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立体几何五心和线面角


五心:P 是三角形 ABC 所在的平面外一点,O 是 P 在三角形 ABC 的的射影。 (1) 若 PA=PB=PC,则 O 是△ABC 的___心?? (2) 若P到△ABC的三边的距离相等,则O是__心?? (3) 若PA、PB、PC两两垂直,则O是___心?? (4) 若△ABC是直角三角形,且PA=PB=PC,则O是△ABC的___心? (5) 若PA、PB、PC与平面A

BC成角都相等,则O是什么心????

例 1. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AA1、A1D1 的中点. 求: (1)D1B 与面 ABCD 所成角的余弦值; (2)EF 与面 ACC1A1 所成的角.

D1 __ F _ A1 __ E _ B1 __ D _

C _ 1 _

C _ B _

A _

例 2.已知空间四边形 ABCD 的各边及对角线相等,求 AC 与平面 BCD 所成角的余弦值. A _

C _ D _

B _

例 3.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱长为 2 ,底面三角形的边长为 1,求 BC1 与 侧面 ACC1A1 所成的角 B _
1

B _ 例 4. 设 A 在 平 面 B C D内 的 射 影 是 直 角 三 角 形 B C D的 斜 边 BD 的 中 点 O , A _

AC ? BC ? 1, CD ? 2
求(1) AC 与平面 BCD 所成角的大小;

O _ B _ D _

*例 8.如图所示,AO 是平面 ? 的一条斜线,AB 是 AO 在平面 ? 内的射影,AC 是平面 ? 内 经过 A 的一条直线,设 AO 与 AB 所成的角为 ? ,AB 与 AC 所成的角为 ? ,AO 与 AC 所 成的角为 ? ,求证: cos? ? cos? ? cos ? .

例 3(如图 4) 已知直线 OA,OB,OC 两两所成的角为 60° ,求直线 OA 与 面 OBC 所 , 成的角的余弦值。

A

B O C D

α

图4

3.AB⊥平面α 于 B,BC 为 AC 在α 内的射影,CD 在α 内,若∠ACD= 60? ,∠BCD= ) 45? ,则 AC 和平面α 所成的角为 ( (A) 15? (B) 30? (C) 45? (D) 60? 4.若斜线段 AB 与它在平面α 内射影的长之比是 2:1,则 AB 与平面α 所成角的大小 是 ( ) (A) 30? (B) 60? (C) 120 ? (D) 150 ? 二,点到面的距离。 1.平面 α 内的∠MON=60° ,PO 是 α 的斜线,PO=3,∠POM=∠PON=45° ,那么点 P 到 平面 α 的距离是( A. 3 ) 3 3 B. 4 C. 3 2 D. 3 3

2.在正三棱锥 P—ABC 中,三条侧棱两两互相垂直,侧棱长为 a,则点 P 到平面 ABC 的距离 为( A.a ) B. 2 a 2 C. 3 a 3 D. 3a

3.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AA1、BB1 的中点,G 为棱 A1B1 上的一点,且 A1G=λ(0≤λ≤1),则点 G 到平面 D1EF 的距离为( )

4.如图所示,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=1.若二面角 C—AB—C1 的大小为 60° ,则点 C 到平面 ABC1 的距离为________.

直接法:例 1. (1998 年全国高考题)已知斜三棱柱 ABC? A1B1C1 的侧面 A1ACC1 与 底面 ABC 垂直, ?ABC ? 90?, BC ? 2, AC ? 2 3 ,且 AA1 ? A1C, AA1 ? A1C ; (I)求侧棱 ( 求侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成二面角的大小;III) ( A 1 A 与底面 ABC 所成角的大小;II) 求顶点 C 到侧面 A1ABB1 的距离。

图1

二:找垂面法 例 2. 正三棱柱 ABC? A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 3 , A1C1 的 中点为 D。 (1)求证 BC1 // 平面 AB1D ; (2)求点 B 到平面 AB1D 的距离。

三:转化法(平行转化) (全国高考题)已知 ABCD 是边长为 4 的正方形,E、F 分别 是 AB、AD 的中点,GC 垂直于 ABCD 所在平面,且 GC=2,求点 B 到平面 EFG 的距离。 (2)等体积法转化: 例题:如图(1)四边形 ABCD 是梯形, ∠ABC=90°,SA⊥面 ABCD, SA=AB=BC=1,AD=

1 , 2

求点 A 到平面 SDC 的距离。

例题.如图 4,弧 AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED , FB = 5a . (1)证明: EB ? FD ; (2)求点 B 到平面 FED 的距离._w*w.k_s_5 u.c*o*m


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