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福建师大附中2015-2016学年高一(上)期末数学试卷(解析版)


2015-2016 学年福建师大附中高一(上)期末数学试卷
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 1.已知直线方程 y﹣3= (x﹣4) ,则这条直线的倾斜角是( ) A.150° B.120° C.60° D.30° 2.在空间直角坐标系中,点 P(1,3,6)关于 x 轴对称的点的坐标是( ) A. (1,3,﹣

6) B. (﹣1,3,﹣6) C. (﹣1,﹣3,6) D. (1,﹣3,﹣6) 3.已知 α,β 是平面,m,n 是直线.下列命题中不正确的是( ) A.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α B.若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n C.若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β D.若 m⊥α,m∩β,则 α⊥β 4.已知 l1:mx+y﹣2=0,l2: (m+1)x﹣2my+1=0,若 l1⊥l2 则 m=( ) A.m=0 B.m=1 C.m=0 或 m=1 D.m=0 或 m=﹣1 5.正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,AB 的中点为 M,DD′的中点为 N,则异面直线 B′M 与 CN 所成角的大小为( ) A.0° B.45° C.60° D.90° 6.若长方体的一个顶点上三条棱长分别是 1、1、2,且它的八个顶点都在同一球面上,则 这个球的体积是( ) A.6π B. C.3π D.12π 7.圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=1 关于直线 x﹣y﹣2=0 对称的圆的方程为( ) A. (x﹣4)2+(y+1)2=1 B. (x+4)2+(y+1)2=1 C. (x+2)2+(y+4)2=1 2)2+(y+1)2=1 8.已知实数 x,y 满足(x+5)2+(y﹣12)2=25,那么 A.5 B.8 C.13 D.18 的最小值为(

D. (x﹣



9.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所 成角的正弦值为( )

A.

B.

C.

D.

10.已知点 A(﹣2,0) ,B(0,4) ,点 P 在圆 C: (x﹣3)2+(y﹣4)2=5 上,则使∠APB=90° 的点 P 的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 11. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 (半径为 r) 组成一个几何体, 该几何体的三视图 中 64 80 r= π 的正视图和俯视图如图所示,若 该几何体的表面积为 + ,则 ( )

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A.1 B.2 C.4 D.8 12.已知点 P(a,b) ab ( ≠0)是圆 O:x2+y2=r2 内一点,直线 m 是以 P 为中点的弦所在的 直线,若直线 n 的方程为 ax+by=r2,则( ) A.m∥n 且 n 与圆 O 相离 B.m∥n 且 n 与圆 O 相交 C.m 与 n 重合且 n 与圆 O 相离 D.m⊥n 且 n 与圆 O 相离 二、填空题: (本大题 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答卷上) 13. x﹣ y﹣ =0 恒过的一个定点是 不论 k 为何值, 直线 (2k﹣1) (k﹣2) (k+4) 14.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,二面角 C1﹣BD﹣C 的正切值为

. .

15.点 P(4,﹣2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点轨迹方程是 16.若直线 x+y=k 与曲线 y= 恰有一个公共点,则 k 的取值范围是

. .

17. A1 在底面 ABC 内的射影为△ABC 已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于 . 18.若直线 m 被两平行线 l1:x+y=0 与 l2:x+y+ =0 所截得的线段的长为 2 ,则 m 的 倾斜角可以是 ①15° ②45° ③60° ④105°⑤120° ⑥165° 其中正确答案的序号是 . (写出所有正确答案的序号) 三、解答题: (本大题共 5 题,满分 60 分) 19.已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标为 A(﹣1,4) ,B(﹣2,﹣1) ,C(2,3) . (1)求平行四边形 ABCD 的顶点 D 的坐标 (2)在△ACD 中,求 CD 边上的高线所在直线方程; (3)求△ACD 的面积.

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20. 如图在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 a 的正方形, 侧面 PAD⊥底面 ABCD, 且 PA=PD= AD,设 E、F 分别为 PC、BD 的中点.

