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高三第一轮复习——函数的基本性质

时间:2012-05-23


【学案编号】数学总复习 学案编号】

学案 5

【编辑】韩晶飞 编辑】 【审核】马省珍 【主题】 函数的基本性质

函数的基本性质之一——单调性
【基本概念】 1.函数单调性 ①正向结论:若 y = f ( x) 在给定区间上是增函数,则当 x1 < x2 时, f ( x1 ) < f ( x2

) ;当

x1 > x2 , f ( x1 ) > f ( x2 ) ;
②逆向结论:若 y = f ( x) 在给定区间上是增函数,则当 f ( x1 ) < f ( x2 ) 时,_________;当

f ( x1 ) > f ( x2 ) 时,_________。
当 y = f ( x) 在给定区间上是减函数时,也有相应的结论。 2.函数最值的求解 求函数最值的常用方法有单调性与求导法。此处重点讲解二次函数的最值。 求二次函数的最值有两种类型:一是函数定义域为 R,可用配方法求出最值;二是函数定义 域为某一区间,此时应该考虑对称轴是否在给定的区间内。 3.易混淆点:对单调性和在区间上单调两个概念理解错误 【考点一】单调性的判断与证明 1.下列函数 f ( x) 中,满足“对任意 x1 , x2 ∈ (0, +∞ ) ,当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) ” 的是( )

A. f ( x ) =

1 x
1

B. f ( x ) = ( x ? 1) 2

C. f ( x ) = e x

D. y = ln( x + 1)

2.给定函数① y = x 2 ;② y = log 1 ( x + 1) ;③ y = x ? 1 ;④ y = 2 x +1 ,其中在区间 (0,1) 上单调
2

递减的函数的序号是() A.①② B.②③ C.③④ 3.证明 y =

D.①④

x 在 [0, +∞) 是增函数

4.证明 y = x +

4 在 [2, +∞) 是增函数。 x

【考点二】利用单调性求参数与解不等式 3.已知函数 f ( x) = ? ________________ 4.已知 f ( x ) 为 R 上的减函数,则满足 f ( ) > f (1) 的实数 x 的取值范围是(

?(a ? 2) x ? 1, x ≤ 1 .若 f ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 上单调递增, a 的取值范围为 则 ?log a x, x > 1
1 x



A.(?∞,1)

B. (1, +∞)

C. ( ?∞, 0) ∪ (0,1)

D. (?∞, 0) ∪ (1, +∞) )

5.若函数 f ( x ) 的定义域为 R,并且在 (0, +∞ ) 上是减函数,则下列不等式成立的是( A f ( ) > f (a ? a + 1)
2

3 4

B. f ( ) ≥ f ( a ? a + 1)

C. f ( ) < f ( a ? a + 1)
2

3 4

3 2 4 3 2 D. f ( ) ≤ f ( a ? a + 1) 4


? x 2 + 4 x, x ≥ 0 ? 6.已知函数 f ( x ) = ? .若 f (2 ? a 2 ) > f ( a ) ,则实数 a 的取值范围是( 2 ?4 x ? x , x < 0 ?
A. ( ?∞, ?1) ∪ (2, +∞ ) B. (1, 2) C. ( ?2,1) D. ( ?∞, ?2) ∪ (1, +∞ )

【考点三】区分单调性和在区间上单调这两个概念 则实数 a 的取值范围是_________. 7.若函数 f ( x) = x 2 + 2( a ? 1) x + 2 的单调区间是 (?∞, 4] , 8. 若函数 f ( x) = x 2 + 2( a ? 1) x + 2 在 (?∞, 4] 上单调递减, 则实数 a 的取值范围是_______. 【考点四】二次函数的单调性与最值(注意:常常需要分情况讨论) 9.已知函数 f ( x) = x 2 ? 2ax + 2, x ∈ [ ?1,1] ,求函数 f ( x) 的最小值。

10.设函数 f ( x) = x 2 ? 2 x + 2, x ∈ [t , t + 1], t ∈ R ,求函数 f ( x) 的最小值。

11.已知函数 f ( x) = 12 x + 6tx ? 6t , x ∈ R 其中 t ≠ 0 ,求 f ( x ) 的单调区间。
2 2

B级 11.已知函数 f ( x) = ? _____________. 12. 设 函 数 y = f ( x) 在 ( ?∞, +∞ ) 内 有 定 义 。 对 于 给 定 的 正 数 K , 定 义 函 数

? x 2 + 1, x ≥ 0

?1, x < 0

,则满足不等式 f (1 ? x ) > f (2 x ) 的 x 的取值范围是
2

? f ( x), f ( x) ≤ K ?x f K ( x) = ? 。取函数 f ( x) = 2 ? K , f ( x) > K
增区间为( A. (?∞, 0) ) B. (0, +∞ ) C. (?∞, ?1)

。当 K =

1 时,函数 f K ( x) 的单调递 2

D (1, +∞) .

