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向量复习题


向量概念与线性运算 1.把一个函数图像按向量 a ? ( ,?2) 平移后,得到的图象的表达式为 y ? sin( x ? 则原函数的解析式为 y ? cos x 2.向量 a=(-1,1),且 a 与 a+2b 方向相同,则 a· b 的取值范围是( A.(-1,1) C.(1,+∞) 解析:依题意可设 a+2b=λa(λ>0), 1 则 b= (λ-1)a, 2 1 1

∴a· b= (λ-1)a2= (λ-1)× 2=λ-1>-1. 2 2 答案:B 数量积 → → 3.如图,△ABC 的外接圆的圆心为 O,AB=2,AC=3,BC= 7,则AO· BC 等于 3 A. 2 答案 B → → → → → → → → → 解析 AO· BC=AO· (AC-AB)=AO· AC-AO· AB, 1→ → → 因为 OA=OB,所以AO在AB上的投影为 |AB|, 2 → → 1→ → 所以AO· AB= |AB|· |AB|=2, 2 → → 1→ → 9 同理AO· AC= |AC|· |AC|= , 2 2 5 → → 9 故AO· BC= -2= . 2 2 4.(2012· 湖南)如图所示,在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P, → → 且 AP=3,则AP· AC=________. 答案 18 解析 根据向量的加法几何意义及数量积运算律求解. → → → → → → → → → ∵AP· AC=AP· (AB+BC)=AP· AB+AP· BC → → → → → → → → → =AP· AB+AP· (BD+DC)=AP· BD+2AP· AB, → → 又∵AP⊥BD,∴AP· BD=0. → → → → → ∵AP· AB=|AP||AB|cos∠BAP=|AP|2, 5 B. 2 C.2 ( D.3 ) B.(-1,+∞) D.(-∞,1)

?

?
6

3

) ? 2,

)

1

→ → → ∴AP· AC=2|AP|2=2×9=18.

5.设 a、b 为两个非零向量,且 a·b=0,那么下列四个等式①|a|=|b|; ②|a+b|=|a-b|;③a· (b+a)=0;④(a+b)2=a2+b2. 其中正确等式个数为 A.0 B.1 C.2 D .3




) 6.C

6.已知|p|= 2 2 ,|q|=3,p、q 的夹角为 45°,则以 a=5p+2q,b=p-3q 为邻边的平行四边形过 a、b 起 点的对角线长为 7.C ( A.14 B. 15 C.15 D.16

度量公式 7、已知向量 a ≠ e ,| e |=1,对任意 t∈R,恒有| a -t e |≥| a - e |,则( (A) a ⊥ e (B) a ⊥( a - e ) (C) e ⊥( a - e ) (D) ( a + e )⊥( a - e ) )

8、 已知点 A ( 3, 1) , B (0, 0) C ( 3, 0) .设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E, 那么有 BC ? ?CE, 其中? 等于 A.2 ( ) B.

1 2

C.-3 D.-

1 3
平 行 于 OA , 则

平行于垂直 9 . 设 向 量 OA ? (3,1),OB ? (?1,2) , 向 量 OC 垂 直 于 向 量 OB , 向 量 BC

OD ? OA ? OC时, OD 的坐标为_________
解:设 OC ? ( x, y), OC ? OB ,∴ OC ? OB ? 0 ,∴ 2 y ? x ? 0 ① 又? BC // OA, BC ? ( x ? 1, y ? 2)

3( y ? 2) ? ( x ? 1) ? 0

即: 3 y ? x ? 7 ②

x ? 14, 联立①、②得 ? ∴ OC ? (14,7), 于是OD ? OC ? OA ? (11,6) . ? ?y ? 7 10.已知|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,c=3a+5b,d=ma-3b.

(1)当 m 为何值时,c 与 d 垂直? (2)当 m 为何值时,c 与 d 共线? 解:(1)令 c· d=0,则(3a+5b)· (ma-3b)=0, 即 3m|a|2-15|b|2+(5m-9)a· b=0 29 解得 m= . 14 29 故当 m= 时,c⊥d. 14 (2)令 c=λd,则 3a+5b=λ(ma-3b)
2

即(3-λm)a+(5+3λ)b=0, ∵a,b 不共线,

∴? ?5+3λ=0.

?3-λm=0,

?λ=-3, 解得? 9 ?m=-5.

5

9 故当 m=- 时,c 与 d 共线. 5

综合应用 11.设平面上有四个互异的点 A、B、C、D,已知( DB ? DC ? 2DA) ? ( AB ? AC) ? 0, 则△ABC 的形状是 ( )5.B A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形

|PA|2+|PB|2 12.(2012· 江西)在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 等 |PC|2 于 A.2 答案 D B .4 C .5 D.10 ( )

综合练习题 二、填空题:每小题 4 分,共 16 分.
13、已知点 A(1, -2),若向量 AB 与 a ={2,3}同向, AB =2 13 ,则点 B 的坐标为 → → 14.(2012· 浙江)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB· AC=________. 答案 -16 15.(2012· 江苏)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点, → → → → 点 F 在边 CD 上,若AB· AF= 2,则AE· BF的值是________. 答案 16 .
? ?

