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河北省邯郸市2015届高考数学二模试卷(理科)


河北省邯郸市 2015 届高考数学二模试卷(理科)
一、选择题,共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 1. (5 分) A.﹣i () B. i C.1+i D.1﹣i

2. (5 分)已知集合 M={1,2,3,4},N={2,4,5},则{x|x∈M∪N,x?M∩N}=() A.{2,4,5} B.{1,3,5} C.{2,4} D.{

1,2,3,4,5} 3. (5 分)某班的一次数学考试后,按学号统计前 20 名同学的考试成绩如茎叶图所示,则该

样本数据的中位数为() A.74.5 B.75 C.75.5 D.76

4. (5 分)设 a=log3π,b=log2 ,c=log3 A.a>b>c B.a>c>b
2

,则 a、b、c 的大小关系是() C.c>b>a D.b>a>c 的直线与抛物线交于 A、B 两点,

5. (5 分)已知抛物线 y =4x,过抛物线焦点且倾斜角为 则|AB|=() A.A B. C. 5

D.

6. (5 分)执行如图所示的程序框图,如果输出的 S 值大于 ,则输入的正整数 N 的最小值为 ()

A.4

B. 5

C. 6

D.7

7. (5 分) 设数列{an}的前 n 项之积为 Pn=a1a2…a( , 若 Pn=2 n n∈N ) () A. B. C. D.

*

, 则

+

+…+

=

8. (5 分)设函数 f(x)= sinωx+cosωx,ω∈(﹣3,0) ,若 f(x)的最小正周期为 π,则 f (x)的一个单调递减区间是() A.(﹣ ,0) B.(﹣ , ) C. ( , ) D.( ,π)

9. (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,图中网格小正方形的边长为 1,则该三棱锥的体积为

()

A.5

B. 4

C. 3

D.2

10. (5 分)双曲线 C:

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若 F 关于直线 y=

x 的对

称点 P 在双曲线上,则 C 的离心率为() A.2 B. C. D. +1

11. (5 分)四面体 ABCD 的四个顶点均在半径为 2 的球面上,若 AB、AC、AD 两两垂直, =2,则该四面体体积的最大值为() A. B.
3 2

C. 2

D.7

12. (5 分)已知函数 f(x)=x +bx +cx,对任意的 b,c∈[﹣3,3].f(x)在(﹣1,1)内既 有极大值又有极小值的概率为() A. B. C. D.

二、填空题,共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. (5 分)我们把中间位数上的数字最大面两边依次减小的多位数成为“凸数”.如 132、341 等,那么由 1、2、3、4、5 可以组成无理重复数字的三位凸数的个数是(用数字作答)

14. (5 分)若正方形 ABCD 的边长为 3,

=2



=2
?

,则

?

=.

15. (5 分) 已知数列{an}满足 a1=a2=1, an+2=an+1+an (n∈N ) . 若存在正实数 λ 使得数列|an+1+λan| 为等比数列,则 λ=. 16. (5 分) 已知定义在区间[a, a+2]上的奇函数 y=f ( x) , 当 0<x≤a+2 时, f (x) = (x﹣1) . 若 方程 f(x)=x +cx 恰有三个不相等的实数根,则实数 c 的取值范围为.
3

三、简答题,共 5 小题,共 70 分 17. (12 分)如图,在△ ABC 中,BC 边上的中线为 AD. (1)若 AD=BD=2,AB=3,求 ABC 的面积; (2)若∠ABC=30°,∠ACB=45°,求 tan∠BAD 的值.

18. (12 分)某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学,开展听课、访谈及随堂检测等活 动.他们把收集到的 180 节课分为三类课堂教学模式:教师主讲的为 A 模式,少数学生参与 的为 B 模式,多数学生参与的为 C 模式.A、B、C 三类课的节数比例为 3:2:1 (Ⅰ)为便于研究分析,教育专家将 A 模式称为传统课堂模式,B、C 统称为新课堂模式,根 据随堂检测结果,把课堂教学效率分为高效和非高效,根据检测结果统计得到如下 2×2 列联 表(单位:节) 高效 非高效 统计 新课堂模式 60 30 90 传统课堂模式 40 50 90 统计 100 80 180 请根据统计数据回答:有没有 99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关?并说明理由. (Ⅱ)教育专家采用分层抽样的方法从收集到的 180 节课中选出 18 节课作为样本进行研究, 并从样本的 B 模式和 C 模式课堂中随机抽取 3 节课. ①求至少有一节为 C 模式课堂的概率; ②设随机抽取的 3 节课中含有 C 模式课堂的节数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 参考临界值表: P(K ≧K0) K0 2.706 参考公式:K =
2 2

