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数学选修2-2第一章《§3 反证法(2)》导学案

时间:2015-03-12


《§3 反证法(2) 》导学案
班级:
学习目标 使学生了解反证法的基本原理;掌握运用反证法的一般步骤;学会用反证法证明一些典型问题.

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过 程

【知识回顾提升】 1.用反证法证明问题的本质 反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正 确的推理,导致矛盾,从而否定假设,达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论 的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为: (1)反设;(2)归谬;(3)结论. 也就是说,反证法是由证明 p ? q 转向证明: ? q ? r ? ? ? t,t 与假设或与某个真命题矛盾, ? q 为假,推出 q 为真的方法. 从逻辑角度看,命题“若 p 则 q”的否定是“若 p 则 ? q”由此进行推理,如果发生矛盾,那么“若 p 则 ? q”为假,因此可知“若 p 则 q”为真.可以看出,反证法与证逆否命题是不同的.由于受“反证法就是证逆 否命题”的错误影响,在否定结论后的推理过程中,往往一味寻求与原题设的矛盾,而不注意寻求其他形 式的矛盾,这样就大大限制和影响了解题思路. 归谬是反证法的关键 ,导出矛盾的过程没有固定的模式 ,但必须从反设出发,否则推导将成为无源 之水,无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定 理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾. 2.在证明的过程中如何反设 反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的. 反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下: (1)等于——不等于; (2)大于——小于等于; (3)小于——大于等于; (4)对所有 x 成立——存在某个 x 不成立; (5)至少有一个——一个也没有; (6)至多一个——至少两个; (7)至少 n 个——至多 n-1 个; (8)至多 n 个——至少 n+1 个; (9)p 或 q—— ? p 且 ? q; (10)p 且 q—— ? p 或 ? q. 【例题学习】 【例 1】证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 已知: 求证: 证明:

【例 2】如果 a>b>0,那么 a > b . 证明:假设 不成立,则 . 若 ,则 a=b,与已知 矛盾;若 ,则 a<b,与已知 故 . 【例 3】如果一个整数 n 的平方是偶数,那么这个整数 n 本身也是偶数,试证之. 矛盾,

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证明:

【例 4】证明:1, 3 ,2 不能为同一等差数列的三项. 证明:

【学习小结】 1.反证法的步骤 2.反证法中的反设和归谬 【反馈检测】 1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于 60 ? ”时,反设正确的是( A.假设三内角都不大于 60 ? B.假设三内角都大于 60 ? C.假设三内角至多有一个大于 60 ? D.假设三内角至多有两个大于 60 ? 2. 实数 a , b, c 不全为 0 等价于为( ). A. a , b, c 均不为 0 B. a , b, c 中至多有一个为 0 C. a , b, c 中至少有一个为 0 D. a , b, c 中至少有一个不为 0 1 1 1 3.设 a , b, c 都是正数,则三个数 a ? , b ? , c ? ( ). b c a A.都大于 2 B.至少有一个大于 2 C.至少有一个不小于 2 D.至少有一个不大于 2 4.用反证法证明命题“自然数 a , b, c 中恰有一个偶数”的反设为 5.给定实数 a,a≠0 且 a≠1,设函数 f(x)=

).

.

x ?1 1 (x∈R,x≠ ). a ax ? 1

求证:经过函数图像上任意两个不同点的直线不平行于 x 轴.

6.已知 0<a、b、c<1.求证: (1-a)b、 (1-b)c、 (1-c)a 不可能都大于

1 . 4

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