B(4, 2,0) , C (3, 2, 0) , C1 (3, 2, m) , D(0,0,0) ,

???? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 得 BC1 ? (?1,0, m) , DC1 ? (3,2, m) , DP ? ? DC1 ? (3?,2?, ?m) , CD ? (?3, ?2,0) , ??? ? ??? ? ??? ? CP ? CD ? DP ? (3? ? 3,2? ? 2, ?m) . ???? ? ??? ? 若 BC1 ? CP ,则 BC1 ? CP ? ?(3? ? 3) ? ?m2 ? 0 ,即 (m2 ? 3)? ? ?3 ,
因为 ? ? 0 , 所以 m2 ? ? ??????12 分

3

?

? 3 ? 0 ,解得 ? ? 1 ,这与 0 ? ? ? 1 矛盾.
??????14 分

所以直线 BC1 与 CP 不可能垂直.

9. (2016 西城二模)如图,正方形 ABCD 的边长为 4, E , F 分别为 BC , DA 的中点. 将正方形 ABCD 沿着 线段 EF 折起,使得 ?DFA ? 60? . 设 G 为 AF 的中点. (Ⅰ)求证: DG ? EF ; (Ⅱ)求直线 GA 与平面 BCF 所成角的正弦值; (Ⅲ)设 P, Q 分别为线段 DG, CF 上一点,且 PQ // 平面 ABEF ,求线段 PQ 长度的最小值. D C C

?
E A

D C F G B

C E

F

A

B

(Ⅰ)证明:因为正方形 ABCD 中, E , F 分别为 BC , DA 的中点, 所以 EF ? FD , EF ? FA , 又因为 FD ? FA ? F , 所以 EF ? 平面 DFA .??????2 分 又因为 DG ? 平面 DFA , 所以 DG ? EF . (Ⅱ)解:因为 ?DFA ? 60? , DF ? FA , AG ? GF , 所以 ?DFA 为等边三角形,且 DG ? FA . 又因为 DG ? EF , EF ? FA ? F , 所以 DG ? 平面 ABEF .??????5 分 ??????4 分

设 BE 的中点为 H ,连接 GH ,则 GA, GH , GD 两两垂直,故以 GA, GH , GD 分别为 x 轴、y 轴和 z 轴,如图 建立空间直角坐标系, 则 G (0, 0, 0) , A(1, 0, 0) , B(1, 4, 0) , C (0, 4, 3) , F (?1, 0, 0) , 所以 GA ? (1, 0, 0) , BC ? (?1, 0, 3) , BF ? (?2, ?4, 0) .??????6 分 设平面 BCF 的一个法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

???

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ? ?? x ? 3z ? 0, 由 m ? BC ? 0 , m ? BF ? 0 ,得 ?

? ??2 x ? 4 y ? 0,

z D C F G x A B H C C E y

令 z ? 2 ,得 m ? (2 3, ? 3, 2) .??????7 分 设直线 GA 与平面 BCF 所成角为 ? ,

??? ??? | m ? GA | 2 57 则 sin ? ?| cos ? m, GA ?|? . ??? ?
| m || GA | 19
2 57 19

即直线 GA 与平面 BCF 所成角的正弦值为

. ??????9 分

(Ⅲ)由题意,可设 P(0, 0, k )(0≤k≤ 3) , FQ ? ? FC (0≤?≤ 1) , 由 FC ? (1, 4, 3) ,得 FQ ? (?, 4?, 3? ) , 所以 Q(? ? 1, 4? , 3? ) , PQ ? (? ? 1, 4?, 3? ? k ) . 由(Ⅱ) ,得 GD ? (0,0, 3) 为平面 ABEF 的法向量. 因为 PQ // 平面 ABEF , 所以 PQ ? GD ? 0 ,即 3? ? k ? 0 . 所以 | PQ |?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??????10 分

??? ?

??? ? ??? ?
??? ?

??????11 分

2 2 2 (? ? 1) 2 ? (4? ) 2 ? ( 3? ? k ) 2 = (? ? 1) ? (4? ) ? 17? ? 2? ? 1 ,

??????12 分 又因为 17? 2 ? 2? ? 1 ? 17(? ?
1 17 1 17

1 17

)2 ?

16
17



所以当 ? ?

时, | PQ |min ?

??? ?

4 17 17

.

所以当 ? ?

,k ?

3
17

时,线段 PQ 长度有最小值

4 17 17

.

??????14 分

第四部分导数应用
1.(2013 北京) 设 L 为曲线 C: y ?

ln x 在点(1,0)处的切线. x

(I)求 L 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方.

1-ln x ln x .解:(1)设 f(x)= ,则 f′(x)= . x x2 所以 f′(1)=1.所以 L 的方程为 y=x-1. (2)令 g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)>0( ? x>0,x≠1).g(x)满足 g(1)=0,且 g′(x)=1-f′(x)= x2-1+ln x . x2

当 0<x<1 时,x2-1<0,ln x<0,所以 g′(x)<0,故 g(x)单调递减; 当 x>1 时,x2-1>0,ln x>0,所以 g′(x)>0,故 g(x)单调递增. 所以 g(x)>g(1)=0( ? x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 2.(2014 北京) 已知函数

f ( x) ? x cos x ? sin x, x ? [0, ] , 2 sin x ? ? b 在 (0, ) 上恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值. 2 x

?

(1)求证: f ( x) ? 0 ; (2)若 a ?

解: (I)由 f ( x) ? x cos x ? sin x 得
f '( x) ? cos x ? x sin x ? cos x ? ? x sin x 。
因为在区间 (0,

?

? ?? ) 上 f '( x) ? ? x sin x ? 0 ,所以 f ( x) 在区间 ?0, ? 上单调递减。 2 ? 2?

从而 f ( x ) ? f (0) ? 0 。

(Ⅱ)当 x ? 0 时, “

sin x n is x ? a ”等价于“ sin x ? ax ? 0 ” ? b ”等价于“ sin x ? bx ? 0 ” “ 。 x x

令 g ( x) ? sin x ? cx ,则 g '( x ) ? cos x ? c ,

? 当 c ? 0 时, g ( x) ? 0 对任意 x ? (0, ) 恒成立。 2

? ? ?? 当 c ? 1 时,因为对任意 x ? (0, ) , g '( x ) ? cos x ? c ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 ?0, ? 上单调 2 ? 2?
递减。从而 g ( x) ? g (0) ? 0 对任意 x ? (0, 当 0 ? c ? 1 时,存在唯一的 x0 ? (0,

?
2

) 恒成立。

?
2

) 使得 g '( x0 ) ? cos x0 ? c ? 0 。

g ( x) 与 g '( x ) 在区间 (0, ) 上的情况如下: 2

?

x
g '( x )

(0, x0 )



x0
0

( x0 , ) 2 →

?

g ( x)



因为 g ( x) 在区间 ?0, x0 ? 上是增函数,所以 g ( x0 ) ? g (0) ? 0 。进一步, “ g ( x) ? 0 对

? ? 2 ) 恒成立”当且仅当 g ( ) ? 1 ? c ? 0 ,即 0 ? c ? , 2 2 2 ? 2 ? 综上所述,当且仅当 c ? 时, g ( x) ? 0 对任意 x ? (0, ) 恒成立;当且仅当 c ? 1 时, ? 2
任意 x ? (0,

?

g ( x) ? 0 对任意 x ? (0, ) 恒成立。 2 sin x ? 2 ? b 对任意 x ? (0, ) 恒成立,则 a 最大值为 ,b 的最小值为 1. 所以,若 a ? x 2 ?
3.(2015 北京) 已知函数 f ? x ? ? ln

?

(Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在点 0 ,f ? 0? 处的切线方程;

1? x . 1? x

?

?

? x3 ? f x ? 2 x ? ? ? (Ⅱ)求证:当 x ? ? 0 , 1? 时, ? ?; 3? ? ? x3 ? f x ? k x ? k ? ? (Ⅲ)设实数 使得 1? 恒成立,求 k 的最大值. ? ? 对 x ??0 , 3? ?
【答案】 (Ⅰ) 2x ? y ? 0 , (Ⅱ)证明见解析, (Ⅲ) k 的最大值为 2.