0.10 3.841

0.05 5.024

0.025 6.635

0.010 7.897

0.005 0.001 10.828

,其中 n =a +b +c +d

19. (12 分) 如图, 在等腰梯形 CDFE 中, A、 B 分别为底边 DE, CE 的中点. AD=2AB=2BC=2. 沿 AE 将 AEF 折起,使二面角 F﹣AE﹣C 为直二面角,连接 CF、DF.

(Ⅰ)证明:平面 ACF⊥平面 AEF; (Ⅱ)求平面 AEF 与平面 CDF 所成二面角的余弦值.

20. (12 分)已知椭圆

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为

,点

(1,

)在椭圆上.

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线与椭圆相较于 P、Q 两点,设△ PQF2 内切圆的面积为 S,求 S 最大时圆的 方程.

21. (12 分)已知函数 f(x)=mlnx﹣x +(2m﹣1)x, (m∈R) . (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)设 m>0,证明:当 0<x<m 时,f(m+x)>f(m﹣x) ; (Ⅲ)若函数 f(x)的图象与 x 轴交于 A、B 两点,线段 AB 的中点的横坐标为 x0,f′(x) 为函数 f(x)的导函数,证明 f′(x0)<0.

2

四、选考题(从 22、23、24 中任选做一题作答。注意:只能做选定的题目,如果多做则按第一 题计分) 22. (10 分)如图,已知 AB 为半圆 O 的直径,C 为圆弧上一点,过点 C 作半圆的切线 CF, 过点 A 作 CF 的垂线,垂足为 D,AD 交半圆于点 E,连结 EC,BC,AC. (Ⅰ)证明:AC 平分∠BAD; (Ⅱ)若 AB=3,DE= ,求△ ABC 的面积.

23.已知曲线 C1 的参数方程为

(φ 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴 )=2.

为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρcos(θ+

(Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 上的点的距离的最小值是此时点 P 的坐标.

24.已知函数 f(x)=|x+a|+2|x+1|. (Ⅰ)当 a=﹣1 时,求不等式 f(x)>5 的解集; (Ⅱ)若 f(x)>|x+1|+3a﹣7 恒成立,求实数 a 的取值范围.

河北省邯郸市 2015 届高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题,共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 1. (5 分) A.﹣i () B. i C.1+i D.1﹣i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 解答: 解: = .

故选:B. 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题. 2. (5 分)已知集合 M={1,2,3,4},N={2,4,5},则{x|x∈M∪N,x?M∩N}=() A.{2,4,5} B.{1,3,5} C.{2,4} D.{1,2,3,4,5} 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算进行求解即可. 解答: 解:∵M={1,2,3,4},N={2,4,5}, ∴M∪N={1,2,3,4,5},M∩N={2,4}, 则{x|x∈M∪N,x?M∩N}={1,3,5}, 故选:B 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 3. (5 分)某班的一次数学考试后,按学号统计前 20 名同学的考试成绩如茎叶图所示,则该

样本数据的中位数为() A.74.5 考点: 专题: 分析: 解答: B.75 C.75.5 D.76

茎叶图. 概率与统计. 根据中位数的概念和茎叶图中的数据,即可得到数据中的中位数 解:从茎叶图中可知 20 个数据排序后中间的两个数据为:75,76, =75.5.

所以中位数 故选:C.

点评: 本题主要考查茎叶图的应用,以及中位数的求法,要注意在求中位数的过程中,要 把数据从小到大排好,才能确定中位数,同时要注意数据的个数. 4. (5 分)设 a=log3π,b=log2 ,c=log3 A.a>b>c B.a>c>b ,则 a、b、c 的大小关系是() C.c>b>a D.b>a>c

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵b=log2 ∴ = , ,c=log3 = , =1,

∴c<b<1. 又 a=log3π>1, ∴a>b>c. 故选:A. 点评: 本题考查对数函数的单调性,属于基础题.
2

5. (5 分)已知抛物线 y =4x,过抛物线焦点且倾斜角为 则|AB|=() A.A B. C. 5

的直线与抛物线交于 A、B 两点,

D.

