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2008年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)(数学理)


2008 年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ)
理科数学(必修+选修Ⅰ) 第Ⅰ卷
参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 球的 表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A,B 相互独立,那么

S ? 4πR2
其中 R 表示球的半径[来源:学|科|网] 球的

体积公式

P( A?B) ? P( A)?P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么

V?

4 3 πR 3

n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k k n ?k P (k ? 01, ,2, ?,n) n (k ) ? Cn P (1 ? P)

其中 R 表示球的半径

一、选择题 1.函数 y ?

x( x ?1) ? x 的定义域为(



A. x | x ≥ 0

?

?

B. x | x ≥ 1

?

? ?

C. x | x ≥ 1 ? ?0?

?

?

D. x | 0 ≤ x ≤ 1

?

2.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间

t 的函数,其图像可能是(
s s

) s s

O A.

t

O B.

t

O C.

t O D.

t

3.在 △ ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD ? ( A.

??? ?

??? ?

??? ?

????

????



2 1 b? c 3 3

B. c ?
2

5 3

2 b 3

C.

2 1 b? c 3 3


D. b ?

1 3

2 c 3

4.设 a ? R ,且 (a ? i) i 为正实数,则 a ? ( A.2 B.1 C .0 D. ? 1

5.已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项的和 S10 ? (



A.138

B.135

C.95

D.23 )

6.若函数 y ? f ( x ? 1) 的图像与函数 y ? ln x ? 1的图像关于直线 y ? x 对称,则 f ( x) ? ( A. e
2 x ?1

B. e

2x

C. e

2 x ?1

D. e

2 x?2

7.设曲线 y ?

x ?1 在点 (3, 2) 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ?( x ?1 1 2

)[来源:Z&xx&k.Com][来

源:学科网 ZXXK] A.2 B. C. ?

1 2

D. ? 2

8.为得到函数 y ? cos ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( 3?
B.向右平移 D.向右平移



5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

5π 个长度单位 12

5π 个长度单位 6

? ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 9.设奇函数 f ( x ) 在 (0, , 0) ? (1, ? ?) A. (?1 ? 1) ? (1, ? ?) C. (??,
10.若直线

f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集为( x



? 1) ? (0, 1) B. (??, , 0) ? (0, 1) D. (?1

x y ? ? 1 通过点 M (cos ?, sin ? ) ,则( ) a b 1 1 2 2 2 2 A. a ? b ≤1 B. a ? b ≥1 C. 2 ? 2 ≤ 1 a b

D.

1 1 ? 2 ≥1 2 a b

ABC 内的射影为 △ ABC 的中心,则 11.已知三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的侧棱与底面边长都相等, A 1 在底面

AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于(
A.



1 3

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3

12.如图,一环形花坛分成 A,B,C,D 四块,现有 4 种不同的花供选种,要求在每块里种 1 种花,且 相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为( A.96 B.84 C.60 D.48 )[来源:学科网] A B D C

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.

? x ? y ≥ 0, ? 13.13.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ≥ 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?0 ≤ x ≤ 3, ?



14.已知抛物线 y ? ax2 ? 1 的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积 为 .

15.在 △ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ?

7 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率 18

e?



16.等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ,二面角 C ? AB ? D 的余弦值为 别是 AC,BC 的中点,则 EM ,AN 所成角的余弦值等于 .

3 , M ,N 分 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? b cos A ? (Ⅰ)求 tan A cot B 的值; (Ⅱ)求 tan( A ? B) 的最大值. 18. (本小题满分 12 分)[来源:学§科§网 Z§X§X§K] 四棱锥 A ? BCDE 中, 底面 BCDE 为矩形, 侧面 ABC ? 底面 BCDE ,BC ? 2 ,CD ? 2 ,AB ? AC . (Ⅰ)证明: AD ? CE ; A

3 c. 5

B
? (Ⅱ)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45 ,求二面角 C ? AD ? E 的大小.C

E D

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 , a ? R .
3 2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围.

? 2 ? 3

1? 3?

20. (本小题满分 12 分) 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为 患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方法: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止. 方案乙:先任取 3 只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只,然 后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验. (Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (Ⅱ) ? 表示依方案乙所需化验次数,求 ? 的期望.

21. (本小题满分 12 分) 双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别交

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB 、 OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同向. l1,l2 于 A,B 两点.已知 OA 、
(Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程. 22. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列 ?an ? 满 足 0 ? a1 ? 1, an?1 ? f (an ) .

