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2012年高中数学联赛陕西预赛试题及答案


2012 年高中数学联赛陕西预赛试题
(5 月 20 日 上午 8:30---11:00)

第一试
填空题:(每小题 8 分,共 80 分)要求直接将答案填在题中的横线上.
1. 已知集合 M ? ?1,3,5,7,9? ,若非空集合 A 满足: A 中各元素都加 4 后构成 M 的一个子 集, A 中个元素都减去 4 后也构成

M 的一个子集,则 A ? .

2. 已知两条直线 l1 : y ? 2 , l2 : y ? 4 ,设函数 y ? 3x 的图像与 l1 、 l 2 分别交于点 A、B, 函数 y ? 5 x 的图像与 l1 、 l 2 分别交于点 C、D,则直线 AB 与 CD 的交点坐标是 3. 对于正整数 n ,若 n ? p ? q( p ? q, p 、 q ?N? ) ,当 p ? q 最小时,我们称 p ? q 为 n 的“最 佳分解”,并规定 f ( n ) ?

q .例如,12 的分解有 12 ? 1,6 ? 2,4 ? 3,其中 4 ? 3 为 12 p

的“最佳分解”,则 f (12 ) ? ① f (4) ? 0;

3 .关于 f (n ) ,有以下四个判断: 4 1 3 4 ② f ( 7) ? ; ③ f ( 24 ) ? ; ④ f ( 2012 ) ? . 7 8 503
.

其中,所有正确判断的序号是

4. 已知 ?ABC 为等腰直角三角形, ?A ? 90? ,且 AB ? a ? b , AC ? a ? b ,若

??? ?

? ?

????

? ?

a ? ( c o? , s i n ) (? ?R) ,则 ?ABC 的面积等于 s ?
AM ? MO

.

5. 在正四面体 ABCD 中,AO ? 平面 BCD,垂足为 O.设 M 是线段 AO 上一点,且满足

?BMC ? 90? ,则

.

y B D A

6. 如 图 1 , Rt ?ABC 的 三 个 顶 点 都 在 给 定 的 抛 物 线

x 2 ? 2 py( p ? 0) 上 , 且 斜 边 AB//x 轴 , 则 斜 边 上 的 高

CD ?

.

C O
图1

x

7. 某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖(参与游戏活动的都 有奖) 且相应获奖的概率是以 a 为首项、 为公比的等比数列, , 2

相应获得的奖金是以 700 元为首项、 ? 140 为公差的等差数列.则参与这项游戏活动获 以 得奖金的期望是 元.
q ?1

8. 设 p 、 q 是两个不同的质数,则 p

? q p?1 被 p ? q 除的余数是

.

第 1 页 共 1 页

9. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足: f (1) ? 1 ,且对于任意的 x ? R ,都有 f ?( x ) ? 等式 f (log 2 x ) ?

1 .则不 2

log 2 x ? 1 的解集为 2

.

10. 从公路旁的材料工地沿笔直的公路向同一方向运送电线杆到 500m 以外的公路边埋栽, 在 500m 处栽一根,然后每间隔 50m 在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运三 根,要完成运载 20 根电线杆的任务,并返回材料工地,则运输车总的行程最小为

m.

第二试
一、 (本题满分 20 分)
2 在 ?ABC 中,已知 AB ? 2,AC ? 1,且 cos 2 A ? 2 sin

B?C ?1. 2

(1) 求角 A 的大小和 BC 边的长; (2) 若点 P 在 ?ABC 内运动(含边界) ,且点 P 到三边距离之和为 d,设点 P 到边 BC、

CA 的距离分别为 x, y ,试用 x, y 表示 d,并求 d 的取值范围.

二、 (本题满分 20 分)
在平面直角坐标系中,以点 C (t , ) 为圆心的圆经过坐标原点 O ,且分别与 x 轴、 y 轴交于 点 A、B (不同于原点 O ). (1) 求证: ?AOB 的面积 S 为定值; (2) 设直线 l : y ? ?2 x ? 4 与圆 C 相交于不同的两点 M 、N , O 且 M 的标准方程.

2 t

?O N

, 求圆 C

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三、 (本题满分 20 分)
如图 2,锐角

? ABC 内接于圆 O ,过圆心 O 且垂直于半径 OA 的直线分别交边 AB、AC 于

点 E、F 设圆 O 在 B、C 两点处的切线相交于点 P . 求证:直线 AP 平分线段 EF .

四、 (本题满分 30 分)
已知数列 {an } 满足: a1 ?

1 ? , an ? 2an an?1 ? 3an?1 (n ?N ) . 2

(1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 若数列 {bn } 满足: bn ? 1 ?
n

1 (n ? N? ) ,且对任意正整数 n(n ? 2) , an

不等式

? n ? log
k ?1

1

3

bk

?

m 恒成立,求整数 m 的最大值. 24

第 3 页 共 3 页

五、 (本题满分 30 分)
对于任意的正整数 n,证明:

1 1 1 1 7 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? . 2 3 n 3 ? 2 3 ? (?2) 6 3 ? (?2) 3 ? (?2)

第 4 页 共 4 页


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