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出抛物线的焦点坐标 F(1,0) ,用点斜式设出直线方程:y= (x﹣1) ,与抛物 线方程联解得一个关于 x 的一元二次方程, 利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式, 可以 求出线段 AB 的长度. 解答: 解:根据抛物线 y =4x 方程得:焦点坐标 F(1,0) , 直线 AB 的斜率为 k=tan =
2

由直线方程的点斜式方程,设 AB:y= (x﹣1) 2 将直线方程代入到抛物线方程当中,得:3(x﹣1) =4x 2 整理得:3x ﹣10x+3=0 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 由一元二次方程根与系数的关系得: x2|= 故选:D. = . ,x1?x2=1,所以弦长|AB|= |x1﹣

点评: 本题以抛物线为载体,考查了圆锥曲线的弦长问题,属于难题.本题运用了直线方 程与抛物线方程联解的方法, 对运算的要求较高. 利用一元二次方程根与系数的关系和弦长公 式是解决本题的关键.

6. (5 分)执行如图所示的程序框图,如果输出的 S 值大于 ,则输入的正整数 N 的最小值为 ()

A.4 考点: 程序框图.

B. 5

C. 6

D.7

专题: 算法和程序框图. 分析: 由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解答: 解:第一次执行完循环体后,T=1,S=1,K=2,不满足输出条件, 再次执行完循环体后,T= ,S= ,K=3,不满足输出条件, 再次执行完循环体后,T= ,S= ,K=4,不满足输出条件, 再次执行完循环体后,T= ,S= ,K=5,满足输出条件,

故输入的正整数 N 的值为 4, 故选:A. 点评: 本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环 的方法解答.

7. (5 分) 设数列{an}的前 n 项之积为 Pn=a1a2…a( , 若 Pn=2 n n∈N ) () A. B. C. D.

*

, 则

+

+…+

=

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意得到 a1a2…an=2 ,求得首项,取 n=n﹣1 得到 (n≥2) ,作商求得数列通项公式,并得到数列∴{ 1 为首项,以 为公比的等比数列,由此求得答案. 解答: 解:由 Pn=a1a2…an(n∈N ) ,Pn=2 ∴ , (n≥2) ,
*

}是以

,得 a1a2…an=2 (n≥2) ,



两式作商得: 当 n=1 时上式成立, ∴ 则 (n≥2) , ,







∴{

}是以 1 为首项,以 为公比的等比数列,



+

+…+

=



故选:B. 点评: 本题考查数列递推式,考查了等比关系的确定,考查了等比数列的前 n 项和,是中 档题. 8. (5 分)设函数 f(x)= sinωx+cosωx,ω∈(﹣3,0) ,若 f(x)的最小正周期为 π,则 f (x)的一个单调递减区间是() A.(﹣ ,0) B.(﹣ , ) C. ( , ) D.( ,π)

考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由两角和与差的正弦函数公式化简可得 f(x)=2sin(ωx+ <2x﹣ <2kπ+ ,k∈Z 可解得 f(x)的单调递减区间. sinωx+cosωx=2sin(ωx+ ) , ) , , kπ+ ) , ) ,解得 ω,由 2kπ﹣

解答: 解:∵f(x)=

∴由 f(x)的最小正周期 T= ∴由 2kπ﹣ k∈Z <2x﹣ <2kπ+

=π,解得 ω=﹣2,f(x)=﹣2sin(2x﹣

, k∈Z 可解得 ( f x) 的单调递减区间可为: (kπ﹣

∴当 k=0 时,可得 f(x)的一个单调递减区间是(﹣



) .

故选:B. 点评: 本题主要考查来了两角和与差的正弦函数公式,正弦函数的图象和性质,属于基本 知识的考查.

9. (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,图中网格小正方形的边长为 1,则该三棱锥的体积为

() A.5 B. 4 C. 3 D.2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图及题设条件知,此几何体为一个三棱锥,其高为 2,底面是直角边长度为 3 的等腰直角三角形,故先求出底面积,再由体积公式求解其体积即可. 解答: 解:由已知中三棱锥的三视图,可得该三棱锥的直观图如下所示:

其高为 2,底面是直角边长度为 3 的等腰直角三角形, 故其底面面积 S= ×3×3= , 高 h=2, 故体积 V= =3,

故选:C 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的 形状.