(Ⅰ) 求证:EF∥平面 PAD; (Ⅱ) 求证:面 PAB⊥平面 PDC; (Ⅲ) 求二面角 B﹣PD﹣C 的正切值.

21.一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥.在正常水位时,拱桥最高点距水 面 8m,拱桥内水面宽 32m,船只在水面以上部分高 6.5m,船顶部宽 8m,故通行无阻,如 图所示. (1)建立适当的平面直角坐标系,求正常水位时圆弧所在的圆的方程; (2)近日水位暴涨了 2m,船已经不能通过桥洞了.船员必须加重船载,降低船身在水面以 上的高度,试问:船身至少降低多少米才能通过桥洞?(精确到 0.1m, )

22.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60° (Ⅰ)证明:AB⊥A1C; (Ⅱ)若 AB=CB=2,A1C= ,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积.

23.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:x2+y2=16 和圆 C2: (x﹣7)2+(y﹣4)2=4, (1)求过点(4,6)的圆 C1 的切线方程; (2)设 P 为坐标平面上的点,且满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它 们分别与圆 C1 和圆 C2 相交, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长是直线 l2 被圆 C2 截得的弦长的 2 P 倍.试求所有满足条件的点 的坐标.

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2015-2016 学年福建师大附中高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 1.已知直线方程 y﹣3= (x﹣4) ,则这条直线的倾斜角是( ) A.150° B.120° C.60° D.30° 【考点】直线的倾斜角. 【分析】由直线方程求出直线的斜率,再由直线的斜率等于直线倾斜角的正切值求得答案. 【解答】解:化直线方程 y﹣3= (x﹣4)为 , 可得直线的斜率为 , 设直线的倾斜角为 α(0°≤α<180°) , 则 tan , ∴α=60°. 故选:C. 2.在空间直角坐标系中,点 P(1,3,6)关于 x 轴对称的点的坐标是( ) A. (1,3,﹣6) B. (﹣1,3,﹣6) C. (﹣1,﹣3,6) D. (1,﹣3,﹣6) 【考点】空间两点间的距离公式. 【分析】由点 P 的坐标,利用点关于 x 轴对称的条件,建立相等关系,可得其对称点的坐 标. 【解答】解:设 p(1,3,6)关于 x 轴对称的点的坐标为(x,y,z) , 则 x=1,y=﹣3,z=﹣6, 所以对称点的坐标为(1,﹣3,﹣6) . 故选:C. 3.已知 α,β 是平面,m,n 是直线.下列命题中不正确的是( A.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α B.若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n C.若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β D.若 m⊥α,m∩β,则 α⊥β )