试题解析: (Ⅰ) f(x ) ? ln

1?x 2 ,x ? (?1,1),f ? (x ) ? ,f ? (0) ? 2,f(0) ? 0 ,曲线 1?x 1 ? x2

y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0?? 处的切线方程为 2x ? y ? 0 ;

x ? x3 ? 1? 时, f ? x ? ? 2 ? x ? ? ,即不等式 f(x ) ? 2 (x ? ) ? 0 ,对 ?x ? (0,1)成立, (Ⅱ)当 x ? ? 0 , 3? 3 ?


3

F(x ) ? ln

1?x x3 x3 2x 4 ?2 (x ? ) ? ln(1 ? x ) ? ln(1 ? x ) ? 2 (x ? ),则 F ? (x ) ? , 1?x 3 3 1 ? x2

1? 时, F ?(x ) ? 0 , 当 x ??0 , 故 F (x )在 (0, 1) 上为增函数, 则 F(x ) ? F(0) ? 0 , 因此对 ?x ? (0,1) ,

f(x ) ? 2(x ?

x3
3

)成立;
3

1?x x ? x3 ? 1? , 1? ; ? k(x ? ) ? 0 ,x ? ? 0 , (Ⅲ) 使 f ? x ? ? k ? x ? ? 成立,x ? ? 0 , 等价于 F(x ) ? ln 3? 1?x 3 ?

F ?(x ) ?

2 kx 4 ? 2 ? k 2 ? k (1 ? x ) ? , 1 ? x2 1 ? x2

(x ) ? 0 ,函数在(0,1)上位增函数, F(x ) ? F(0) ? 0 ,符合题意; 当 k ? [0,2]时, F ?

(x ) ? 0,x 04 ? 当 k ? 2 时,令 F ?

k ?2 ? (0,1) , k

x

(0,x 0 )

x0

(x 0 ,1)

F? (x )
F (x )

-

0 极小值

+

?

?

F(x ) ? F(0) ,显然不成立,
综上所述可知: k 的最大值为 2. 考点:1.导数的几何意义;2.利用导数研究函数的单调性,证明不等式;3.含参问题讨论.

4.(2016 海淀期中) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 1 ,曲线 y ? f ( x ) 在点 (0,1) 处的切线为 l . 3

(Ⅰ)若直线 l 的斜率为 ?3 ,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 是区间 [?2, a ] 上的单调函数,求 a 的取值范围. 解 (Ⅰ)因为 f (0) ? 1 ,所以曲线 y ? f ( x) 经过点 (0,1) , 又 f '( x) ? x 2 ? 2 x ? a , 所以 f '(0) ? a ? ?3 , 所以 f '( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 . 当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表: --------------------------2 分 --------------------------3 分

x
f '( x ) f ( x)

( ??, ?3)
?
?

?3
0 极大值

( ?3,1)

1
0 极小值

(1, +?)
?
?

?
?

--------------------------5 分 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( ??, ?3) , (1, +?) , 单调递减区间为 ( ?3,1) . (Ⅱ) 法一: --------------------------7 分

因为函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调, 当函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调递减时, f '( x ) ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立, 即 f '( x) ? x 2 ? 2 x ? a ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立, 根据二次函数的性质,只需要 ? 又 ?2 ? a ,所以 ?2 ? a ? 0 . 当函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调递增时, f '( x ) ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立, 只要 f '( x) ? x 2 ? 2 x ? a 在 [?2, a ] 上的最小值大于等于 0 即可, 因为函数 f '( x) ? x 2 ? 2 x ? a ? 0 的对称轴为 x ? ?1 , 当 ?2 ? a ? ?1 时, f '( x) 在 [?2, a ] 上的最小值为 f '(a ) ,--------------------------10 分 解 f '(a)=a 2 ? 3a ? 0 ,得 a ? 0 或 a ? ?3 ,所以此种情形不成立. --------------------------11 分

? f '( ?2) ? 0 ,解得 ?3 ? a ? 0 . ? f '(a ) ? 0

--------------------------8 分 --------------------------9 分

当 ?1 ? a 时, f '( x) 在 [?2, a ] 上的最小值为 f '( ?1) , (注:此处用 ? ? 0 也可得分)----------12 分 解 f '( ?1) ? 1 ? 2 ? a ? 0 得 a ? 1 ,所以 a ? 1 , 综上,实数 a 的取值范围是 ?2 ? a ? 0 或 a ? 1 . 法二: 令 f '( x) ? 0 即 x ? 2 x ? a ? 0 , ? ? 4 ? 4a
2

--------------------------13 分

①若 ? ? 0 即 a ? 1 时, f '( x) ? 0 恒成立,函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调递增-----------------8 分 所以 a ? 1 .
2

--------------------------9 分

②若 ? ? 0 即 ?2 ? a ? 1 ,由 x ? 2 x ? a ? 0 得 x1 ? ?1 ? 1 ? a , x2 ? ?1 ? 1 ? a 若函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调递减, f '( x ) ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立, 即 f '( x) ? x ? 2 x ? a ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立,
2

根据二次函数的性质,只需要 ?

? x1 ? ?2 ,解得 ?3 ? a ? 0 . ? x2 ? a

--------------------------10 分 --------------------------11 分

又 ?2 ? a ? 1 ,所以 ?2 ? a ? 0 . 若函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调递增, f '( x ) ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立 根据二次函数的性质,只需要 x2 ? ?2 或 x1 ? a -------------------------12 分

可解得 1 ? a ? ?1 (无解)或 1 ? a ? ?(a ? 1) (解得 a ? ?3 与 ?2 ? a ? 1 矛盾) ,此种情况不成立 综上,实数 a 的取值范围是 ?2 ? a ? 0 或 a ? 1 . 法三: 因为函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调, 当函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调递减时, f '( x ) ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立, 即 f '( x) ? x 2 ? 2 x ? a ? 0 对 x ? [?2, a ] 恒成立,只需 a ? ?( x2 ? 2 x) --------------------------13 分

?a ? ?[(?2) 2 ? 2 ? (?2)] ? 根据二次函数的性质只需 ? ,解得 ?3 ? a ? 0 --------------------------8 分 2 a ? ? ( a ? 2 a ) ? ?
又 ?2 ? a ,所以 ?2 ? a ? 0 . 当函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调递增时, f '( x ) ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立, 即 f '( x) ? x2 ? 2 x ? a ? 0 对 x ? [?2, a ] 恒成立,只需 a ? ?( x2 ? 2 x) 设函数 g ( x) ? ? x2 ? 2 x 的对称轴为 x ? ?1 , 当 ?2 ? a ? ?1 时, g ( x) 在 [?2, a ] 上的最大值为 g (a ) ,--------------------------10 分 解 a ? g (a) ,得 a ? 0 或 a ? ?3 ,所以此种情形不成立. --------------------------11 分 --------------------------9 分

当 ?1 ? a 时, g ( x) 在 [?2, a ] 上的最大值为 g (?1) ,-------------------------12 分 解 a ? g (?1) 得 a ? 1 ,所以 a ? 1 , 综上,实数 a 的取值范围是 ?2 ? a ? 0 或 a ? 1 . --------------------------13 分

5.(2016 海淀期末) 已知函数 f ( x) ? kx ? (k ? 1)ln x ? (Ⅰ)当 k ?

1 . x

1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间和极值; 2

(Ⅱ)求证:当 0 ? k ? 1 时,关于 x 的不等式 f ( x ) ? 1 在区间 [1,e] 上无解. (其中 e ? 2.71828? ) 解: (Ⅰ) 因为 f ( x) ? kx ? (k ? 1)ln x ? 所以 f '( x ) ? k ? 当k ?

1 , x

k ? 1 1 kx 2 ? ( k ? 1) x ? 1 ? 2 ? ,…………………………….1 分 x x x2
…………………………….2 分

1 1 ( x ? 2)( x ? 1) . 时, 2 f '( x ) ? 2 x2

1 ( x ? 2)( x ? 1) 令 ,得 x1 ? 1, x2 ? 2 ,…………………………….3 分 f '( x ) ? 2 ?0 2 x
所以 f '( x ), f ( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x

(0,1)

1
0
极大值

(1, 2)

2
0
极小值

(2,+?)

f '( x) f ( x)
…………………………….5 分

?
?