10. (5 分)双曲线 C:

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若 F 关于直线 y=

x 的对

称点 P 在双曲线上,则 C 的离心率为() A.2 B. C. D. +1

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线右焦点关于直线 y= x 的对称点 P 的坐标,代入双曲线方程整理求得双 曲线的离心率.

解答: 解:双曲线 设 F(c,0)关于于直线 y=

的右焦点 F(c,0) , x 的对称点 P(x0,y0) ,



,解得:

,即 P(

) ,

代入双曲线

得:

(舍) ,或



∴e= . 故选:D. 点评: 本题考查点关于直线的对称点的求法,考查了双曲线的简单几何性质,是基础的计 算题. 11. (5 分)四面体 ABCD 的四个顶点均在半径为 2 的球面上,若 AB、AC、AD 两两垂直, =2,则该四面体体积的最大值为() A. B. C. 2 D.7

考点: 向量在几何中的应用;平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意, 面体体积的最大值. 解答: 解:由题意, ∵a +b +c =16, 2 2 ∴a +b =14≥2ab, ∴ab≤7, ∴ = ≤ , ,
2 2 2

=c?

?

=c =2,进而可得 a +b =14≥2ab,即可求出四

2

2

2

=c?

?

=c =2,

2

∴四面体体积的最大值为 故选:A.

点评: 本题考查四面体体积的最大值,考查向量知识的运用,确定 =c? ? =c =2 是关键.
2

12. (5 分)已知函数 f(x)=x +bx +cx,对任意的 b,c∈[﹣3,3].f(x)在(﹣1,1)内既 有极大值又有极小值的概率为() A. B. C. D.

3

2

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: 求导数,确定 f(x)在(﹣1,1)内既有极大值又有极小值,对应的区域的面积,b, c∈[﹣3,3],对应区域的面积,即可求出 f(x)在(﹣1,1)内既有极大值又有极小值的概率. 2 解答: 解:由题意 f′(x)=3x +2bx+c, ∵f(x)在(﹣1,1)内既有极大值又有极小值, 2 ∴f′(x)=3x +2bx+c=0 的两个根在(﹣1,1)内,



,对应区域的面积为 2

=

=6,

∵b,c∈[﹣3,3], ∴对应区域的面积为 36, ∴f(x)在(﹣1,1)内既有极大值又有极小值的概率为 , 故选:D. 点评: 本题考查函数的极值,考查导数知识的运用,考查概率的计算,确定区域,正确求 面积是关键. 二、填空题,共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. (5 分)我们把中间位数上的数字最大面两边依次减小的多位数成为“凸数”.如 132、341 等,那么由 1、2、3、4、5 可以组成无理重复数字的三位凸数的个数是 20(用数字作答) 考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 排列组合. 分析: 根据“凸数”的特点, 中间的数字只能是 3, 4, 5, 故分三类, 第一类, 当中间数字为”3“时, 第二类,当中间数字为”4“时,第三类,当中间数字为”5“时,根据分类计数原理即可解决.

解答: 解:根据“凸数”的特点,中间的数字只能是 3,4,5,故分三类, 第一类,当中间数字为”3“时,此时有 2 种, (132,231) , 第二类,当中间数字为”4“时,从 1,2,3 中任取两个放在 4 的两边,故有 =6 种, =12 种,

第三类,当中间数字为”5“时,从 1,2,3,4 中任取两个放在 5 的两边,故有

根据分类计数原理, 得到由 1、 2、 3、 4、 5 可以组成无理重复数字的三位凸数的个数是 2+6+12=20 种. 故答案为:20. 点评: 本题考查了分类计数原理,关键是根据新定义,进行分类,属于中档题.

14. (5 分)若正方形 ABCD 的边长为 3,

=2



=2

,则

?

=﹣6.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 将所求利用正方形的各边表示,展开整理可得. 解答: 解:因为正方形 ABCD 的边长为 3, ( )= + =2 , =2 ,所以 ? =( )?

