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2009届新课标数学考点预测--坐标系与参数方程

时间:2010-09-08


高三理科专用

届新课标数学考点预测---坐标系与参数方程 2009 届新课标数学考点预测--坐标系与参数方程
坐标系与参数方程在高考中根据各省的情况而选考,一般是 5-10 分的比较容易的题,常与几 何证明选讲,不等式选讲和矩阵与变换等多个选修模块进行选择其一解答,知识相对比较独立, 与其他章节联系不大,容易拿分。根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系,坐标系选取的恰 当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立。有些问题 用极坐标系解答比较简单,而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答,计算 简便。高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通 方程间的相互转化,并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题,交点问题和位置关系的判 定。

一、极坐标
平面几何问题中有许多问题牵扯到长度与角度问题,以这两个量为变量建立极坐标系得到点的 坐标、线的方程研究问题就比较容易,而研究极坐标方程时往往要与普通方程之间进行相互转化, 在转化时坐标系的选取与建立是以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且在两坐 标系中取相同的长度单位。平面内任意一点 P 的直角坐标与极坐标分别为 ( x, y ) 和 ( ρ , θ ) ,则有
2 2 2 x = ρ cos θ ρ = x + y 和 y 这样的互化关系式,这就给两种方程之间建立了桥梁关系,我们可以 tan θ = y = ρ sin θ



x

来去自由。注意在极坐标系中,极径 ρ 允许取负值,极角 θ 也可以去任意的正角或负角。当 ρ<0 时,点 M (ρ,θ)位于极角终边的反向延长线上,且 OM=

ρ 。M (ρ,θ)也可以表示为

( ρ , θ + 2kπ )或( ρ ,θ + (2k + 1)π ) ( k ∈ z )

1.直接求解
例 1.在极坐标系中,过圆 ρ =6cos θ 的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 分析:把极坐标方程化为普通方程求出直线,再得到极坐标方程。 解:由题意可知圆的标准方程为 ( x 3) + y 2 = 9 ,圆心是(3.0)
2

所求直线标准方程 x=3,则坐标方程为 ρ cos θ =3. 答案: ρ cos θ =3. 评注:在研究极坐标问题时常常要把极坐标方程转化为普通方程解决问题。 例 2 .( 08 广 东 卷 理 13 ) 已 知 曲 线 C1,C2 的 极 坐 标 方 程 分 别 为 ρ cos θ = 3 ,

1

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ρ = 4 cos θ ρ ≥ 0,≤ θ < ,则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为 0 2

分析:本题给出的是极坐标方程,而所求的交点为极坐标,可以直接求解。



π



ρ = 2 3 ρ cosθ = 3 π π 解:联立解方程组 (ρ ≥ 0,0 ≤ θ < ) 解得 π ,即两曲线的交点为 (2 3, 6 ) 。 2 ρ = 4cosθ θ = 6
答案: (2 3,

π
6

)

评注:本题中的已知与所求都是极坐标问题,所以可以直接求解。当然也可以转化为普通方程解 答。

2.由极坐标求最值 .
例 3. (2009 大丰市)已知 A 是曲线 ρ=3cosθ 上任意一点,求点 A 到直线 ρcosθ=1 距离的 最大值和最小值。 分析:可以把极坐标方程转化为普通方程,再结合图形解答问题。 解:将极坐标方程转化成直角坐标方程:ρ=3cosθ 即:x2+y2=3x,(x-

3 2 2 9 ) +y = 2 4

ρcosθ=1 即 x=1 直线与圆相交。所求最大值为 2,最小值为 0 评注:将极坐标方程转化为普通方程是解决两曲线位置关系的重要方法。

例 4. (2008 盐城市)在极坐标系中,设圆 ρ = 3 上的点到直线 ρ cosθ + 3sinθ = 2 的距离为 d , 求 d 的最大值. 分析:已知圆为极坐标方程,可以转化为普通方程,然后改写为参数式即可表示出圆上任意一点 的坐标,并把直线的极坐标方程转化为普通方程,圆上的点的坐标可以表示出来,由点到直线的 距离公式即可求出。也可以转化为圆心到直线的距离利用数形结合的思想解答。 解法一、将极坐标方程 ρ = 3 转化为普通方程: x 2 + y 2 = 9 ,

