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二面角的求法2题


(19) (本小题满分 12 分) 如图,在直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,已知 DC ? DD 1 ? 2 AD ? 2 AB , AD ? DC ,

AB ∥ DC .
(Ⅰ)设 E 是 DC 的中点,求证: D1E ∥平面 A1BD1 ; (Ⅱ)求二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值. 解法一: (Ⅰ)连结 BE ,

则四边形 DABE 为正方形,

D1

C1 B1

A1

D A B

E

C

? BE ? AD ? A1D1 ,且 BE ∥ AD ∥ A1D1 ,

D1

? 四边形 A1D1EB 为平行四边形.
? D1E ∥ A1B .

C1 B1

A1
G

又 D1E ? 平面 A 1 B ? 平面 A 1BD , A 1BD , D

E B

? D1E ∥平面 A1BD .
(Ⅰ)证明:如解法一图,连结 AD1 , AE , 设 AD1 ? A 1D ? G , AE ? BD ? F ,连结 GF , 由题意知 G 是 A1D 的中点,又 E 是 CD 的中点,

C

A

D1

H

C1

A1

B1
M E F B C

? 四边形 ABED 是平行四边形,故 F 是 AE 的中点, ? 在 △AED1 中, GF ∥ D1E ,
D 又 GF ? 平面 A 1BD , D 1 E ? 平面 A 1BD , A

? D1E ∥平面 A1BD .
(Ⅱ)如图,在四边形 ABCD 中,设 AD ? a ,

? AB ? AD , AD ? DC , AB ∥ DC , ? AD ? AB .
故 BD ?

2a ,由(Ⅰ)得

BC 2 ? BE 2 ? EC 2 ? a2 ? a2 ? 2a2 , DC ? 2a , ?∠DBC ? 90? ,即 BD ? BC .
又 BD ? BB1 ,

? BD ? 平面 BCC1B1 ,又 BC1 ? 平面 BCC1B1 ,

? BD ? BC1 ,
取 DC1 的中点 M ,连结 A1F , FM , 由题意知:? FM ∥ BC1 ,

D1

H

C1

A1

B1
M E F B C

? FM ? BD .
又 A1D ? A1B ,? A1F ? BD . D A

?∠A1FM 为二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角.
连结 A1M ,在 △A1FM 中, 由题意知:

A1F ?

3 2 1 1 6 a , FM ? BC1 ? BC 2 ? CC12 ? a, 2 2 2 2

取 D1C1 的中点 H ,连结 A1H , HM , 在 Rt△A 1 HM 中,

? A1H ? 2a , HM ? a , ? A1M ? 3a .
? cos∠A1FM ? A1F 2 ? FM 2 ? A1M 2 2 A1F ?FM

9 2 3 2 a ? a ? 3a 2 2 ?2 3 6 2? a? a 2 2

?

3 . 3 3 . 3

? 二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值为

(20)(本小题满分 12 分) 如 图 , 已 知 四 棱 锥 P-ABCD , 底 面 ABCD 为菱 形 , PA ⊥ 平面 ABCD , ?ABC ? 60? ,E , F 分别是 BC, PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点,EH 与 平面 PAD 所成最大角的正切值为

6 , 2

求二面角 E—AF—C 的余弦值. (Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形, ∠ ABC=60 °,可得△ ABC 为正三角 形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC. 又 BC∥AD,因此 AE⊥AD. 因为 PA⊥平面 ABCD,AE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥AE. 而 PA ? 平面 PAD,AD ? 平面 PAD 且 PA∩AD=A, 所以 AE⊥平面 PAD,又 PD ? 平面 PAD. 所以 AE⊥PD. (Ⅱ)解:设 AB=2,H 为 PD 上任意一点,连接 AH, EH. 由(Ⅰ)知 AE⊥平面 PAD, 则∠EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角. 在 Rt△EAH 中,AE= 3 , 所以 当 AH 最短时,∠EHA 最大, 即 当 AH⊥PD 时,∠EHA 最大. 此时 tan∠EHA=

AE 3 6 ? ? , AH AH 2

因此 AH= 2 .又 AD=2,所以∠ADH=45°, 所以 PA=2. 解法一:因为 PA⊥平面 ABCD,PA ? 平面 PAC, 所以 平面 PAC⊥平面 ABCD. 过 E 作 EO⊥AC 于 O,则 EO⊥平面 PAC, 过 O 作 OS⊥AF 于 S,连接 ES,则∠ESO 为二面角 E-AF-C 的平面角, 在 Rt△AOE 中,EO=AE·sin30°=

3 3 ,AO=AE·cos30°= , 2 2

又 F 是 PC 的中点,在 Rt△ASO 中,SO=AO·sin45°=

3 2 , 4



SE ? EO2 ? SO2 ?

3 8 30 ? ? , 4 9 4

3 2 SO 15 ? 4 ? , 在 Rt△ESO 中,cos∠ESO= SE 5 30 4
即所求二面角的余弦值为

15 . 5


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