?
?

?
?

所以 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值 f (1) ? ? 在 x ? 2 处取得极小值 f (2) ?

1 , 2
…………………………….6 分

1 3 ? ln 2 . 2 2

函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) , (2, ??) , f ( x ) 的单调递减区间为 (1, 2) .…………………………….8 分 (Ⅱ)证明: 不等式 f ( x ) ? 1 在区间 [1,e] 上无解,等价于 f ( x ) ? 1 在区间 [1,e] 上恒成立, 即函数 f ( x ) 在区间 [1,e] 上的最大值小于等于 1.

1 k ( x ? )( x ? 1) 因为 , k f '( x ) ? x2

1 …………………………….9 分 , x2 ? 1 . k 1 因为 0 ? k ? 1 时,所以 ? 1 . k 1 当 ? e 时, f '( x) ? 0 ,则函数 f ( x ) 在区间 [1,e] 上单调递减,…………………………….10 分 k
令 f '( x ) ? 0 ,得 x1 ? 所以函数 f ( x ) 在区间 [1,e] 上的最大值为 f (1) ? k ? 1 ? 1 , 所以不等式 f ( x ) ? 1 在区间 [1,e] 上无解;…………………………….11 分 当

1 ? e 时, f '( x ), f ( x ) 随 x 的变化情况如下表: k

x
f '( x) f ( x)

1 (1, ) k
?


1 k
0
极小值

1 ( ,e) k
?


所以函数 f ( x ) 在区间 [1,e] 上的最大值为 f (1) 或 f (e) . 此时 f (1) ? k ? 1 ? 1 , f (e) ? ke ? ( k ? 1) ? 所以 f (e) ? 1 ? ke ? ( k ? 1) ?

……………………………….12 分

1 , e

1 ?1 e

1 1 1 ? k (e ? 1) ? 2 ? ? (e ? 1) ? 2 ? ? e ? 3 ? ? 0 . e e e
综上,当 0 ? k ? 1 时,关于 x 的不等式 f ( x ) ? 1 在区间 [1,e] 上无解. …………………………….13 分

6.(2016 海淀一模) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 x ?1 . ? 1 , g ( x) ? x ln x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)求函数 g ( x ) 的单调区间; (Ⅲ) 求证:直线 y ? x 不是曲线 y ? g ( x ) 的切线. 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,???????1 分

f '( x ) ?

1 1 x ?1 ? 2 ? 2 ???????2 分 x x x

当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x

(0,1)

1

(1, ??)

f '( x) f ( x)
???????4 分

?
?

0
极小值

?
?

函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上的极小值为 f ( a ) ? ln1 ? 所以 f ( x ) 的最小值为 0 ???????5 分

1 ?1 ? 0 , 1

(Ⅱ)解:函数 g ( x) 的定义域为 (0,1) ? (1, ??) ,???????6 分

g '( x) ?

ln x ? ( x ? 1) ln 2 x

1 1 ln x ? ? 1 f ( x) x ? x ? 2 ???????7 分 2 ln x ln x

由(Ⅰ)得, f ( x ) ? 0 ,所以 g '( x) ? 0 ???????8 分 所以 g ( x) 的单调增区间是 (0,1), (1, ??) ,无单调减区间. (Ⅲ)证明:假设直线 y ? x 是曲线 g ( x) 的切线. ???????9 分 ??????10 分

ln x0 ?
设切点为 ( x0 , y0 ) ,则 g '( x0 ) ? 1 ,即

1 ?1 x0 ? 1???????11 分 ln 2 x0
???????12 分

又 y0 ?

x0 ? 1 x ?1 , y0 ? x0 ,则 0 ? x0 . ln x0 ln x0 x0 ? 1 1 ? 1 ? , 得 g '( x0 ) ? 0 ,与 g '( x0 ) ? 1 矛盾 x0 x0

所以 ln x0 ?

所以假设不成立,直线 y ? x 不是曲线 g ( x) 的切线???????13 分

7.(2016 海淀二模) 已知函数 f ( x) ? e x ( x 2 ? ax ? a) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x ) ? ea 在 [a , ??) 上有解,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ) 若曲线 y ? f ( x ) 存在两条互相垂直的切线,求实数 a 的取值范围.(只需直接写出结果) 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 R . 当 a ? 1 时,

f '( x) ? e x ( x ? 2)( x ? 1) ???????2 分
当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x

( ??, ?2)

?2

( ?2, ?1)

?1

( ?1, +?)

f '( x) f ( x)
?

?

0
极大值

?
?

0
极小值

?
?
???????4 分

函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( ??, ?2) , ( ?1 , ? ?) , 函数 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ?2, ?1) . ???????5 分 (Ⅱ)解:因为 f ( x) ? ea 在区间 [a, ??) 上有解, 所以 f ( x ) 在区间 [a, ??) 上的最小值小于等于 ea . 因为 f '( x) ? e x ( x ? 2)( x ? a) , 令 f '( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2, x2 ? ?a . 当 ? a ? ?2 时,即 a ? 2 时, 因为 f '( x) ? 0 对 x ? [a, ??) 成立,所以 f ( x ) 在 [a, ??) 上单调递增, 此时 f ( x ) 在 [a, ??) 上的最小值为 f (a), 所以 f (a) ? ea (a 2 ? a 2 ? a) ? ea , 解得 ?1 ? a ? ???????6 分

1 ,所以此种情形不成立,???????8 分 2

当 ? a ? ?2 ,即 a ? 2 时, 若 a ? 0 , 则 f '( x) ? 0 对 x ? [a, ??) 成立,所以 f ( x ) 在 [a, ??) 上单调递增,

此时 f ( x ) 在 [a, ??) 上的最小值为 f (a), 所以 f (a) ? ea (a 2 ? a 2 ? a) ? ea , 解得 ?1 ? a ? 若a ? 0, 若 a ? ?2 ,则 f '( x) ? 0 对 x ? (a, ?a ) 成立, f '( x) ? 0 对 x ? [?a, ??) 成立. 则 f ( x ) 在 ( a, ? a ) 上单调递减,在 [ ?a, ??) 上单调递增, 此时 f ( x ) 在 [a, ??) 上的最小值为 f ( ? a ), 所以有 f (?a) ? e? a (a 2 ? a 2 ? a) ? e? a ? a ? ea ,解得 ?2 ? a ? 0 ,??????10 分 当 a ? ?2 时,注意到 ?a ? [a, ??) , 而 f (?a) ? e? a (a 2 ? a 2 ? a) ? e? a ? a ? ea , 此时结论成立. 综上, a 的取值范围是 (??, ] . ???????12 分 法二:因为 f ( x) ? ea 在区间 [a, ??) 上有解, 所以 f ( x ) 在区间 [a, ??) 上的最小值小于等于 ea , 当 a ? 0 时,显然 0 ? [a, ??) ,而 f (0) ? a ? 0 ? ea 成立,???????8 分 当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 对 x ? [a, ??) 成立,所以 f ( x ) 在 [a, ??) 上单调递增, 此时 f ( x ) 在 [a, ??) 上的最小值为 f ( a ) , 所以有 f (a) ? ea (a 2 ? a 2 ? a) ? ea , ???????11 分

1 1 ,所以 0 ? a ? . 2 2

???????9 分

1 2

1 1 ,所以 0 ? a ? .???????11 分 2 2 1 综上, a ? ( ??, ] . 2
解得 ?1 ? a ? (Ⅲ) a 的取值范围是 a ? 2 . 8.(2016 西城期末) 已知函数

???????12 分 ???????14 分

f ( x) ? x2 ?1 ,函数 g ( x) ? 2t ln x ,其中 t ≤ 1 .

(Ⅰ)如果函数 f ( x ) 与 g ( x) 在 x ? 1 处的切线均为 l ,求切线 l 的方程及 t 的值; (Ⅱ)如果曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 有且仅有一个公共点,求 t 的取值范围.

(Ⅰ)解:求导,得 f ?( x) ? 2 x , g ?( x) ?

