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(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练6 新人教A版


名校专题----圆锥曲线培优训练 6
x2 C: ? y2 ?1 2 M是 1.如图,已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,下顶点为 A ,点 P 是椭圆上任一点,圆 P . M 以 PF2 为直径的圆. F1 F2 O x

y

? ⑴当圆 M 的面积为 8 ,求 PA 所在的直线方程;
⑵当圆 M 与直线

AF1 相切时,求圆 M 的方程; ⑶求证:圆 M 总与某个定圆相切. 解

A

⑴易得 F1 ?? 1,0? , F2 ?1,0? , A2 ?0,?1? ,设 P?x1 , y1 ? ,



PF2 ? ?x1 ? 1? ? y1 ? ?x1 ? 1? ? 1 ?
2 2 2 2

x1 1 2 ? ?x1 ? 2? 2 2 ,

2



PF2 ? 2 ?

2 x1 ? 2 ? x1 ? 2 2 , …………………2

?

?

? ? 2 ? ?x1 ? 2? 又圆 M 的面积为 8 ,∴ 8 8 ,解得 x1 ? 1 ,

?

? ? 2? ? ? ?1,? 2 ? P?1, ? 2 ? ? 2 ? ?, ?或? ∴ ?

? ? ? 2? ? x ? 1 y ? ?1 ? 2 ? x ? 1 y ? ?1 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ∴ PA 所在的直线方程为 或 ;…………………………4
x1 ? 1 y1 ? ?1 2 2 2

? x ?1 y ? M? 1 , 1 ? 2 ? 到直线 AF1 的距离为 ⑵∵直线 AF1 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,且 ? 2
化简得 y1 ? ?2 x1 ? 1 ,…………………………6

?

2 2 ? x1 2 4



? y1 ? ?2 x1 ? 1 ? 2 ? x1 2 8 ? y1 ? 1 x1 ? ? ? x ? 0 9. 联立方程组 ? 2 ,解得 1 或
?1 1? M ? ,? ? 当 x1 ? 0 时,可得 ? 2 2 ? ,

…………………………8
2 2

1? 1? 1 ? ? ?x ? ? ?? y ? ? ? 2? 2? 2 ;………9 ? ∴ 圆 M 的方程为 ?
2 2

1? 7? 169 ?1 7? ? ? 8 M? , ? ?x ? ? ??y ? ? ? x1 ? ? 18 ? 18 ? 162 ;…10 ? 9 时,可得 ? 18 18 ? , ∴ 圆 M 的方程为 ? 当
⑶圆 M 始终与以原点为圆心,半径 r1 ? 2 (长半轴)的圆(记作圆 O)相切.
1

OM ?
证明:∵

?x1 ? 1?2
4

?

y1 ? 4

2

?x1 ? 1?2
4

1 x 2 2 ? ? 1 ? ? x1 4 8 2 4 ,

2

……………14

又圆 M 的半径

r2 ? MF2 ?

2 2 ? x1 2 4 ,∴ OM ? r1 ? r2 ,
…………………………………………16

∴圆 M 总与圆 O 内切.

2.已知直线 (1 ? 4k ) x ? (2 ? 3k ) y ? (3 ? 12k ) ? 0(k ? R) 所经过的定点 F 恰好是椭圆 C 的一个焦点,且椭圆
2 2 C 上的点到点 F 的最大距离为 8.(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知圆 O : x ? y ? 1 ,直线 l : mx ? ny ? 1 .

试证明当点 P(m, n) 在椭圆 C 上运动时,直线 l 与圆 O 恒相交;并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长的取值范围. 【解析】 : (1)由 (1 ? 4k ) x ? (2 ? 3k ) y ? (3 ? 12k ) ? 0(k ? R) ,得 ( x ? 2 y ? 3) ? k (4 x ? 3 y ?12) ? 0 ,

? c?3 ? ? a?c ?8 ? x ? 2y ?3 ? 0 x2 y 2 ? ? ? 1( a ? b ? 0) ?a 2 ? b 2 ? c 2 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 ,解得 F(3,0), 设椭圆 C 的方程为 a 2 b2 则由 ? ,则 ? ,解 ?a ? 5 ? ?b ? 4 ?c ? 3 ?



x2 y 2 ? ?1 , 所以椭圆 C 的方程为 25 16 1? m2 n 2 ? ? m2 ? n 2 25 16 ,
从而圆心 O 到直线 l : mx ? ny ? 1

(2)因为点 P(m, n) 在椭圆 C 上运动,所以

d?
的距离

1 m ? n2
2

?1? r

.所以直线 l 与圆 O 恒相交
? 2 1? 1 9 2 m ? 16 25

1 L ? 2 r2 ? d 2 ? 2 1? 2 2 m ?n 又直线 l 被圆 O 截得的弦长为

由于 0 ? m ? 25 ,所以
2

16 ?

