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9.3圆的方程


莱西二中数学导学案

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课题 课前预习导读

§9.3 圆的方程

一、考纲要求:①掌握确定圆的几何要素. ②掌握圆的标准方程和圆的一般方程 二、要点梳理 1、圆的定义:平面内到 的距离等于 的点的 叫圆. 2、确定圆的基本几何要素是: 和 . 3、圆的标准方程:

,其中 为圆心 为半径. 4、圆的一般方程: ,半径为 5、 点与圆的位置关系:
2 2 2

,其中 .

,圆心为

圆的标准方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,点 M ( x0 , y0 ) ,圆心 O(a,b) ① 点在圆上 ? ,即 OM=r. ② 点在圆外 ? ,即 OM>r. ③ 点在圆内 ? ,即 OM<r. 三、基础自测 2 2 2 1.方程 x +y +ax+2ay+2a +a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是( A. a<-2 或 a>
2 2



2 3
3 2

B. ?

2 <a<0 3

C.-2<a<0

D.-2<a< )

2 3

2.圆 x +y -2x+2y+1=0 的圆心到直线 x-y+1=0 的距离是( A.

1 2
2

B.

C.

2 2

D.

3 2 2

2

3.(2009·重庆文,1)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程是( A.x +(y-2) =1
2

B.x +(y+2) =1

2

2

C.(x-1) +(y-3) =1

2

D.x +(y-3) =1

2

2

4.当 a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0 恒过定点 C,则以 C 为圆心, 5 为半径的圆 的方程为(
2 2


2 2 2 2 2 2

A.x +y -2x+4y=0 B.x +y +2x+4y=0 C.x +y +2x-4y=0 D.x +y -2x-4y=0 5.过点 A(1,-1) ,B(-1,1) ,且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是 (
2 2 2 2 2 2 2 2



A.(x-3) +(y+1) =4 B.(x+3) +(y-1) =4 C.(x-1) +(y-1) =4 D.(x+1) +(y+1) =4

课堂自主导学(探究典例
题型一 求圆的方程

归纳方法)

【例 1】求与 x 轴相切,圆心在直线 3x-y=0 上,且被直线 x-y=0 截得的弦长为 2 7 的圆的 方程.

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题型二 与圆有关的最值问题 【例 2】已知实数 x、y满足方程x2 ? y 2 ? 4x ? 1 ? 0. (1)求

y 的最大值和最小值; (2)求 y-x 的最大值和最小值. x

探究提高 与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型: (1)形如 ? ?

y ?b 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; x?a
2 2

(2)形如 t=ax+by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题; (3)形如(x-a) +(y-b) 形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 题型三 与圆有关的轨迹问题 【例 3】 设定点 M (-3, 4) , 动点 N 在圆 x +y =4 上运动, 以 OM、 ON 为两边作平行四边形 MONP, 求点 P 的轨迹.
2 2

探究提高 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:直接法,直接 根据题目提供的条件列出方程;定义法,根据圆、直线等定义列方程;几何法,利用圆与圆 的几何性质列方程;代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.

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题型四

圆的综合应用
2 2

【例 4】 已知圆 x +y +x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P, Q 两点, 且 OP⊥OQ (O 为坐标原点) , 求该圆的圆心坐标及半径.

探究提高 在解决与圆有关的问题中,借助于圆的几何性质,往往会使得思路简捷明了,简 化思路,简便运算.

知识运用反馈
1.(2009·辽宁文,7)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上, 则圆 C 的方程为 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A.(x+1) +(y-1) =2 B.(x-1) +(y+1) =2 C.(x-1) +(y-1) =2 D.(x+1) +(y+1) =2 2.方程

x2 ? y 2 ? 4mx ? 2 y ? 5m ? 0 表示圆的条件是(
1 ? m ?1 4
B、m>1
2 2



A、

C、 m ?

1 4

D、 m ?

1 或m ? 1 4


3.若实数 x、y满足等式(x-2) ? y ? 3 ,那么

y 的最大值时( x
D、

A、
2

1 2
2

B、 3

C、

3 2

3 3

4.圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 关于直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a、b ? R) 对称, 则 ab 的取值范围是 _________________. 5.以 A(-4,-5)、B(6,1)为直径的圆的方程为_____________________________. 6.已知点 P( x, y) 是圆 ( x ? 2) ? y ? 1上任意一点, (1)求 P 点到直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 的距
2 2

离的最大值和最小值; (2)求

y?2 的最大值和最小值. x ?1

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6.已知圆 x2+y2=4 上一定点 A(2,0)B(1,1)为圆内一点,P,Q 为圆上的动点. (1)求线段 AP 中点的轨迹方程; (2)若∠PBQ=90°,求 PQ 中点的轨迹方程.

7.已知圆 C: (x-1) +(y-2) =25 及直线 l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R). (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交; (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.

2

2

课后自主导学
活页练§9.3 反思总结


9.3圆的方程

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高中数学 第九章 9.3 圆的方程

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