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【导与练】2015届高考数学一轮复习 第6篇 第1节 不等关系与不等式课件 文 新人教版


第六篇 不等式(必修 5)
第 1 节 不等关系与不等式

基础梳理

考点突破

基础梳理
知识整合

抓主干

固双基

1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系
设 a,b∈R,则 (1)a>b?a-b>0; (

2)a=b?a-b=0; (3)a<b?a-b<0.

2.不等式的基本性质

见附表
3.不等式的一些常用性质
(1)倒数性质
1 1 ①a>b,ab>0? < . a b 1 1 ②a<0<b? < . a b

(2)有关分数的性质 若 a>b>0,m>0,则 ①真分数的性质
b b?m b b?m < ; > (b-m>0). a a?m a a?m

②假分数的性质
a a?m a a?m > ; < (b-m>0). b b?m b b?m

双基自测
1.(2013 年高考北京卷)设 a,b,c∈R,且 a>b,则(
1 1 (A)ac>bc (B) < a b

D

)

(C)a2>b2

(D)a3>b3

解析:取 c=0,则 ac=bc,故选项 A 错;取 a=1,b=-1,
1 1 2 2 则 > ,a =b ,选项 B、C 错,故选 D. a b

2.限速 40 km/h 的路标,指示司机在前方路段行 驶时,应使汽车的速度 v 不超过 40 km/h,写成不 等式就是( D ) (A)v<40 km/h (B)v>40 km/h (C)v≠40 km/h (D)v≤40 km/h 解析:由汽车的速度 v 不超过 40 km/h,即小于等 于 40 km/h.即 v≤40 km/h,故选 D.

3.(2013 江西省百所重点高中联考)已知 a,b,c∈(0,+∞),若
c a b < < ,则( a?b b?c a?c

A

)

(A)c<a<b (B)b<c<a (C)a<b<c (D)c<b<a 解析:法一 因为 a,b,c∈(0,+≦),

c a 由 < 得 cb+c2<a2+ab, a?b b?c

整理得(c-a)(a+b+c)<0,故 c<a,
a b 同理由 < 得 a<b,所以 c<a<b.故选 A. b?c a?c

法二

c a b 由题意知 +1< +1< +1, a?b b?c a?c

a?b?c a?b?c a?b?c 即 < < , a?b b?c a?c

又因 a,b,c∈(0,+≦),
1 1 1 所以有 0< < < , a?b b?c a?c

于是 a+b>b+c>a+c, 从而 b>a>c.故选 A.

4.已知 a1≤a2,b1≥b2,则 a1b1+a2b2 与 a1b2+a2b1 的大 小关系是 . 解析:由 a1b1+a2b2-(a1b2+a2b1)=a1(b1-b2)+a2(b2-b1) =(a1-a2)(b1-b2) ≧a1≤a2,b1≥b2, 故(a1-a2)(b1-b2)≤0, 即 a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1. 答案:a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1

考点突破

剖典例 知规律

考点一 用不等式(组)表示不等关系
【例 1】 已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如 下表:
甲 维生素 A/(单位/kg) 维生素 B/(单位/kg) 成本/(元/kg) 600 800 11 乙 700 400 9 丙 400 500 4

设用甲、乙、丙三种食物各 x kg,y kg,z kg 配 成 100 kg 的混合食物,并使混合食物内至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B. 试用 x,y 表示混合食物成本 c 元,并写出 x,y 所 满足的不等关系. 思维导引:由 x+y+z=100 表示出 z,再由维生素 A、 B 的含量要求建立不等关系,最后写不等式组.

解:依题意,得 c=11x+9y+4z. 又 x+y+z=100, ?c=400+7x+5y.

?600 x ? 700 y ? 400 z ? 56000, 由? ?800 x ? 400 y ? 500 z ? 63000, ?2 x ? 3 y ? 160, 及 z=100-x-y,得 ? ?3x ? y ? 130.
? 2 x ? 3 y ? 160, ?3 x ? y ? 130, ? ?x,y 所满足的不等关系为 ? ? x ? 0, ? ? y ? 0.