9 2 15 4 6 m ? 16 ? 25 L ?[ , ] 25 2 5 , ,则

即直线 l 被圆 O 截得的弦长的取值范围是

L ?[

15 4 6 , ] 2 5

C : x2 ?
3、已知曲线

y2 ?1 a ,直线 l : kx ? y ? k ? 0 , O 为坐标原点.

2

3 (1)若该曲线的离心率为 2 ,求该的曲线 C 的方程;
( 2 ) 当 a ? ?1 时 , 直 线 l 与 曲 线 C 相 交 于 两 点 M , N , 试 问 在 曲 线 C 上 是 否 存 在 点 Q 使 得

???? ? ???? ???? OM? ON ? ? OQ ?若存在,求实数 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由;

y 解: (1)、若焦点在 x 轴上, C : x ? 4 y ? 1 ;若焦点在 轴上,
2 2

C : x2 ?

y2 ?1 2 ;

(2) 、由题:直线 l 与曲线 C 都恒过定点 (1, 0) , M (1,0) ;

? y ? k ( x ? 1) k 2 ?1 2k ? (k 2 ? 1) x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 1 ? 0 ? 2 x? 2 ,y? 2 2 ? x ? y ?1 k ?1 k ?1 , ,可得
???? ? ???? ???? ?1 ? xN ? ? xQ OM ? ON ? ? OQ ? ? ? yN ? ? yQ Q , , 代 入 曲 线

假 设 存 在 满 足 条 件 的

C

可 得

1

?2

( xQ 2 ? yQ 2 ) ? 1 ?

2k 2 2 2 k 2 4k 2 4 ) ? ( ) ? 4? 2 ?4 2 2 2 2 ? = k ?1 k ?1 = k ?1 k ?1 , (

所以: ? ? ?2或? ? 2 满足条件.

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 b 2、已知双曲线 c : a 的一个焦点与抛物线 y ? 4 x 的焦点重合,且双曲线的离心率
为 5. (1)求双曲线的方程. (2)若有两个半径相同的圆

c1 , c2 ,它们的圆心都在 x 轴上方且分别在双曲线 c 的两渐近线上,过双曲线的右 c1 , c2 都相切,求两圆 c1 , c2 圆心连线斜率的范围.
e?

焦点且斜率为 ?1 的直线 l 与圆

解: (1)因为抛物线 y ? 4 x 的焦点为 (1, 0) ,由已知得 c ? 1 ,所以由
2

1 2 c a? ,b ? ? 5 5 5, a ,得

5x2 ?
所以双曲线的方程为

5 2 y ?1 4 .

( 2 ) 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y ? 2 x, y ? ?2 x , 直 线 l 的 方 程 为 x ? y ? 1 ? 0 , 由 已 知 可 设 圆

c1 : ( x ? t )2 ? ( y ? 2t )2 ? r 2 ,圆 c2 : ( x ? n)2 ? ( y ? 2n)2 ? r 2 ,其中 t ? 0, n ? 0 ,

3

t ? 2t ? 1
因为直线 l 与圆

c1 , c2 都相切,所以

2

?

n ? 2n ? 1 2


得 t ? 2t ? 1 ? n ? 2n ? 1 或 t ? 2t ? 1 ? ?n ? 2n ? 1 ,即 n ? ?3t ,或 n ? 3t ? 2 ,

设两圆

c1 , c2 圆心连线斜率为 k ,则
k? 2t ? 6t ? ?1 4t ,

k?

2t ? 2n t?n ,

当 n ? ?3t 时,

当 n ? 3t ? 2 时, 综上:两圆

k?

2t ? 2n 4t ? 2 2 0?t? t ? 0, n ? 0 t ? n = ?t ? 1 ,因为 3 ,故可得 ?2 ? k ? 2 , ,所以

c1 , c2 圆心连线斜率的范围为 (?2, 2) .

x2 y 2 6 ? 2 ?1 2 b 3、已知椭圆 C : a ( a ? b ? 0 )的离心率为 3 ,过右焦点 F 且斜率为 1 的直线
交椭圆 C 于 A, B 两点, N 为弦 AB 的中点。 (1)求直线 ON ( O 为坐标原点)的斜率

kON ;