【考点】平面与平面之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】在 A 中,由直线与平面垂直的判定定理得 n⊥α;在 B 中,m 与 n 平行或异面;在 C 中,由平面与平面平行的判定定理得 α∥β;在 D 中,由平面与平面垂直的判定定理得 α ⊥β. 【解答】解:∵在 A 中:若 m∥n,m⊥α,则由直线与平面垂直的判定定理得 n⊥α,故 A 正确; 在 B 中:若 m∥α,α∩β=n,则 m 与 n 平行或异面,故 B 错误; 在 C 中:若 m⊥α,m⊥β,则由平面与平面平行的判定定理得 α∥β,故 C 正确; 在 D 中:若 m⊥α,m∩β,则由平面与平面垂直的判定定理得 α⊥β,故 D 正确. 故选:B. 4.已知 l1:mx+y﹣2=0,l2: (m+1)x﹣2my+1=0,若 l1⊥l2 则 m=( A.m=0 B.m=1 C.m=0 或 m=1 D.m=0 或 m=﹣1 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
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【分析】对 m 分类讨论,利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出. 【解答】解:当 m=0 时,两条直线分别化为:y﹣2=0,x+1=0,此时两条直线相互垂直,∴ m=0. 当 m≠0 时,∵l1⊥l2,∴﹣m× 综上可得:m=0,或 m=1. 故选:C. 5.正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,AB 的中点为 M,DD′的中点为 N,则异面直线 B′M 与 CN 所成角的大小为( ) A.0° B.45° C.60° D.90° 【考点】异面直线及其所成的角. 【分析】利用异面直线所成的角的定义,取 A′A 的中点为 E,则直线 B′M 与 CN 所成角就 是直线 B′M 与 BE 成的角. 【解答】解:取 A′A 的中点为 E,连接 BE,则直线 B′M 与 CN 所成角就是直线 B′M 与 BE 成的角, 由题意得 B′M⊥BE,故异面直线 B′M 与 CN 所成角的大小为 90°, 故选 D. 6.若长方体的一个顶点上三条棱长分别是 1、1、2,且它的八个顶点都在同一球面上,则 这个球的体积是( ) A.6π B. C.3π D.12π 【考点】球的体积和表面积. 【分析】长方体的对角线的长度,就是外接球的直径,求出直径即可求出体积 【解答】解:长方体的对角线的长度,就是外接球的直径, 设球的半径为 r, 所以 2r= = , = π =﹣1,解得 m=1.

所以这个球的体积积: 故选:B.

7.圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=1 关于直线 x﹣y﹣2=0 对称的圆的方程为( ) 2 2 2 2 2 2 A. (x﹣4) +(y+1) =1 B. (x+4) +(y+1) =1 C. (x+2) +(y+4) =1 D. (x﹣ 2 2 2) +(y+1) =1 【考点】关于点、直线对称的圆的方程. 【分析】求出圆心(1,2)关于直线 x﹣y﹣2=0 对称的点的坐标,可得要求的对称圆的方 程. 【解答】解:由于圆心(1,2)关于直线 x﹣y﹣2=0 对称的点的坐标为(4,﹣1) ,半径为 1, 故圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=1 关于直线 x﹣y﹣2=0 对称的圆的方程为(x﹣4)2+(y+1)2=1, 故选:A. 8.已知实数 x,y 满足(x+5)2+(y﹣12)2=25,那么
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的最小值为(



A.5

B.8

C.13

D.18

【考点】圆的标准方程. 【分析】由题意画出图形,利用 的几何意义结合图象得答案.

【解答】解:如图, 圆(x+5)2+(y﹣12)2=25 的圆心 M(﹣5,12) , |MO|= , 的几何意义为圆(x+5)2+(y﹣12)2=25 上的点到原点的距离, 则最小值为|OM|﹣5=13﹣5=8. 故选:B.

9.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所 成角的正弦值为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】直线与平面所成的角. 【分析】 由题意, 由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法 求解直线与平面所成的夹角. 【解答】解:以 D 点为坐标原点,以 DA、DC、DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立 空间直角坐标系(图略) , 则 A(2,0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) ,C1(0,2,1) ∴ =(﹣2,0,1) , , >═ =(﹣2,2,0) , = . 且为平面 BB1D1D 的一个法向量.

∴cos<

∴BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为
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故答案为 D. 10.已知点 A(﹣2,0) ,B(0,4) ,点 P 在圆 C: (x﹣3)2+(y﹣4)2=5 上,则使∠APB=90° 的点 P 的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【考点】点与圆的位置关系. 【分析】设 P(x,y) ,要使∠APB=90°,只要求出 P 到 AB 中点的距离以及圆上的所有点 到 AB 中点距离范围. 【解答】解:设 P(x,y) ,要使∠APB=90°,那么 P 到 AB 中点(﹣1,2)的距离为 , 而圆上的所有点到 AB 中点距离范围为[ ],即[ ,3 ], ,

所以使∠APB=90°的点 P 的个数只有一个,就是 AB 中点与圆心连线与圆的交点; 故选 B 11. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 (半径为 r) 组成一个几何体, 该几何体的三视图 中 64 80 r= π 的正视图和俯视图如图所示,若 该几何体的表面积为 + ,则 ( )

