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高中数学竞赛综合训练讲义含参考答案


高中数学竞赛综合训练讲义含参考答案
一、选择题 1、若点 P(x,y)在直线 x+3y=3 上移动,则函数 f(x,y)= 3 ? 9 的最小值等于(
x y



(A) 5 ( 27 ) 5 4 2、满足 y ?

1

(B) 7( 27 ) 7 9

1

16 (C) 7( ) 7 9


1

5 (D) 3( ) 3 2

1

x ? 3 ? x ? 2007 的正整数数对(x,y) (

(A)只有一对 (B)恰有有两对 (C)至少有三对 (D)不存在 3、设集合 M={-2,0,1},N={1,2,3,4,5},映射 f:M ? N 使对任意的 x∈M,都有

x ? f ( x) ? xf ( x) 是奇数,则这样的映射 f 的个数是(
(A)45 4、设方程
2



x y ? ? 1 所表示的曲线是( 2007 ? sin(19 ) cos(19 2007 ) ?

2



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F ( x) ? 2 f ( x) ? f ( x ) 是( g( x ) ? 1

(A)双曲线 (B)焦点在 x 轴上的椭圆 (C)焦点在 y 轴上的椭圆 (D)以上答案都不正确 5、将一个三位数的三个数字顺序颠倒,将所得到的数与原数相加,若和中没有一个数字是 偶数,则称这个数为“奇和数” 。那么,所有的三位数中,奇和数有( )个。 (A)100 (B)120 (C)160 (D)200

6 、 函 数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x ) 有 相 同 的 定 义 域 , 且 对 定 义 域 中 的 任 何 x , 有

f (? x) ? f ( x) ? 0, g ( x) ? g (? x) ? 1 。 若 g ( x) ? 1 的 解 集 是 {x | x ? 0} , 则 函 数



A、奇函数 C、既是奇函数又是偶函数

B、偶函数 D、既不是奇函数又不是偶函数
个。

二、填空题 7、边长均为整数且成等差数列,周长为 60 的钝角三角形共有

x ? 3 y ? 2 z ? 0 ,则方程组的解 8、已知三个正整数 x,y,z 的最小公倍数是 300,并且 ? ?
2 2 2 ?2 x ? 3 y ? z ? 0

(x,y,z)=



9、已知关于 x 的实系数方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 和 x ? 2mx ? 1 ? 0 的四个不同的根在复平面
2 2

上对应的点共圆,则 m 的取值范围是
? ? ? ?



10、设平面上的向量 a , b , x , y 满足关系 a ? x ? y , b ? 2 x ? y ,又设 a 与 b 的模为 1,且互
? ?

?

?

? ?

?

?

?

?

相垂直,则 x 与 y 的夹角为



11、设函数 f 0 ( x ) ?| x |, f 1 ( x ) ?| f 0 ( x ) ? 1 |, f 2 ( x ) ?| f 1 ( x ) ? 2 | ,则函数 f 2 ( x) 的图象与 x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是 。

1

m

(B)27

(C)15

(D)11

12、若正整数 n 恰有 4 个正约数,则称 n 为奇异数,例如 6,8,10 都是奇异数,那么在 27, 个。 42,69,111,125,137,343,899,3599,7999 这 10 个正整数中奇异数有 三、解答题 13、已知△ABC 的三边长分别为 a、b、c,且满足 abc= 2(a ? 1)(b ? 1)(c ? 1). (1)是否存在边长均为整数的△ABC?若存在,求出三边长;若不存在,说明理由。 (2)若 a>1,b>1,c>1,求出△ABC 周长的最小值。