2t , ( x ? 0) .??????2 分 x

由题意,得切线 l 的斜率 k ? f ?(1) ? g ?(1) ,即 k ? 2t ? 2 ,解得 t ? 1 .?????3 分 又切点坐标为 (1, 0) ,所以切线 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 .??????4 分 (Ⅱ)解:设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x 2 ?1 ? 2t ln x , x ? (0, ??) .??????5 分 “曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 有且仅有一个公共点”等价于“函数 y ? h( x) 有且仅有一 个零点” . 求导,得 h?( x) ? 2 x ? ①当 t≤0 时, 由 x ? (0, ??) ,得 h?( x) ? 0 ,所以 h( x) 在 (0, ??) 单调递增. 又因为 h(1) ? 0 ,所以 y ? h( x) 有且仅有一个零点1 ,符合题意.??????8 分 ②当 t ? 1 时, 当 x 变化时, h?( x) 与 h( x) 的变化情况如下表所示:

2t 2 x 2 ? 2t . ? x x

??????6 分

x
h?( x)

(0,1)

1

(1, ??)

?


0

?


h( x )

所以 h( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增, 所以当 x ? 1 时, h( x)
min

? h(1) ? 0 ,

故 y ? h( x) 有且仅有一个零点1 ,符合题意.??????10 分 ③当 0 ? t ? 1 时, 令 h?( x) ? 0 ,解得 x ? t . 当 x 变化时, h?( x) 与 h( x) 的变化情况如下表所示:

x
h?( x)

(0, t )

t
0

( t , ??)

?


?


h( x )

所以 h( x) 在 (0, t ) 上单调递减,在 ( t , ??) 上单调递增, 所以当 x ? t 时, h( x)
min

? h( t ) .??????11 分

因为 h(1) ? 0 , t ? 1 ,且 h( x) 在 ( t , ??) 上单调递增, 所以 h( t ) ? h(1) ? 0 . 又因为存在 e? 2t ? (0,1) , h(e? 2t ) ? e? t ? 1 ? 2t ln e? 2t ? e? t ? 0 , 所以存在 x0 ? (0,1) 使得 h( x0 ) ? 0 , 所以函数 y ? h( x) 存在两个零点 x0 ,1,与题意不符. 综上,曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 有且仅有一个公共点时, t 的范围是 {t | t≤0 ,或 t ? 1} . ??????13 分 9.(2016 西城一模) 已知函数 f ( x) ? xe x ? ae x?1 ,且 f ?(1) ? e . (Ⅰ)求 a 的值及 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? kx2 ? 2 (k ? 2) 存在两不相等个正实数根 x1 , x2 ,证明: | x1 ? x2 |? ln (Ⅰ)解:对 f ( x) 求导,得 f ?( x) ? (1 ? x)e x ? ae x?1 ,??????2 分 所以 f ?(1) ? 2e ? a ? e ,解得 a ? e . 故 f ( x) ? xex ? ex , f ?( x) ? xex . 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 . 当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x) 的变化情况如下表所示: ??????3 分
1

1

1

1

1

4 . e

x

(??, 0)

0 0

(0, ??)

f ?( x )
f ( x)

?


?
↗ ??????5 分

所以函数 f ( x) 的单调减区间为 (??, 0) ,单调增区间为 (0, ??) . (Ⅱ)解:方程 f ( x) ? kx2 ? 2 ,即为 ( x ?1)e x ? kx2 ? 2 ? 0 , 设函数 g ( x) ? ( x ?1)e x ? kx2 ? 2 . 求导,得 g?( x) ? xex ? 2kx ? x(e x ? 2k ) . 由 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 ,或 x ? ln(2k ) . 所以当 x ? (0, ??) 变化时, g ?( x ) 与 g ( x) 的变化情况如下表所示:

??????6 分

??????7 分

x

(0, ln(2k ))

ln(2k )

(ln(2k ), ??)

g ?( x )
g ( x)

?


0

?
↗ ??????9 分

所以函数 g ( x) 在 (0, ln(2k )) 单调递减,在 (ln(2k ), ??) 上单调递增. 由 k ? 2 ,得 ln(2k ) ? ln 4 ? 1 . 又因为 g (1) ? ?k ? 2 ? 0 , 所以 g (ln(2k )) ? 0 .

不妨设 x1 ? x2 (其中 x1 , x2 为 f ( x) ? kx2 ? 2 的两个正实数根) , 因为函数 g ( x) 在 (0, ln 2k ) 单调递减,且 g (0) ? 1 ? 0 , g (1) ? ?k ? 2 ? 0 , 所以 0 ? x1 ? 1. 同理根据函数 g ( x) 在 (ln 2k , ??) 上单调递增,且 g (ln(2k )) ? 0 , 可得 x2 ? ln(2k ) ? ln 4 , ??????11 分

4 所以 | x1 ? x2 |? x2 ? x1 ? ln 4 ? 1 ? ln , e
即 | x1 ? x2 |? ln

4 . e

??????13 分

10.(2016 西城二模) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? x ? a 2 .
( x ? a)

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线与直线 y ? 3x ? 2 平行,求 a 的值; (Ⅱ)若对于定义域内的任意 x1 ,总存在 x 2 使得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,求 a 的取值范围. (Ⅰ)证明:函数 y ? f ( x) 的定义域 D ? {x | x ? R且x ? ?a} ,??????1 分 由题意, f ?(0) 有意义,所以 a ? 0 . 求导,得 f ?( x) ?

( x ? a)2 ? ( x ? a) ? 2( x ? a) ( x ? a) ? ( x ? 3a) ?? . 4 ( x ? a) ( x ? a) 4
3a 2 ? 3 ,解得 a ? ?1 . a4

??????3 分

由题意,得 f ?(0) ?

验证知 a ? ?1 符合题意.??????5 分 (Ⅱ)解: “ 对 于 定 义 域 内 的 任 意 x1 , 总 存 在 x 2 使 得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ” 等 价 于 “ f ( x) 不 存 在 最 小 值” .??????6 分 ①当 a ? 0 时,

由 f ( x) ?

1 ,得 f ( x) 无最小值,符合题意.??????7 分 x

②当 a ? 0 时, 令 f ?( x) ? ?

( x ? a) ? ( x ? 3a) ? 0 ,得 x ? ?a 或 x ? 3a . ( x ? a)4

??????8 分

随着 x 的变化时, f ?( x ) 与 f ( x) 的变化情况如下:

x

(??, ?a)

?a

(?a,3a)

3a

(3a, ??)

f ?( x )
f ( x)

?


不存在 不存在

?


0 极大

?


所以函数 f ( x) 的单调递减区间为 (??, ?a) , (3a, ??) ,单调递增区间为 (?a,3a) . ??????9 分 因为当 x ? a 时, f ( x) ?
x?a ? 0 ,当 x ? a 时, f ( x) ? 0 , ( x ? a)2

所以只要考虑 x1 ? (??, a) ,且 x1 ? ?a 即可. 当 x1 ? (??, ?a) 时, 由 f ( x) 在 (??, ?a) 上单调递减,且 x1 ? x1 ? 得 f ( x1 ) ? f ( x1 ?

1 | x1 ? a |? ? a , 2

1 | x1 ? a |) , 2 1 | x1 ? a | ,使得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,符合题意; 2 1 | x1 ? a | , 2

所以存在 x2 ? x1 ?

同理,当 x1 ? (?a, a) 时,令 x2 ? x1 ? 得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,也符合题意;

故当 a ? 0 时,对于定义域内的任意 x1 ,总存在 x 2 使得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立.???11 分 ③当 a ? 0 时, 随着 x 的变化时, f ?( x ) 与 f ( x) 的变化情况如下表:

x

(??,3a)

3a

(3a, ?a)

?a

(?a, ??)

f ?( x )
f ( x)

?


0 极小

?


不存在 不存在

?


所以函数 f ( x) 的单调递减区间为 (??,3a) , (?a, ??) ,单调递增区间为 (3a, ?a) .