(

)

ρ cos θ + 3 sin θ = 2 可化为

x + 3 y = 2 ,在 x 2 + y 2 = 9 上任取一点 A ( 3cos α ,3sin α ) ,则点 A 到直线的距离为

(

)

d=

3cos α + 3 3 sin α 2 2

=

6sin(α + 300 ) 2 2

,它的最大值为 4

解法二、将极坐标方程 ρ = 3 转化为普通方程: x 2 + y 2 = 9 ,

ρ cos θ + 3 sin θ = 2 可化为

(

)

x + 3 y = 2 ,则圆心到直线的距离为 1,圆的半径为 3,所以圆上的点到直线的最大距离为 4。
评注:在求点线距离时常常转化为普通方程解答,而且要学会转化的思想和数形结合的思想。

3.极坐标方程研究两曲线的位置关系
x = 1 + 2t , x = 3cos α , 例 5. (江苏省南通市 2008-2009)求直线 (t 为参数)被圆 (α为参数)截 y = 1 2t y = 3sin α

得的弦长. 分析:把参数方程转化为普通方程来判断位置关系,利用圆心距与半径求出弦长。

2

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x = 1 + 2t , 解:把直线方程 化为普通方程为 x + y = 2 .将圆 y = 1 2t

x = 3cos α , 化为普通方程为 y = 3sin α

x 2 + y 2 = 9 .圆心 O 到直线的距离 d =

2 2

= 2 ,∴ 弦长 L = 2 R 2 d 2 = 2 9 2 = 2 7 .

x = 1 + 2t , x = 3cos α , 所以直线 被圆 截得的弦长为 2 7 . y = 1 2t y = 3sin α

评注:消去参数可得普通方程,在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参。

二、参数方程
参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式,它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标 间接地联系起来,参数方程与变通方程同等地描述,了解曲线,参数方程实际上是一个方程组, 其中 x , y 分别为曲线上点 M 的横坐标和纵坐标。参数方程求法(1)建立直角坐标系,设曲线 上任一点 P 坐标为 ( x, y ) ; (2)选取适当的参数; (3)根据已知条件和图形的几何性质,物理意义, 建立点 P 坐标与参数的函数式; (4)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程。求曲线的参数 方程关键是参数的选取,选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简 单,与运动有关的问题选取时间 t 做参数,与旋转的有关问题选取角 θ 做参数,或选取有向线段的 数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种:代入法:利用解方程的技巧求 出参数 t,然后代入消去参数。三角法:利用三角恒等式消去参数。整体消元法:根据参数方程本 身的结构特征,从整体上消去。化参数方程为普通方程为 F ( x, y ) = 0 :在消参过程中注意变量 x 、

y 取值范围的一致性,必须根据参数的取值范围,确定 f (t ) 和 g (t ) 值域得 x 、 y 的取值范围。
常见曲线的参数方程要熟悉,如:圆、椭圆、双曲线、抛物线以及过一点的直线,并明确各 参数所表示的含义。在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答。

1.两曲线的位置关系 .
例 1. (08 海南、宁夏理)已知曲线 C1:

x = cos θ, ( θ 为参数) , y = sin θ

x = 曲线 C2: y =

2 t 2, 2 (t 为参数) . 2 2

(Ⅰ)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (Ⅱ)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1′,C2′ .写出 C1′,C2′
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的参数方程. C1′ 与 C2′ 公共点的个数和 C 1 与C 2 公共点的个数是否相同?说明你的理由. 分析:从参数方程来看曲线 C1 为圆,曲线 C2 为直线,也可以通过消参数,求得曲线的普通方程判 断。并由参数方程进行图象的变换,得到曲线 C1′,C2′ ,再将其方程化为普通方程解方程组判断 其交点的个数。

