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四川省成都外国语学校2014届高三上学期12月月考试题 数学(文) Word版含答案


成都外国语学校高 2014 届 12 月月考

文 科 数 学
命题人:李吉贵 满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考试务必先认真核对条形码上的姓名,准考证号和座位号,无误后将本人姓名、准考证号 和座位号填写在相应位置, 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,

再选涂其它答案标号; 3.答题时,必须使用黑色签字笔,将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上; 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效; 5.考试结束后将答题卡交回,不得折叠、损毁答题卡。 审题人:李斌

第Ⅰ卷(单项选择题
x

共 50 分)


一、选择题(本大题 10 个小题,每题 5 分,共 50 分,请将答案涂在答题卷上) 1、若集合 M ? { y | y ? 2 , x ? R} ,集合 S ? {x | y ? lg( x ? 1)} ,则下列各式中正确的是( A、 M ? S ? M B、 M ? S ? S C、 M ? S ) D、 2 ) D、100 ) 开始 输入 p n=1 为 S=0 n=n+1 D、 M ? S ? ? 2、设 i 是虚数单位,则 (1 ? i ) ?

2 等于( i

A、0 B、 4 C、 2 3、设等差数列 ?a n ?的前项和为 S n ,若 a 4 ? 9 , a6 ? 11 ,则 S 9 等于( A、180 B、90 C、72 4、要得到一个奇函数,只需将 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的图象(

? 个单位 6 ? C、向左平移 个单位 3
A、向右平移

? 个单位 3 ? D、向左平移 个单位 6
B、向右平移

5、已知正方体 ABCD ? A B1C1D1 的棱长为 a , AM ? 1 MC1 ,点 N 1

???? ?

???? ?

2

B1B 的中点,
则 MN ? ( A、 ) B、

21 a 6

6a 6

C、 15 a

6

D、 15 a

S=S+2?n n<p?
? 否 是

3

6、执行如图的程序框图,如果输入 p=8,则输出的 S=( ) 63 127 127 255 A、 B、 C、 D、 64 64 128 128 7、已知 a ? 0, 且 a ? 1 ,函数 y ? log a x, y ? a , y ? x ? a 在同一坐标
x

输出 S 结 束 系中

的图象

可能是(
A


B C D

8、某几何体的三视图如图所示,当 xy 最大时,该几何体的体积为(



5

x

y

7
正视图 侧视图 俯视图

A、 2 7

D、 6 7 1 3 1 2 9、 已知 a ? 2 b ? 0, 且关于 x 的函数 f ?x ? ? x ? a ? x ? a ? bx 在 R 上有极值,则 a 与 b 的夹角 3 2 范围是( A、 ?0, ) B、 ?

B、 3 7

C、 4 7

?? ? ? ? 2? ? ,? ? D、 ? , ? ?6 ? ?3 3 ? 10、已知 R 上的连续函数 g(x)满足:①当 x ? 0 时, g '( x) ? 0 恒成立( g '( x) 为函数 g ( x) 的导函数);②对 ? ?? ? ? 6? ?? ? ,? ? ?3 ?
C、 ? 任意的 x ? R 都有 g ( x) ? g (? x) ,又函数 f ( x) 满足:对任意的 x ? R ,都有 f ( 3 ? x) ? f ( x ? 3) 成 立 。 当 x ? [? 3 ,
3 3 时 , f ( x) ? x ? 3 x。 若 关 于 x 的 不 等 式 g[ f ( x) ? g (2a ? a 2 ) ] ] ? 对

3 3 ) x ? [? ? 2 3, ? 2 3] 恒成立,则 a 的取值范围是( 2 2 A、 a ? R B、 0 ? a ? 1 1 3 3 1 3 3 ?a?? ? C、 ? ? D、 a ? 0 或 a ? 1 2 4 2 4

第Ⅱ部分 (非选择题

共 100 分)

二.填空题(本大题 5 个小题,每题 5 分,共 25 分,请把答案填在答题卷上)

3 , ? ),sin ? ? , 则 tan ? = 2 5 1 ? x ? y ? 3, ? 12、设 x , y 满足条件 ? 则点 ( x, y ) 构成的平面区域面积等于 ?? 1 ? x ? y ? 1,
11、已知 ? ? ( 13、已知 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, a ?