1) 是增函数; (Ⅰ)证明:函数 f ( x ) 在区间 (0,
(Ⅱ)证明: an ? an?1 ? 1 ; (Ⅲ)设 b ? (a1, 1) ,整数 k ≥

a1 ? b .证明: ak ?1 ? b . a1 ln b

2008 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅰ)

答案与解析:
1.C. 由 x( x ? 1) ≥ 0,x ≥ 0 得 x ≥ 1,或x ? 0 ;

1 2 1 at ,匀速行驶 s ? vt ,减速行驶 s ? ? at 2 结合函数图象可知. 2 2 ???? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 3. A. AD ? AB ? 2( AC ? AD),3AD ? AB ? 2 AC ? c + 2b , AD ? c + b 3 3
2.A.根据汽车加速行驶 s ? 4. D (a ? i)2 i ? (a2 ? 2ai ?1)i ? ?2a ? (a2 ?1)i ? 0, a ? ?1 5.C.由a2 ? a4 ? 4, a3 ? a5 ? 10得a1 ? ?4, d ? 3, S10 ? 10a1 ? 45d ? ?40 ? 135 ? 95 6. B. y ? ln x ? 1 ? x ? e2( y ?1) , f ( x ?1) ? e2( x?1) , f ( x) ? e2x 7. D. y ?

x ?1 2 2 ? 1? , y? ? ? , y? x ?1 x ?1 ( x ? 1)2 ? ?

x ?3

1 ? ? , ?a ? 2, a ? ?2 2

8.A . y ? cos ? 2 x ?

5π π? 5? 5? ? ? sin(2 x ? ) ? sin 2( x ? ) ,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像向左平移 12 个 3? 6 12

单位得到函数 y ? cos ? 2 x ? 9.D.由奇函数 f ( x ) 可知

? ?

π? ? 的图像. 3?

f ( x) ? f (? x) 2 f ( x) ? ? 0 ,而 f (1) ?0 ,则 f (?1) ? ? f (1) ?0 ,当 x ? 0 时, x x

f ( x) ? 0 ? f (1) ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ? f (? 1) ,又 f ( x) 在 (0, ? ?) 上为增函数,则奇函数 f ( x) 在 (??, 0) 上为增函数, 0 ? x ? 1, 或 ? 1 ? x ? 0 .
10.D.由题意知直线

x y ? ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1有交点,则 a b 1 1 a b

1 1 1 ? a 2 b2

≤ 1,

1 1 ? ≥1 . a 2 b2

另解:设向量 m = (cos ? ,sin ? ), n = ( , ) ,由题意知 由 m ? n ≤ m n 可得 1 ?

cos ? sin ? ? ?1 a b

cos ? sin ? 1 1 ? ≤ ? a b a 2 b2

11.C . 由 题 意 知 三 棱 锥 A ,棱柱的高 1 ? ABC 为 正 四 面 体 , 设 棱 长 为 a , 则 A B 1 ? 3 a

2 3 6 2 , 故 AB1 与底面 ABC 所成 AO ? a 2 ? AO 2 ? a 2 ?( ? a) ? a (即点 B1 到底面 ABC 的距离) 1 3 2 3
角的正弦值为

A1O 2 . ? AB1 3

另解:设 AB, AC, AA 1 为空间向量的一组基底, AB, AC, AA 1 的两两间的夹角为 60 长度均为 a ,平面 ABC 的法向量为 OA1 ? AA1 ?

??? ? ??? ? ????

??? ? ??? ? ????

0

????

???? 1 ??? ? 1 ???? ???? ??? ? ???? AB ? AC , AB1 ? AB ? AA1 3 3

???? ???? 2 ???? 6 ???? OA1 ? AB1 ? a 2 , OA1 ? , AB1 ? 3 3 3 ????????? OA1 ? AB1 2 则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值为 ???? ???? ? . 3 AO AB 1 1
2 3 4 12.B. 分 三 类 : 种 两 种 花 有 A4 种 种 法 ; 种 三 种 花 有 2 A4 种 种 法 ; 种 四 种 花 有 A4 种种法.共有 2 3 4 A4 ? 2 A4 ? A4 ?8 4.