反思归纳

将实际问题中的不等关系写成相应的

不等式(组)时,应注意关键性的文字语言与对应数学 符号语言之间的正确转换,常见的转换关系如下表:
文字 语言 符号 语言 大于 , 高于 , 超过 > 小于 , 低于 , 少于 < 大于等于 , 至少 , 不低于 ≥ 小于等于 , 至多 , 不超过 ≤

即时突破 1 某汽车公司由于发展的需要需购进一
批汽车,计划使用不超过 1000 万元的资金购买单价 分别为 40 万元、90 万元的 A 型汽车和 B 型汽车,根 据需要,A 型汽车至少买 5 辆,B 型汽车至少买 6 辆, 写出满足上述所有不等关系的不等式. 解:设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、y 辆,
?40 x ? 90 y ? 1000, ? 4 x ? 9 y ? 100, ? x ? 5, ? x ? 5, ? ? 即 ? ? ? y ? 6, ? y ? 6, ? x, y ? N* . ? x, y ? N * . ? ?



考点二 不等式性质的应用
【例 2】 (2012 年高考湖南卷)设 a>b>1,c<0,给出下 列三个结论
c c ① > ;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). a b

其中所有的正确结论的序号是( (A)① (B)①② (C)②③

) (D)①②③

1 ? a ? b ?1? ? 0? 解析:① ab ? ? a?b ? 1 1? ? ? 1 1 ? a· >b· ? b a? ab ab c?0 ? ?

c c c c ? < ? > , b a a b

?①正确;

? b ? ?a? a ? b ? 1 ? ? 1? ? ? ? 1? ② a ?? ?b? ? ? c?0 ? bc ? 0 ? ?
c

? a <b ,
c c

?②正确;

a ? b ? 1? a ? c ? b ? c ? 1? ③ ?? ? c ? 0 ? a ? b ?1 ?
lg ? a ? c ? ? lg ? b ? c ? ? 0 ? ? lg ? a ? c ? lg ? b ? c ? ? > ?? lg a ? lg b ? 0 lg b lg a ? ?

即 logb(a-c)>loga(b-c), ?③正确.故选 D.

反思归纳

判断关于不等式的命题的真假 ,

要充分利用不等式的性质,并结合函数的单调性 进行判断,注意性质的前提条件及应用范围.

即时突破 2 如果 a<b<0,那么下列不等式成立的是(
1 1 (A) < a b

)

(B)ab<b
2

2

(C)-ab<-a 解析:法一

1 1 (D)- <a b
a b 1 1 由 a<b<0 得 ab>0,则 < ,即 < ,所以 ab ab b a

1 1 - >- .故选 D. b a

法二

1 1 1 取 a=-2,b=-1,可得 =- , =-1, a 2 b
2 2

故选项 A 错;ab=2,b =1,故选项 B 错;-ab=-2,-a =-4,故选项 C 错.故选 D.

考点三 比较大小
m2 x 【例 3】 已知 m∈R,a>b>1,f(x)= ,则 f(a) x ?1

与 f(b)的大小关系是(

)

(A)f(a)>f(b) (B)f(a)<f(b) (C)f(a)≤f(b) (D)f(a)≥f(b) 思维导引:计算出 f(a)和 f(b)后,可用作差法比 较,但是在比较时,要注意 m 的取值.

解析:法一

m2a m 2b ≧f(a)= ,f(b)= , a ?1 b ?1
2 2

b ? ma m b 2? a ?f(a)-f(b)= =m ? ? ? a ?1 b ?1 ? a ?1 b ?1?

=m ·
2

2

a ? b ? 1? ? b ? a ? 1?

? a ? 1?? b ? 1?

b?a =m · , ? a ? 1?? b ? 1?

当 m=0 时,f(a)=f(b); 当 m≠0 时,m >0,又 a>b>1, ?f(a)<f(b), 即 f(a)≤f(b),故选 C. 法二 特值法.令 a=3,b=2.
3m 2 2 则 f(3)= ,f(2)=2m 2
2

若 m=0,f(a)=f(b). 若 m≠0,f(a)<f(b). 故选 C.

反思归纳
(1)作差法

比较大小常用方法

一般步骤是①作差;②变形;③判号;④定论.其中变形是关键, 常采用因式分解、配方等方法把差变成积或者完全平方的形式. 当两个式子都含有开方运算时,可以先平方再作差. (2)作商法 一般步骤是:①作商;②变形;③判断商与 1 的大小;④结论. 作商比较大小时,要注意分母的符号避免得出错误结论. (3)特值法 对于选择题也可以用特值法比较大小.

