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北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试:基本初等函数


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北大附中 2013 届高三数学一轮复习单元综合测试:基本初等函数 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.函数 y ? ( ) x A. (??,1) 【答案】C 2. 定义在 R 上的函数

f ( x ) 对任意两个不相等实数 a , b , 总有 A.函数 f ( x ) 是先增加后减少 C. f ( x ) 在 R 上是增函数 【答案】C 3. 下列函数中,最小值为 4 的是 A. y ? x ? C. y 【答案】C 4.函数 f(x)=? A.(0,1) C.?0,
?-x+3a(x<0), ? ? ?ax(x≥0)

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

1 2

1
2

?1

的值域为(

)

B. ( ,1)

1 2

C. [ ,1)

1 2

D. [ , ??)

1 2

f (a ) ? f (b) ? 0 成立, 则必有 ( ) a ?b

B.函数 f ( x ) 是先减少后增加 D. f ( x ) 在 R 上是减函数

(

) B. y ? sin x ? D. y

4 x

4 (0 ? x ? ? ) sin x

? 2e x ? 2e ? x

? log3 x ? 4 logx 3(0 ? x ? 1)

(a>0 且 a≠1)是 R 上的减函数,则 a 的取值范围是(

)

1 B.? ,1? ?3 ? 2 D.?0, ? 3? ?

?

1? 3?

【答案】B 5. 函数 f (x)的定义域为 D,若对于任意 x1, x2 ? 称函数 f ( x ) 在 D 上为非减函数 . 件: ① f (0) = 0 ;② f ( ) =

D ,当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则

设函数 f (x)在 0,1 上为非减函数,且满足以下三个条

x 3

1 1 1 f ( x) ;③ f (1- x) = 1- f ( x) ,则 f ( ) + f ( ) 等( ) 2 3 8
C. 1 D.

A. 【答案】D

1 2

3 B. 4

2 3

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1 x 6.函数 y=( ) +1 的图像关于直线 y=x 对称的图像大致是( 2

)

【答案】A 7. 函数 A. (0,1) 的一个零点落在下列哪个区;间 (.) B . (1,2) C . (2,3) D. (3,4)

【答案】B 8.函数 y= -2sinx 的图像大致是( 2

x

)

【答案】C 9. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A. y ? ? x C.
2

(



+5( x ? R)

B. y ? - x

3

? x( x ? R)
1 ( x ? R , x ? 0) x

y ? x 3 ( x ? R)

D. y ? ?

【答案】C

10. 设函数 f (x ) 是定义在 R 上的以 5 为周期的奇函数,若

f (2) ? 1, f (3) ?

a2 ? a ? 3 ,则 a?3

a 的取值范围是(
A. (??,?2) ? (0,3)

) B. (?2,0) ? (3,??) D. (??,0) ? (3,??)

C. (??,?2) ? (0,??) 【答案】A

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11.若 lg a ? lg b ? 0 (其中 a ? 1, b ? 1 ),则函数 A.关于直线 y=x 对称 原点对称 【答案】B

f ( x) ? a x与g ( x) ? b x 的图象
C.关于 y 轴对称 D.关于

(



B.关于 x 轴对称

12.函数 A.

f ? x ? ? ex ? x ? 2

的零点所在的一个区间是(

). D.

? ?2, ?1?

B.

? ?1,0?

C.

? 0,1?

?1, 2?

【答案】C

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第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13. 观察相关的函数图象,对下列命题中的真假情况进行判断. ①10 =x 有实数解; ②10 =x 有实数解; ③10 >x 在 x∈R 上恒成立; ④10 >x 在 x∈(0,+∞)上恒成立; ⑤10 =-x 有两个相异实数解. 其中真命题的序号为________. 【答案】②③④ 14. 三个数 0.7 ,6 ,log0.76 的大小关系为______. ①0.7 <log0.76<6
0.7 6 0.7 6 0.7

x x x x x

2

2

②0.7 <6 <log0.76 ④log0.76<0.7 <6
6 0.7

6

0.7

③log0.76<6 <0.7 【答案】④

6

3 ? 1 ,则实数 a 的取值范围是 4 3 【答案】 (0, ) ? (1,?? ) 4
15.若 log a



?3x ?1 , x ? 0 16.已知函数 f ( x) ? ? ,若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围为 ?log 2 x, x ? 0
【答案】 [?1,0] ? [2,??)



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三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.二次函数 f (x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,且 f (0) ? 1 . (1)求 f (x ) 的解析式; (2)在区间

?? 1,1?上, y ?

f (x) 图象恒在直线 y ? 2 x ? m 上方,试确定实数 m 取值范围.

f ( x) ? ax2 ? bx ? 1(a ? 0) 2 2 故 f ( x ? 1) ? f ( x) ? a( x ? 1) ? b( x ? 1) ? 1 ? (ax ? bx ? 1) ? 2ax ? a ? b ?2a ? 2 ?a ? 1 2 由题意得, ? ,解得 ? ;故 f ( x) ? x ? x ? 1 a?b ? 0 b ? ?1 ? ? 2 2 (2)由题意得, x ? x ? 1 ? 2 x ? m 即 x ? 3x ? 1 ? m 对 x ? ?? 1,1? 恒成立
【答案】(1)由 f (0) ? 1 ,可设 设 g ( x) ? x 又 g (x) 在
2

