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变化率与导数、导数计算


第十节

变化率与导数、导数的计算

学习目标:1、掌握导数的概念及几何意义; 2、掌握基本初等函数的导数公式、运算法则及其复合函数的求导。 小题自测 1.曲线 y=ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A.1 C.e B.2 1 D. e )

2.(2015· 天津高考)已知函数 f(x)=axln x,x∈(0

,+∞),其中 a 为实数,f′(x)为 f(x) 的导函数.若 f′(1)=3,则 a 的值为________. ln x 3.函数 y= x 的导函数为________________. e 1 x 4.已知直线 y=-x+1 是函数 f(x)=- · e 图象的切线,则实数 a=________. a 知识梳理 1.导数的概念 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数:

(2)导数的几何意义 :

2.基本初等函数的导数公式 (sin x)′= (ex)′= ,(cos x)′= ,(logax)= ,(ax)′= ,(ln x)′= ,

3.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′= (3)? f?x? ? ?g?x??′= ;(2)[f(x)· g(x)]′= . ;

4.复合函数的导数:

考点一 导数的概念
例、已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比,如果车 辆启动后车轮转动第一圈需要0.8s,求转动开始后第3.2s 时的瞬时角速度。(教材习题)

变式、一个质量m=3kg的物体做直线运动,设运动距离s与时间t的关系可 1 用函数s ? t ? =1+t2 表示,并且物体的动能E K = mv 2。求物体开始运动后第5s 2 的动能。

考点二 导数的计算
求下列函数的导数. (1)y=x2sin x; 1 (2)y=ln x+ ; x cos x (3)y= x ; e

π? ? π? (4)y=xsin? ?2x+2?cos?2x+2?;

(5)y=ln(2x-5).

方法总结:

考点三 导数的几何意义
例. (2015· 云南统测)已知 f(x)=x3-2x2+x+6, 则 f(x)在点 P(-1,2)处的切线与坐标轴围 成的三角形的面积等于( A.4 B.5 ) 25 C. 4 13 D. 2

变式 1.若曲线 y=xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0,则点 P 的坐标是 ________.

变式 2.已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为( A.1 B.2 C.-1 D.-2

)

方法归纳:导数几何意义的应用的 2 个注意点

课后作业: 1.函数 f(x)=(x+2a)(x-a)2 的导数为( A.2(x -a )
2 2

) C.3(x2-a2) D.3(x2+a2) )

B.2(x +a )

2

2

2.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x,则 f′(1)=( A.-e B.-1 C.1 D.e )

3.曲线 y=sin x+ex 在点(0,1)处的切线方程是( A.x-3y+3=0 C.2x-y+1=0
3

B.x-2y+2=0 D.3x-y+1=0

4.(2015· 全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=ax +x+1 的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7), 则 a=________. 5.分别求下列函数的导数: (1)y=ex· cos x; 1 1 x2+ + 3?. (2)y=x? x x? ?

6.(2015· 广州二模)已知函数 f(x)=(x2+2)(ax2+b),且 f′(1)=2,则 f′(-1)=( A.-1 B.-2 C.2 D.0

)

2 7.(2016· 南昌二中模拟)设点 P 是曲线 y=x3- 3x+ 上的任意一点,P 点处切线倾斜 3 角 α 的取值范围为( )

π? ?5π ? A. ? ?0,2?∪? 6 ,π?

2π ? B. ? ? 3 ,π?

π? ?2π ? C. ? ?0,2?∪? 3 ,π?

π 5π? D. ? ? 2, 6 ?

1 7 8.已知 f(x)=ln x,g(x)= x2+mx+ (m<0),直线 l 与函数 f(x),g(x)的图象都相切,且 2 2 与 f(x)图象的切点为(1,f(1)),则 m 的值为( A.-1 C.-4 ) B.-3 D.-2

9.(2015· 郑州二测)如图,y=f(x)是可导函数,直线 l:y=kx+2 是 曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线,令 g(x)=xf(x),其中 g′(x) 是 g(x)的 导函数,则 g′(3)=________.

1 10.已知函数 f(x)= x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线 C. 3 (1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围; (2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标 的取值范围.


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