A.1

B.2

C.4

D.8

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】几何体为半圆柱与半球的组合体. 【解答】解:由俯视图可知几何体为半圆柱与半球的组合体,半圆柱与半球的半径均为 r, 半圆柱的高为 2r, ∴几何体的表面积为为 解得 r=4. 故选:C. 12.已知点 P(a,b) (ab≠0)是圆 O:x2+y2=r2 内一点,直线 m 是以 P 为中点的弦所在的 直线,若直线 n 的方程为 ax+by=r2,则( ) A.m∥n 且 n 与圆 O 相离 B.m∥n 且 n 与圆 O 相交 C.m 与 n 重合且 n 与圆 O 相离 D.m⊥n 且 n 与圆 O 相离 【考点】直线与圆的位置关系. + + +πr×2r+2r×2r=5πr2+4r2=64+80π.

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【分析】利用直线 m 是以 P 为中点的弦所在的直线可求得其斜率,进而根据直线 n 的方程 可判断出两直线平行;表示出点到直线 n 的距离,根据点 P 在圆内判断出 a,b 和 r 的关系, 进而判断出圆心到直线 n 的距离大于半径,判断出二者的关系是相离. 【解答】解:直线 m 是以 P 为中点的弦所在的直线 ∴直线 m⊥PO, ∴m 的斜率为﹣ , ∵直线 n 的斜率为﹣ ∴n∥m 圆心到直线 n 的距离为 ∵P 在圆内, ∴a2+b2<r2, ∴ >r

∴直线 n 与圆相离 故选 A 二、填空题: (本大题 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答卷上) 13. x﹣ y﹣ =0 恒过的一个定点是 (2, 3) . 不论 k 为何值, 直线 (2k﹣1) (k﹣2) (k+4) 【考点】恒过定点的直线. 【分析】把所给的直线分离参数,再令参数的系数等于零,即可求得定点的坐标. 【解答】解:直线(2k﹣1)x﹣(k﹣2)y﹣(k+4)=0,即 k(2x﹣y﹣1)+(﹣x+2y﹣4) =0, 一定经过直线 2x﹣y﹣1=0 和直线﹣x+2y﹣4=0 的交点(2,3) , 故答案为: (2,3) . 14.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,二面角 C1﹣BD﹣C 的正切值为 .

【考点】二面角的平面角及求法. 【分析】取 BD 的中点 O,连接 OC1,OC,则∠COC1 就是二面角 C1﹣BD﹣C 的平面角, 由此能求出二面角 C1﹣BD﹣C 的正切值. 【解答】解:设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 a, 则 ,CD=BC=CC1=a,

取 BD 的中点 O,连接 OC1,OC,则∠COC1 就是二面角 C1﹣BD﹣C 的平面角,
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∵CO=

=



∴tan∠COC1= 故答案为: .

=



2 15.点 P(4, +(y+1)2=1 . ﹣2) 与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点轨迹方程是 (x﹣2) 【考点】轨迹方程;圆的标准方程. 【分析】设圆上任意一点为 A,确定 A 与 AP 中点坐标之间的关系,再代入圆的方程,即可 得到结论. 【解答】解:设圆上任意一点为 A(x1,y1) ,AP 中点为(x,y) ,



,∴

代入 x2+y2=4 得(2x﹣4)2+(2y+2)2=4,化简得(x﹣2)2+(y+1)2=1. 故答案为: (x﹣2)2+(y+1)2=1

16.若直线 x+y=k 与曲线 y= k= . 【考点】直线和圆的方程的应用. 【分析】曲线 y=

恰有一个公共点,则 k 的取值范围是 ﹣1≤k<1 或

表示一个半圆,如图所示.当直线过点 A(﹣1,0)时,直线 y=

﹣x+k 与半圆只有一个交点;当直线过点 B(1,0) ,C(0,1)时,直线 y=﹣x+k 与半圆有 两个交点,此时 k=1;当直线位于此两条直线之间时满足题意.当直线 y=﹣x+k 与半圆相切 时只有一个公共点,也满足条件. 【解答】解:曲线 y= 表示一个半圆,如图所示.

