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湖北省武汉市部分重点中学2011-2012学年度上学期高一期中考试数学试卷

时间:2013-02-07


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湖北省武汉市部分重点中学 2011-2012 学年度上学期高一期中考试

数 学 试 卷
命题人:武汉四中 刘 鸣 审题人: 武汉市第四十九中 周 镜 全卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 U={x︱x 是小于 6 的正整数},A={1,2}, B ? (CU A) ={4},则 CU ( A ? B) =( )

A.{3,5} B.{3,4} C.{2,3} D.{2,4} 2.设 A={x| 0 ? x ? 2 },B={y|1 ? y ? 2 },下列图形表示集合 A 到集合 B 的函数图形的是(

)

A B 3.下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是( A.y=
x2 x
1 2

C ) C. y ? ln e x

D
log 2 x

B.y=( x )

2

D.y= 2

4.给定函数① y ? x ,② y ? log 1 ( x ? 1) ,③ y ?| x ? 1| ,④ y ? 2x?1 ,其中在区间
2

(0,1)上单调递减的函数序号是( ) A. ①④ B. ①②
x

C. ②③

D.③④

5.由表格中的数据可以判定方程 e ? x ? 2 ? 0 的一个零点所在的区间 (k , k ? 1)(k ? N ) ,则 k 的 值为( ) x -1 0.37 1 B.1 0 1 2 1 2.72 3 C.2 ) 2 7.39 4 D.3 3 20.09 5

ex
x?2

A.0

6.下列幂函数中,定义域为 R 且为偶函数的个数为( (1) y ? x A.1 个
?2

(2) y ? x B.2 个

(3)

y ? x3

1

(4) C.3 个

y ? x3
D.4 个

2

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m p q 7. 设 m, n, p 均为正数,且 3 ? log 1 m , ( ) ? log 3 p , ( ) ? log 1 q ,则( 3
3

1 3

1 3



A.m>p>q

B. p>m>q

C. m>q>p

D. p>q>m )

8.已知 f ( x ) 为偶函数,在 [0, ??) 上为增函数,若 f (l o g2 x) ? f (1) ,则 x 的取值范围为( A. (2, ??) B. (0, ) ? (2, ??)

1 2

C. ( , 2)

1 2

D. (0,1) ? (2, ??)

9.设函数

f ( x) ? 2
? x2 ? x ? 2

? x2 ? x ? 2

,对于给定的正数 K,定义函数 f K ( x) ? ?

? f ( x), f ( x) ? K 若对于 ? K , f ( x) ? K
)

函数 f ( x) ? 2

定义域内的任意 x ,恒有 f K ( x) ? f ( x) ,则( B. K 的最大值为 1 D. K 的最大值为 2 2

A.K 的最小值为 1 C.K 的最小值为 2 2

10.已知定义在 [?2, 2] 上的函数 y ? f (x) 和 y ? g (x) ,其图象如下图所示:

给出下列四个命题: ①方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有 6 个根 ③方程 f [ f ( x)] ? 0 有且仅有 5 个根 其中正确命题的序号( ) A.①②③ B. ②③④ ②方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根 ④方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根

C. ①②④

D. ①③④

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若集合 M={y|y=x -2x+1,x ? R},N={x| y ?
2

共 100 分)
log 1 x },则 M ? N ?
2

.

12.不查表,化简: log 2
1 ? 1 2

7 1 ? log 2 12 ? log 2 42 为 48 2
3 ? 3 2

.

13. 已知 a 2 ? a

? 3 ,则 a 2 ? a

的值等于__________.

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2

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14. 设集合 P={x|x =1},Q={x|ax=1},若 Q ? P,则实数 a 的值所组成的集合是_____. 15.定义在 R 上的函数 f ( x ) ,如果存在函数 g ( x) ? kx ? b(k , b 为常数) ,使得 f ( x ) ≥ g ( x) 对一 切实数 x 都成立,则称 g ( x) 为 f ( x ) 的一个承托函数.现有如下命题: ①对给定的函数 f ( x ) ,其承托函数可能不存在,也可能无数个; ② g ( x) =2x 为函数 f ( x) ? 2x 的一个承托函数; ③定义域和值域都是 R 的函数 f ( x ) 不存在承托函数; 其中正确命题的序号是 .