???? ? ??? ? ??? ? OM ? ? OA ? ? OB C M (2)设 椭圆 上任意一点 ,且 ,求 ? ? ? 的最大值和最小值

a2 ? b2 2 c 6 ? ? 3 ,故有 a 2 ? 3b 2 。从而椭圆 C 的方程可 3 ,所以有 a 2 解:(1)设椭圆的焦距为 2c,因为 a
化为: x ? 3 y ? 3b
2 2 2



易知右焦点 F 的坐标为( 2b,0 ) , 据题意有 AB 所在的直线方程为: y ? x ? 2b 由①,②有: 4 x ? 6 2bx ? 3b ? 0
2 2

② ③

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,弦 AB 的中点

N ( x0 , y0 ) ,由③及韦达定理有:

x0 ?

x1 ? x2 3 2b 2 ? , y 0 ? x0 ? 2b ? ? b. 2 4 4

K ON ?
所以

y0 1 ?? x0 3 ,即为所求。

4

(2)显然 OA 与 OB 可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量 OM ,有 且只有一对实数 ? , ? ,使得等式 OM ? ?OA ? ?OB 成立。设 M ( x, y ) ,由 1)中各点的坐标有:

( x, y) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 ) ,所以 x ? ?x1 ? ?x2 , y ? ?y1 ? ?y2 。
又 点 在 椭 圆 C 上 , 所 以 有

(?x1 ? ?x2 ) 2 ? 3(?y1 ? ?y2 ) 2 ? 3b 2








?2 ( x12 ? 3 y12 ) ? ? 2 ( x2 2 ? 3y2 2 ) ? 2?? ( x1 x2 ? 3 y1 y2 ) ? 3b 2 。
x1 ? x2 ? 3 2b 3b 2 , x1 ? x2 ? 2 4 。所以

由③有:

x1 x2 ? 3 y1 y 2 ? x1 x2 ? 3( x1 ? 2b)(x2 ? 2b) ? 4 x1 x2 ? 3 2b( x1 ? x2 ) ? 6b 2 ? 3b 2 ? 9b 2 ? 6b 2 ? 0
又 A﹑B 在椭圆上,故有 ( x1 ? 3 y1 ) ? 3b , ( x2 ? 3 y2 ) ? 3b
2
2


2 2 2 2 2



2 2 1 ???? ? ? ?? 2 2 ? ? ? ???? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 1 2 2 2 ? 2 将⑤,⑥代入④可得: 。? ,故有 2

所以

(? ? ? )max ?

2 2 (? ? ? ) min ? ? 2 2 ,

4、已知椭圆 E 经过点 A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2 在 x 轴上, 1 离心率 e= . 2 (1)求椭圆 E 的方程; (2)求∠F1AF2 的角平分线所在直线 l 的方程; (3)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点?若存在, 请找出; 若 不存在,说明理由. 解 x2 y2 1 c 1 (1)设椭圆 E 的方程为 + =1,由 e= ,即 = ,a=2c,得 b2= a2 b2 2 a 2

a2-c2=3c2. x2 y2 1 3 ∴椭圆方程具有形式 + =1.将 A(2,3)代入上式,得 + =1,解得 c=2, 4c2 3c2 c2 c2 x2 y2 ∴椭圆 E 的方程为 + =1. 16 12 3 (2)解法一 由(1)知 F1(-2,0),F2(2,0),∴直线 AF1 的方程为 y= (x+2),即 3x-4y+6=0. 4 直线 AF2 的方程为 x=2.由点 A 在椭圆 E 上的位置知,直线 l 的斜率为正数. |3x-4y+6| 设 P(x,y)为 l 上任一点,则 =|x-2|.若 3x-4y+6=5x-10, 5 得 x+2y-8=0(因其斜率为负,舍去).于是,由 3x-4y+6=-5x+10 得 2x-y-1=0,

5

所以直线 l 的方程为 2x-y-1=0. → → 解法二 ∵A(2,3),F1(-2,0),F2(2,0),∴AF1=(-4,-3),AF2=(0,-3). → → AF1 AF2 1 1 4 ∴ + = (-4,-3)+ (0,-3)=- (1,2). → → 5 3 5 |AF1| |AF2| ∴kl=2.∴l:y-3=2(x-2),即 2x-y-1=0. (3)解法一 假设存在这样的两个不同的点 B(x1,y1)和 C(x2,y2), y2-y1 1 x1+x2 y1+y2 ∵BC⊥l,∴kBC= =- .设 BC 的中点为 M(x0,y0),则 x0= ,y0= , x2-x1 2 2 2 由于 M 在 l 上,故 2x0-y0-1=0.① x2 1 y2 1 x2 2 y2 2 x2 2-x2 1 y2 2-y2 1 又 B,C 在椭圆上,所以有 + =1 与 + =1.两式相减,得 + =0, 16 12 16 12 16 12 即 (x1+x2)(x2-x1) (y1+y2)(y2-y1) + =0, 16 12