?

.

2 , A ? 45? , B ? 60?,那么 ?ABC 的面积

S ?ABC ? ________ 。
14、已知函数 f(x)=ax2+(b+1)x+b?1,且 a?(0,3),则对于任意的 b?R,函数 F(x)=f(x)?x 总有两个不同的零点的 概率是 15、若对任意 x ? A , y ? B , A 、 B ? R )有唯一确定的 f ( x, y ) 与之对应,称 f (x, y ) 为关于 x 、 y 的 ( 二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数 f ( x, y ) 为关于实数 x 、 y 的广义“距离”: (1)非负性: f ( x, y) ? 0 ,当且仅当 x ? y 时取等号; (2)对称性: f ( x, y ) ? f ( y, x) ; (3)三角形不等式: f ( x, y ) ? f ( x, z ) ? f ( z , y ) 对任意的实数 z 均成立.
2 今 给 出 个 二 元 函 数 :① f ( x, y ) ?| x ? y | ; ② f ( x, y ) ? ( x ? y ) ; ③ f ( x, y ) ?

x? y ;

④ f ( x, y) ? sin( x ? y) . 则 能 够 成 为 关 于 的 x 、 y 的 广 义 “ 距 离 ” 的 函 数 的 所 有 序 号 是 . 三.解答题(本大题 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 16、 (12 分)集合 A ? { y | y ? sin x ? cos( x ?

?

6 p : x ? A ,命题 q : x ? B ,且 p 是 q 必要不充分条件,求实数 m 的取值范围。

) ? m, x ? R} , B ? { y | y ? ? x 2 ? 2 x, x ? [1, 2]} ,若命题

17、 (12 分)三棱锥 P?ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC。 (1)证明:平面 PAB⊥平面 PBC; (2)若 PA ?

6 , AC ? 3 ,PB 与底面 ABC 成 60° E , F 分 角, PB 与 PC 的中点, S 是线段 EF 上任意一动点(可与端点重 多面体 SABC 的体积。

P 别 S F A C B E 是 合) 求 ,

18、 (12 分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4。 (Ⅰ)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m ,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的 编号为 n ,求 n ? m +2 的概率。 19、 (12 分)如图,海上有 A , 两个小岛相距 10 km ,船 O 将保持观望 A 岛和 B 岛所成的视角为 60? , B 现从船 O 上派下一只小艇沿 BO 方向驶至 C 处进行作业,且 OC ? BO .设 AC ? x km 。 (1)用 x 分别表示 OA2 ? OB2 和 OA ? OB , D 并求出 x 的取值范围; A (2)晚上小艇在 C 处发出一道强烈 的光线照

60?
C O
(第 19 题图)

B

射 A 岛,B 岛至光线 CA 的距离为 BD ,求 BD 的最大值.

20、 (13 分)已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 1, 且点 P(an , an ?1 )(n ? N ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上。
*

(1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)若函数 f (n) ? (3)设 bn ?

1 2 3 n ?n ? N , 且n ? 2?, 求函数 f (n) 的最小值; ? ? ??? n ? a1 n ? a 2 n ? a3 n ? an

1 , S n 表示数列 ?bn ?的前项和.试问:是否存在关于 n 的整式 g ?n ? ,使得 an 写出 g ?n ? 的 S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ?1 ? ?S n ? 1? ? g ?n ? 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立?若存在,

解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由。

21、 (14 分) 已知函数 f ( x ) ? a ln x ? ax ? 3( a ? R ) . (I)若 a ? ?1 ,求函数 f ( x) 的单调区间;

ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 ? ? ? ...? ? ( n ? 2,n ? N * ) 2 3 4 n n ? (Ⅲ) 若 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 点 (2, f (2)) 处 的 切 线 的 倾 斜 角 为 45 , 对 于 任 意 的 t ? [1, 2] , 函 数 m g ( x) ? x3 ? x 2 [ f '( x) ? ]( f '( x) 是 f ( x) 的导函数)在区间 (t , 3) 上总不是单调函数,求 m 的取值范 2
(Ⅱ) 求证: 围。

成都外国语学校高 2014 级数学 12 月月考文科答案 高考资源网
12、2 13、

1-10

: ADBCA CCABD

11 、

?