另解:按 A ? B ? C ? D 顺序种花,可分 A、C 同色与不同色有 4 ? 3 ? (1? 3 ? 2 ? 2) ? 84 13.答案:9.如图,作出可行域, 作出直线 l0 : x ? 2 y ? 0 ,将 l0 平移至过点 A 处 时,函数 z ? 2 x ? y 有最大值 9. 14. 答案:2.由抛物线 y ? ax 2 ? 1 的焦点坐标为

x? y ?0 x? y?3? 0

y

x?3

O

x
A(3, ?3)

x ? 2y ? 0
13 题图

(0,

1 1 1 ? 1) 为坐标原点得, a ? ,则 y ? x 2 ? 1 4 4a 4

1 ? 4 ?1 ? 2 2 3 7 25 2 2 2 15.答案: .设 AB ? BC ? 1 , cos B ? ? 则 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B ? 8 18 9 5 5 8 2c 3 AC ? , 2a ? 1 ? ? , 2c ? 1, e ? ? .[来源:Z#xx#k.Com] C 3 3 3 2a 8 1 M 16.答案: .设 AB ? 2 ,作 CO ? 面ABDE, 6 N E OH ? AB ,则 CH ? AB , ?CHO 为二面角 C ? AB ? D 的平面角 A o H
与坐标轴的交点为 (0, ?1),(?2,0),(2,0) ,则以这三点围成的三角形的面积为

CH ? 3, OH ? CH ? cos ?CHO ? 1 ,结合等边三角形 ABC

B

D
16 题图(1)

与正方形 ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥,则 AN ? EM ? CH ? 3

???? 1 ???? ??? ? ???? ? 1 ???? ??? ? ???? ???? ? 1 ??? ? ? 1 1 ???? ??? AN ? ( AC ? AB ), EM ? AC ? AE , AN ? EM ? ( AB ? AC ) ? ( AC ? AE ) ? 2 2 2 2 2 ???? ???? ? AN ? EM 1 故 EM ,AN 所成角的余弦值 ???? ???? ? ? AN EM 6
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

另解:以 O 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系, 则点 A(?1, ?1,0), B(1, ?1,0), E(?1,1,0), C(0,0, 2) ,

z

C
M
N
H
A

E

o

y

1 1 2 1 1 2 M (? , ? , ), N ( , ? , ), 2 2 2 2 2 2 ? 1 3 2 ???? ???? ? 1 ???? ???? ? 3 1 2 ???? ), EM ? ( , ? , ), AN ? EM ? , AN ? EM ? 3 , 2 2 2 2 2 2 2 ???? ???? ? AN ? EM 1 故 EM ,AN 所成角的余弦值 ???? ???? ? ? . AN EM 6
则 AN ? ( , , 17.解析: (Ⅰ)在 △ ABC 中,由正弦定理及 a cos B ? b cos A ? 可得 sin A cos B ? sin B cos A ?

????

3 c 5

3 3 3 3 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B 5 5 5 5

即 sin A cos B ? 4 cos A sin B ,则 tan A cot B ? 4 ; (Ⅱ)由 tan A cot B ? 4 得 tan A ? 4 tan B ? 0

tan A ? tan B 3 tan B 3 3 ? ? ≤ 2 1 ? tan A tan B 1 ? 4 tan B cot B ? 4 tan B 4 1 当且仅当 4 tan B ? cot B, tan B ? , tan A ? 2 时,等号成立, 2 3 1 故当 tan A ? 2, tan B ? 时, tan( A ? B) 的最大值为 .[来源:学科网] 4 2 A 18.解: (1)取 BC 中点 F ,连接 DF 交 CE 于点 O , tan( A ? B) ?

? AB ? AC ,? AF ? BC ,
又面 ABC ? 面 BCDE ,? AF ? 面 BCDE ,

B

G
O
18 题图

E

? AF ? CE .
C

F
D

2 , tan ?CED ? tan ?FDC ? 2

? ?OED ? ?ODE ? 90? ,??DOE ? 90? ,即 CE ? DF ,
? CE ? 面 ADF ,? CE ? AD .
(2)在面 ACD 内过 C 点作 AD 的垂线,垂足为 G .

? CG ? AD , CE ? AD ,? AD ? 面 CEG ,? EG ? AD ,
则 ?CGE 即为所求二面角的平面角.

CG ?

AC ? CD 2 3 6 30 2 2 ? , DG ? , EG ? DE ? DG ? , AD 3 3 3

CG 2 ? GE 2 ? CE 2 10 ?? , CE ? 6 ,则 cos ?CGE ? 2CG? GE 10

? 10 ? ? 10 ? ??CGE ? π ? arccos ? ,即二面角 C ? AD ? E 的大小 π ? arccos ? ? ? 10 ? ? 10 ? ?. ? ? ? ?
19. 解: (1) f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 求导: f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1 当a
2

≤ 3 时, ? ≤ 0 , f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 在 R 上递增 ? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ?
? ? ?

当a

2

?a ? a 2 ? 3 3

即 f ( x ) 在 ? ??,

? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? 递增, ? ? 递减, ? ? ? 3 3 3 ? ? ?

? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? ? 递增 ? ? ? 3 ? ?
? ?a ? ? ? (2) ? ? ?a ? ? ? a2 ? 3 2 ≤? 3 3 a ?3 1 ≥? 3 3
2

,且 a

2

? 3 解得: a ≥

7 4

20.解: (Ⅰ)对于甲: 次数 概率 对于乙: 次数 概率 2 0.4 3 0.4 4 0.2 1 0.2 2 0.2 3 0.2 4 0.2 5 0. 2

0.2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.2 ?1 ? 0.2 ?1 ? 0.64 .
(Ⅱ) ? 表示依方案乙所需化验次数, ? 的期望为 E? ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.4 ? 4 ? 0.2 ? 2.8 . 21. 解: (Ⅰ)设 OA ? m ? d , AB ? m , OB ? m ? d 由勾股定理可得: (m ? d ) ? m ? (m ? d )
2 2 2

得: d ?

1 b AB 4 m , tan ?AOF ? , tan ?AOB ? tan 2?AOF ? ? 4 a OA 3

b a ? 4 ,解得 b ? 1 ,则离心率 e ? 5 . 由倍角公式? 2 a 2 3 2 ?b? 1? ? ? ?a? 2

a x2 y 2 (Ⅱ)过 F 直线方程为 y ? ? ( x ? c ) ,与双曲线方程 2 ? 2 ? 1 联立 b a b
将 a ? 2b , c ? 5b 代入,化简有

15 2 8 5 x ? x ? 21 ? 0 4b2 b

2 ? ? a ?2 ? ?a? 2 4 ? 1 ? ? ? x1 ? x2 ? ?1 ? ? ? ? ? ?( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ? b b ? ? ? ? ? ? ? ?

?? 32 5b ?2 28b2 ? ? ? b?3 将数值代入,有 4 ? 5 ? ? ? ? 4 5 ? ,解得 15 ?? ? ?? ?
故所求得双曲线方程为:

x2 y 2 ? ? 1 .[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 36 9

22. 设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1, an?1 ? f (an ) .

1) 是增函数; (Ⅰ)证明:函数 f ( x ) 在区间 (0,
(Ⅱ)证明: an ? an?1 ? 1 ; (Ⅲ)设 b ? (a1, 1) ,整数 k ≥

a1 ? b .证明: ak ?1 ? b . a1 ln b

1) 时, f ?( x) ? ? ln x ? 0 22.解析: (Ⅰ)证明: f ( x) ? x ? x ln x , f ?( x) ? ? ln x ,当 x ? (0, 1) 是增函数; 故函数 f ( x ) 在区间 (0,
(Ⅱ)证明: ( 数学归纳法证明) (ⅰ)当 n ? 1 时, 0 ? a1 ? 1, a1 ln a1 ? 0

a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? a1
, 1) 是增函数,且函数 f ( x) 在 x ? 1 处连续,则 f ( x) 在区间 (0, 1]是增函数, 由函数 f ( x ) 在区间 (0

a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? 1 ,即 a1 ? a2 ? 1成立;
( ⅱ)假设当 x ? k (k ? N *) 时, ak ? ak ?1 ? 1 成立,即 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1

1] 是增函数, 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1 得 那么当 n ? k ? 1 时,由 f ( x ) 在区间 (0,

f (ak ) ? f (ak ?1 ) ? f (1) .而 an?1 ? f (an ) ,则 ak ?1 ? f (ak ), ak ?2 ? f (ak ?1 ) , ak ?1 ? ak ?2 ? 1 ,也就是说当 n ? k ? 1 时, an ? an?1 ? 1 也成立;
根据(ⅰ) 、 (ⅱ)可得对任意的正整数 n , an ? an?1 ? 1 恒成立.

(Ⅲ)证明:由 f ( x) ? x ? x ln x . an?1 ? f (an ) 可得

a ? b ? a ? b ? a ln a ? a1 ? b ? ? ai ln ai k ? 1 k k k
i ?1

k

1, 若存在某 i ≤ k 满足 ai ≤ b ,则由 ⑵知: ak ?1 ? b ? ai ? b ≥ 0 2, 若对任意 i ≤ k 都有 ai ? b ,则 a ? b ? a ? b ? a ln a k ? 1 k k k

a ? b ? ka ln b ? a1 ? b ? ? ai ln ai ? a1 ? b ? ? ai ln b ? a1 ? b ? (? ai ) ln b ? 1 1
i ?1 i ?1 i ?1

k

k

k

? 0 ,即 ak ?1 ? b 成立. ? a ? b ? ka ln b ? a ? b ? ( a ? b ) 1 1 1 1
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]


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