=0﹣3﹣3+0=﹣6;

故答案为:﹣6. 点评: 本题考查了平面向量的三角形法则的运用以及数量积公式的运用;关键是将所求用 正方形的各边对应的向量表示. 15. (5 分) 已知数列{an}满足 a1=a2=1, an+2=an+1+an (n∈N ) . 若存在正实数 λ 使得数列|an+1+λan| 为等比数列,则 λ= .
?

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 通过变形可得 an+2+λan+1=(1+λ) (an+1+ an) ,只需 =λ,计算即得结论. an) ,

解答: 解:由题意可知:an+2+λan+1=(1+λ)an+1+an=(1+λ) (an+1+ ∴ =λ,解得:λ= 或 λ= (舍) ,

∵a1=a2=1,∴a3=2, 易验证当 n=1 时满足题意, 故答案为: .

点评: 本题考查等比数列的概念,注意解题方法的积累,属于中档题.

16. (5 分) 已知定义在区间[a, a+2]上的奇函数 y=f ( x) , 当 0<x≤a+2 时, f (x) = (x﹣1) . 若 方程 f(x)=x +cx 恰有三个不相等的实数根,则实数 c 的取值范围为
3

或 c<﹣1.

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的性质求出 a 的值,求出函数 f(x)的表达式,利用函数和方程之 间的关系,利用数形结合进行求解即可. 解答: 解:∵f(x)是定义在区间[a,a+2]上的奇函数, ∴a+a+2=0,即 2a+2=0,交点 a=﹣1, 即对应区间为[﹣1,1],当 0<x≤1 时,f(x)= (x﹣1) . 则当﹣1≤x<0 时,0<﹣x≤1,此时 f(﹣x)= (﹣x﹣1)=﹣f(x) , 则 f(x)= (x+1) ,

即 f(x)=



作出函数 f(x)的图象如图: 3 则设 g(x)=x +cx,则 g(x)为奇函数, 3 若方程 f(x)=x +cx 恰有三个不相等的实数根, 则等价为 f(x)与 g(x)有 3 个不同的交点, 根据函数奇偶性的对称性,则等价为在(0,1]上,两个函数只有一个交点, 函数 g(x)的导数 g′(x)=3x +c, 若 c≥0,则 g′(x)>0,即函数 g(x)在(0,1]上为增函数,此时在(0,1]上没有交点,不 满足条件. 若 c<0, 当 g(x)与 f(x)在(0,1]上相切时,由 g′(x)= 得 3x +c= , 即 3x = ﹣c, 由 x +cx= (x﹣1)两个方程联立得 c= 当 g(x)与 f(x)不相切时,即 c≠
3 2 2 2

,x= ,即切点坐标为( ,﹣ ) . 时,

要使在(0,1]上,两个函数只有一个交点, 则满足 g(1)<0, 即 1+c<0,解得 c<﹣1, 综上 或 c<﹣1,

故答案为:

或 c<﹣1

点评: 本题主要考查方程根的个数的应用, 根据函数奇偶性性质求出 a 的值, 以及利用函数 和方程之间的关系转化为两个图象的交点问题是解决本题的关键.综合性较强,难度较大. 三、简答题,共 5 小题,共 70 分 17. (12 分)如图,在△ ABC 中,BC 边上的中线为 AD. (1)若 AD=BD=2,AB=3,求 ABC 的面积; (2)若∠ABC=30°,∠ACB=45°,求 tan∠BAD 的值.

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)在三角形 ABD 中,利用余弦定理表示出 cosB,将三边长代入求出 cosB 的值, 进而求出 sinB 的值,利用三角形面积公式求出三角形 ABC 面积即可; (2)设∠BAD=α,则∠CAD=105°﹣α,在三角形 ABD 中,利用正弦定理表示出 BD,在三 角形 ACD 中,利用正弦定理表示出 CD,由 BD=CD,求出 tanα 的值,即为 tan∠BAD 的值. 解答: 解: (1)在△ ABD 中,AD=DB=2,AB=3, 由余弦定理可得 cosB= ∴sinB= = , ; = ,

则 S△ ABC= AB?BC?sinB=

(2)设∠BAD=α,则∠CAD=105°﹣α, 在△ ABD 中,由正弦定理可得 又在△ ACD 中,由正弦定理可得 = = , ,

∵BD=CD,∴ 即 sin(105°﹣α)=

= sinα,



整理得:sin105°cosα﹣cos105°sinα= 解得:tanα= .