因为当 x ? a 时, f ( x) ? 所以 f ( x)min ? f (3a) .

x?a ? 0 ,当 x ? a 时, f ( x) ? 0 , ( x ? a)2

所以当 x1 ? 3a 时,不存在 x 2 使得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) . 综上所述,a 的取值范围为 a ?[0, ??) . ??????13 分

第五部分解析几何
1.(2013 北京高考) 已知 A、B、C 是椭圆 W:

x2 ? y 2 ? 1上的三个点,O 是坐标原点. 4

(I)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (II)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由. x2 解:(1)椭圆 W: +y2=1 的右顶点 B 的坐标为(2,0). 4 因为四边形 OABC 为菱形,所以 AC 与 OB 相互垂直平分. 1 3 所以可设 A(1,m),代入椭圆方程得 +m2=1,即 m=± . 4 2 1 1 所以菱形 OABC 的面积是 |OB|· |AC|= ×2×2|m|= 3. 2 2 (2)假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且直线 AC 不过原点,所以可设 AC 的方程为 y=kx+m(k≠0,m≠0).
2 2 ? ?x +4y =4, 由? 消 y 并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. ?y=kx+m ?

设 A(x1,y1),C(x2,y2),则

x1+x2 y1+y2 x1+x2 4km m =- , =k· +m= . 2 2 2 1+4k2 1+4k2

4km m 所以 AC 的中点为 M?-1+4k2,1+4k2?.

?

?

1 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,所以直线 OB 的斜率为- . 4k

因为

,所以 AC 与 OB 不垂直.

所以四边形 OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形.

2.(2014 北京高考) 已知椭圆 C : x
2

? 2 y2 ? 4 ,
2

(1)求椭圆 C 的离心率. (2)设 O 为原点, 若点 A 在椭圆 C 上, 点 B 在直线 y ? 2 上, 且 OA ? OB , 求直线 AB 与圆 x 的位置关系,并证明你的结论.

? y2 ? 2

解: (I)由题意,椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1。 4 2

所以 a2 ? 4, b2 ? 2 ,从而 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2 。因此 a ? 2, c ? 2 。 故椭圆 C 的离心率 e ?
c 2 。 ? a 2

(Ⅱ) 直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切。证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为 ( x0 , y0 ) , (t , 2) ,其中 x0 ? 0 。

??? ? ??? ? 2y 因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 tx0 ? 2 y0 ? 0 ,解得 t ? ? 0 。 x0
当 x0 ? t 时, y0 ?
t2 ,代入椭圆 C 的方程,得 t ? ? 2 , 2

故直线 AB 的方程为 x ? ? 2 。圆心 O 到直线 AB 的距离 d ? 2 。 此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切。 当 x0 ? t 时,直线 AB 的方程为 y ? 2 ? 即 ( y0 ? 2) x ? ( x0 ? t ) y ? 2x0 ? ty0 ? 0 , 圆心 0 到直线 AB 的距离
d? 2 x0 ? ty0 ( y0 ? 2) 2 ? ( x0 ? t ) 2

y0 ? 2 (x ? t) , x0 ? t

又 x02 ? 2 y02 ? 4 , t ? ?

2 y0 故 x0

2 x0 ? d?
2 2

2 y0 2 x0

4 y0 2 x0 ? y0 ? 2 ? 4 x0

?

4 ? x0 x0 x0 4 ? 8 x0 2 ? 16 2 x0 2

? 2

此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切。

3.(2015 北京高考) 2 x2 y 2 1? 和点 A? m , n ? ? m ≠ 0? 都在椭圆 C 上, 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 ,点 P ? 0 , 2 a b 直线 PA 交 x 轴于点 M . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m , n 表示) ; (Ⅱ)设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N .问: y 轴上是否存在点 Q ,使得 ?OQM ? ?ONQ ?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,说明理由. 【答案】 【解析】 试题分析:椭圆 C : 解出待定系数 a
2

x2 y 2 2 1? 在椭圆上,利用条件列方程组, ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 ,点 P ? 0 , 2 2 a b

1? 和点 A? m , n ? ? m ≠ 0? ,写出 PA 直线方 ? 2,b 2 ? 1 ,写出椭圆方程;由点 P ? 0 ,

程,令 y ? 0 求出 x 值,写出直线与 x 轴交点坐标;由点 P(0,1),B(m ,?n ),写出直线 PB 的方程,

? ?OQM ? ?ONQ ,? tan ?OQM ? tan ?ONQ 令 y ? 0 求出 x 值, 写出点 N 的坐标, 设 Q(0,y 0 ),

0, ? 求出 tan ?OQM 和 tan ?ONQ ,利用二者相等,求出 y 0 ? ? 2 ,则存在点 Q(
?OQM ? ?ONQ .

2) 使得

试题解析: (Ⅰ)由于椭圆 C :

1 x2 y 2 2 2 1? 且离心率为 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 过点 P ? 0 , , 2 ? 1,b ? 1, 2 2 a b b

e2 ?

c2 a2 ? b 2 1 1 x2 2 a ? 2 C ? ? 1 ? ? ? y 2 ? 1. , ,椭圆 的方程为 2 2 2 2 2 a a a

y ? ? P(0,1),A(m ,n ),直线 PA 的方程为:

n ?1 m m x ? 1, ? M( ,0) ; 令 y ? 0,x ? , m 1?n 1?n

考点:1.求椭圆方程;2.求直线方程及与坐标轴的交点;3.存在性问题. 4.(2016 海淀期末) 已知椭圆 W :

3 x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 , 其左顶点 A 2 a b 2
A

y

在圆

O : x 2 ? y 2 ? 16 上.
(Ⅰ)求椭圆 W 的方程; (Ⅱ)若点 P 为椭圆 W 上不同于点 A 的点,直线 AP 与圆 O 的另一个交点为 Q .是否存在点 P ,使得

O

B

x

| PQ | ? 3? | AP |

若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

解:
2 2 (Ⅰ)因为椭圆 W 的左顶点 A 在圆 O : x ? y ? 16 上,

令 y ? 0 ,得 x ? ?4 ,所以 a ? 4 .

…………………………….1 分

又离心率为

3 c 3 ,所以 e ? ? ,所以 c ? 2 3 , 2 a 2

…………………………….2 分

所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 , 所以 W 的方程为 (Ⅱ)

…………………………….3 分 …………………………….4 分

x2 y2 ? ? 1. 16 4

法一:设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,…………………………….5 分

? y ? k ( x ? 4) ? , 与椭圆方程联立得 ? x 2 y 2 ? ?1 ? ? 16 4
2 2 2 2 化简得到 (1 ? 4k ) x ? 32k x ? 64k ? 16 ? 0 ,

…………………………….6 分

因为 ?4 为上面方程的一个根,所以 x1 ? ( ?4) ? 所以 | AP |?

4 ? 16k 2 ?32k 2 . …………………………….7 分 x ? ,所以 1 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
…………………………….8 分

8 1? k2 . 1 ? 4k 2
| 4k | k2 ?1
,…………………………….9 分

因为圆心到直线 AP 的距离为 d ?

2 所以 | AQ |? 2 16 ? d ? 2

16 8 ? , 2 1? k 1? k2

…………………………….10 分

因为

| PQ | | AQ | ? | AP | | AQ | ? ? ? 1 ,…………………………….11 分 | AP | | AP | | AP |
8
2 | PQ | 1 ? 4k 2 3k 2 3 ? 1? k ?1 ? ? 1 ? ? 3? . 2 2 2 | AP | 8 1 ? k 1? k 1? k 1? k2 1 ? 4k 2

代入得到

…………………………….13 分

显然 3 ? 法二:

| PQ | 3 ? 3. ? 3 ,所以不存在直线 AP ,使得 2 | AP | 1? k

…………………………….14 分

设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,设直线 AP 的方程为 x ? my ? 4 ,…………………………….5 分

? x ? my ? 4 ? 与椭圆方程联立得 ? x 2 y 2 ? ?1 ? ? 16 4

化简得到 (m2 ? 4) y 2 ? 8my ? 0 , 由 ? ? 64m 2 ? 0 得 m ? 0 . 显然 0 是上面方程的一个根,所以另一个根,即 y1 ? 由 | AP |? 1 ? m 2 | y1 ? 0 |?

