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高中数学(苏教版)必修5精品教学案全集:解三角形 第1课时 正弦定理(1)(教师版)

时间:2015-09-07


第1 章
【知识结构】

解三角形

听课随笔

正弦定理? ? ? 解三角形 ? 正、余弦定理的应用 余弦定理?
【重点难点】 重点:(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能 解决一些简单的三角形度量问题。 难点:(2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与

测量和几何计算有关 的实际问题

第 1 课时 正弦定理(1)
【学习导航】

知识网络
直角三角形的边角关系→任意三角形的边角关系→正弦定理

学习要求
1.正弦定理的证明方法有几种,但重点要突出向量证法; 2.正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边” 、 “已知两边一对角”等的相关问题

【课堂互动】

自学评价
1.正弦定理:在△ABC 中,

a b c ? ? ? 2R , sin A sin B sin C

2.正弦定理可解决两类问题: (1)两角和任意一边,求其它两边和一角; (2)两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角
王新敞
奎屯 新疆

【精典范例】 【例 1】在 ?ABC 中, A ? 30? , C ? 105? , a ? 10 ,求 b , c .
分析:正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题.

a b c ? ? , sin A sin B sin C a sin B 10sin 45? a sin C 10sin105? ? ? 10 2 , c ? ? ? 5 2 ?5 6. 所以 b ? sin A sin 30? sin A sin 30?
【解】因为 A ? 30? , C ? 105? ,所以 B ? 45? .因为 因此, b , c 的长分别为 10 2 和 5 2 ? 5 6 . 【例 2】根据下列条件解三角形: (1) b ? 3, B ? 60?, c ? 1; (2) c ? 6, A ? 45?, a ? 2 . 分析:正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求其他边和角的问题. 【解】 (1)

c sin B 1? sin 60? 1 b c ? ? ? , ,∴ sin C ? sin B sin C b 2 3

-1-

听课随笔

?b ? c, B ? 60? ,∴ C ? B ,∴ C 为锐角, ∴ C ? 30? , A ? 90? ,∴ a ? b2 ? c2 ? 2 .
(2)?

a c c sin A 6 ? sin 45? 3 ? ? ? ,∴ sin C ? ,∴ C ? 60 或120 , ? ? sin A sin C a 2 2
sin C
sin C
?

? ∴当 C ? 60?时,B ? 75? , b ? c sin B ? 6 sin 75 ? 3 ? 1 ?

sin 60

? ∴当 C ? 120?时,B ? 15? , b ? c sin B ? 6 sin15 ? 3 ? 1所以, ?

sin 60

b ? 3 ? 1, B ? 75 , C ? 60 或 b ? 3 ?1, B ? 15? , C ? 120? . 追踪训练一
?
0 0 1.在△ABC 中, C ? 105 , B ? 45 , c ? 5 ,则 b 的值为(

A



A C

5( 3 ? 1)
10

B D

5( 3 ? 1) 5( 6 ? 2 )
2 ,则 sin A = 3
( C )

2.在△ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 4 , sin B ? A

3 4

B

1 6
0

C

1 2
0

D1

3. (课本 P9 练习第 2 题)在△ABC 中, (1)已知 A ? 75 , B ? 45 , c ? 3 2 ,求 a , b ;
0 0 (2)已知 A ? 30 , B ? 120 , b ? 12 ,求 a , c 。

略解: (1) a ? 3 ? 3 , b ? 2 3 ; (2) a ? 4 3 , c ? 4 3 (可以先判断是等腰三角形再解) 4. (课本 P9 练习第 3 题)根据下列条件解三角形:
0 (1) b ? 40 , c ? 20 , C ? 25 ;

(2) b ? 13 , a ? 26 , B ? 30 。 略解: (1)由题意知:
0

sin B ? 2 sin C ? 2 sin 250 ? 0.423? B ? 580 或 122 0 ? A ? 970 , a ? 47 或 A ? 330 , a ? 25 .8 (要注意两解的情况)
(2)由题意知:

A ? 900 ? C ? 600 ? c ? 13 3
【选修延伸】
【例 3】在锐角三角形 ABC 中,A=2B, a 、b 、c 所对的角分别为 A、B、C,试求 分析:本题由条件锐角三角形得到 B 的范围,从而得出

a 的范围。 b

a 的范围。 b

? B ? 900 ? 2 B ? 900 ? 300 ? B ? 450 , 【解】在锐角三角形 ABC 中,A、B、C<900,即: ? ?1800 ? 3B ? 900 ?
由正弦定理知:

-2-

a sin A sin 2 B ? ? ? 2 cos B ? b sin B sin B
故所求的范围是:

?

2, 3 ,

?

?

2, 3 。

?

【例 4】在△ABC 中,设

cos B cos C cos A ? ? ,求 cos A 的值。 3b 2c a
【解】由正弦定理得:

cos B cos C cos A ? ? 3sin B 2sin C sin A 1 ? tan B ? tan A ? ? 3 ?? ? tan C ? 1 tan A ? ? 2
又 tan A ? ? tan( B ? C ) ? ?

tan B ? tan C 5 tan A ? tan 2 A ? 11 ,? ? 2 1 ? tan B tan C 6 ? tan A

? cos A ?

3 。 6
,c ? . , ?ABC 的面 .

追踪训练二
(1)在 ?ABC 中,已知 b ? c ? 8 , ?B ? 30? , ?C ? 45? ,则 b ? (2)在 ?ABC 中,如果 ?A ? 30? , ?B ? 120? , b ? 12 ,那么 a ? 积是 . (3)在 ?ABC 中, bc ? 30 , S ?ABC ? 【师生互动】

15 3 ,则 ? A ? 2

学生质疑

教师释疑

-3-


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