0) 解: (Ⅰ) C1 是圆, C2 是直线. C1 的普通方程为 x 2 + y 2 = 1 ,圆心 C1 (0, ,半径 r = 1 . C2 的普通方程为 x y + 2 = 0 .因为圆心 C1 到直线 x y + 2 = 0 的距离为 1 ,
所以 C2 与 C1 只有一个公共点.

x = cos θ, ′: (Ⅱ)压缩后的参数方程分别为 C1 ( θ 为参数) ; 1 y = 2 sin θ
x = ′ : C2 y = 2 t 2, 1 2 2 (t 为参数) .化为普通方程为: C1′ : x 2 + 4 y 2 = 1 , C2′ : y = x + , 2 2 2 t 4
2

联立消元得 2 x + 2 2 x + 1 = 0 , 其判别式 = (2 2) 2 4 × 2 × 1 = 0 , 所以压缩后的直线 C2′ 与椭 圆 C1′ 仍然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相同. 评注:本题较为综合的考查了参数方程和普通方程之间的转化,在研究图象的伸缩变换时用参数 方程比较容易得到。而判断两曲线的位置关系则用普通方程通过解方程组得到较好。

例 2. (2007 年广东省深圳市)若直线 y = x + b 与曲线

x = cos θ π π (θ 为参数,且 ≤ θ ≤ ) 有 2 2 y = sin θ

两个不同的交点,则实数 b 的取值范围是__________. 分析:本题中参数方程表示的是圆的一部分,可以通过图形解答。

解:曲线

x = cos θ π π (θ 为参数,且 ≤ θ ≤ ) 表示的以原点为圆心,以 1 为半径的右半圆,如 2 2 y = sin θ

图,直线 y = x + b 与曲线有两个不同的交点,直线应介于 两直线之间则 b ∈ ( 2, 1]
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答案: ( 2 ,1] 评注:对于熟悉的曲线常用数形结合法解答. 例 3. (2007 年广东,理 13)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 L 的参数方程为

x=t+3 , (参数 y=3-t


x=2cosθ t∈R ) ,圆C的参数方程为 (参数 θ ∈ [0, π ] ) 2 ,则圆C的圆心坐标为 y=2sinθ+2
圆心到直线 L 的距离为 。 分析:把参数方程转化为普通方程,并由点到直线的距离公式求解. 解:消去

x=2cosθ x=t+3 2 的参数 θ ,得 x 2 + ( y 2 ) = 4 ;消去 的参数 t , y=2sinθ+2 y=3-t 0+26 1+1
=2 2 ,

得 x+y=6,所以圆C的圆心坐标是(0,2) 。圆心到直线 L 的距离是 或直线的方程为 x+y-6=0,圆心到直线 L 的距离是 d=
| 26| 2 =2 2。

答案: (0,2) 2 2 ; 评注:对于含有正弦余弦的参数方程常常利用正弦余弦的平方和消参转化.

x2 例 4. (2008 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P (x,y ) 是椭圆 + y 2 = 1 上的一个动点, 3
求 S = x + y 的最大值. 分析:由于已知条件椭圆为二次式,而所求为一次式,所以要求 S = x + y 的最大值需要把椭圆的 方程改写为参数方程变为一次运用代入求之。 解: 因椭圆

x = 3 cos φ x2 + y 2 = 1 的参数方程为 , (φ为参数) 3 y = sin φ

故可设动点 P 的坐标为 ( 3 cos φ , sin φ) ,其中 0 ≤ φ < 2π . 因此 S = x + y = 所以,当 φ =

3 cos φ + sin φ = 2(

3 1 π cos φ + sin φ ) = 2sin(φ + ) 2 2 3

π
6

时, S 取最大值 2。

评注:在所求函数为一次,而已知为二次时,常常用曲线的参数方程求出,其实质为换元或为三 角代换,目的就是降次。
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2.极坐标方程与参数方程混合 .
例 5. (2008 南通四县市)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ = 4cos θ .以极点为平面直角坐标系的原

