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高考数学导数题


十月大题集锦
设 (1)若 (2)若 (3)若 答案 ,函数 ,求曲线 在 . 处的切线方程;

有零点,求实数 a 的取值范围; 有两个相异零点 , ,求证:

解:在区间

上,

.

(1)当 曲线

时, 在

. 处的切

线斜率为 ,即 , ; . 上的增函数, , 在区间 有唯一零点.

则切线方程为 (2)(1)若 (2)若 , ,则 , ,函数 ,

有唯一零点 是区间

(3)若

,令

得:

.

在区间

上,

,函数

是增函数;

在区间

上,

,函数

是减函数;

故在区间

上,

的极大值为

.





,计算得出:

.

故所求实数 a 的取值范围是 (3)证明:设 , , 原不等式 ?

. , , ? , ,

?

?

,



,则

,于是

?

.

设函数

.

求导得: 故函数 是 上的增函数,

,

,即不等式 故所证不等式 解析 (1)求出当 (2)对 a 讨论,分 成立.;

成立,

时的导数,再求切线的斜率,由点斜式方程,即可得到切线方程; , , ,可通过解方程和零点存在定理以及应用导数求极值,

令极大值不小于 0,即可得到; (3)原不等式

?

?

?

?

,



,则

,于是

?

.设函数

.求出导数,判断单调性,由单调性即可得证.

设函数 (1)对于任意 (2)当 (3)若存在 答案 解:(1)因为对于任意 即 时对任意 ,使得 都有 ,

,

. 成立,求 x 的取值范围; 恒有 与 ,求实数 a 的取值范围; 同时成立,求实数 a 的取值范围.

都有 对于任意

成立,都有 恒成立.

,

设 ,或 (2)根据题意可以知道在区间

,则有 . 上, .

,解不等式组可得

因为 在 因为

的图象的对称轴 上单调递减,可得 在

,所以 . ,所以

上单调递减,可得

,可得 (3)若 若 ,则 ,由 .

. ,不合题意,舍去. 可得 .原题可转化为在区间 上存在 ,使得

因为 为 若 ,不合题意. ,由 .



上单调递增,所以

,可得

,又因

可得

,原题可转化为在区间

上若存在

,使得



时,即

时,

,可得

;当

时,即

时, 综上可以知道 解析 (1)根据题意可得, .;

,可得



.

对于任意

恒成立.设

,则有 范围. (2)根据题意可以知道在区间 调性求得 (3)分 、 和 、 上, 的值,解不等式求得 a 的范围.

,解不等式组可得 x 的

.利用二次函数的单

三种情况,分别由条件求得 a 的范围,再取并集,即得所求.

已知函数 f(x)=x-1-(e-1)lnx, 其中 e 为自然对数的底, 则满足 f(e x)<0 的 x 的取值范围 为 . 答案 (0,1) 因为由 得: 考点:利用导数解不等式 设函数 上 在 R 上存在导数 .若 ,对任意的 有 ,则实数 a 的取值范围 ,且在 得: ,又 ,所以由 f(e x)<0

. 答案

解:令

,

, 函数 为奇函数. 时, 故函数 由 在 ,可得 , 上是增函数,故函数 在 R 上是增函数. 在 上也是增函数,

,等价于 ,计算得出 因此,本题正确答案是: 解析 , .

,即

,

令 函数

,由 在 R 上是增函数,

,可得函数 ,即

为奇函数.利用导数可得 ,可得 ,由

此计算得出 a 的范围.

已知函数 (Ⅰ)若 (Ⅱ)若 (Ⅲ)当 求函数 试讨论方程 时,若对于任意的 求满足条件的正整数 的图象在 的实数解的个数; 都存在 的取值的集合. 使得 处的切线方程;

解析 (Ⅰ)当 时,

从而 当 所以函数 的图象在 处的切线方程为: 时,

即 (Ⅱ) 即为 所以 从而 此方程等价于





或 所以当 方程 当 方程 当 方程 时, 有两个不同的解 ; 时, 有两个不同的解 时, 有三个不同的解 ; ;

(Ⅲ)当

时,

所以函数 且 所以当



上是增函数,

时,

当 因为对任意的 使得

时, 都存在

所以

从而 所以 即 也即 因为 而 显然 时,均不满足. 的取值的集合为 满足,

所以满足条件的正整数


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