…………………………….6 分 …………………………….7 分

8m . m2 ? 4

8 1 ? m2 | m | ,…………………………….8 分 m2 ? 4

因为圆心到直线 AP 的距离为 d ?

|4| 1 ? m2

,…………………………….9 分

所以 | AQ |? 2 16 ? d 2 ? 2

16m2 8|m| . ? 2 1? m 1 ? m2

…………………………….10 分

因为

| PQ | | AQ | ? | AP | | AQ | ? ? ? 1 ,…………………………….11 分 | AP | | AP | | AP |
8|m|

| PQ | m2 ? 4 3 1 ? m2 ? ? 1 ? ?1 ? , 代入得到 2 2 | AP | 8 1 ? m | m | 1? m 1 ? m2 m2 ? 4 3 若 ? 3 ,则 m ? 0 ,与 m ? 0 矛盾,矛盾, 1 ? m2
所以不存在直线 AP ,使得

…………………………….13 分

| PQ | ? 3. | AP |

…………………………….14 分

法三:假设存在点 P ,使得

| yQ | | AQ | | PQ | ? 3 ,则 ? 4 ,得 ? 4 . …………………………….5 分 | AP | | AP | | yP |

显然直线 AP 的斜率不为零,设直线 AP 的方程为 x ? my ? 4 ,…………………………….6 分

? x ? my ? 4 ? 2 2 由 ? x2 y2 ,得 (m ? 4) y ? 8my ? 0 , ? ? 1 ? ? 16 4
由 ? ? 64m 2 ? 0 得 m ? 0 ,…………………………….7 分

8m .…………………………….9 分 m2 ? 4 8m 同理可得 yQ ? 2 ,…………………………….11 分 m ?1
所以 yP ? 所以由

| yQ |

? 4 得 m 2 ? 4 ? 4 ,…………………………….13 分 | yP | m ?1
2

则 m ? 0 ,与 m ? 0 矛盾,

所以不存在直线 AP ,使得

| PQ | ? 3 . …………………………….14 分 | AP |

5.(2016 海淀一模) 已知椭圆 C :

x2 y2 3 ? ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆 C 与 y 轴交于 A, B 两点, | AB |? 2 . a 2 b2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设点 P 是椭圆 C 上的一个动点, 且点 P 在 y 轴的右侧.直线 PA ,PB 与直线 x ? 4 分别相交于 M ,N 两 点.若以 MN 为直径的圆与 x 轴交于两点 E, F ,求点 P 横坐标的取值范围及 | EF | 的最大值. 解: (Ⅰ)由题意可得, b ? 1 ,???????1 分

e?

c 3 ,???????2 分 ? a 2



a2 ?1 3 ? ,???????3 分 a2 4

解 a 2 ? 4 ,???????4 分

x2 ? y 2 ? 1. 椭圆 C 的标准方程为 4
(Ⅱ)设 P( x0 , y0 )(0 ? x0 ? 2) , A(0,1) , B(0, ?1) , 所以 k PA ?

???????5 分

y0 ? 1 y ?1 ,直线 PA 的方程为 y ? 0 x ? 1,???????6 分 x0 x0 y0 ? 1 x ? 1, x0
4( y0 ? 1) ? 1) ,???????7 分 x0 4( y0 ? 1) ? 1) , x0

同理:直线 PB 的方程为 y ?

直线 PA 与直线 x ? 4 的交点为 M (4,

直线 PB 与直线 x ? 4 的交点为 N (4,

线段 MN 的中点 (4,

4 y0 ) ,???????8 分 x0 4 y0 2 4 ) ? (1 ? )2 ,???????9 分 x0 x0

所以圆的方程为 ( x ? 4)2 ? ( y ?

令 y ? 0 ,则 ( x ? 4) ?
2

2 16 y0 x ? (1 ? 0 )2 ,???????10 分 2 x0 4

因为

2 x0 y2 ?1 1 2 ? y0 ? 1,所以 0 2 ? ? ,???????11 分 4 x0 4

所以 ( x ? 4) 2 ?

8 ?5 ? 0, x0

因为这个圆与 x 轴相交,该方程有两个不同的实数解, 所以 5 ?

8 8 ? 0 ,解得 x0 ? ( , 2] . 5 x0

???????12 分

设交点坐标 ( x1 ,0),( x2 ,0) ,则 | x1 ? x2 |? 2 5 ? 所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2.

8 8 ( ? x0 ? 2 ) x0 5
???????14 分

方法二: (Ⅱ)设 P( x0 , y0 )(0 ? x0 ? 2) , A(0,1) , B(0, ?1) , 所以 k PA ?

y0 ? 1 y ?1 ,直线 PA 的方程为 y ? 0 x ? 1,???????6 分 x0 x0 y0 ? 1 x ? 1, x0 4( y0 ? 1) ? 1) ,???????7 分 x0
4( y0 ? 1) ? 1) , x0

同理:直线 PB 的方程为 y ?

直线 PA 与直线 x ? 4 的交点为 M (4,

直线 PB 与直线 x ? 4 的交点为 N (4, 若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交, 则[

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ? 1] ? [ ? 1] ? 0 ,???????9 分 x0 x0

2 16( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ? ? ? 1 ? 0, 2 x x x 0 0 0 即 2 16( y0 ? 1) 8 ? ? 1 ? 0. ???????10 分 2 x0 x0
2 x0 y2 ?1 1 2 ? y0 ? 1,所以 0 2 ? ? , 4 x0 4



因为

???????11 分

代入得到 5 ?

8 8 ? 0 ,解得 x0 ? ( , 2] . 5 x0

???????12 分

该圆的直径为 |

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) 8 +1 ? ( ? 1)|=|2 ? | , x0 x0 x0 4( y0 ? 1) 4y 1 4( y0 ? 1) +1+( ? 1)|=| 0 | , 2 x0 x0 x0

圆心到 x 轴的距离为 |

该圆在 x 轴上截得的弦长为 2 (1 ?

4 2 4 y0 2 8 8 ) ?( ) ? 2 5 ? , ( ? x ? 2) ; x0 x0 x0 5
???????14 分

所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2.

方法三: (Ⅱ)设 P( x0 , y0 )(0 ? x0 ? 2) , A(0,1) , B(0, ?1) , 所以 k PA ?

y0 ? 1 y ?1 ,直线 PA 的方程为 y ? 0 x ? 1,???????6 分 x0 x0 y0 ? 1 x ? 1, x0 4( y0 ? 1) ? 1) ,???????7 分 x0
4( y0 ? 1) ? 1) , x0

同理:直线 PB 的方程为 y ?

直线 PA 与直线 x ? 4 的交点为 M (4,

直线 PB 与直线 x ? 4 的交点为 N (4,

所以 |MN |=|

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) 8 +1 ? ( ? 1)|=|2 ? | ,???????8 分 x0 x0 x0 4( y0 ? 1) 4y 1 4( y0 ? 1) +1+( ? 1)|=| 0 | ,???????9 分 2 x0 x0 x0 4y 4 |? | 0 | ,???????10 分 x0 x0

圆心到 x 轴的距离为 |

若该圆与 x 轴相交,则 |1 ?

即 (1 ?

4 2 4 y0 2 ) ?( ) ? 0, x0 x0

因为

2 x0 y2 ?1 1 2 ? y0 ? 1,所以 0 2 ? ? , 4 x0 4

???????11 分

所以 5 ?

8 8 ? 0 ,解得 x0 ? ( , 2] ???????12 分 5 x0

该圆在 x 轴上截得的弦长为 2 (1 ?

4 2 4 y0 2 8 8 ) ?( ) ? 2 5 ? ? 2 5 ? =2 ; x0 x0 x0 2
???????14 分

所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2.

0) , H (4, 0) ,设 P( x0 , y0 ) 方法四:记 D(2,
由已知可得 A(0,1) B(0, ?1) , 所以 AP 的直线方程为 y ?

M (4, m) N (4, n)

y0 ? 1 x ? 1,……………………….6 分 x0

BP 的直线方程为 y ?

y0 ? 1 x ? 1, x0

令 x ? 4 ,分别可得 m ?

4( y0 ? 1) ?1 , x0 4( y0 ? 1) ? 1 ,……………………….8 分 x0

n?

所以 M (4,

4( y0 ? 1) 4( y ? 1) ? 1), N (4, 0 ? 1) x0 x0

若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交于 E , F , 因为 EH ? MN ,所以 EH 2 ? HN ? HM ,……………………….9 分

EH 2 ? HN ? HM ? ?(

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ? 1) ? ( ? 1) x0 x0

? ?(

16 y0 2 ? 16 ? 8 x0 ? x0 2 ) ……………………….10 分 x0 2
……………………….11 分

2 2 y0 ?1 1 x0 2 因为 ? y0 ? 1,所以 2 ? ? , x0 4 4

代入得到 EH 2 ? ?