sinα,即 sin105°cosα=(

+cos105°)sinα,

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关 键. 18. (12 分)某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学,开展听课、访谈及随堂检测等活 动.他们把收集到的 180 节课分为三类课堂教学模式:教师主讲的为 A 模式,少数学生参与 的为 B 模式,多数学生参与的为 C 模式.A、B、C 三类课的节数比例为 3:2:1 (Ⅰ)为便于研究分析,教育专家将 A 模式称为传统课堂模式,B、C 统称为新课堂模式,根 据随堂检测结果,把课堂教学效率分为高效和非高效,根据检测结果统计得到如下 2×2 列联 表(单位:节) 高效 非高效 统计 新课堂模式 60 30 90 传统课堂模式 40 50 90 统计 100 80 180 请根据统计数据回答:有没有 99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关?并说明理由. (Ⅱ)教育专家采用分层抽样的方法从收集到的 180 节课中选出 18 节课作为样本进行研究, 并从样本的 B 模式和 C 模式课堂中随机抽取 3 节课. ①求至少有一节为 C 模式课堂的概率; ②设随机抽取的 3 节课中含有 C 模式课堂的节数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 参考临界值表: 2 P(K ≧K0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 K0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.897 10.828 参考公式:K =
2

,其中 n =a +b +c +d

考点: 离散型随机变量的期望与方差;独立性检验;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 2 分析: (Ⅰ)由列联表中的统计数据,直接计算随机变量 K 的观测值,然后推出结果即可. (Ⅱ)①从样本中的 B、C 模式课堂中随机抽取 3 节课,故该实验为古典概型.求解概率即 可. ②X 的所有取值为 0,1,2,3.求出概率,然后列出分布列计算期望. 2 解答: 解: (Ⅰ)由列联表中的统计数据计算随机变量 K 的观测值为:

由临界值表 P(k ≥6.635)≈0.010, 故有 99%的把握认为课堂效率与教学模式有关 …. (3 分)

2

(Ⅱ)①从样本中的 B、C 模式课堂中随机抽取 3 节课,故该实验为古典概型. 事件 M 表示“抽取的 3 节课中至少有一节课为 C 模式课堂”. 则 …. (6 分)

②X 的所有取值为 0,1,2,3.



, 所以随机变量 X 的分布列为 X 0 1 P …. (10 分) ∴ …. (12 分)

2

3

点评: 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,对立检验的应用,考查计算能 力. 19. (12 分) 如图, 在等腰梯形 CDFE 中, A、 B 分别为底边 DE, CE 的中点. AD=2AB=2BC=2. 沿 AE 将 AEF 折起,使二面角 F﹣AE﹣C 为直二面角,连接 CF、DF.

(Ⅰ)证明:平面 ACF⊥平面 AEF; (Ⅱ)求平面 AEF 与平面 CDF 所成二面角的余弦值. 考点: 二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ) 证明 EF⊥EA; EF⊥AC; 然后证明 EF⊥平面 AECD, 说明 AC⊥EF, 推出 AC⊥ 平面 AEF,即可证明平面 ACF⊥平面 AEF. (Ⅱ)以 E 为原点,EC 所在直线为 x 轴,EF 所在直线为 Z 轴建立如图所示的坐标系,求出 平面 AEF 的法向量, 平面 FCD 的法向量,利用空间向量的数量积求解平面 AEF 与平面 CDF 所成锐二面角的余弦 值. 解答: (Ⅰ) 证明: 在等腰梯形 CDFE 中, 由已知条件可得, , AF=AD=2, 2 2 2 所以,AE +EF =AF ,∴EF⊥EA;同理可证,EF⊥AC;…(1 分) 在四棱锥 F﹣AECD 中,

∵二面角 F﹣AE﹣C 为直二面角,∴平面 AEF⊥平面 AECD, ∴EF⊥平面 AECD,…(2 分) ∵AC?平面 AECD,∴AC⊥EF, 又∵AC⊥AE,∴AC⊥平面 AEF,…(4 分) ∴平面 ACF⊥平面 AEF.…(5 分) (Ⅱ)解:以 E 为原点,EC 所在直线为 x 轴,EF 所在直线为 Z 轴建立如图所示的坐标系, 则 A(1,1,0) ,C(2.0,0) ,D(3,1,0) , 则, 显然, . , 为平面 AEF 的法向量, …. (6 分) ,

设平面 FCD 的法向量

,则



所以 的一个取值为

…. (9 分) .…. (12 分)

故平面 AEF 与平面 CDF 所成锐二面角的余弦值为

点评: 本题考查二面角的平面角的求法,平面与平面垂直的判定定理的应用,考查空间想 象能力以及计算能力.