?? 1,1?上递减,故 g ( x) mim ? g(1) ? ?1,

? 3x ? 1 ,则问题可转化为 g ( x) mim ? m
故 m ? ?1

18.设 a 为实数,函数

f ( x) ? x 2 ? | x ? a | ?1 , x ? R

(1)讨论 f (x ) 的奇偶性; (2)求 f (x ) 的最小值。 【答案】(1)当 a ? 0 时, 当 a ? 0 时,

f ( x) ? x2 ? | x | ?1为偶函数,

f ( x) ? x2 ? | x ? a | ?1为非奇非偶函数;
2

(2)当 x ? a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?
2

1 2

3 , 4

1 1 3 时, f ( x ) min ? f ( ) ? a ? , 2 2 4 1 当 a ? 时, f ( x)min 不存在; 2 1 2 3 2 当 x ? a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ? , 2 4 1 2 当 a ? ? 时, f ( x)min ? f (a) ? a ? 1 , 2 1 1 3 当 a ? ? 时, f ( x) min ? f ( ? ) ? ? a ? 2 2 4
当a ? 19.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 0≤x≤2 时,y=x,当 x>2 时,y=f(x)的图象是顶点为

P(3,4),且过点 A(2,2)的抛物线的一部分.
(1)求函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式; (2)在直角坐标系中画出函数 f(x)的草图; (3)写出函数 f(x)的值域. 【答案】(1)设顶点为 P(3,4),且过点 A(2,2)的抛物线的方程为 y=a(x-3) +4,将(2,2) 代入可得 a=-2, ∴y=-2(x-3) +4,即 y=-2x +12x-14. 设 x<-2,则-x>2.
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2 2 2

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又 f(x)为偶函数,

f(x)=f(-x)=-2×(-x)2-12x-14,
即 f(x)=-2x -12x-14. ∴函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式为
2

f(x)=-2x2-12x-14.
(2)函数 f(x)的图象如图所示.

(3)函数 f(x)的值域为(-∞,4]. 20.乙:定义在[-1,1]上的奇函数 f (x ) ,已知当 x ?[?1,0] 时, f ( x ) ? (Ⅰ)求 f (x ) 在[0,1]上的最大值; (Ⅱ)若 f (x ) 是[0,1]上的增函数,求实数 a 的取值范围.

1 a ? (a ? R ). 4x 2x

1 a ? ? x ? 4x ? a ? 2x ?x 【答案】(Ⅰ)设 4 2 x x ? f (? x) ? ? f ( x),? f ( x) ? a ? 2 ? 4 , x ? [0,1]. x ? [0,1], 则 ? x ? [?1, 0], f (? x) ?
? f ( x) ? a ? 2x ? 4x , x ?[0,1].
令t ? 2 x , t ? [1, 2], a a2 ? g (t ) ? a ? t ? t 2 ? ?(t ? )2 ? 2 4
a 当 ? 1, 即a ? 2, g (t ) max ? g (1) ? a ? 1; 2 a a a2 当1 ? ? 2, 即2<a<4时,g (t ) max ? g ( ) ? ; 2 2 4 当a ? 2, 即a ? 4时,g (t ) max ? g (2) ? 2a ? 4; 综上:当a ? 2时,f(x)最大值为a-1, a2 当2<a<4时,f(x)最大值为 , 4
当 a≥ 4 时,f(x )的最大值为 2a-4. (Ⅱ)因为函数 f(x)在[0,1]上是增函数, 所以

f ' ( x) ? a ln 2 ? 2x ? ln 4 ? 4x ? 2x ln 2(a ? 2 ? 2x ) ? 0,

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? a ? 2 ? 2 x ? 0恒成立,a ? 2 ? 2 x ? 2 x ? [1, 2],? a ? 4
21. 机床厂 2001 初用 98 万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保 养费用 12 万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加 4 万元,该机床使 用后,每年的总收入为 50 万元,设使用 x 年后数控机床的盈利额为 y 万元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式;(2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值); (3)使用若干年后,对机床的处理方案有两种: (Ⅰ)当年平均盈利额达到最大值时,以 30 万元价格处理该机床; (Ⅱ)当盈利额达到最大值时,以 12 万元价格处理该机床. 请你研究一下哪种方案处理较为合理?请说明理由 【答案】(1)依题得: y ? 50 x ? [12 x ? (2)解不等式 ?2 x
2

x( x ? 1) ? 4] ? 98 ? ?2 x 2 ? 40 x ? 98( x ? N * ) 2

? 40x ? 98 ? 0得10 ? 51 ? x ? 10 ? 51

? x ? N * ,?3 ? x ? 17 ,故从第 3 年开始盈利.
y 98 98 ? ?2 x ? 40 ? ? 40 ? (2 x ? ) ? 40 ? 2 2 ? 98 ? 12 x x x 98 当且仅当 2x ? 时,即 x ? 7 时等号成立. x
(3)(Ⅰ)?

? 到 2008 年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利 12 ? 7 ? 30 ? 114万元 .
(Ⅱ) y ? ?2x
2

? 40x ? 98 ? ?( x ?10)2 ?102,当x=10时,ymax ? 102 ,

故到 2011 年,盈利额达到最大值,工厂获利 102 ? 12 ? 114万元 . 盈利额达到的最大值相同,而方案Ⅰ所用的时间较短,故方案Ⅰ比较合理. 22.已知 2 ? 256且 log 2 x ?
x
x

1 x ,求函数 f ( x) ? log2 ? log 2 2

2

x 的最大值和最小值 2

1 ? log 2 x ? 3 2 3 1 f ( x) ? (log 2 x ? 1) ? (log 2 x ? 2) ? (log 2 x ? ) 2 ? 2 4 3 1 当 log 2 x ? , f ( x ) min ? ? ,当 log 2 x ? 3, f ( x)max ? 2 2 4
【答案】由 2 ? 256 得 x ? 8 , log2

x ? 3即

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