1 x1+x2 y2-y1 1 y1+y2 将该式写为 · + · · =0,并将直线 BC 的斜率 kBC 和线段 BC 的中点表示代入该表达 8 2 x2-x1 6 2 1 1 式中,得 x0- y0=0,即 3x0-2y0=0.② 8 12 ①×2-②得 x0=2,y0=3,即 BC 的中点为点 A,而这是不可能的, ∴不存在满足题设条件的点 B 和 C 1 解法二 假设存在 B(x1,y1),C(x2,y2)两点关于直线 l 对称,则 l⊥BC,∴kBC=- . 2 1 x2 y2 ? 1 ? 设直线 BC 的方程为 y=- x+m,将其代入椭圆方程 + =1,得一元二次方程 3x2+4?- x+m?2=48, 2 16 12 ? 2 ? 即 x2-mx+m2-12=0.且 x1 与 x2 是该方程的两个根. 1 3m 由根与系数的关系得 x1+x2=m,于是 y1+y2=- (x1+x2)+2m= , 2 2

?m 3m? ∴B,C 的中点坐标为? , ?.又线段 BC 的中点在直线 y=2x-1 上, ?2 4 ?
∴ 3m =m-1,得 m=4,即 B,C 的中点坐标为(2,3),与点 A 重合,矛盾. 4

∴不存在满足题设条件的相异两点. x2 y2 【答案】 (1) + =1 (2)2x-y-1=0 16 12 (3)不存在 理由略

x2 y2 2 4、如图,已知椭圆 + =1(a>b>0)的离心率为 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 F1、F2 为顶点 a2 b2 2 的三角形的周长为 4( 2+1), 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点, 设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点, 直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D.

6

(1)求椭圆和双曲线的标准方程; (2)设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2,证明:k1·k2=1; (3)是否存在常数 λ ,使得|AB|+|CD|=λ |AB|·|CD|恒成立?若存在,求 λ 的值;若不存在,请说明理 由. 解 c 2 (1)设椭圆的半焦距为 c,由题意知: = ,2a+2c=4( 2+1),所以 a=2 2,c=2. a 2

x2 y2 又 a2=b2+c2,因此 b=2,故椭圆的标准方程为 + =1. 8 4 x2 y2 由题意设等轴双曲线的标准方程为 - =1(m>0),因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点,所以 m=2,因 m2 m2 x2 y2 此双曲线的标准方程为 - =1. 4 4 y0 y0 (2)证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0, y0),则 k1= ,k2= . x0+2 x0-2 因为点 P 在双曲线 x2-y2=4 上,所以 x2 0-y2 0=4, y0 y0 y2 0 因此 k1·k2= · = =1,即 k1·k2=1. x0+2 x0-2 x2 0-4 (3)由于 PF1 的方程为 y=k1(x+2), 将其代入椭圆方程得(2k2 1+1)x2+8k2 1x+8k2 1-8=0, -8k2 1 8k2 1-8 由根与系数的关系得 x1+x2= ,x1x2= . 2k2 1+1 2k2 1+1 所以|AB|= 1+k2 1 (x1+x2)2-4x1x2 = 1+k2 1 1? 8k2 1-8 k2 1+1 ? -8k2 2-4× =4 2 . ?2k2 ? 2k2 1+1 2k2 1+1 ? 1+1? k2 2+1 . 2k2 2+1

同理可得|CD|=4 2 则

1+1 2k2 2+1? 1 1 1 ?2k2 + + = ,又 k1·k2=1, ? 1+1 k2 2+1 ? |AB| |CD| 4 2? k2 ?

2 +1? ? k2 1 2k2 1 + 1 1+1 k2 1+2? 3 2 1 1 1 2?2k2 + + 所以 + = = ? ?= 8 . ? ? 1+1 1 1+1 k2 1+1? |AB| |CD| 4 2 k2 8 ? k2 +1 k2 1 ? ? 3 2 故|AB|+|CD|= |AB|·|CD|. 8

7

3 2 因此存在 λ = ,使|AB|+|CD|=λ |AB|·|CD|恒成立. 8 x2 y2 x2 y2 3 2 【答案】 (1)椭圆的标准方程为 + =1,双曲线的标准方程为 - =1 (2)略 (3)存在.λ = 8 4 4 4 8 .

8


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