3 4

3? 3 4

14、

1 3

15、①

16、解: y ? sin x ? cos( x ?

?
6

) ? m ? sin x ?

? 3 sin( x ? ) ? m ? [m ? 3, m ? 3] --------------------------5 分 6 故 A ? [m ? 3, m ? 3] -------------------------6 分
y ? ? x 2 ? 2 x 在 x ? [1, 2] 为减函数,故 B ? [0,1] ,------------------8 分 又命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B , p 是 q 必要不充分条件,故 B ? A -----------10 分 ? m ? 3 ? 0 且 m ? 3 ? 1 ,从而 1 ? 3 ? m ? 3 ------------12 分,
17、(1)证明:∵PA?面 ABC,?PA?BC, ∵AB?BC,且 PA∩AB=A,?BC?面 PAB 而 BC?面 PBC 中,?面 PAB?面 PBC. ……5 分 (2)解:PB 与底面 ABC 成 60° 角, A C P F S B

?

3 1 3 3 cos x ? sin x ? m ? sin x ? cos x ? m 2 2 2 2



即 ?PBA ? 60 , PA ? 6 ,―――――6分
?

在 Rt ?PAC 中, AB ? 2 ,又 AC ? 3 , 在 Rt ?ABC 中, BC ? 1 。―――――8分 E、F分别是PB与PC的中点,? EF // 面 ABC ――――――9分

1 1 1 3 ――――――――12分 ?VS ? ABC ? VE ? ABC ? ? AB ? AC ? PA ? 3 2 2 6
18、解:(Ⅰ)从袋子中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4), (2,3),(2,4),(3,4)共 6 个.………………………………3 分 从袋中随机取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有(1,2),(1,3),有两个. 因此所求事件的概率为

2 1 = . 6 3

………………………………6 分

(Ⅱ)先从袋中随机取一个球,记下编号为 m ,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为 n , 其一切可能的结果(m,n)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4), 共 16 个. ……………………………………………9 分 满足条件 n ≥ m +2 的事件为(1,3),(1,4),(2,4)共 3 个,

3 , 16 3 13 故满足条件 n<m+2 的事件的概率为 1- = .………………………………12 分 16 16
所以满足条件 n ≥ m +2 的事件的概率 P= 19、解: (1)在 ?O C 中,?AOC ? 120? , AC ? x ,由余弦定理得,OA2 ? OC 2 ? 2OA ? OC ? cos120? ? x2 , A 又 OC ? BO ,所以 OA2 ? OB2 ? 2OA ? OB ? cos120? ? x 2 ①, 在 ?OAB 中, AB ? 10 , ?AOB ? 60? 由余弦定理得, OA2 ? OB2 ? 2OA ? OB ? cos60? ? 100 ②, ………………3 分 x 2 ? 100 x 2 ? 100 ①+②得 OA2 ? OB 2 ? ,①-②得 4OA ? OB ? cos60? ? x2 ? 100 ,即 OA ? OB ? ,……4 分 2 2 x 2 ? 100 x 2 ? 100 又 OA2 ? OB 2 ≥2OA ? OB ,所以 ,即 x 2 ≤300 , ≥2? 2 2 x 2 ? 100 2 又 OA ? OB ? ………6 分 >0 ,即 x >100 ,所以 10< x ≤10 3 ; 2 1 3( x 2 ? 100) (2)易知 S?OAB ? S?OAC ,故 S?ABC ? 2S?OAB ? 2 ? ? OA ? OB sin 60? ? , ………8 分 2 4 3( x 2 ? 100) 1 又 S?ABC ? ? AC ? BD ,设 BD ? f ( x) ,所以 f ( x) ? , ? (10 , 3] , ………………9 分 x 10 2x 2 3 100 10 又 f ?( x) ? 则 (1 ? 2 ), f ( x) 在 (10 , 3] 上是增函数, 2 x 所以 f ( x) 的最大值为 f (10 3) ? 10 ,即 BD 的最大值为 10. ……………………12 分

