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动量和角动量习题


4-1. 如图所示的圆锥摆,绳长为 l,绳子一端固定,另一端系一质量为 m 的 质点,以匀角速 ω 绕铅直线作圆周运动,绳子与铅直线的夹角为 θ。在质点旋转 一周的过程中,试求: (1)质点所受合外力的冲量 I; (2)质点所受张力 T 的冲量 IT。 解: (1)根据冲量定理:

?

t

t0

>Fdt ? ?? dP ? ?P
P0

? P

其中动量的变化: mv ? mv0 在本题中,小球转动一周的过程中,速度没有变化,动量的变化就为 0,冲 量之和也为 0,所以本题中质点所受合外力的冲量 I 为零 (2)该质点受的外力有重力和拉力,且两者产生的冲量大小相等,方向相 反。 重力产生的冲量=mgT=2?mg/?; 所以拉力产生的冲量?2?mg/?, 方向为竖直 向上。 4-2.一物体在多个外力作用下作匀速直线运动, 速度 =4m/s。 已知其中一力 F 方向恒与运动方向一致,大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆,如图。求: (1)力 F 在 1s 到 3s 间所做的功; (2)其他力在 1s 到 s 间所做的功。 解: (1)由做功的定义可知:

W ? ? Fdx ? ? Fvdt ? v? Fdt ? v ? S 椭圆 ? 125.6J
x1 1 1

x2

3

3

(2)由动能定理可知,当物体速度不变时,外力做的总功为零,所以当该 F 做的功为 125.6J 时,其他的力的功为-125.6J。

4-3. 质 量 为 m 的 质 点 在 Oxy 平 面 内 运 动 , 运 动 学 方 程 为

r ? a cos?ti ? b sin ?tj ,求:
(1)质点在任一时刻的动量; (2)从 t ? 0 到 t ? 2? / ? 的时间内质点受到的冲量。 解: (1)根据动量的定义: P ? mv ? m(?? a sin ?ti ? ?b cos ?tj)

(2)从 t ? 0 到 t ? 2? / ? 的时间内质点受到的冲量等于它在这段时间内动 量的变化,因为动量没变,所以冲量为零。 4-4.质量为 M=2.0kg 的物体(不考虑体积) ,用一根长为 l=1.0m 的细绳悬挂 在天花板上。今有一质量为 m=20g 的子弹以 v0 =600m/s 的水平速度射穿物体。刚 射出物体时子弹的速度大小 v =30m/s,设穿透时间极短。求: (1)子弹刚穿出时绳中张力的大小; (2)子弹在穿透过程中所受的冲量。 解: (1)解:由碰撞过程动量守恒可得: 代入数据

mv0 ? mv ? Mv1

0.02? 600 ? 0.02? 30 ? 2v1 可得: v1 ? 5.7m / s

根据圆周运动的规律:T-G= M (2)根据冲量定理可得:

v2 R

v2 T ? M g? M1 ? 4 . 6 N 8 R

I ? mv ? mv0 ? ?0.02? 570 ? ?11.4N ? s

4-5. 一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子,巳知电子 的动量为 1.2 ? 10
?22

kg ? m/s,中微子的动量为 6.4 ?10?23 kg ? m/s ,两动量方向

彼此垂直。 (1)求核反冲动量的大小和方向; (2)已知衰变后原子核的质量为

5.8 ?10?26 kg ,求其反冲动能。
由碰撞时,动量守恒,分析示意图,可写成分量式:

m1 sin ? ? m2 cos? P ? m1 cos? ? m2 sin ?
所以 P ? 1.4 ?10?22 kg ? m / s

? ? ? ? ? ? 151.9?

(2)反冲的动能为: Ek ?

P2 ? 0.17 ?10?18 J 2m
5

4-6. 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为 F ? 400 ? 4 ? 10 t / 3 ,子 弹从枪口射出时的速率为 300 m/s 。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求: (1)子弹走完枪筒全长所用的时间 t ; (2)子弹在枪筒中所受力的冲量 I ; (3)子弹的质量。 解: (1)由 F ? 400 ? 4 ? 10 t / 3 和子弹离开枪口处合力刚好为零,则可以
5

得到: F ? 400 ? 4 ? 10 t / 3 ? 0
5

算出 t=0.003s。

(2)由冲量定义:

I ??

0.003

0

Fdt ? ?

0.003

0

(400 ? 4 ?105 t / 3)dt ? 400t ? 2 ?105 t 2 / 3

0.003 0

? 0.6 N ? s

(3)由动量定理: I ?

Fdt ? ?P ? mv ? 0.6 N ? s 所以:m ? 0.6 / 300 ? 0.002kg
0

?

