nbhkdz.com冰点文库

二面角的求法2题

时间:2016-10-07


(19) (本小题满分 12 分) 如图,在直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,已知 DC ? DD 1 ? 2 AD ? 2 AB , AD ? DC ,

AB ∥ DC .
(Ⅰ)设 E 是 DC 的中点,求证: D1E ∥平面 A1BD1 ; (Ⅱ)求二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值. 解法一: (Ⅰ)连结 BE ,则四边形 DABE 为正方形,

D1

C1 B1

A1

D A B

E

C

? BE ? AD ? A1D1 ,且 BE ∥ AD ∥ A1D1 ,

D1

? 四边形 A1D1EB 为平行四边形.
? D1E ∥ A1B .

C1 B1

A1
G

又 D1E ? 平面 A 1 B ? 平面 A 1BD , A 1BD , D

E B

? D1E ∥平面 A1BD .
(Ⅰ)证明:如解法一图,连结 AD1 , AE , 设 AD1 ? A 1D ? G , AE ? BD ? F ,连结 GF , 由题意知 G 是 A1D 的中点,又 E 是 CD 的中点,

C

A

D1

H

C1

A1

B1
M E F B C

? 四边形 ABED 是平行四边形,故 F 是 AE 的中点, ? 在 △AED1 中, GF ∥ D1E ,
D 又 GF ? 平面 A 1BD , D 1 E ? 平面 A 1BD , A

? D1E ∥平面 A1BD .
(Ⅱ)如图,在四边形 ABCD 中,设 AD ? a ,

? AB ? AD , AD ? DC , AB ∥ DC , ? AD ? AB .
故 BD ?

2a ,由(Ⅰ)得

BC 2 ? BE 2 ? EC 2 ? a2 ? a2 ? 2a2 , DC ? 2a , ?∠DBC ? 90? ,即 BD ? BC .
又 BD ? BB1 ,

? BD ? 平面 BCC1B1 ,又 BC1 ? 平面 BCC1B1 ,

? BD ? BC1 ,
取 DC1 的中点 M ,连结 A1F , FM , 由题意知:? FM ∥ BC1 ,

D1

H

C1

A1

B1
M E F B C

? FM ? BD .
又 A1D ? A1B ,? A1F ? BD . D A

?∠A1FM 为二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角.
连结 A1M ,在 △A1FM 中, 由题意知:

A1F ?

3 2 1 1 6 a , FM ? BC1 ? BC 2 ? CC12 ? a, 2 2 2 2

取 D1C1 的中点 H ,连结 A1H , HM , 在 Rt△A 1 HM 中,

? A1H ? 2a , HM ? a , ? A1M ? 3a .
? cos∠A1FM ? A1F 2 ? FM 2 ? A1M 2 2 A1F ?FM

9 2 3 2 a ? a ? 3a 2 2 ?2 3 6 2? a? a 2 2

?

3 . 3 3 . 3

? 二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值为

(20)(本小题满分 12 分) 如 图 , 已 知 四 棱 锥 P-ABCD , 底 面 ABCD 为菱 形 , PA ⊥ 平面 ABCD , ?ABC ? 60? ,E , F 分别是 BC, PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点,EH 与 平面 PAD 所成最大角的正切值为

6 , 2

求二面角 E—AF—C 的余弦值. (Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形, ∠ ABC=60 °,可得△ ABC 为正三角 形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC. 又 BC∥AD,因此 AE⊥AD. 因为 PA⊥平面 ABCD,AE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥AE. 而 PA ? 平面 PAD,AD ? 平面 PAD 且 PA∩AD=A, 所以 AE⊥平面 PAD,又 PD ? 平面 PAD. 所以 AE⊥PD. (Ⅱ)解:设 AB=2,H 为 PD 上任意一点,连接 AH, EH. 由(Ⅰ)知 AE⊥平面 PAD, 则∠EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角. 在 Rt△EAH 中,AE= 3 , 所以 当 AH 最短时,∠EHA 最大, 即 当 AH⊥PD 时,∠EHA 最大. 此时 tan∠EHA=

AE 3 6 ? ? , AH AH 2

因此 AH= 2 .又 AD=2,所以∠ADH=45°, 所以 PA=2. 解法一:因为 PA⊥平面 ABCD,PA ? 平面 PAC, 所以 平面 PAC⊥平面 ABCD. 过 E 作 EO⊥AC 于 O,则 EO⊥平面 PAC, 过 O 作 OS⊥AF 于 S,连接 ES,则∠ESO 为二面角 E-AF-C 的平面角, 在 Rt△AOE 中,EO=AE·sin30°=

3 3 ,AO=AE·cos30°= , 2 2

又 F 是 PC 的中点,在 Rt△ASO 中,SO=AO·sin45°=

3 2 , 4



SE ? EO2 ? SO2 ?

3 8 30 ? ? , 4 9 4

3 2 SO 15 ? 4 ? , 在 Rt△ESO 中,cos∠ESO= SE 5 30 4
即所求二面角的余弦值为

15 . 5


赞助商链接

5.28向量法求二面角练习题2

5.28向量法求二面角练习题2_理化生_高中教育_教育专区。2 D 为 CC1 中点. 1.如图,正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的所有棱长都为 ,(Ⅰ)求证: AB1 ⊥平面...

向量法解二面角例题与练习题

向量法解二面角例题与练习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。向量法解二面角 §向量法求二面角例1 (2010 江西卷 20) 如图,?BCD 与 ?MCD 都是边长为 2 的...

2求解二面角问题的基本方法

求解二面角问题的基本方法直接法 直接法就是根据已知条件,首先作出二面角的平面角...(2)P 到棱 l 的距离为多少? 分析:对于本题很多同学可能会这么做:过 C 在...

数学必修2 2.3.1-2.3.3《二面角的求法》专题讲练-3

数学必修2 2.3.1-2.3.3《二面角的求法》专题讲练-3_数学_高中教育_教育专区。二面角的求法数学必修 2 2.三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的...

2013高中数学立体几何二面角问题求解方法大全

2 二、三垂线法 三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的...补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时,...

二面角的求法_高二综合题_教学视频大全

高中生二面角的求法:1、定义法;2、三垂线法3、射影面积法;4、二次距离法;5、向量法;6、补棱法视频教程,优品在线全套教学,在线学习高二综合题课程,二面角的求...

高中数学立体几何二面角经典快速求法及高考真题解析_高...

高中高中数学立体几何二面角专题 一、线面角经典求法回顾 二、二面角经典快速求法辨析 三、立体几何高考真题解析视频教程,为能教育中高考学堂全套教学,在线学习高二...

...反馈训练及详细解析 专题19 二面角的求法

反馈训练及详细解析 专题19 二面角的求法_高考_高中...AD AE ? DB EC =2,DE=3.现将△ABC 沿 DE ...0, 2 1| 依题意 cos ? ? |?n ? DD ???...

高中数学【立体几何线面角二面角专题】各类经典巧解技...

视频教程,为能教育中高考学堂全套教学,在线学习高二综合题课程,高中数学【立体几何线面角二面角专题】各类经典巧解技巧快速解法视频下载

数学必修2知识点整理

注意挖掘题设中两个主要信息:(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的 一...那么所成的二面角为直二面角 ④求二面角的方法 定义法:在棱上选择有关点,过...