.

2 已 知 | a |=
?

5 ,| b |=5, | c |=2

?

?

5 , 且 a? b? c ? 0 , 则

?

?

?

?

a ? b ? b ? c ? c ? a =_______15.-25

? ?

? ?

17.若对 n 个向量 a1,a2,a3,…,an,存在 n 个不全为零的实数 k1,k2,?,kn,使得 k1 a1 +k2a2+?+knan=0 成立,则称 a1,a2,?,an 为“线性相关” .依此规定,能使 a1=(1, 0) , a2= (1, -1) , a3= (2, 2) “线性相关” 的实数 k1, k2, k3 依次可以取
4,2,1 .

. 16. -

3

三、解答题
18、已知向量 a=(sin2x,cos2x),b=(sin2x,1), f(x)=8a· b. (1)求 f(x)的最小正周期、最大值和最小值. (2)函数 y=f(x)的图象能否经过平移后,得到函数 y=sin4x 的图象,若能,求出平移向量 m;若 不能,则说明理由. 解: (1)f(x)=8a·b=8(sin2x,cos2x)·(sin2x,1) = 8(sin4x+cos2x)= 2(1-cos2x)2+4(1+cos2x) =2(1-2cos2x+cos22x)+4+4cos2x =6+2cos22x=7+cos4x.

∴f(x)的最小正周期为

最大值为 8,最小值为 6.

(2)

假设它的图象可以按向量 m=(h,k)平移后得到 y=sin4x 的图象.

故按向量

平移后便得到 y=sin4x 的图象.

19.(12 分)如图所示,在△ABC 中,∠C 为直角,CA=CB,D 是 CB 的中点,E 是 AB 上的点,且 AE
4

=2EB,求证:AD⊥CE.

证明:设此等腰直角三角形的直角边长为 a,则 → → → → → → AD· CE=(AC+CD)· (CA+AE) → → → → → → → → =AC· CA+CD· CA+AC· AE+CD· AE 2 2 2 a2 2 2 =-a2+0+a· a· + · a· 3 2 2 3 2 2 1 =-a2+ a2+ a2=0, 3 3 → → ∴AD⊥CE,∴AD⊥CE. → 20.(12 分)已知在△ABC 中,A(2,-1)、B(3,2)、C(-3,-1),AD 为 BC 边上的高,求|AD|与点 D 的坐标. → 解:设 D 点坐标为(x,y),则AD=(x-2,y+1), → → BC=(-6,-3),BD=(x-3,y-2), → → ∵D 在直线 BC 上,即BD与BC共线, → → ∴存在实数 λ,使BD=λBC, 即(x-3,y-2)=λ(-6,-3)

?x-3=-6λ, ∴? ∴x-3=2(y-2). ?y-2=-3λ.
即 x-2y+1=0.① → → 又∵AD⊥BC,∴AD· BC=0, 即(x-2,y+1)· (-6,-3)=0, ∴-6(x-2)-3(y+1)=0.②

?x=1, 由①②可得? ?y=1.
→ ∴|AD|= - 2+22= 5,

→ 即|AD|= 5,D(1,1).
5

→ → → → → → 21. (12 分)在直角坐标系中, 已知OA=(4, -4), OB=(5,1), OB在OA方向上的射影数量为|OM|, 求MB 的坐标. 解:设点 M 的坐标为 M(x,y). → → → ∵OB在OA方向上的射影数量为|OM|, → → → → ∴OM⊥MB,∴OM· MB=0. → → 又OM=(x,y),MB=(5-x,1-y). ∴x(5-x)+y(1-y)=0. → → 又点 O、M、A 三点共线,∴OM∥OA, x y ∴ = . 4 -4 x -x+y -y=0, ? ? ?x=2, ∴?x 解得? y = . ?y=-2. ? ?4 -4 → → → ∴MB=OB-OM=(5-2,1+2)=(3,3). 22.(12 分)已知三个点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4). → → (1)求证:AB⊥AD; (2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标,并求矩形 ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值. 解:(1)证明:A(2,1),B(3,2),D(-1,4). → → ∴AB=(1,1),AD=(-3,3). → → → → 又∵AB· AD=1× (-3)+1× 3=0,∴AB⊥AD. → → (2)∵AB⊥AD,若四边形 ABCD 为矩形, → → 则AB=DC. 设 C 点的坐标为(x,y),则有 (1,1)=(x+1,y-4),

?x+1=1, ?x=0, ∴? ∴? ?y-4=1, ?y=5.
∴点 C 的坐标为(0,5). → → 由于AC=(-2,4),BD=(-4,2), → → → → ∴AC· BD=(-2)× (-4)+4× 2=16,|AC|=2 5,|BD|=2 5.
6

设对角线 AC 与 BD 的夹角为 θ, → → AC· BD 16 4 则 cosθ= = = >0. → → 20 5 |AC||BD| 4 故矩形 ABCD 两条对角线所夹锐角的余弦值为 . 5

