nbhkdz.com冰点文库

三角恒等变换的常用技


三角恒等变换的常用技巧
在不改变结果的前提下,运用基本公式及结论,从角、名、次方面入手,把一个三角函数式转 化成结构比较简单、便于研究的形式,这种变形叫做三角恒等变换. 三角恒等变换的常见变换技巧归纳如下: 题型一:常值代换(特别是“1”的代换) 【知识链接】
1 ? sin 2 ? cos 2 ? ? t a n ? sec 2 ? ? tan 2 ? ?

csc 2 ? ? cot 2 ? . 4

?

【巩固与应用】 1. 若 x ? (
3? 5? , ) ,则 1 ? sin x 可化为( 2 2 4



D
x ? D. 2sin( ? ) 2 4

x ? A. 2sin( ? ) 2

x ? B. 2 cos( ? ) 2 4

x ? C. 2cos( ? ) 2 4

2.已知 tan? = 2 ,求值: 2sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? . 题型二:公式变形 【知识链接】 tan ? ? t a?n ? ? ( 1 ? t a n ?t a n ? ? ) t. a ?n ( ) 【巩固与应用】 1.化简: tan10? tan 20? ? tan 20? tan 60? ? tan10? tan 60? . 2. (1)已知 A ? B ? ? 4 ,求证: (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 ; (2)化简: (1 ? tan1? )(1 ? tan 2? ) ?(1 ? tan 44? )(1 ? tan 45? ) . 题型三:升次降次 【知识链接】 2sin 2 ? ? 1 ? cos 2? , 2 cos 2 ? ? 1 ? cos 2? , cos 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2? , 2 sin ? cos ? ? sin 2? . 4sin 3 ? ? 3sin ? ? sin 3? , 4 cos3 ? ? cos 3? ? 3cos ? . 上面公式正用降次,反用升次. 【巩固与应用】 1.若 ?2? ? ? ? ? A. sin
1 ? cos(? ? ? ) 3? ,则 的值是( 2 2



?
2

B. cos

? 2

C. ? sin

?
2

D. ? cos

?
2

2.求值: cos4

π π ? sin 4 ? _____. 8 8

3.求值: sin 2 20? ? cos 2 50? ? sin 20? cos 50? . 4. (08 宁夏、海南理 7)
3 ? sin 70? ? 2 ? cos2 10?
1

A. 1 2

B. 2 2

C.2

D. 3 2

5. (07 陕西理 4)已知 sin α ? 5 5 ,则 sin 4 α ? cos 4 α 的值为 A. ?1 5 B. ?3 5 C. 1 5 D. 3 5

π 5π ? 3π π? ? ? 6.求函数 y ? sin x ? sin x ? cos x ? 的单调区间。增 ?kπ ? , kπ ? ? ,减 ?kπ ? , kπ ? ? k ? Z 8 8 8 8? ? ? ?

7.已知 cos(π 4 ? x) ? 3 5 , 17π 12 ? x ? 7π 4 ,求

sin 2 x ? 2sin 2 x 28 的值。结果 1 ? tan x 75

π? ? 8.已知函数 f ( x) ? 2cos x sin ? x ? ? ? 3 sin 2 x ? sin x cos x 3? ? (1)求:函数 f ( x) 的最大值及最小值; (2)求:函数 f ( x) 的最小正同期、单调递增区间; (3)该函数图像可由 y ? sin 2 x 图像作怎样变化而得到。

题型四:公式活用 【知识链接】 公式正用、公式逆用、公式变形后使用 【巩固与应用】
? ? ? ? ? ? 1.求值: tan10 tan 20 ? tan 20 tan 60 ? tan 60 tan10 ?