0.003

4-7. 有质量为 2 m 的弹丸,从地面斜抛出去,它的落地点为 xc 。如果它在飞 行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落,另一碎片水 平抛出,它们同时落地。问第二块碎片落在何处。 解:在爆炸的前后,质心始终只受重力的作用,因此,质心的轨迹为一抛物 线,它的落地点为 xc。

xc ?

m1 x1 ? m2 x2 m1 ? m2

因为 m1 ? m2 ? m , x1 ?

xc 2

故 xc ?

mxc ? 2mx2 3 , x2 ? xc 4m 2

4-8. 两个质量分别为 m1 和 m2 的木块 A、B ,用一劲度系数为 k 的轻弹簧连 接,放在光滑的水平面上。 A 紧靠墙。今用力推 B 块,使弹簧压缩 x0 然后释放。 (已知 m1 ? m , m2 ? 3m )求: (1)释放后 A、B 两滑块速度相等时的瞬时 速度的大小; (2)弹簧的最大伸长量。 解:分析题意,可知在弹簧由压缩状态回到原长时,是弹簧的弹性势能转换 为 B 木块的动能,然后 B 带动 A 一起运动,此时动量守恒,可得到两者相同的 速度 v ,并且此时就是弹簧伸长最大的位置,由机械能守恒可算出其量值。

1 1 2 2 m 2 v 2 0 ? kx 0 2 2

m2 v 2 0 ? m1 ? m2)v (
所以 v ?

3 k x0 4 3m

1 1 1 2 m2 v 2 0 ? kx 2 ? (m1 ? m2)v 2 2 2 2 1 那么计算可得: x ? x 0 2
(2) 4-9. 二质量相同的小球, 一个静止, 一个以速度 0 与另一个小球作对心碰撞, 求碰撞后两球的速度。 (1)假设碰撞是完全非弹性的; (2)假设碰撞是完全弹性 的; (3)假设碰撞的恢复系数 e ? 0.5 . 解:由碰撞过程动量守恒以及附加条件,可得 (1)假设碰撞是完全非弹性的,即两者将以共同的速度前行: mv0 ? 2mv 所以: v ?

1 v0 2

(2)假设碰撞是完全弹性的,

mv0 ? mv1 ? mv2

1 1 1 2 2 2 mv 0 ? mv1 ? mv 2 2 2 2
两球交换速度, v1 ? 0

v 2 ? v0

(3)假设碰撞的恢复系数 e ? 0.5 ,也就是

mv0 ? mv1 ? mv2
v2 ? v1 ? 0.5 v10 ? v20
所以: v1 ?

1 v0 4



v2 ?

3 v0 4
?

4-10. 如图,光滑斜面与水平面的夹角为 ? ? 30 ,轻质弹簧上端固定.今在 弹簧的另一端轻轻地挂上质量为 M ? 1.0kg 的木块, 木块沿斜面从静止开始向下 滑动.当木块向下滑 x ? 30cm 时,恰好有一质量

m ? 0.01kg 的子弹,沿水平方向以速度 v ? 200 m/s
射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为

k ? 25 N / m。求子弹打入木块后它们的共同速度。
解:由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度,碰撞过程中子弹和木快沿 斜面方向动量守恒,可得:

1 1 Mv 2 ? kx2 ? Mgx sin ? 2 1 2
Mv1 ? mv cos ? ? m ? M)v? (

? v1 ? 0.83 (碰撞前木快的速度)
? v? ? ?0.89

4-11. 水平路面上有一质量 m1 ? 5kg 的无动力小车以匀速率

0

? 2 m/s 运

动。小车由不可伸长的轻绳与另一质量为 m2 ? 25kg 的车厢连接,车厢前端有一 质量为 m3 ? 20kg 的物体, 物体与车厢间摩擦系数为 ? ? 0.2 。 开始时车厢静止,

绳未拉紧。求:

(1)当小车、车厢、物体以共同速度运动时,物体相对车厢的位移; (2)从绳绷紧到三者达到共同速度所需要的时间。(车与路面间摩擦不计,取 g =10m/s2) 解: (1)由碰撞过程动量守恒,可得

m1v0 ? m1 ? m2 ?m3 )v? ( m1v0 ? (m1 ? m2 )v
1 2

? v ? ? 0.2 m s

v?
1 2

m1 5? 2 1 v0 ? ? ms m1 ? m2 5 ? 25 3

?m3 gs ? (m1 ? m2 )v 2 ? (m1 ? m2 ? m3)v ? 2
1 1 (m1 ? m2 )v 2 ? (m1 ? m2 ? m3)v ? 1 2 s? 2 ? m ?m3 g 60
(2) m3 v? ? μm3 g t

t?

v? 0.2 ? ? 0.1s μg 0.2 ? 10

4-12. 一质量为 M 千克的木块,系在一固定于墙壁的弹簧的末端,静止在光 滑水平面上, 弹簧的劲度系数为 k .一质量为 m 的子弹射入木块后, 弹簧长度被压 缩了 L . (1)求子弹的速度;(2)若子弹射入木块的深度为 s ,求子弹所受的平均阻力。 解: (1)碰撞过程中子弹和木块动量守恒,碰撞结束后的运动由机械能守恒 条件可得,

mv0 ? m ? M)v? (
1 1 (m ? M)v ? 2 ? kL2 2 2

计算得到: v 0 ?