8 x0 ? 5x02 ?0 x02

所以 x0 ? ( , 2] ,……………………….12 分 所以 EF ? 2 EH ? 2 5 ?

8 5

8 8 ? 2 5? ? 2 x0 2
???????14 分

所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2. 方法五: 设直线 OP 与 x ? 4 交于点 T 因为 MN //y 轴,所以有 所以

AP AO OP BP BO OP ? ? , ? ? , PN TN PT PM TM PT
……………………….6 分

AO BO ? ,所以 TN ? TM ,所以 T 是 MN 的中点. TN TM

又设 P( x0 , y0 )(0 ? x0 ? 2) , 所以直线 OP 方程为 y ?

y0 x, x0

……………………….7 分

令 x ? 4 ,得 y ?

4 y0 4 y0 , 所以 T (4, ) ……………………….8 分 x0 x0

而 r ? TN ?

4 ? 1 ……………………….9 分 x0

若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交于 E , F 则 d ?|

4 y0 4 |? r ? ? 1 ……………………….10 分 x0 x0

2 2 所以 16y0 ? ( x0 ? 4)

因为

2 y2 ?1 1 x0 2 ? y0 ? 1,所以 0 2 ? ? ,代入得到……………………….11 分 x0 4 4

2 所以 5x0 ? 8 x0 ? 0 ,所以 x0 ?

8 或 x0 ? 0 5

因为点 0 ? x0 ? 2 ,所以 ? x0 ? 2 ……………………….12 分 而 EF ? 2 r ? d ? 2 (
2 2

8 5

4 4y ? 1)2 ? ( 0 )2 x0 x0

? 2 5?

8 8 ? 2 5? ? 2 x0 2
???????14 分

所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2.

6.(2016 海淀二模) 已知点 A( x1 , y1 ), D( x2 , y2 )( 其中 x1 ? x2 ) 是曲线 y 2 ? 4 x( y ? 0) 上的两点, A, D 两点在 x 轴上的射影分 别为点 B, C ,且 | BC |? 2 . (Ⅰ)当点 B 的坐标为 (1,0) 时,求直线 AD 的斜率; (Ⅱ)记 ?OAD 的面积为 S1 ,梯形 ABCD 的面积为 S2 ,求证: 解: (Ⅰ)因为 B(1,0) ,所以 A(1, y1 ), 代入 y 2 ? 4 x ,得到 y1 ? 2 ,???????1 分 又 | BC |? 2 ,所以 x2 ? x1 ? 2 ,所以 x2 ? 3 ,???????2 分 代入 y 2 ? 4 x ,得到 y1 ? 2 3 ,???????3 分 所以 k AD ?

S1 1 ? . S2 4

y2 ? y1 2 3 ? 2 ? ? 3 ?1. x2 ? x1 2

???????5 分

(Ⅱ)法一:设直线 AD 的方程为 y ? kx ? m . 则 S1 ? S?OMD ? S?OMA ? |m( x2 ? x1 )| ? |m|. ???????7 分

1 2

? y ? kx ? m 由? 2 , 得 k 2 x 2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 , ? y ? 4x
? ? ? ? (2km ? 4) 2 ? 4k 2 m 2 ? 16 ? 16km ? 0 ? 4 ? 2km ? 所以 ? x1 ? x2 ? ???????9 分 k2 ? ? m2 x x ? 1 2 ? k2 ?
又 S2 ? ( y1 ? y2 )( x2 ? x1 ) ? y1 ? y2 ? kx1 ? m ? kx2 ? m ? 又注意到 y1 y2 ? 所以

1 2

4 , k

???????11 分

km ? 0 ,所以 k ? 0, m ? 0 , 4

S1 m km ? ? ,???????12 分 S2 y1 ? y2 4 S1 km 1 ? ? . S2 4 4
???????13 分

因为 ? ? 16 ? 16km ? 0 ,所以 0 ? km ? 1 , 所以 法二:设直线 AD 的方程为 y ? kx ? m .

? y ? kx ? m 由? 2 , 得 k 2 x 2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 , y ? 4 x ?
? ? ? ? (2km ? 4) 2 ? 4k 2 m 2 ? 16 ? 16km ? 0 ? 4 ? 2km ? 所以 ? x1 ? x2 ? ???????7 分 k2 ? ? m2 x x ? ? 1 2 k2 ?

| AD |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 2 1 ? k 2 ,
点 O 到直线 AD 的距离为 d ?

???????8 分

|m| 1? k
2

, 所以 S1 ?

1 | AD | ?d ?| m |? |m| ??????9 分 2
4 , k
???????11 分

又 S2 ? ( y1 ? y2 )( x2 ? x1 ) ? y1 ? y2 ? kx1 ? m ? kx2 ? m ? 又注意到 y1 y2 ? 所以

1 2

km ? 0 ,所以 k ? 0, m ? 0 , 4

S1 m km ? ?= ,???????12 分 S2 y1 ? y2 4 S1 km 1 ? ? . S2 4 4
???????13 分

因为 ? ? 16 ? 16km ? 0 ,所以 0 ? km ? 1 ,所以

法三:直线 OD 的方程为 y ?

y2 x , x2

???????6 分

所以点 A 到直线 OD 的距离为 d ?

| x1 y2 ? x2 y1 | x2 2 ? y2 2

???????7 分

又 | OD |? x2 2 ? y2 2 , 所以 S1 ?

???????8 分

1 1 | OD | d ? | x1 y2 ? x2 y1 | 2 2

???????9 分 又 S2 ? ( y1 ? y2 )( x2 ? x1 ) ? y1 ? y2,

1 2

1 | x1 y2 ? x2 y1 | | x y ? x y | S 所以 1 ? 2 ? 1 2 2 1 S2 ( y1 ? y2 ) 2( y1 ? y2 )
y12 y2 y2 ? 2 y1 | y y | y ? y | 2 ???????10 分 4 ? 4 ? 1 2 1 2( y1 ? y2 ) 8( y1 ? y2 ) |
? y12 ? 4 x1 ? , 因为 ? 2 ? ? y2 ? 4 x2
2 2 所以 y2 ? y1 ? 4( x2 ? x1 ) ? 8 ???????11 分

代入得到,

y1 y2 S1 y1 y2 | y1 ? y2 | y1 y2 | y12 ? y2 2 | ? ? ? ???????12 分 2 ( y1 ? y2 )2 S2 8( y1 ? y2 ) 8( y1 ? y2 )
当且仅当 y1 ? y2 时取等号,

因为 y1 ? y2 ? 2 y1 y2 , 所以

S1 yy 1 ? 1 2 ? . S2 4 y1 y2 4

???????13 分

7.(2016 西城期末) 已知椭圆 C:

x2 y2 3 3 ,点 A(1, ) 在椭圆 C 上. ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点 O 为圆心的圆,满足此圆与 l 相交两 点 P1 , P2 (两点均不在坐标轴上) ,且使得直线 OP 1 , OP 2 的斜率之积为定值?若存在,求此圆的方程;若 不存在,说明理由. (Ⅰ)解:由题意,得 又因为点 A(1,
c 3 ? , a 2 ? b2 ? c 2 ,??????2 分 a 2

3 ) 在椭圆 C 上, 2
4b

所以 12 ? 32 ? 1 ,
a

??????3 分

解得 a ? 2 , b ? 1 , c ? 3 , 所以椭圆 C 的方程为
x2 ? y2 ? 1. 4

??????5 分 ??????6 分

(Ⅱ)结论:存在符合条件的圆,且此圆的方程为 x2 ? y 2 ? 5 . 证明如下: 假设存在符合条件的圆,并设此圆的方程为 x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) .

当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y ? kx ? m .??????7 分

? y ? kx ? m, ? 由方程组 ? x 2 得 (4k 2 ? 1) x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 4 ? 0 ,??????8 分 2 ? y ? 1, ? ?4
因为直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,

所以 ?1 ? (8km)2 ? 4(4k 2 ? 1)(4m2 ? 4) ? 0 ,即 m2 ? 4k 2 ? 1 . 由方程组 ?