1

2.已知 ? 为第三象限角,且 sin 4 θ ? cos4 θ ? A. 2 2 3 B. ?2 2 3

5 , 那么 sin 2θ 等于( A ) 9
D. ?2 3

C. 2 3

3.在△ ABC 中,若 sin A sin B ? cos A cos B + sin A cos B ? cos A sin B ? 2 , 则△ ABC 为 4.函数 A. 4? . 等腰直角三角形 ) C

y ? sin 2 x ? cos2 x ? 2 的最小正周期是(
B. 2? C. π D. π 2

5. (06 全国Ⅱ理 10)若 f (sin x) ? 3 ? cos 2 x ,则 A. 3 ? cos2x B. 3 ? 2sin 2 x

f (cos x) 等于

C

C. 3 ? cos2x

D. 3 ? 2sin 2 x .

6. (07 浙江理 12)已知 sin ? ? cos ? ?

? 3? 1 ,且 ? ? ? ,则 cos 2? 的值是 2 4 5

题型五:弦切互化 【知识链接】 能实现转化的公式有: tan ? ? 【巩固与应用】
2

1 ? cos 2? sin 2? sin ? , tan ? ? . ? sin 2? 1 ? cos 2? cos ?

1. 求值: (tan 5? ?

1 sin 20? ) ? tan 5? 1 ? cos 20?

.-2 .

2. 求值: sin 50? (1 ? 3 tan10? ) ?
1?

1 ? tan 2α cos 2α 3.已知 tan(45 ? α) ?1 2 ,则 ? 1 1? ? tan 2α cos 2α
?



4.求值:

1 ? 4cos10? . tan10?
1 ? tan x 2) ? 4 cos 2 x . tan x 2

5.求证: sin 2 x(

6.若 sin θ ? cos θ ? 题型六:辅助角变换 【知识链接】

2 1 ,则 tan θ + ? 2 tan θ



-4

1.辅助角公式: a sin x ? b cos x ? a2 ? b2 sin( x ? ? ) . (其证明附后)

? ? ? 2.推论: sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) ; 3 sin x ? cos x ? 2sin( x ? ) ; sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) ; 4 6 3
cos x ? s ixn ? 2 cx ? o s ( ; 3)cos x ? sin x ? 2cos( x ? ) ; cos x ? 3 sin x ? 2cos( x ? ) . 4 6 3
1 ? tan x ? 1 ? tan x ? ? tan(x ? ) 及 ? tan( ? x) 引入. 1 ? tan x 4 1 ? tan x 4

?

?

?

3.利用公式 【巩固与应用】

? 1. 函数 y ? 3 sin( ? 2 x) ? cos 2 x 的最小值是( 3
A. ? 3 ? 1 B. ?1 C. ? 3

) D.0

2.把函数 y ? cos x ? 3 sin x 的图像向左平移 m(m ? 0) 个单位,所得的图像关于 y 轴对称则 m 的最小正值是( A. ) B.

? 6

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期为_____. sin 2 x ? cos 2 x 4.求函数 y ? sin x ? (sin x ? cos x) 的单调区间.

3.函数 y ?

3.当 ?

? x ? 时,函数 f ? x ? ? sin x ? 3 cos x 的值( D ) 2 2 A.最大值是 1,最小值是-1 B.最大值是 1 最小值是 ?1 2
3

?

?

C.最大值是 2 最小值是-2 D.最大值是 2 最小值是-1 4.与 y ? 2sin x ? cos x 的周期、振幅都相同的函数是( A ) A. y ? 5 sin x B. y ? 2sin x C. y ? 3 cos x D. y ? sin x cos x

题型七:角的和差拆分变换 【知识链接】 1.原则:化未知为已知. 2.拆分技巧:再如 10? ? 30? ? 20? .

? ? ? ? ? ? 如 2α ? (α ? β ) ? (α ? β ) ; ( ? ? ) ? ? (? ? ) , ( ? ? ) ? ? ( ? ? ) , 4 2 4 3 2 6
α ? ( α ? β ) ? β ? (α ? β ) ? β ?

α ? β α? β β ?α β ?α 等. ? ? ? 2 2 2 2 α α α 的倍角; 是 α 的半角,同时也是 的 2 2 4

3.半角与倍角的相对性:如 α 是 2α 的半角,同时也是 倍角; 【巩固与应用】 例 已知 sin(2α ? β) ?