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14、已知椭圆 当椭圆的离心率 e 满足

x2 y2 ? ? 1 过定点 A(1,0) ,且焦点在 x 轴上,椭圆与曲线|y|=x 的交点为 a2 b2

B、C。现有以 A 为焦点,过点 B、C 且开口向左的抛物线,抛物线的顶点坐标为 M(m,0) 。

2 ? e 2 ? 1 时,求实数 m 的取值范围。 3

2

m

数学竞赛训练讲义参考答案
1. (A)
3? x 3
x 2 (1? ) 3

f ( x) ? 3 x ? 9 y ? 3 x ? 9
解:
2

? 3x ? 3
2

? 3x ? 3

2 2? x 3 2 2 2

1? x 1? x 1? x 1? x 1? x 1? x 1 1 1 1 ? ? 3x ? ? 3x ? 3 3 ? 3 3 ? 3 3 ? 5 ? 5 ? 3x ? ? 3x ? 3 3 ? 3 3 ? 3 3 2 2 2 2
1

2

1? x 3 1 1 3 27 ? 3 ? 5 ? ( ) 5 ,等号当且仅当 ? 3 x ? 3 3 ,即 x ? (1 ? log 3 2) 时成立, =5? 2 5 4 4
5

2

2、 (B)
2 2

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b+a>b-a,所以 ?

解 : 设 a ? x ? 3, b ? x ? 2007 , 其 中 a , b 均 为 自 然 数 , 则 y=a+b ,

b 2 ? a 2 ? (b ? a)(b ? a) ? 2004 ? 2 2 ? 3 ? 167 。因为 b+a 与 b-a 有相同的奇偶性,且

?b ? a ? 1002 ?b ? a ? 334 ?a ? 500 ?a ? 164 或? 解得 ? 或? ? b?a ?2 ? b?a ?6 ?b ? 502 ?b ? 170

3、 (A) 解:当 x=-2 时,x+f(x)+xf(x)=-2-f(-2)为奇数,则 f(-2)可取 1,3,5,有三种 取法;当 x=0 时,x+f(x)+xf(x)=f(0)为奇数,则 f(0)可取 1,3,5,有 3 种取法; 当 x=1 时,x+f(x)+xf(x)=1+2f(1)为奇数,则 f(1)可取 1,2,3,4,5,有 5 种取 法。由乘法原理知,共有 3×3×5=45 个映射。 4、 (C) 解: 19
2007

? 19 ? (19 2 )1003 ? 19 ? (360 ? 1)1003 ? 19(360n ? 1)(n ? N ? )

于是, sin(19
?

2007 ?

) ? sin(360 ? 19n ? 19) ? ? sin 19? ,同理 cos(19 2007 ) ? ? cos 19? 。
?

因为 cos 19 ? sin 19 ? 0 ,故应选(C) 5、 (A)

解:设三位数是 a1a 2 a3 ,则 a1a2 a3 + a3 a 2 a1 ? 100(a1 ? a3 ) ? 10(a2 ? a2 ) ? (a1 ? a3 ) 。

若 a1 ? a3 不进位,则和数的十位数必为偶数,不符合题意,所以 a1 ? a3 =11,13,15,17。 因 11=9+2=8+3=7+4=6+5,所以 a1, a3 取值有 4 A2 种可能; 因 13=9+4=8+5=7+6,所以 a1, a3 取值有 3 A2 种可能;
2 2

3

m

故 f(x,y)的最小值是 5 ? (

27 5 ) 4

1

因 15=9+6=8+7,所以 a1, a3 取值有 2 A2 种可能; 因 17=9+8,所以 a1, a3 取值有 A2 种可能; 由于 a 2 ? a2 不能进位,所以 a 2 只能取 0,1,2,3,4。 因此,满足条件的数共有:5( 4 A2 + 3 A2 + 2 A2 + A2 )=100(个) 6、 (B) 解:由 a1 ? 6 ? 5 ? 2
1?1 2 2 2 2

2

2

? 1, a2 ? 11 ? 5 ? 2 2?1 ? 1,? ? ?, 猜想:

an ? 5 ? 2 n?1 ? 1 。由已知递推关系式,易用数学归纳法给予证明(略)

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因此,应选(B) 7. (20,60,100) 解:记方程组中的两个方程为(1) , (2) ,消去 x 得

故 a1 ? a2 ? ? ? ? ? a2007 ? 6 ? 2006 ? 2(mod 10)

5 y 2 ? 8 yz ? 3z 2 ? 0 ,即 (5 y ? 3z )( y ? z ) ? 0
(3)