??????9 分

? y ? kx ? m,
2 2 2 ?x ? y ? r ,

得 (k 2 ? 1) x2 ? 2kmx ? m2 ? r 2 ? 0 ,??????10 分

则 ?2 ? (2km)2 ? 4(k 2 ? 1)(m2 ? r 2 ) ? 0 . 设P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

?2km m2 ? r 2 , x1 ? x2 ? 2 ,??????11 分 2 k ?1 k ?1

设直线 OP 2 的斜率分别为 k1 , k 2 , 1 , OP 所以 k1k2 ?
y1 y2 (kx1 ? m)(kx2 ? m) k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

?

k2 ?

m2 ? r 2 ?2km ? km ? 2 ? m2 2 m2 ? r 2 k 2 k ?1 k ?1 ? ,??????12 分 2 2 m ?r m2 ? r 2 k2 ?1
(4 ? r 2 )k 2 ? 1 . 4k 2 ? (1 ? r 2 )

将 m2 ? 4k 2 ? 1 代入上式,得 k1 ? k2 ? 要使得 k1k 2 为定值,则

4 ? r2 1 ,即 r 2 ? 5 ,验证符合题意. ? 4 1? r2

1 . 所以当圆的方程为 x2 ? y 2 ? 5 时,圆与 l 的交点 P 1, P 2 满足 k1 k 2 为定值 ? 4
??????13 分 当直线 l 的斜率不存在时,由题意知 l 的方程为 x ? ?2 ,
1 . 此时,圆 x2 ? y 2 ? 5 与 l 的交点 P 1, P 2 也满足 k1k2 ? ? 4

1 . 综上,当圆的方程为 x2 ? y 2 ? 5 时,圆与 l 的交点 P 1, P 2 满足斜率之积 k1 k 2 为定值 ? 4
??????14 分

8.(2016 西城一模)
2 2 已知椭圆 C : mx ? 3my ? 1(m ? 0) 的长轴长为 2 6 , O 为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程和离心率; (Ⅱ) 设点 A(3,0) , 动点 B 在 y 轴上, 动点 P 在椭圆 C 上, 且 P 在 y 轴的右侧, 若 | BA |?| BP | , 求四边形 OPAB 面积的最小值.

(Ⅰ)解:由题意,椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 ,??????1 分 1 1 m 3m

所以 a 2 ? 故 2a ? 2

1 1 , b2 ? , m 3m
1 1 ? 2 6 ,解得 m ? , m 6
x2 y 2 ? ?1. 6 2
??????3 分

所以椭圆 C 的方程为

因为 c ? a2 ? b2 ? 2 , 所以离心率 e ?
c 6 ? . a 3

??????5 分

(Ⅱ)解:设线段 AP 的中点为 D , 因为 | BA |?| BP | ,所以 BD ? AP ,??????7 分 由题意,直线 BD 的斜率存在,设点 P( x0 , y0 )( y0 ? 0) , 则点 D 的坐标为 (

x0 ? 3 y0 , ), 2 2
y0 ,??????8 分 x0 ? 3 3 ? x0 1 ? , k AP y0 y0 3 ? x0 x ?3 ? (x ? 0 ). 2 y0 2
??????10 分

且直线 AP 的斜率 k AP ?

所以直线 BD 的斜率为 ?

所以直线 BD 的方程为: y ?

令 x ? 0 ,得 y ?

2 2 2 x0 ? y0 ?9 x 2 ? y0 ?9 ), ,则 B(0, 0 2 y0 2 y0



2 x0 y2 2 2 ? 0 ? 1 ,得 x0 ? 6 ? 3 y0 , 6 2

化简,得 B(0,

2 ?2 y0 ?3 ). 2 y0

??????11 分

所以四边形 OPAB 的面积 SOPAB ? S?OAP ? S?OAB
?
2 ?2 y0 ?3 1 1 ? 3? | y0 | ? ? 3? | | ??????12 分 2 2 2 y0

2 ?2 y0 ?3 3 ? (| y0 | ? | |) 2 2 y0

3 3 ? (2 | y0 | ? ) 2 2 | y0 |
3 3 ≥ ? 2 2 | y0 | ? 2 2 | y0 |
? 3 3.

当且仅当 2 y0 ?

3 3 ? [? 2, 2] 时等号成立. ,即 y0 ? ? 2 y0 2
??????14 分

所以四边形 OPAB 面积的最小值为 3 3 .

9.(2016 西城二模) 已知椭圆 C : 长为 4 2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 B(0, m)(m ? 0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 E , F 两点,点 B 关于原点的对称点为 D,若点 D 总在 以线段 EF 为直径的圆内,求 m 的取值范围.
?4a ? 4 2 , ??????2 分 (Ⅰ)解:由题意,得: ? ? ? ? b ? c,

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周 a2 b2

又因为 a 2 ? b 2 ? c 2 解得 a ? 2 , b ? 1 , c ? 1 ,??????4 分 所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 2

??????5 分

(Ⅱ)解: (方法一) 当直线 l 的斜率不存在时,由题意知 l 的方程为 x ? 0 , 此时 E,F 为椭圆的上下顶点,且 EF ? 2 , 因为点 D(0, ?m) 总在以线段 EF 为直径的圆内,且 m ? 0 , 所以 0 ? m ? 1 . 故点 B 在椭圆内. ??????6 分

当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y ? kx ? m . 由方程组 ? ? x2
? y ? kx ? m, ? ? y ? 1, ?2
2

得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ,??????8 分

因为点 B 在椭圆内, 所以直线 l 与椭圆 C 有两个公共点,即 ? ? (4km) 2 ? 4(2k 2 ? 1)(2m2 ? 2) ? 0 . 设 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? 设 EF 的中点 G( x0 , y0 ) , 则 x0 ? 所以 G (
?4km 2m2 ? 2 , x1 x2 ? 2 . 2 2k ? 1 2k ? 1

??????9 分

m x1 ? x 2 ? 2km ? 2 , y 0 ? kx 0 ? m ? 2 , 2k ? 1 2 2k ? 1
? 2km m , 2 ). 2 2k ? 1 2k ? 1

??????10 分

所以 DG ? (

? 2km 2 m m 4k 4 ? 12k 2 ? 4 2 , ) ? ( ? m ) ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 ? m 2 .??????11 分 2k 2 ? 1

EF ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 2 2 1 ? k 2
因为点 D 总在以线段 EF 为直径的圆内, 所以 DG ?

EF 2

对于 k ? R 恒成立.

4 12k 2 ? 4 所以 m 4k ? ? 2 1? k 2 2k 2 ? 1

2k 2 ? 1 ? m 2 . 2k 2 ? 1

化简,得 2m 2 k 4 ? 7m 2 k 2 ? 3m 2 ? 2k 4 ? 3k 2 ? 1 ,

k 2 ?1 ,??????13 分 k2 ?3 k2 ?1 2 2 1 而 g (k ) ? 2 ?1? 2 ≥1 ? ? (当且仅当 k ? 0 时等号成立). k ?3 k ?3 3 3
整理,得 m 2 ?
1 2 所以 m ? , 3

由 m ? 0 ,得 0 ? m ?

3 . 3

综上,m 的取值范围是 0 ? m ?

3 . 3

??????14 分

(方法二) ?? 则 x1 ? x2 ?

2m2 ? 2 ?4km , . x x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

???????9 分

因为点 D 总在以线段 EF 为直径的圆内,

所以 DE ? DF ? 0 .
???? ???? 因为 DE ? ( x1 , y1 ? m) , DF ? ( x2 , y2 ? m) , ???? ???? 所以 DE ? DF ? x1 x2 ? y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? m2

???? ????

??????11 分

? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? m(kx1 ? m ? kx2 ? m) ? m2 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? 2km( x1 ? x2 ) ? 4m2

2m2 ? 2 ?4km ? 2km 2 ? 4m2 ? 0 , 2 2k ? 1 2k ? 1 2 k ?1 . 整理,得 m 2 ? 2 k ?3 ? (k 2 ? 1)
(以下与方法一相同,略)

??????13 分


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