即时突破 3 (1)若 a>b>0,则下列不等式一定成立
的是( )
b b ?1 (B) > a a ?1 1 1 (D)a- >bb a b b ?1 (A) > a a ?1 1 1 (C)a+ >b+ b a

(2)若 a=1816,b=1618,则 a 与 b 的大小关系 为 .

解析:(1)法一

b?a b b ?1 = <0, a a ? 1 a ? a ? 1?

a ?b b b ?1 b b ?1 即 < ,故 A 不成立; = ,由于 a-1 符号不确定, a a ?1 a a ? 1 a ? a ? 1?
1 1 a?b 1 因此 B 不一定成立;a+ -(b+ )=a-b+ =(a-b)(1+ )>0, ab ab b a

因此 C 成立;a-

1 1 b?a 1 -(b- )=(a-b)+ =(a-b)(1),由于 ab ab b a

1 ab ? 1 1= 符号不确定,因此 D 不一定成立.故选 C. ab ab

法二

b 1 b ?1 2 取 a=2,b=1,则 = , = ,可排除 A;取 a 2 a ?1 3

1 1 a= ,b= ,可排除 B、D.故选 C. 2 4
a 18 ? 9 ? ? 18 ? 1 ? 9 ? ? 1 ? (2) = =? ? =? ? ? =? , ? ? 18 2 b 16 ?8 2 ? ? 16 ? 16 ? 8 ? ? 2 ?
16

16

16

16

16

? 9 ? ≧ ∈(0,1),? ? ? <1, 8 2 ?8 2 ?

9

16

≧18 >0,16 >0,?18 <16 .即 a<b. 答案:(1)C (2)a<b

16

18

16

18

备选例题
【例 1】 设 a>0,b>0,且 a≠b,比较 aabb 与 abba 的大小. 解:
ab a-b b-a ? a ? =a b =? ? b a ab ?b?
a b

a ?b

,
a ?b

b ?a? 当 a>b>0 时, >1,a-b>0,? ? ? a ?b?

>1,
a ?b

b ?a? 当 b>a>0 时,0< <1,a-b<0,? ? ? a ?b?

>1,

a a bb 即 b a >1,又≧aabb>0,abba>0,∴aabb>abba. ab

【例 2】 设 f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, 求 f(-2)的取值范围. 解:法一 设 f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、 n 为待定系数), 则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.

?m ? n ? 4, ?m ? 3, 于是得 ? 解得 ? ?n ? 1, ?n ? m ? ?2,
?f(-2)=3f(-1)+f(1). 又≧1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ?5≤3f(-1)+f(1)≤10, 故 5≤f(-2)≤10.

?1 ? a ? b ? 2 法二 由 ? 确定的 ?2 ? a ? b ? 4
平面区域如图阴影部分所示, 当 f(-2)=4a-2b 过

?3 1? 点 A ? , ? 时, ?2 2?
3 1 取得最小值 4× -2× =5, 2 2

当 f(-2)=4a-2b 过点 B(3,1)时, 取得最大值 4×3-2×1=10,?5≤f(-2)≤10.

易错研讨 忽视不等式中等号成立的条件而致误
?3 ? 2 x ? y ? 9, 【典例】 若变量 x,y 满足 ? 则 z=x+2y 的取值范 ?6 ? x ? y ? 9,
围为 . 分析:先用 2x+y,x-y 表示 z,再利用不等式的性质求 z 的范围. 正解:设 z=x+2y=m(2x+y)+n(x-y)=(2m+n)x+(m-n)y,

?2m ? n ? 1, ?m ? 1, 则? 解得 ? ?m ? n ? 2, ?n ? ?1,

即 z=(2x+y)-(x-y), 由 6≤x-y≤9 得-9≤-(x-y)≤-6, 又 3≤2x+y≤9, 所以-6≤(2x+y)-(x-y)≤3, 即-6≤z≤3. 答案:[-6,3]

易错提醒

解答本题易忽视等号成立的条件而分别

求出 x,y 的范围后,再由不等式的性质求 z 的范围.

2 x 即时突破 设实数 x,y 满足 3≤xy2≤8,4≤ ≤9,则 y

x3 的最大值为 4 y
3
2 2

.

2 ? ? x 1 x x 2 解析: 4 = ? ? · 2 ,由 4≤ ≤9,3≤xy ≤8, xy y ? y ? y

?x ? 1 x3 1 1 得 16≤ ? ? ≤81, ≤ 2 ≤ ,得 2≤ 4 ≤27. 8 3 xy y ? y ?
2

2

答案:27


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