20. (12 分)已知椭圆

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为

,点

(1,

)在椭圆上.

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线与椭圆相较于 P、Q 两点,设△ PQF2 内切圆的面积为 S,求 S 最大时圆的 方程. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (Ⅰ) 利用椭圆离心率为

, 设出椭圆方程为

, 通过点的坐标在椭圆上,

求解即可. (Ⅱ)设直线 PF1 的方程为 x=ny﹣1,与椭圆联立,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,利用韦达定 2 理求出|y1﹣y2|, 令 t=n +1, 利用基本不等式求出最值. 然后求解△ PQF2 面积最大值, 得到 PF2 的方程,圆的方程. 解答: 解: (Ⅰ)由题意,椭圆 的离心率为 ,

故设椭圆方程为


2



带入上式,得 m =1. .…. (4 分)
2 2

所以椭圆的标准方程为

(Ⅱ)设直线 PF1 的方程为 x=ny﹣1,与椭圆联立得, (n +2)y ﹣2ny﹣1=0, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则 ,g(x) ,



…. (8 分)

令 t=n +1,则

2



当且仅当 n=0 时等号成立. 由题意,因为△ PQF2 的周长为定值, 因此当△ PQF2 面积取最大值时,它的内切圆面积 S 也取得最大值, 而 所以,当 n=0 时,S 取得最大值. 此时,△ PQF2 的内切圆圆心一定在 x 轴上, 设其坐标为(x0,0) ,取点 P 的坐标为 则 PF2 的方程为 ∴ . ,得 或 x0=﹣2(舍) .…(12 分) . , ,



,圆心为

,此时圆的方程为

点评: 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用,考查韦达定理的应用,基本不等式的 应用,考查分析问题解决问题的能力.

21. (12 分)已知函数 f(x)=mlnx﹣x +(2m﹣1)x, (m∈R) . (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)设 m>0,证明:当 0<x<m 时,f(m+x)>f(m﹣x) ; (Ⅲ)若函数 f(x)的图象与 x 轴交于 A、B 两点,线段 AB 的中点的横坐标为 x0,f′(x) 为函数 f(x)的导函数,证明 f′(x0)<0. 考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)当 b=2 时,求导函数,根据函数 y=f(x)存在单调递减区间,所以 f′(x)< 2 0 有解,又因为 x>0 时,则 ax +2x﹣1>0 有 x>0 的解,分类讨论,即可求得 a 的取值范围; (Ⅱ)设则 t1=m+x,t2=m﹣x,则 t1+t2=2m,t1﹣t2=2x,利用做差法,得到 f(m+x)﹣f(m ﹣x)=mln ﹣2x,构造函数 ,利用函数的单调性即可证明;

2

(Ⅲ)设点 A,B 的坐标分别是(x1,0) , (x2,0) ,0<x1<x2,利用(Ⅰ) (Ⅱ)即可证明. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞) , ∴ ,

当 m≤0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当 m>0 时,若 x∈(0,m) ,则 f'(x)>0,f(x)单调递增, 若 x∈(m,+∞) ,则 f'(x)<0,f(x)单调递减, (Ⅱ)设则 t1=m+x,t2=m﹣x,则 t1+t2=2m,t1﹣t2=2x, ∴f(t1)﹣f(t2)=mln ﹣(t1﹣t2) (t1+t2)+(2m﹣1) (t1﹣t2)=mln ﹣2x, ﹣2x,

∴f(m+x)﹣f(m﹣x)=mln 设 ,



,且 m>0,0<x<m,

∴g'(x)>0,g(x)在(0,m)上递增, ∴g(x)>g(0)=m>0, ∴f(m+x)>f(m﹣x) . (Ⅲ)设 A,B 的横坐标分别为 x1,x2,且 x1<x2 则 x1+x2=2x0 由(Ⅰ)可知 m>0,且 0<x1<m<x2, 由(Ⅱ)可得 f(2m﹣x1)=f(m+(m﹣x1) )>f(m﹣(m﹣x1) )=f(x1)=f(x2)=0, 又∵f(x)在(m,+∞)上单调递减, ∴2m﹣x1<x2 即 2m<x1+x2=2x0?m<x0 由(Ⅰ)f'(x0)<0. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明,考查学生分析 解决问题的能力,有一定的难度.