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 已知全集 U=R, A ? {x | f ( x) ? ( x ?1)( x ? 2)} , B ? {x | log 2 ( x ? a) ? 1} . (1)若 a=1,求 (CU A) ? B . (2)若 (CU A) ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围. 17. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| ( x ? R) (1)证明:函数 f ( x ) 是偶函数; (2) 利 用 绝 对 值 及 分 段 函 数 知 识 , 将 函 数 解 析 式 写 成 分 段 函数的形式,然后画出函数图像,并写出函数的值域; (3)在同一坐标系中画出直线 y ? x ? 2 ,观察图像写出不等式 f ( x) ? x ? 2 的解集. 18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1(a, b 为实数), x ? R ,
2

(1)若 f(x)有一个零点为-1,且函数 f ( x ) 的值域为 ? 0, ? ? ? ,求 f ( x ) 的解析式; ? (2)在(1)的条件下,当 x ? [?2,2]时, g ( x) ? f ( x) ? kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围;

19.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2a ? 4 ? 2 ?1.
x x

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 x ? [?3,0] 的值域;

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(2)若关于 x 的方程 f ( x) ? 0 有解,求 a 的取值范围.

20. (本题满分 13 分) 某公司生产一种产品每年需投入固定成本为 0.5 万元,此外每生产 100 件这种产品还需要 增加投入 0.25 万元.经预测知,当售出这种产品 t 百件时,若 0 ? t ? 5 ,则销售所得的收入为

1 1 23 5t ? t 2 万元:若 t ? 5 ,则销售所得收入为 t ? 万元. 2 8 2
(1)若该公司的这种产品的年产量为 x 百件 ( x ? 0) ,请把该公司生产并销售这种产品所得的年 利润 y 表示为当年生产量 x 的函数; (2)当年产量为多少时,当年公司所获利润最大? (3)当年产量为多少时,当年公司不会亏本?(取 21.5625 为 4.64)

21.(本题满分 14 分)

| f ( x) ? g ( x) |? 1,则称 f ( x) 与 g ( x) 在 ? a, b? 上是接近的,否则称 f ( x) 与 g ( x) 在 ? a, b? 上是
非接近的.现在有两个函数 f ( x) ? logt ( x ? 3t ) 与 g ( x) ? log t (

对 于 在 ? a, b? 上 有 意 义 的 两 个 函 数 f ( x ) 与 g ( x) , 如 果 对 任 意 的 x ?[ a, , b ], 均 有

[t ? 2, t ? 3] . 1 (1)若 t ? ,判断 f ( x ) 与 g ( x) 是否在给定区间上接近; 2 (2)若 f ( x ) 与 g ( x) 在给定区间 [t ? 2, t ? 3] 上都有意义,求 t 的取值范围; (3)讨论 f ( x ) 与 g ( x) 在给定区间 [t ? 2, t ? 3] 上是否是接近的.

1 )(t ? 0且t ? 1) ,现给定区间 x ?t

数学试卷参考答案
一、 选择题:
题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 C 5 B 6 A 7 D 8 B 9 C 10 D

二、 填空题
11. (0,1] 12. ?

1 2

13.18

14.{0,1,-1}

15. ①

三、解答题
16. (本题满分 12 分)

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解:由已知得 A ? {x | x ? 1或x ? 2} , B ? {x | a ? x ? a ? 2}

?CU A ? {x |1 ? x ? 2}

……………………4 分

(1)当 a=时, B ? {x |1 ? x ? 3} , ?(CU A) ? B ? {x |1 ? x ? 2} ………………6 分 (2)若 (CU A) ? B ? ? ,则 a ? 2 或 a ? 2 ? 1 ,? a ? 2 或 a ? 1 . 即 a 的取值范围为 (??,1] ? [2, ??) . 17. (本题满分 12 分) 解: (1) f (? x) ?| ? x ? 1| ? | ? x ? 1|?| x ? 1| ? | x ? 1|? f ( x) …………………12 分

? f ( x) 是偶函数

……………………4 分

( x ? ?1) ? ?2 x (2) f ( x) ? ? 2 (?1 ? x ? 1) ? ? 2x ( x ? 1) ?

由函数图象知,函数的值域为 [2, ??)

…………9 分

(3 由函数图象知,不等式的解集为 {x | x ? 0或x ? 2} ………12 分

18. (本题满分 12 分)

?a ? b ? 1 ? 0 ? 解:(1)由题意得: ? b ?? 2a ? ?1 ?
所以: f ( x) ? x ? 2 x ? 1
2

?a ? 1 解得: ? ?b ? 2

…………………6 分

(2)由(1)得 g ( x) ? x ? (2 ? k ) x ? 1
2

当 x ? ?? 2,2? 时, g (x) 是单调函数的充要条件是:

?

2?k 2?k ? 2或 ? ? ?2 2 2

解得: k ? 6或k ? ?2

…………………12 分

19.(本小题满分 12 分)
x x x 2 x 解:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 2 ? 4 ? 2 ? 1 ? 2(2 ) ? 2 ? 1,

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令 t ? 2 x , x ? [?3,0] ,则 t ? [ ,1] , 故 y ? 2t ? t ? 1 ? 2(t ? ) ?
2 2

1 8

1 4

9 1 , t ? [ ,1] , 8 8
…………………6 分

故值域为 [?