L k(m ? M) m

(2)子弹射入木快所受的阻力做功使子弹动能减小,木块动能增加,两次 作功的位移差为 s,所以:

1 2 m(v0 ? v ? 2) 2 1 fx ? ? Mv ? 2 2 fx ?
所以: f ?

其中 x ? x ? ? s

MkL2 2m s

4-13. 质量为 M 、长为 l 的船浮在静止的水面上,船上有一质量为 m 的人, 开始时人与船也相对静止,然后人以相对于船的速度 u 从船尾走到船头,当人走 到船头后人就站在船头上,经长时间后,人与船又都静止下来了。设船在运动过 程中受到的阻力与船相对水的速度成正比, f ? ?kv .求在整个过程中船的位移 即

?x .
4-14. 以初速度 0 将质量为 m 的质点以倾角 ? 从坐标原点处抛出。 设质点在 Oxy 平面内运动,不计空气阻力,以坐标原点为参考点,计算任一时刻: (1)作用在质点上的力矩 M; (2)质点的角动量 L

? ? ? ? 解: (1) M ? r ? F ? ?mgv cos?tk 0

? ? ? t ? mgv 0 ? L ? r ? mv ? ? Mdt ? ? cos ?t 2 k (2) 0 2
4-15. 人造地球卫星近地点离地心 r1=2R, 为地球半径) 远地点离地心 r2=4R。 (R , 求: (1)卫星在近地点及远地点处的速率 1 和 2(用地球半径 R 以及地球表面附近 的重力加速度 g 来表示) ; (2)卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径 ρ。

解:利用角动量守恒: L ? r mv 1 1

? r2 mv2

? 2v1 ? 4v2

同时利用卫星的机械能守恒,所以:

1 Mm 1 Mm 2 mv12 ? G0 ? mv 2 ? G0 2 2R 2 4R G0 Mm ? mg R2

所以: v1 ?

2 Rg 3
?m v2

v2 ?

Rg 6
8 R 3

(2) G0

Mm

?

2

?

可得到: ? ?

4-16 火箭以第二宇宙速度 v2 ? 2Rg 沿地球表面切向飞出,如图所示。在飞 离地球过程中,火箭发动机停止工作,不计空气阻力,求火箭在距地心 4R 的 A 处的速度。 解:第二宇宙速度 E ? 0 ,由机械 能守恒:

1 Mm 0 ? mvA2 ? G 2 4R
vA ? G M 1 ? gR 2R 2

mv2 R ? mvA 4R sin ?

v2 ? 2Rg 代入: ? ? ? 30?

4-1. 一 ?

思考题 4 粒子初时沿 x 轴负向以速度 v 运动,后被位于坐标原点的金核所散
?

射, 使其沿与 x 轴成 120 的方向运动(速庹大小不变).试用矢量在图上表出 ? 粒 子所受到的冲量 I 的大小和方向。 见图 4-25。 4-2. 试用所学的力学原理解释 逆风行舟的现象。 可用动量定理来解释。设风沿与航向成 α 角的方向从右前方吹来,以风中一 小块沿帆面吹过来的空气为研究对象, Δ m 表示这块空气的质量,v1 和 v2 分别表 示它吹向帆面和离开帆面时的速度,由于帆面比较光滑,风速大小基本不变,但 是由于 Δ m 的速度方向改变了, 所以一定是受到帆的作用力, 根据牛顿第三定律,

Δ m 必然对帆有一个反作用力 f ? ,此力的方向偏向船前进的方向,将 f ? 分解为
两个分量,垂直船体的分量与水对船的阻力相平衡,与船的航向平行的分量就是 推动帆及整个船体前进的作用力。

4-3. 两个有相互作用的质点 m1 和 m2 ( m 2 ?

m1 ) ,已知在不受外力时它们 2

的总动量为零, m1 的轨迹如图,试画出 m2 质点的运动轨迹。 见图 4-26。

4-4. 当质量为 m 的人造卫星在轨道上运动时,常常列出下列三个方程:

1 2 Gme m 1 2 Gme m m v2 ? ? m v1 ? 2 r2 2 r1
mv2 sin ? 2 ? mv1 sin ?1
m v2 Gme m ? r r2
试分析上述三个方程各在什么条件下成立。

4-5. 在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车,向东南(斜向上)方向发射 一炮弹,对于炮车和炮弹这一系统,在此过程中(忽略冰面摩擦力及空气阻力) 哪些量守恒? 对于这个系统,能量守恒,因为没有外力做功; 4-6. 体重相同的甲乙两人,分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端,当 他们由同一高度向上爬时,相对于绳子,甲的速度是乙的两倍,则到达顶点情况 是: (A)甲先到达; (B)乙先到达; (C)同时到达; (D)谁先到达不能确定。 答:本题测试的是刚体系统的角动量定理和角动量守恒的概念. 当两小孩质量相等时,M=0.则系统角动量守恒,两人的实际的速度相同,将同 时到达滑轮处,与谁在用力,谁不在用力无关. 选择 C。


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