所以 5 y ? 3 z ? 0 , 或

y ? z ? 0,

(4)

由(1) 、 (3)得 y ? 3 x, z ? 5 x ,即 x:y:z=1:3:5,于是,由已知条件,必有 x=20,

y=60,z=100; 由(1) (4) ,得 x=-y=-z,与已知条件矛盾。 8.{m|-1<m<1 或 m=-3/2}
2

解:易知方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 的两根为 x1 ? 1 ? i, x2 ? 1 ? i.
2 2

当 ? ? 4m ? 4 ? 0 , 即 ? 1 ? m ? 1 时, 方程 x ? 2mx ? 1 ? 0 有两个共轭的虚根 x3, x4 ,

且 x3, x4 的实部为 ? m ? 1 ,这时 x1 , x2 , x3 , x4 在复平面内对应的点构成等腰梯形或矩形,它

们共圆。

当 ? ? 4m ? 4 ? 0 ,即 m ? ?1 或 m ? 0 时,方程 x ? 2mx ? 1 ? 0 有两个不等的实根
2 2

x3, x4 ,则 x1 , x2 对应的点在以 x3, x4 对应的点为直径端点的圆上,该圆的方程为
2 2 即 x ? y ? ( x3 ? x4 ) x ? x3 x4 ? 0 , 将 x3 ? x4 ? ?2m, x3 x4 ? 1 ( x ? x3 )( x ? x4 ) ? y 2 ? 0 ,

4

m

于是,当 n>1 时, an ? 1(mod 10).

及 x1 , x2 对应点的坐标(1,±1)代入方程,即得 m ? ? 故 m 的取值范围是{m|-1<m<1 或 m=-3/2} 9、 ? ? arccos(

3 。 2

10 ) 10
? ? a?b b ? 2a , 设 x 与 y 的 夹 角 为 ? , 则 ,y? 3 3

解 : 由 已 知 , 得 x?
? ?

cos ? ?
10、 7

x? y

| x |?| y |

?

?

??

10 10 ,所以 ? = ? ? arccos( ) 10 10

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11、 y ?

S 梯形ABCD ? S ?CDE ?

1 1 (2 ? 6) ? 2 ? ? 2 ? 1 ? 7 2 2

6 6 ? 2 3? x

y

D2

C

解:当 AQ=x 时,设 GQ 与面 BDE 交于 点 N,作 NM⊥BD 于点 M,联结 QM 交直
' '

A

1E

线 BC 于点 P ,取点 P 为点 P,知此时

-3

-2

-1 O

1

y=|MN|最小。 建立如图 1 的空间直角坐标系,则 Q(0,x,1)且△BDE 所在平面上的点(x,y,z)满 足 x+y=z,故可令 N ( x 0 , y 0 , x0 ? y 0 ) 。 z

由点 N 在 QG 上,知在(0,1)内存在λ使 QN=λQG。

A

代入消去λ得 2 x0 ? y 0 ? 1, x0 ( x ? 1) y 0 ? x.

B

1? x 1? x 从而, x0 ? , y0 ? 3? x 3? x 1? x 1? x 2 于是, N ? ( , , ). 3? x 3? x 3? x

E

m
B 2 3 x Q D M P N C H y G

解:函数 y ? f 2 ( x ) 的图象如图的实线部分所示。所求的封闭部分的面积为

而点 M 在 BD 上,故可令 M ( x1 ,1 ? x1 ,1).

F

3 1? x 由 MN ? BD ? 0 ,知 x1 ? ( ). 2 3? x

x

于是, y ?| MN |? 12、 4012
2007

6 1? x 6 6 ( )? ? . 2 3? x 2 3? x

5

解:设 xi ?