3 12 ?π ? ? π ? , sin β ? ? ,且 α ? ? , π ? , β ? ? ? ,0 ? ,求 sin α 的值. 5 13 ?2 ? ? 2 ?
3? ? 3 ? 12 , ? ) ,sin(? ? ? ) ? ? ,sin(? ? ) ? ,则 c o s ( ??) ? 4 4 5 4 13

1. (06 重庆理 13)已知 ? , ? ? (



? 2 ? ? 3? 2. (08 天津理 17)已知 cos( x ? ) ? , x ?? , 4 10 ?2 4 值.

?? ? ? (1)求的 sin x 值; (2)求 sin ?2 x ? ? 的 ?. 3? ? ?


1 3 3. (07 江苏理 11)若 cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? ,则 tan ? ? tan ? ? 5 5 π 4 7π 4. (08 山东理 5)已知 cos(α ? ) ? sin α ? 3 ,则 sin(α ? ) 的值是 6 5 6

A. ?2 3 5

B. 2 3 5

C. ?4 5

D. 4 5

? ? 5. (08 上海春理 6)化简: cos( ? ? ) ? sin( ? ? ) ? . 3 6 6. (08 江苏理 15)在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α 、 β ,它们的终边
分别与单位圆相交于 A 、 B 两点.已知 A 、 B 的横坐标分别为 2 10 、 2 5 5 . (1)求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 ? ? 2? 的值. 7.已知 0 ? ? ?

?
2

? ? ? ? , sin ? ?

3 4 , cos(? ? ? ) ? ? ,则 sin ? ? 5 5

4

A.0 8.

B.0 或

24 25

C.

24 25

D. ? )

24 25

sin 7? ? cos15? sin8? 的值等于( cos 7? ? sin15? sin8?

A. 2 ? 3

B.

2? 3 2

C. 2 ? 3
tan ?? ? ? ? tan ? ?

D. .

2? 3 2

9.设 sin(? ? 2? ) ? 3sin ? ,则 10.已知 tan ?? ? ? ? ? A. 13 18

?? 1 ?? 2 ? ? , tan ? ? ? ? ? ,那么 tan ? ? ? ? 的值是( 5 4? 4 4? ? ?
C. 13 22 D. 3 18

B )

B. 3 22

11.已知 ? ,? 是锐角, cos α ? 4 5 , tan(α ? β ) ? ?1 3 ,求 cos ? 的值。 cos β ? 题型八:和积互化(不要求) 【知识链接】 1.积化和差公式 2.和差化积公式 3.和 sin x ? cos x 积 sin x ? cos x 互化. 【巩固与应用】 1. 如果 ? ? (0, A.
3 2

9 10 50

?
2

) , sin ? ? cos? ?

2 ,则 cos2? 为( 2


3 4

B. ?

3 2

C. ?

3 2

D. ?

2.已知 sin ? ? cos ? ? A. ? 3 3

1? 3 , ? ? (0,? ) 那么 tan? 的值是( 2

) D. 3

B. ? 3
2? 2? ? A)+cos2 ( ? A) . 3 3

C. 3 3

3.化简: cos2 A+cos2 (

4.已知 x 是第二象限角,且 sin x ? cos x ? a ( a ? 1 ) ,求下列各式的值: (1) tan x ? cot x ; (2)
1 ? sin x 1 ? cos x ? . 1 ? sin x 1 ? cos x

5.已知 tan ? , tan ? 是方程 x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 的两根,求

cos 2? ? cos 2? 的值. sin 2? ? sin 2?
1 1 ? 2 A?C ? ? .求 cos 的 cos A cos C cos B 2

6.已知三角形 ABC 中的三个内角 A, B, C 满足 A ? C ? 2B , 值。 解法(I) :由题设条件 B ? 60? , A ? C ? 120?
5

? 2 1 ? ?2 2? ? cos 6 ?0 c Ao s A?C A?C ?2 c o s ? cos ?? 2 2 ?