10 10 (利用单调性定义证明 f ( x) 在 (10 , 3] 上是增函数, 同样给满分; 如果直接说出 f ( x) (10 , 3] 上 是增函数,但未给出证明,扣 2 分. ) 20、 解:() 点P(an , an ?1 )在直线x ? y ? 1 ? 0上,即an ?1 ? an ? 1, 且a1 ? 1 1?

? 数列?an ? 是以1为首项, 1为公差的等差数列。 ? an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n(n ? 2), a1 ? 1也满足 ? an ? n.

(2) f (n) ? ?

1 2 n ? ?? ? , n ?1 n ? 2 2n 1 2 3 n ?1 n n ?1 f (n ? 1) ? ? ? ?? ? ? ? , n?2 n?3 n?4 2n 2n ? 1 2n ? 2 ? f (n ? 1) ? f (n) ? 0, 5 ? f (n)是单调递增的,故f (n)的最小值是f (2) ? 。 6

(3) bn ? ?

1 1 1 1 1 ? S n ? 1 ? ? ? ? ? ,? S n ? S n ?1 ? (n ? 2), n 2 3 n n 即nSn ? (n ? 1) S n ?1 ? S n ?1 ? 1,? (n ? 1) S n ?1 ? (n ? 2) S n ? 2 ? S n ? 2 ? 1,??,S 2 ? S1 ? S1 ? 1,

? nSn ? S1 ? S1 ? S 2 ? ? ? S n ?1 ? n ? 1, ? S1 ? S 2 ? ? ? S n ?1 ? nS n ? n ? ( S n ? 1) ? n(n ? 2) ? g (n) ? n. 故存在关于n的整式g (n) ? n,使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立
法二:先由 n=2,n=3 的情况,猜想出 g(n)=n,再证明。 21、解:(Ⅰ)当 a ? ?1 时, f '( x) ?

( x ? 1) ( x ? 0) ,解 f '( x) ? 0 得 x ? (1,??) ;解 f '( x) ? 0 得 x ? (0,1) x f (x) 的单调增区间为 ?1,?? ? ,减区间为 ?0,1? (Ⅱ)证明如下: 由(Ⅰ)可知 当 x ? (1,??) 时 f ( x) ? f (1) ,即 ? ln x ? x ? 1 ? 0 , ∴ 0 ? ln x ? x ? 1 对一切 x ? (1,??) 成立 ln n n ? 1 ∵ n ? 2, n ? N * ,则有 0 ? ln n ? n ? 1 ,∴ 0 ? ? n n ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? (n ? 2, n ? N? ) 2 3 4 n 2 3 4 n n a (1 ? x) a (Ⅲ) ∵ f ' ( x) ? ( x ? 0) ∴ f ' (2) ? ? ? 1 得 a ? ?2 , f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3 x 2 m g ( x) ? x 3 ? ( ? 2) x 2 ? 2 x ,∴ g ' ( x) ? 3 x 2 ? (m ? 4) x ? 2 2 ? g ' (t ) ? 0 ' ∵ g (x) 在区间 (t ,3) 上总不是单调函数,且 g ? 0 ? ? ?2 ∴ ? ? g ' (3) ? 0

? g '(1) ? 0 37 ? 由题意知:对于任意的 t ? [1,2] , g '(t ) ? 0 恒成立, 所以, ? g '(2) ? 0 ,∴ ? ? m ? ?9 . 3 ? g '(3) ? 0 ?


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