当直线过点 A(﹣1,0)时,直线 y=﹣x+k 与半圆只有一个交点,此时 k=﹣1; 当直线过点 B(1,0) ,C(0,1)时,直线 y=﹣x+k 与半圆有两个交点,此时 k=1; 当直线 y=﹣x+k 与半圆相切时只有一个公共点,k= . 因此当﹣1≤k<1 时,或 k= 故答案为﹣1≤k<1,或 k= ,直线 x+y=k 与曲线 y= .
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恰有一个公共点.

17. A1 在底面 ABC 内的射影为△ABC 已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于 .

【考点】直线与平面所成的角. 【分析】先求出点 A1 到底面的距离 A1D 的长度,即知点 B1 到底面的距离 B1E 的长度,再 求出 AB1 的长度,在直角三角形 AEB1 中,即可求得结论. 【解答】解:由题意不妨令棱长为 2,如图,A1 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心,故 DA= , = ,

由勾股定理得 A1D=

过 B1 作 B1E⊥平面 ABC,则∠B1AE 为 AB1 与底面 ABC 所成角,且 B1E= 如图作 A1S⊥AB 于中点 S,∴A1S= = ∴AB1= ,

∴AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值 sin∠B1AE= 故答案为:

=



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18.若直线 m 被两平行线 l1:x+y=0 与 l2:x+y+ =0 所截得的线段的长为 2 倾斜角可以是 ①15° ②45° ③60° ④105°⑤120° ⑥165° 其中正确答案的序号是 ④或⑥ . (写出所有正确答案的序号) 【考点】直线的倾斜角;直线的一般式方程与直线的平行关系. 【分析】由两平行线间的距离 =

,则 m 的

,得直线 m 和两平行线的夹角为 30°.再根据两条平

行线的倾斜角为 135°,可得直线 m 的倾斜角的值. 【解答】解:由两平行线间的距离为 = ,直线 m 被平行线截得线段的长为 2 ,

可得直线 m 和两平行线的夹角为 30°. 由于两条平行线的倾斜角为 135°,故直线 m 的倾斜角为 105°或 165°, 故答案为:④或⑥. 三、解答题: (本大题共 5 题,满分 60 分) 19.已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标为 A(﹣1,4) ,B(﹣2,﹣1) ,C(2,3) . (1)求平行四边形 ABCD 的顶点 D 的坐标 (2)在△ACD 中,求 CD 边上的高线所在直线方程; (3)求△ACD 的面积.

【考点】待定系数法求直线方程;点到直线的距离公式. 【分析】 (1) 设 AC 的中点为 M, 则由 M 为 AC 的中点求得 M ( , ) , 设点 D 坐标为 (x, y) ,由已知得 M 为线段 BD 中点,求得 D 的坐标. (2) 求得直线 CD 的斜率 KCD, 可得 CD 边上的高线所在直线的斜率为 中,求得 CD 边上的高线所在直线的方程 0. (3)求得 ,用两点式求得直线 CD 的方程,利用点到直 , 从而在△ACD

线的距离公式求得点 A 到直线 CD 的距离,可得△ACD 的面积. 【解答】解: (1)由于平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标为 A(﹣1,4) ,B(﹣2,﹣1) , C(2,3) , 设 AC 的中点为 M,则 M( , ) ,

设点 D 坐标为(x,y) ,由已知得 M 为线段 BD 中点,有

,解得

,所以,

D(3,8) .
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(2)∵直线 CD 的斜率 KCD=

=5,所以 CD 边上的高线所在直线的斜率为



故△ACD 中,CD 边上的高线所在直线的方程为 (3)∵C(2,3) ,D(3,8) ,∴

,即为 x+5y﹣19=0. ,

D 两点得直线 CD 的方程为: 5x﹣y﹣7=0, 由 C, ∴点 A 到直线 CD 的距离为 = ∴ , .