9 ,0 ] 8

(2)关于 x 的方程 2a(2 x ) 2 ? 2 x ? 1 ? 0 有解,等价于 方程 2ax ? x ? 1 ? 0 在 (0,??) 上有解
2

…………………8 分

解法一:记 g ( x) ? 2ax2 ? x ? 1 当 a ? 0 时,解为 x ? ?1 ? 0 ,不成立

1 ? 0 ,过点 (0,?1) ,不成立 4a 1 ? 0 ,过点 (0,?1) ,必有一个根为正 当 a ? 0 时,开口向上,对称轴 x ? 4a 所以, a ? 0
当 a ? 0 时,开口向下,对称轴 x ? …………………12 分

x ?1 1 1 1 2 1 ? ( ? ) ? 2 x2 2 x 2 8 1 1 1 2 1 ? a 的范围即为函数 g ( x) ? ( ? ) ? 在 (0, ??) 上的值域 2 x 2 8 所以, a ? 0
解法二:方程 2ax ? x ? 1 ? 0 可化为 a ?
2

…………………12 分 20. (本题满分 13 分)
2 2 解: (1)当 0 ? x ? 5 时, f ( x) ? 5x ? 0.5x ? (0.5 ? 0.25x) = ?0.5x ? 4.75x ? 0.5

当 x ? 5 时, f ( x) ?

1 23 x ? ? (0.5 ? 0.25 x) ? ?0.125 x ? 11 8 2
………………4 分

??0.5 x 2 ? 4.75 x ? 0.5, 0 ? x ? 5 ? f ( x) ? ? ??0.125 x ? 11, x ? 5

2 2 (2)当 0 ? x ? 5 时, f ( x ) = ?0.5x ? 4.75x ? 0.5 = ?0.5( x ? 4.75) ? 10.78125

? 当 x ? 4.75 时, f ( x)max ? 10.78125
当 x ? 5 时, f ( x ) ? ?0.125 x ? 11 ? ?0.125 ? 5 ? 11 ? 10.375 ? 10.78125

? 当年产量为 4.75(百件)时,当年公司所得利润最大,最大为 10.78125 万元.……9 分
(3)由题意知 f ( x) ? 0

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2 当 0 ? x ? 5 时, ?0.5x ? 4.75x ? 0.5 ? 0 ,即 ? 21.5625 ? 4.75 ? x ? 21.5625 ? 4.75

? 0.11 ? x ? 9.39 ,又 0 ? x ? 5 ,? 0.11 ? x ? 5
当 x ? 5 时, ?0.125x ? 11 ? 0,?5 ? x ? 88 综上可得,? 0.11 ? x ? 88

? 当年产量为 11 件 ? 8800 件之间时,公司不会亏本.
21.(本小题满分 14 分) 解: (1)当 t ?

………………13 分

1 3 1 1 2 时, f ( x) ? g ( x) ? log 1 [( x ? )( x ? )] ? log 1 [( x ? 1) ? ] 2 2 2 2 2 4 1 5 7 2 令 h( x) ? log 1 [( x ? 1) ? ] ,当 x ? [ , ] 时, h( x) ? [log 1 6, ?1] 2 2 4 2 2 即 | f ( x) ? g ( x) |? 1, f ( x ) 与 g ( x) 是否在给定区间上是非接近的. ………………4 分 (2)由题意知, t ? 0 且 t ? 1 , t ? 2 ? 3t ? 0 , t ? 2 ? t ? 0 ?0 ? t ? 1 ………………4 分 2 2 (3)? f ( x) ? g ( x) |?| logt ( x ? 4tx ? 3t ) | |
假设 f ( x ) 与 g ( x) 在给定区间 [t ? 2, t ? 3] 上是接近的,则有 | logt ( x2 ? 4tx ? 3t 2 ) |? 1

??1 ? logt ( x2 ? 4tx ? 3t 2 ) ? 1

…………(*)

令 G(x)= logt ( x2 ? 4tx ? 3t 2 ) ,当? 0 ? t ? 1 时, [t ? 2, t ? 3] 在 x ? 2t 的右侧, 即 G(x)= logt ( x2 ? 4tx ? 3t 2 ) ,在 [t ? 2, t ? 3] 上为减函数,

?G( x)max ? logt (4 ? 4t ) ,?G( x)min ? logt (9 ? 6t )
所以由(*)式可得

?0 ? t ? 1 ? ?log t (4 ? 4t ) ? 1 ?log (9 ? 6t ) ? ?1 ? t
因此,当 0 ? t ? 当t ?

,解得 0 ? t ?

9 ? 57 12

9 ? 57 时, f ( x ) 与 g ( x) 在给定区间 [t ? 2, t ? 3] 上是接近的; 12
………14 分

9 ? 57 时, f ( x ) 与 g ( x) 在给定区间 [t ? 2, t ? 3] 上是非接近的. 12

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