2007 1 ? xi 2 ,则 a i ? 2 ? ,且 ? xi ? 1 ,所以 xi 2 ? ai i ?1

a1 a 2 ? ? ? a 2007 ? 2 2007 ? 1 ? ( x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x 2007 ) ? ( x1 ? x3 ? ? ? ? ? x 2007 ) ? ? ? ( x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x 2006 ) x1 x 2 ? ? ? x 2007 1 ? 2006 ? 2006 x 2 x3 ? ? ? x 2007 ? 2006 ? 2006 x1 x3 ? ? ? x 2007 ? ? ? 2006 ? 2006 x1 x 2 ? ? ? x 2006 x1 x 2 ? ? ? x 2007

? 2 2007 ?
=2
2007

? 2006 2007 ? 4012 2007
1 1 1 1 ? ? ? . a b c 5

13 解: (1)不妨设整数 a≥b≥c,显然 c≥2。 若 c≥5,这时

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1 1 1 1 4 ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? ( ) 3 。 2 a b c 5
矛盾。 故 c 只可能取 2,3,4。 当 c=2 时, ab ? (a ? 1)(b ? 1) ,有 a ? b ? 1. 又 a≥b≥2,故无解。 当 c=3 时, 3ab ? 4(a ? 1)(b - 1 ) ,即 ( a ? 4)(b ? 4) ? 12 又 a≥b≥3,故

由 abc ? 2(a ? 1)(b ? 1)(c ? 1) ,可得

?a ? 4 ? 12 ?a ? 4 ? 6 ?a ? 4 ? 4 或? 或? ? ? b ? 4 ? 1 ?b ? 4 ? 2 ? b ? 4 ? 3 ?a ? 16 ?a ? 10 ?a ? 8 或? 或? ? b ? 5 ? b ? 6 ?b ? 7

解得 ?

能构成三角形的只有 a=8,b=7,c=3。 当 c=4 时,同理解得 a=9,b=4 或 a=6,b=5。 能构成三角形的只有 a=6,b=5,c=4。 故存在三边长均为整数的△ABC,其三边长分别为 4,5,6 或 3,7,8 (2)由 abc ? 2(a ? 1)(b ? 1)(c ? 1) ,可得

1 1 1 1 ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? [ 2 a b c
所以,

1 1 1 (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) a b c ]3 3

1 1 1 2 ? ? ? 3? 3 a b c 2
6

m

又 (a ? b ? c)(

1 1 1 ? ? ) ? 9 ,则有 a b c

a?b?c ?

9 9 33 2 ? ?3 1 1 1 2 2 ?1 ? ? 3? 3 a b c 2 33 2
3

故△ABC 的周长最小值为

2 ?1

,当且仅当 a ? b ? c ?

3 3

2

2 ?1
2

时,取得此最小值。

14.

解:椭圆过定点 A(1,0) ,则 a=1,c= 1 ? b , e ? 1 ? b
2



的交点,就必过椭圆与射线 y=-x(x≥0)的交点

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∵ b ? (0,

? y ? x( x ? 0) b ? 解方程组 ? 2 y 2 ,得 x ? y ? x ? 2 ?1 1 ? b2 ? b ? 1 3 ) ,∴ 0 ? x ? 2 3
2

设抛物线方程为: y ? ?2 p ( x ? m), p ? 0, m ? 1 又∵

p ? m ? 1 ,∴ y 2 ? 4(1 ? m)( x ? m), m ? 1 2 1 y ? x, x ? (0, ) 得 x 2 ? 4(m ? 1) x ? 4m(m ? 1) ? 0 2
2

令 f ( x) ? x ? 4( m ? 1) x ? 4m( m ? 1), ( m ? 1,0 ? x ?

1 ) 2

1 2 f ( 0) ? ?4m(m ? 1) ? 0 ? ? 1 ∴? 1 f ( ) ? ? 2(m ? 1) ? 4m(m ? 1) ? 0 ? 4 ? 2
∵ f ( x)在(0, ) 内有根且单调递增。

m ? 1或m ? 0 ? ? ∴ ?3 ? 2 3? 2 ?m? ? 4 ? 4
故1 ? m ?

3? 2 4

7

m

3 2 ,由对称性知,所求抛物线只要过椭圆与射线 y=x(x≥0) ? e 2 ? 1 ,∴ 0 ? b ? 3 3


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