20. 如图在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 a 的正方形, 侧面 PAD⊥底面 ABCD, 且 PA=PD= AD,设 E、F 分别为 PC、BD 的中点.

(Ⅰ) 求证:EF∥平面 PAD; (Ⅱ) 求证:面 PAB⊥平面 PDC; (Ⅲ) 求二面角 B﹣PD﹣C 的正切值.

【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (Ⅰ)利用线面平行的判定定理:连接 AC,只需证明 EF∥PA,利用中位线定理即 可得证; (Ⅱ)利用面面垂直的判定定理:只需证明 PA⊥面 PDC,进而转化为证明 PA⊥PD,PA⊥ DC,易证三角形 PAD 为等腰直角三角形,可得 PA⊥PD;由面 PAD⊥面 ABCD 的性质及正 方形 ABCD 的性质可证 CD⊥面 PAD,得 CD⊥PA; (Ⅲ)设 PD 的中点为 M,连结 EM,MF,则 EM⊥PD,由(Ⅱ)可证 PD⊥平面 EFM,则 ∠EMF 是二面角 B﹣PD﹣C 的平面角,通过解 Rt△FEM 可得所求二面角的正切值; 【解答】 (Ⅰ)证明:ABCD 为平行四边形, 连结 AC∩BD=F,F 为 AC 中点,E 为 PC 中点, ∴在△CPA 中 EF∥PA,且 PA? 平面 PAD,EF?平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD; (Ⅱ)证明:因为面 PAD⊥面 ABCD,平面 PAD∩面 ABCD=AD,ABCD 为正方形, ∴CD⊥AD,CD? 平面 ABCD, 所以 CD⊥平面 PAD,∴CD⊥PA, 又 ,
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所以△PAD 是等腰直角三角形,且

,即 PA⊥PD,

CD∩PD=D,且 CD、PD? 面 ABCD,PA⊥面 PDC, 又 PA? 面 PAB, ∴面 PAB⊥面 PDC; (Ⅲ)解:设 PD 的中点为 M,连结 EM,MF,则 EM⊥PD, 由(Ⅱ)知 EF⊥面 PDC,EF⊥PD,PD⊥面 EFM,PD⊥MF,∠EMF 是二面角 B﹣PD﹣C 的平面角,

Rt△FEM 中,







故所求二面角的正切值为



21.一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥.在正常水位时,拱桥最高点距水 面 8m,拱桥内水面宽 32m,船只在水面以上部分高 6.5m,船顶部宽 8m,故通行无阻,如 图所示. (1)建立适当的平面直角坐标系,求正常水位时圆弧所在的圆的方程; (2)近日水位暴涨了 2m,船已经不能通过桥洞了.船员必须加重船载,降低船身在水面以 上的高度,试问:船身至少降低多少米才能通过桥洞?(精确到 0.1m, )

【考点】圆方程的综合应用. 【分析】 (1)在正常水位时,设水面与桥横截面的交线为 x 轴,过拱桥最高点且与水面垂直 的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系建立坐标系,利用|CD|=|CB|,确定圆的方程; (2)令 x=4 时,求得 y≈7.6,即桥拱宽为 8m 的地方距正常水位时的水面约 7.60m,即可 求得通过桥洞,船身至少应该降低多少. 【解答】解: (1)在正常水位时,设水面与桥横截面的交线为 x 轴, 过拱桥最高点且与水面垂直的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系, 如图所示,则 A,B,D 三点的坐标分别为(﹣16,0) , (16,0) , (0,8) . 又圆心 C 在 y 轴上,故可设 C(0,b) .… 因为|CD|=|CB|,所以 ,解得 b=﹣12.…
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所以圆拱所在圆的方程为:x2+(y+12)2=(8+12)2=202=400… (2)当 x=4 时,求得 y≈7.6,即桥拱宽为 8m 的地方距正常水位时的水面约 7.60m,… 距涨水后的水面约 5.6m,因为船高 6.5m,顶宽 8m, 所以船身至少降低 6.5﹣5.6=0.9(m)以上,船才能顺利通过桥洞.…