1 ?? 2 ? 2 Cc o s 2A [c ?o Cs ? (

cA o? s

C c? o? s

2 A2 c C os )]

cos

A )? C cos(

将 cos

A?C 1 1 ? cos 60? ? cos( A ? C ) ? ? 2 2 2

A?C 2 ?c o s ? ? 2 2

2 co As ?( C
A?C ?1 2

)

?由 cos( A ? C) ? 2cos2
2 A?C ?4 3 c o s ? 2

A?C 2 cos ? 2

?3 2

0

A? C A? C (2 cos ? 2 ) ( 2 2 c o s? ? ? 3 ) 0 2 2 解法(II) :因为 B ? 60? , A ? C ? 120?

A ? C 2 2 c ?o s? 2

?

3

? A C2 0 ? cos 2 2

设α ? 故

A?C 2

则 A ? C ? 2α

? A ? 60?? α , C ? 60?? α

1 1 1 1 ? ? ? cos A cos C cos(60? ? α ) cos(60? ? α )

?

1 1 3 cos α ? sin α 2 2

?

1 1 3 cos α ? sin α 2 2

?

cos α cos α ? 1 3 2 3 2 cos α ? sin α cos 2 α ? 4 4 4

?

cos α 3 cos α ? 4
2

?

? 2 cos α ? ? ?2 2 ? 4 2 cos 2 α ? 2cos α ? 3 2 ? 0 cos B cos 2 α ? 3 4
3 ) (α 2?c o s ? ?2 ) α ? 0 2 co ?s 2 α? ?3 A?C 2 ( c ? os ?) c o s 2 2 2 2

?( 2 2 c α o? s

附录一

起点公式的证明

1.两角和余弦公式的推导 2.两角和正弦公式的推导 3.半角公式 tan

?
2

?

sin ? 1 ? cos? ? 的推导 1 ? cos? sin ?

4.辅助角的推导及其推论
a sin x ? b cos x ? a 2 ? b2 sin( x ? ? ) , tan ? ?

a b ; b cos x ? a sin x ? a 2 ? b2 cos( x ? ? ) , tan ? ? . b a

由 asin x ? bcos x 的系数 a , b 可得点 P ( a, b) (一定要注意 a 与 b 顺序) ,射线 OP ( O 为坐标原点)可作为某个 角的终边,设为 ? ,于是有:

6

tan ? ?

b a b , cos? ? ? a ? a2 ? b2 cos? , sin ? ? ? b ? a 2 ? b2 sin ? 2 2 2 2 a a ?b a ?b

所以

as i n x ?

b c o ? xs

2

a ?2

b (? s x i n? c o ? s x

2 2 c ?o s ? a s i n b? )? x .

s i n (
b . a

)

其中, ? 叫做辅助角,它所在象限取决于点 P (a, b) 所在象限,它的一个函数值为: tan ? ? 推论:

s ix n?
cox s?

cx o?s
s ix? n

2x ? s i; n (3 sin x ? ) cos x ? 2sin( x ? ) ; sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) ; 6 3 4
2 cx ?o s (; 3 cos ) x ? sin x ? 2cos( x ? ) ; cos x ? 3 sin x ? 2cos( x ? ) . 4 6 3

?

?

?

?

?

?

口诀:正余化正,加减不变,余正化余,加减颠倒,前 6 后 3. 附录二 些常用的结果

5.

1. (cos ? sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ? sin 2? . 2.
sin ? ? cos? 1 ? tan ? ? sin ? ? cos ? tan ? ? 1 ? ? ? tan(? ? ) , ? ? tan(? ? ) . sin ? ? cos? 1 ? tan ? 4 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 4 1 2 1 2cos 2? ? ?? , tan ? ? . tan ? sin 2? tan ? sin 2?

3. tan ? ?