23.已知 M=(1+cos2x,1),N=(1, 3 sin2x+a)(x,a∈R,a 是常数),且 y= OM · ON (O 是坐标原 点) ⑴求 y 关于 x 的函数关系式 y=f(x); ⑵若 x∈[0,

? ? ],f(x)的最大值为 4,求 a 的值,并说明此时 f(x)的图象可由 y=2sin(x+ )的图象经过 2 6

怎样的变换而得到.(8 分) 解:⑴y= OM · ON =1+cos2x+ 3 sin2x+a,得 f(x) =1+cos2x+ 3 sin2x+a;

? ? )+a+1,x∈[0, ]。 6 2 ? ? 当 x= 时,f(x)取最大值 a+3=4,解得 a=1,f(x) =2sin(2x+ )+2。 6 6 ? 将 y=2sin(x+ )的图象的每一点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标保持不变,再向上平移 2 个单位 6 ? 长度可得 f(x) =2sin(2x+ )+2 的图象。 6
⑵f(x) =1+cos2x+ 3 sin2x+a 化简得 f(x) =2sin(2x+ 24.已知: a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a =(1,2) ⑴若| c | ? 2 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标; ⑵若| b |=

5 , 且 a ? 2b 与 2a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角θ (8 分) 2

2 2 2 2 解:⑴设 c ? ( x, y ),?| c | ? 2 5 ,? x ? y ? 2 5 ,? x ? y ? 20

? c // a, a ? (1,2),? 2x ? y ? 0,? y ? 2x
由?

? y ? 2x
2 2 ? x ? y ? 20

∴?

?x ? 2 ?y ? 4

或 ?

? x ? ?2 ? y ? ?4

∴ c ? (2,4),或c ? (?2,?4) ⑵? (a ? 2b) ? (2a ? b),?(a ? 2b) ? (2a ? b) ? 0
7

2a ? 3a ? b ? 2b ? 0,? 2 | a | 2 ?3a ? b ? 2 | b | 2 ? 0 ??(※)

2

2

?| a | 2 ? 5, | b | 2 ? (

5 2 5 ) ? , 代入(※)中, 2 4
5 5 ? 0?a ? b ? ? 4 2

? 2 ? 5 ? 3a ? b ? 2 ?

5 a ?b ?| a |? 5 , | b |? ,? cos? ? ? 2 | a |?|b|
?? ? [0, ? ] ?? ? ?

?

5 2

5 5? 2

? ?1,

25.已知向量 a ? (cos

3 3 x x ? x, sin x), b ? (cos ,? sin ), 且x ? [0, ], 求 2 2 2 2 2 3 ⑴ a ? b及 | a ? b | ;⑵若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ? , 求?的值; (8 分) 2 3 x 3 x x ? cos ? sin x ? sin ? cos 2 x 2 2 2 2

解:⑴ a ? b ? cos

3 3 3 x | a ? b |? (cos x ? cos ) 2 ? (sin x ? sin ) 2 ? 2 ? 2 cos2 x ? 2 cos2 x 2 2 2 2
? x ? [0, ],? cos x ? 0,?| a ? b |? 2 cos x 2
⑵ f ( x) ? cos2x ? 4? cos x,即f ( x) ? 2(cosx ? ? ) 2 ? 1 ? 2?2
? x ? [0, ],? 0 ? cos x ? 1. 2

?

?

①当 ? ? 0 时,当县仅当 cos x ? 0 时, f ( x ) 取得最小值-1,这与已知矛盾;

时,当且仅当cos x ? ? 时, f ( x) 取得最小值 ? 1 ? 2?2 ,由已知得 ②当 0 ? ? ? 1
3 1 ? 1 ? 2?2 ? ? , 解得 ? ? ; 2 2

③当 ? ? 1时,当且仅当cos x ? 1时, f ( x ) 取得最小值 1 ? 4? ,由已知得1 ? 4? ? ? 3
2

解得 ? ?

5 1 ,这与 ? ? 1 相矛盾,综上所述, ? ? 为所求. 8 2

26、Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=BC=2,⊙C 的半径是 1,MN 是⊙C 直径。求: AM · BN 的最大值 N

8

C M

及此时 MN 与 AB 的关系.

27、如图,在 Rt△ABC 中,已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ 与BC 的夹角 ? 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值.

28.已知圆 C:(x-3)2+(y-3)2=4 及点 A(1,1),M 是圆 C 上的任意一点,点 N 在线段 MA 的延长线上,且 → → MA=2AN,求点 N 的轨迹方程. → → 解 设 M(x0,y0)、N(x,y).由MA=2AN得 (1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1),
? ?x0=3-2x, ∴? ?y0=3-2y. ?

∵点 M(x0,y0)在圆 C 上,

∴(x0-3)2+(y0-3)2=4, 即(3-2x-3)2+(3-2y-3)2=4.∴x2+y2=1. ∴所求点 N 的轨迹方程是 x2+y2=1.

9

10


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