2 t +1 x = 2 点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是: ,求直线 l y= 2t 2
与曲线 C 相交所成的弦的弦长. 分析:本题中的曲线为极坐标方程,直线为参数方程,要求弦长,就要把它们都统一成普通方程, 再进一步解答。 解:曲线 C 的极坐标方程是 ρ = 4cos θ 化为直角坐标方程为 x 2 + y 2 4 x = 0 ,

2 t +1 x = 2 2 2 即 ( x 2 ) + y = 4 ,直线 l 的参数方程 ,化为普通方程为 x-y-1=0, y= 2t 2
曲线 C 的圆心(2,0)到直线 l 的距离为
1= 2

1 2 = ,所以直线 l 与曲线 C 相交所成的弦的弦长 2 2

2 4

14 .

评注:在题目中同时出现极坐标方程和参数方程的问题,要统一成普通方程解答;对于直线被圆 截得的弦长一般由圆心距和半径求出。 例 6. (2008 宁夏银川一中)已知椭圆 C 的极坐标方程为 ρ =
2

12 ,点 F1、F2 为其 3 cos θ + 4 sin 2 θ
2

2 t x = 2 + 2 (t 为参数,t∈R). 左,右焦点,直线 l 的参数方程为 y = 2 t 2
(Ⅰ)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)求点 F1、F2 到直线 l 的距离之和. 分析:本题中的椭圆为极坐标方程,直线为参数方程,先把它们化为普通方程,再由点到直线的 距离公式求距离。 x2 y 2 =1 解: (Ⅰ) 直线 l 普通方程为 y = x 2 ;曲线 C 的普通方程为 + 4 3 (Ⅱ) ∵ F1 ( 1, 0) , F2 (1, 0) ,∴点 F1 到直线 l 的距离 d1 =

1 0 2 2

=

3 2 , 2

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点 F2 到直线 l 的距离 d 2 =

1 0 2 2

=

2 , ∴ d1 + d 2 = 2 2. 2

评注:本题主要考查极坐标方程、参数方程转化为普通方程的过程。极坐标方程化为普通方程时 x = ρ cos θ 可由公式 进行转化,即同乘右面的分母把分母去掉,得到普通方程。而对于参数方程 y = ρ sin θ 则需要两式相减消掉参数即可。 例 7. (淮安、徐州、宿迁、连云港四市 2008—2009)已知在直角坐标系 x0y 内,直线 l 的参数方 程为

x = 2 + 2t , (t 为 参 数 ) . 以 Ox 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为 y = 1 + 4t ,
4

π ρ = 2 2 sin(θ + ) .
(1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系. 分析: 直线比较容易得到普通方程, 而圆则需要用两角和的正弦公式展开, 并需要两边同乘以 ρ 才 能将极坐标方程化为普通方程。再由圆心到直线的距离与半径比较进行判断。 解 : 1 ) 消 去 参 数 t , 得 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 为 y = 2x 3 ; (

π ρ = 2 2 sin(θ + ) , 即
4

ρ = 2(sin θ + cos θ ) ,两边同乘以 ρ 得 ρ 2 = 2( ρ sin θ + ρ cos θ ) ,消去参数 θ ,得⊙ C 的直角
坐标方程为: ( x 1) 2 + ( y 1) 2 = 2 (2)圆心 C 到直线 l 的距离 d =

| 2 1 3 | 2 2 + 12

=

2 5 < 2 ,所以直线 l 和⊙ C 相交. 5

评注:注意在把极坐标方程化为普通方程时,极点应在直角坐标原点处,而且极轴要与 x轴重合。

三、考点预测
r 1. (潮南区 08)动点 M(x,y)过点 A(0,1)且以 a = (1, 3)为方向向量,t 为参数 (t ∈ R ) ,则
它的轨迹方程是 r 分析: 由 a = (1, 3)为直线的方向向量,可知直线的倾斜角的大小,从而写出轨迹方程