附录三

万能公式

α α α 1 ? tan 2 2tan 2 , cos α ? 2 , tan α ? 2 . sin α ? α α α 1 ? tan 2 1 ? tan 2 1 ? tan 2 2 2 2 2tan
1. 已知 附录四
1 ? tan x ? 3 ? 1 ,求 sin2x 的值. 1 ? tan x

半角公式

sin
附录五

α 1 ? cos α α 1 ? cos α α 1 ? cos α sin α 1 ? cos α , cos ? ? , tan ? ? . (符号由半角终边位置决定) ?? ? ? 2 2 2 2 2 1 ? cos α 1 ? cos α sin α
衍生二倍角公式

cos 2? ? sin 2(? ? ) ? 2cos(? ? )sin(? ? ) , 4 4 4 s i n? 2? c o? s? 2( 4

?

?

?

?

2 ? ) ? co ?s ( ? 4

?

2

? ? ) ? sin ? (
4

2

? )

?

? 2 c o? s (? 4

?2 ) ? 1 .1 ? 2sin ( 4

?

)

附录六 附录七

三倍角公式 和积互化公式

sin 3? ? 3sin ? ? 4sin 3 ? , cos3? ? 4cos 3 ? ? 3 .

积化和差公式: 7

1 1 sin α cos β ? [sin(α ? β ) ? sin(α ? β )] , cos α sin β ? [sin(α ? β ) ? sin(α ? β )] , 2 2 1 1 cos α cos β ? [cos(α ? β ) ? cos(α ? β )] , sin α sin β ? ? [cos(α ? β ) ? cos(α ? β )] . 2 2

和差化积公式:
sin θ ? sin φ ? 2sin c oθ s? cφ o? s θ ?φ θ ?φ θ ?φ θ ?φ , sin θ ? sin φ ? 2cos , cos sin 2 2 2 2 θ ?φ 2 cos 2 θ ?φ θ ?φ θ ?φ , . co s cos θ ? cos φ ? ?2sin sin 2 2 2

8


三角恒等变换的常用技

三角恒等变换的常用技_数学_高中教育_教育专区。三角恒等变换的常用技巧在不改变结果的前提下,运用基本公式及结论,从角、名、次方面入手,把一个三角函数式转 化成...

三角恒等变换常用的方法与技巧

三角恒等变换常用的方法与技巧_数学_高中教育_教育专区。三角恒等变换常用的方法与技巧 [摘要]本文阐述了常用的三角恒等变换的方法与技巧 ,即角的变换,函数名称 变换...

三角恒等变换的常见技巧

三角恒等变换的常见技巧_高一数学_数学_高中教育_教育专区。三角恒等变换的常见技巧注:有*的内容选看!一、教学内容: 三角恒等变换的常见技巧 二、学习目标 1、...

三角恒等变换的常用技巧

三角恒等变换的常用技巧_数学_高中教育_教育专区。高考数学三角恒等变换的常用方法肖新勇 解答三角函数问题,几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化,将隐性问题明朗化。...

三角恒等变换的常见技巧(师)

三角恒等变换的常见技巧(师)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。三角恒等变换常见技巧 三角恒等变换的常见技巧一、核心技巧方法 1、三角恒等变换中的“统一”思想:...

三角恒等变换的几种常见技巧

三角恒等变换的几种常见技巧_林学_农林牧渔_专业资料。三角恒等变换的几种常见...程思想,化归与转化思想,等等.所以同学们熟练掌握三角恒等变 换的一般方法和技...

三角恒等变换的常见技巧(生)

三角恒等变换的常见技巧一、核心技巧方法 1、三角恒等变换中的“统一”思想:三角恒等变换的主要目的是异名化同名、异次化同 次、异角化同角、异构化同构,即化异...

常用三角恒等变换技巧(生)

常用三角恒等变换技巧(生)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。常用三角恒等变换技巧 常用三角恒等变换技巧解答三角函数问题,几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化,将...

常用三角恒等变换技巧(师)

常用三角恒等变换技巧(师)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。常用三角恒等变换技巧 常用三角恒等变换技巧解答三角函数问题,几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化,将...