22.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60° (Ⅰ)证明:AB⊥A1C; (Ⅱ)若 AB=CB=2,A1C= ,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积.

【考点】直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】 (Ⅰ)由题目给出的边的关系,可想到去 AB 中点 O,连结 OC,OA1,可通过证明 AB⊥平面 OA1C 得要证的结论; (Ⅱ)在三角形 OCA1 中,由勾股定理得到 OA1⊥OC,再根据 OA1⊥AB,得到 OA1 为三 棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高,利用已知给出的边的长度,直接利用棱柱体积公式求体积. 【解答】 (Ⅰ)证明:如图, 取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB,所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1, ,故△AA1B 为等边三角形,

所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C? 平面 OA1C,故 AB⊥A1C; (Ⅱ)解:由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形, 所以 又 ,则 . ,故 OA1⊥OC.

因为 OC∩AB=O,所以 OA1⊥平面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高. 又△ABC 的面积 ,故三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 .

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23.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:x2+y2=16 和圆 C2: (x﹣7)2+(y﹣4)2=4, (1)求过点(4,6)的圆 C1 的切线方程; (2)设 P 为坐标平面上的点,且满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它 们分别与圆 C1 和圆 C2 相交, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长是直线 l2 被圆 C2 截得的弦长的 2 倍.试求所有满足条件的点 P 的坐标. 【考点】直线和圆的方程的应用. 【分析】 (1)分类讨论,利用圆心到直线的距离等于半径,建立方程,求出 k,即可求过点 (4,6)的圆 C1 的切线方程; (2)设出过 P 点的直线 l1 与 l2 的点斜式方程,根据⊙C1 和⊙C2 的半径,及直线 l1 被圆 C1 截得的弦长是直线 l2 被圆 C2 截得的弦长的 2,可得⊙C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的 圆心到直线 l2 的距离 2 倍,故我们可以得到一个关于直线斜率 k 的方程,即可以求所有满 足条件的点 P 的坐标. 【解答】解: (1)若切线的斜率存在,可设切线的方程为 y﹣6=k(x﹣4) , 则圆心 C1 到切线的距离 ,解得 ,

所以切线的方程为:5x﹣12y+52=0; 若切线的斜率不存在,则切线方程为 x=4,符合题意. 综上所述,过 P 点的圆 C1 的切线方程为 5x﹣12y+52=0 或 x=4. … (2)设点 P(a,b)满足条件,不妨设直线 l1 的方程为:y﹣b=k(x﹣a) (k≠0) , 即 kx﹣y+b﹣ak=0(k≠0) , 则直线 l2 的方程为: ,即 x+ky﹣bk﹣a=0.

因为圆 C1 的半径是圆 C2 的半径的 2 倍, 及直线 l1 被圆 C1 截得的弦长是直线 l2 被圆 C2 截得的弦长的 2 倍, 所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离是圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离的 2 倍, 即 …

整理得|ak﹣b|=|2a﹣14+(2b﹣8)k| 从而 ak﹣b=2a﹣14+(2b﹣8)k 或 b﹣ak=2a﹣14+(2b﹣8)k, 即(a﹣2b+8)k=2a+b﹣14 或(a+2b﹣8)k=﹣2a+b+14, 因为 k 的取值有无穷多个,所以 或 ,…

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解得



,这样点 P 只可能是点 P1(4,6)或点



经检验点 P1 和点 P2 满足题目条件.…

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2016 年 7 月 31 日

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