13.用 min {a, b, c} 表示 a, b, c 三个数中的最小值。 f ( x ) = min 2 x , x + 2,10 ? x ( x ≥ 0) , 设 则 f ( x ) 的最大值为( A.4 B.5 ) C.6 D.7

{

}

函数的基本性质之二——奇偶性与周期性
【基本概念】 1. 函数奇偶性的判断步骤: (1) 定义域是否关于原点对称:若定义域不关于原点对称,则函数是__________函数; 若关于原点对称,进行第二步。 (2) 判 断 f ( ? x) 与 f ( x ) 的 关 系 : 如 果 f ( ? x) = f ( x ) , 则 函 数 为 偶 函 数 ; 如 果 ________________,则函数为奇函数;如果 f ( ? x) = f ( x ) = ? f ( x) ,则函数既是奇 函数又是偶函数; 2. 函数的周期性:对于函数 f ( x ) ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 去定义域内的每 一个值时,都有 f ( x + T ) = f ( x ) ,则称 f ( x ) 为周期函数,非零常数 T 为这个函数的周 期。 【考点一】判别奇偶性

1. 若 函 数

f ( x) = 3x + 3? x 与 g ( x) = 3x ? 3? x 的 定 义 域 均 为 R , 则 f ( x) 为

___________, g ( x ) 为______________。 (填奇函数或者偶函数) 2.设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( A. f ( x) ? g ( x) 是奇函数 C. f ( x) ? g ( x) 是奇函数 3.若函数 f ( x) = B. f ( x) + g ( x) 是偶函数 D. f ( x) + g ( x) 是偶函数 )

x 为奇函数, a= 则 ( (2 x + 1)( x ? a )

) A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.1

【考点二】 利用奇偶性求参数与求值 (注意: 对于奇函数, 若在 x=0 处有定义, f (0) = 0 ) 则 4.若函数 f ( x) = x 2 + (b ? 2) x 是偶函数,则 b=_________.

5.若

f ( x) =

1 + a 是奇函数,则 a=_________. 2 ?1
x

,则 6.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数。当 x ≥ 0 时, f ( x ) = 2 x + 2 x + b (b 为常数)

f (?1) = ______________
7.若函数 f ( x) = x ? x + a 为偶函数,则实数 a=_____________
2

8.已知 f ( x ) 为奇函数, g ( x ) = f ( x ) + 9 , g (?2) = 3 ,则 f (2) =_____________ 9.函数 f ( x ) = x 3 + sin x + 1 ,若 f ( a ) = 2 ,则 f ( ? a ) =_____________ 【考点三】奇偶性与单调性的综合(注意奇函数对应区间上的单调性相同,偶函数对应区间 上的单调性相反) 10.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 的部分图像如图所示,则在

(?2, 0) 上,下列函数中与 f ( x) 的单调性不同的是(
A. y = x 2 + 1 B. y = x + 1



?2 x + 1, x ≥ 0 C. y = ? 3 ? x + 1, x < 0

D.

?e x , x ≥ 0 ? y = ? ?x ?e , x < 0 ?

11.已知定义在 R 上的奇函数满足 f ( x ) = x 2 + 2 x ( x ≥ 0) ,若 f (3 ? a 2 ) > f (2a ) ,则实数 a 的取值范围是_____________

12.已知偶函数在区间 (0, +∞ ) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是________ 13.设偶函数 f ( x ) 满足 f ( x) = 2 ? 4( x ≥ 0) ,则 x f ( x ? 2) > 0 =(
x

1 3

{

}



A x x < ?2或x > 4 B x x < 0或x > 4 C. x x < 0或x > 6

{

} {

} }
f ( x ) + f (? x ) > 0 的解 x

{

}

D. x x < ?2或x > 2

{

14.设偶函数 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上为减函数,并且 f (2) = 0 ,则不等式 集为( ) B. ( ?∞, ?2) ∪ (0, 2) D. ( ?2, 0) ∪ (0, 2)

A. ( ?2, 0) ∪ (2, +∞ ) C. (?∞, ?2) ∪ (2, +∞) 【考点四】奇偶性与周期性的综合

15.设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数, 0 ≤ x ≤ 1 时,f ( x ) = 2 x (1 ? x ) , f ( ? ) = __________ 当 则 16.设 f ( x ) 是 R 上周期为 5 的奇函数, 且满足 f (1) = 1 ,f (2) = 2 , f (3) ? f (4) = ______ 则 17.已知函数 f ( x ) 是 R 上的偶函数, 若对于 x ≥ 0 , 都有 f ( x + 2) = f ( x ) , 且当 0 ≤ x < 2 时,

5 2

f ( x) = log 2 ( x + 1) ,则 f (?2008) + f (2009) =__________
18. 已 知 函 数 f ( x ) 是 R 上 的 奇 函 数 , 且 对 任 意 的 x ∈ R 有 f ( x ) = f (2 ? x ) 成 立 , 则

f (2010) =__________
19.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 4) = ? f ( x ) ,且在区间 [0, 2] 上是增函数,则 ( ) B. f (80) < f (11) < f ( ?25) D. f ( ?25) < f (80) < f (11) )

A. f ( ?25) < f (11) < f (80) C. f (11) < f (80) < f ( ?25)

20.函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x + 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则( A. f ( x ) 是偶函数 B. f ( x ) 是奇函数 C. f ( x ) = f ( x + 2)

D. f ( x + 3) 是奇函数

【考点 5】抽象函数与单调性奇偶性相结合 21.已知函数 f ( x ) 对任意实数 x, y 均有 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , 且当 x > 0 时, f ( x ) > 0 , 求证 f ( x ) 在 R 上是增函数。

22.设函数 f ( x ) 是定义在 (0, +∞ ) 上的增函数,且满足 f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) 。若 f (3) = 1 , 且 f ( a ) > f ( a ? 1) + 2 ,求实数 a 的取值范围。

23.已知函数 f ( x ) 对任意实数 x, y 均有 f ( x + y ) + f ( x ? y ) = 2 f ( x) f ( y ) ,试判断 f ( x ) 的 奇偶性。

24.函数 f ( x ) 的定义域为 D= x x ≠ 0 , 且满足对于任意 x, y ∈ D , f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) 有 (1)求 f (1) 的值。 (2)判断 f ( x ) 的奇偶性并证明。 (3)如果 f (4) = 1 , f (3 x + 1) + f (2 x ? 6) ≤ 6 ,且 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上是增函数,求 x 的 取值范围。

{

}


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