四、选考题(从 22、23、24 中任选做一题作答。注意:只能做选定的题目,如果多做则按第一 题计分) 22. (10 分)如图,已知 AB 为半圆 O 的直径,C 为圆弧上一点,过点 C 作半圆的切线 CF, 过点 A 作 CF 的垂线,垂足为 D,AD 交半圆于点 E,连结 EC,BC,AC. (Ⅰ)证明:AC 平分∠BAD; (Ⅱ)若 AB=3,DE= ,求△ ABC 的面积.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: (Ⅰ)证明∠BAC=∠CAD,即可证明:AC 平分∠BAD; (Ⅱ)证明△ DCE∽△CAB,则 ,求出 BC,即可求△ ABC 的面积.

解答: (Ⅰ)证明:由 CD 为半圆 O 的切线,根据弦切角定理得∠DCA=∠CBA, 又因为∠CDA=∠BCA=90°,得∠BAC=∠CAD, 所以 AC 平分∠BAD;…(5 分) (Ⅱ)解:由 CD 为半圆 O 的切线,根据弦切角定理得∠DCE=∠CDA, 又因为∠CAD=∠CAB,所以∠DCE=∠CAB, 可得△ DCE∽△CAB,则 ,

又因为 EC=BC,AB=3,DE= , 所以 BC= ,即 S△ ABC .…(10 分)

点评: 本题考查弦切角定理,考查三角形相似的判定,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题.

23.已知曲线 C1 的参数方程为

(φ 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴 )=2.

为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρcos(θ+

(Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 上的点的距离的最小值是此时点 P 的坐标. 考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)把椭圆的参数方程变形,然后平方作和求得普通方程,展开两角和的余弦, 代入 x=ρcosθ,y=ρsinθ 求得直线的直角坐标方程; (Ⅱ)设 P( cosφ,sinφ) ,由点到直线的距离公式得到距离,利用三角函数的最值求得答 案. 解答: 解: (Ⅰ)由 ,得 ,两式平方作和得 ,

∴曲线 C1 的普通方程为 由 ρcos(θ+ 即 )=2,得

; , ,即 .

∴曲线 C2 的直角坐标方程为 ; (Ⅱ)设 P( cosφ,sinφ) ,由题意知,点 P 到直线 C2 距离为 = 当 φ=﹣ 时,d 取最小值 , ) . , ,

此时点 P(

点评: 本题考查参数方程化普通方程,考查极坐标方程化直角坐标方程,训练了点到直线 的距离公式的应用,考查了三角函数最值的求法,是基础题.

24.已知函数 f(x)=|x+a|+2|x+1|. (Ⅰ)当 a=﹣1 时,求不等式 f(x)>5 的解集; (Ⅱ)若 f(x)>|x+1|+3a﹣7 恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 专题: 综合题;不等式. 分析: (Ⅰ)当 a=﹣1 时,不等式 f(x)>5 等价变形,可得结论; (Ⅱ)若 f(x)>|x+1|+3a﹣7 恒成立,即为|x+a|+|x+1|>3a﹣7|恒成立,利用|x+a|+|x+1|≥|a﹣1|, 求实数 a 的取值范围.

解答: 解: (Ⅰ)当 a=﹣1 时,不等式 f(x)>5 可化为 或 或 ,…(3 分)

解得 x<﹣2 或 x> , ∴不等式 f(x)>5 的解集为{x|x<﹣2 或 x> }.…(5 分) (Ⅱ)原不等式即为|x+a|+|x+1|>3a﹣7|恒成立, ∵|x+a|+|x+1|≥|a﹣1|,…(8 分) ∴|a﹣1|>3a﹣7,解得 a<3…(10 分) 点评: 本题考查绝对值不等式,考查学生的计算能力,考查学生分析解决问题的能力,比 较基础.


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