r 解:由 a = (1, 3)为直线的方向向量, 可知直线的倾斜角为 60° ,直线过点 A(0,1)所以直线方程

1 x = 2t (t ∈ R) 或 3 x y + 1 = 0 为 3 y = 1+ t 2
评注: 可以根据已知条件直接写出直线的方程,要求我们对常见曲线的参数方程要熟悉,如:圆、
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椭圆、双曲线、抛物线以及过一点的直线,并明确各参数所表示的含义。 2. (江苏省启东中学 2009) 在极坐标系中, 从极点 O 作直线与另一直线 l : ρ cos θ = 4 相交于点 M, 在 OM 上取一点 P,使 OM OP = 12 . (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设 R 为 l 上任意一点,试求 RP 的最小值. 分析: 在 OM 上取一点 P,可以知道点 P 的极角与点 M 的极角相同,可以把点 P 设出极坐标解答. 解: (1) P ( ρ , θ ) ,OM = 设

4 , 因为 P ( ρ , θ ) 在直线 OM 上, OM OP = 12 ,所以 ρ = 3cos θ cos θ

(2)由直线 l : ρ cos θ = 4 和 ρ = 3cos θ , 所以点 P 的轨迹为一垂直于极轴的直线,与极点距离为 3,由此可知 RP 的最小值为 1. 评注:明确极坐标的含义以及极坐标中的极径与极角的意义.
1 x = t + t , 3.过点 P(-3,0)且倾斜角为 30°的直线和曲线 (t为参数) 相交于 A、B 两点.求线 y = t 1 t 段 AB 的长. 分析:由已知过点 P(-3,0)且倾斜角为 30°的直线可以写出直线的标准参数方程,并根据参数 的几何意义求解弦长.

1 3 s, x = 3 + x = t + t , 2 ( s为参数) ,曲线 解:直线的参数方程为 (t为参数) 可以化为 x 2 y 2 = 4 .将 1 1 y = s y = t t 2 直 线 的 参 数 方 程 代 入 上 式 , 得 s 2 6 3s + 10 = 0 . 设 A 、 B 对 应 的 参 数 分 别 为 s1,s2 , ∴ s1 + s2 = 6 3,s1 s2 = 10 . AB = s1 s2 = ( s1 + s2 )2 4 s1s2 = 2 17 . 评注:掌握直线、圆、圆锥曲线的参数方程及简单的应用,并熟练把它们的参数方程转化为普通方

程,由于直线的参数方程为标准参数方程,即 s为直线上的点到 3, 点的距离.就可以直接通过求 两点的参数之差求得弦长.在解题时要注意应用参数的几何意义,还要注意是否为标准方程.
4. (2008 年广东实验中学)直线 长为___________ . 分析:消掉 t 可以得到直线的普通方程,而曲线 ρ =



1 2

x = 1 + 4t π ( t为参数 )被曲线 ρ = 2 cos(θ + ) 所截的弦 4 y = 1 3t 2 cos(θ +

π ) 则需要用两角和的余弦公式展 4

开转化。
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解:消去 t 得直线的方程为 3 x + 4 y + 1 = 0 , 由 ρ = 2 cos(θ +

π

π π ) = 2 cos θ cos sin θ sin = cos θ sin θ , 两 边 同 乘 ρ , 得 4 4 4
1
2

ρ 2 = ρ cosθ ρ sin θ ,即 x 2 + y 2 = x y ,即 x + y + = ,所以曲线为圆,圆心为 2 2 2
1 1 3× + 4 × +1 2 1 2 1 1 2 ,则圆心到直线的距离为 ,所以弦长为 = , , 半 径 为 2 5 10 2 2



1

2

1

2 1 2 7 2 2 10 = 5
答案:

2

7 5

评注:在由极坐标方程化为普通方程时要注意变形技巧。要运用两角和的余弦公式进行变形。直 线截得的弦长可由勾股定理求得。

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