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从一元二次方程求根公式谈起


从一元二次方程求根公式谈起(一)
靳卫军
山西省长治市华北机电学校图书馆 没有什么比看到发明的源泉更重要的了。就我看来,它比发明本 身更有趣。 ── Gottfried Wilhelm von Leibniz 对早已正确认定的定理做进一步的研究,探索它的新证法,只不 过是因为现有的证明欠缺美的魅力。 — — Morris Kline 科 学 绝 不 是 ,也

永 远 不 会 是 一 本 写 完 了 的 书 。每 一 项 重 大 的 成 就 都 会 带 来 新 的 问 题 。任 何 一 个 发 展 随 着 时 间 的 推 移 都 会 出 现 新 的 严 重 困难。 — — Albert Einstein 前面的话:…… 1、 问 题 的 提 出 关 于 实 系 数 一 元 二 次 方 程 ax 2 + bx + c = 0 ⑴ 的 求 根 公 式 传 统 的 推 导 方 法 是 这 b c b 2 b 2 ? 4ac ⑶…… 样 的 : ⑴ 式 两 边 同 除 以 a 得 : x + x + = 0 ⑵ , 配 方 得 : (x + ) = a a 2a 4a 2
2

这样做固然正确但却违反常理而且也较麻烦,重要的是在深层应用上会暴露出 不足。 1.1. 为 什 么 ⑴ 式 两 边 要 同 除 以 a ,把 二 次 项 系 数 化 为 1 ? 我 们 在 解 方 程 或 不 2 1 等 式 时 , 例 如 x2 + x + 3 = 0 一 般 原 则 是 把 分 数 系 数 化 为 整 系 数 , 再 如 用 公 式 法 3 2 解 一 元 二 次 方 程 2x 2 + x ? 1 = 0 , 并 非 把 二 次 项 系 数 化 为 1 才 代 入 求 根 公 式 的 , 这 样做反而麻烦。公式推导过程和应用应该是一致的。 1.2. 由 ⑵ 式 为 什 么 要 配 方 ? 为 什 么 和 怎 样 想 到 要 采 取 这 一 步 ? 这 在 学 习 过 程中是一非常重要的问题,是解一元二次方程的核心问题。 1.3. 当 b 2 ? 4ac ≥ 0 时 , ⑶ 式 两 边 开 方 得 : x + b ± b 2 ? 4ac b 2 ? 4ac = =± ⑷。 2a | 2a | 4a 2

由 此 得 到 的 求 根 公 式 应 为 : x1、 2 = ?

b b 2 ? 4ac ± ⑸,而非我们的经典结果: 2a | 2a |

x1、 2 =

? b ± b 2 ? 4ac ⑹。但要把求根公式⑸统一为⑹确有些麻烦。 2a
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一线教师经常抱怨学生犯

a 2 = a 这 样 类 似 的 错 误 ,我 们 的 教 材 及 教 师 不 亦

犯同样的错误?而且这么多年竟没有引起人们的高度重视…… 1.4. 学 了 一 元 二 次 方 程 求 根 公 式 , 人 们 都 知 道 ⑴ 式 若 有 二 根 , 其 可 分 解 为 : ax 2 + bx + c = a ( x ? x1 )( x ? x 2 ) 。 这 一 结 果 在 解 题 中 应 用 广 泛 。 为 什 么 分 解 结 果 是 这
2 ?? b ? b 2 ? 4ac ? c? ? 2 b 样 ? 传 统 方 法 是 这 样 的 : ax + bx + c = a? x + x + ? = a ?? x ? ? ? ?,当 a? a 2a ? 4a ? ? ? ?? ? 2

( b 2 ? 4ac ≥ 0 时 ) ,由平方差公式可得分解结果。沿袭传统推导一元二次方程求 根公式过程去说明不仅麻烦,而且无法揭示说明问题的根源。由于搞不清问题 的 来 龙 去 脉 就 导 致 仅 能 停 留 在 一 种 机 械 、 生 硬 、 表 面 的 应 用 上 , 本 文 例 3、 例 4 就暴露了传统方法之不足。 2、 对 一 元 二 次 方 程 求 根 公 式 的 反 思 怎 样 才 能 自 然 、合 理 、简 明 地 得 到 一 元 二 次 方 程 的 求 根 公 式 ? 我 们 会 解 形 如( Ⅰ ) : ax 2 = b 、 (Ⅱ) :(ax + b) 2 = c 两 种 类 型 的 方 程 。怎 样 求 ax 2 + bx + c = 0 的 根 ? 我们不妨先把问题具体化。 例 1. 解 方 程 x 2 + 4x ?1 = 0 . 简析:怎么解这个方程?回到已知去!我们会解(Ⅰ) (Ⅱ)型的一元二次 方 程 。新 的 方 程 不 好 解 是 因 为 方 程 中 多 了 一 次 项 。如 果 没 有 一 次 项 就 很 简 单 了 。 方程如何变形就可消去一次项?由此配方法的出现就顺理成章,解题过程略。 例 2 . 解 方 程 2x 2 + x ? 1 = 0 . 简析:如何配方消去一次项?两边同除 2 和我们的常识相违背。我们知道 2 = ( 2 ) 2 。所 以 可 由 ( 2 x) 2 + x ? 1 = 0 配 方 得 :( 2 x + 1 2 2 )2 = 9 。这 样 虽 自 然 合 情 理 , 8

但 配 方 过 程 还 需 根 式 运 算 也 略 麻 烦 。 我 们 把 2 化 为 ( 2 )2 实 质 就 是 希 望 把 整 个 二 次 项 变 为 一 完 全 平 方 式 。 若 两 边 同 乘 以 2 得 : (2 x) 2 + 2 x ? 2 = 0 这 样 配 方 就 更 简 便 了。 由以上探索过程,我们便很自然地得出一元二次方程的求根公式。 b b 2 ? 4ac ax 2 + bx + c = 0 , 两边同乘以 a得: (ax) 2 + abx + ac = 0 , 配方得: (ax + ) 2 = 。 2 4 当 b 2 ? 4ac ≥ 0 时 , 两 边 开 方 得 : ax + b 2 ? 4ac < 0 时 , 方 程 无 实 根 。 当 然 为 配 方 更 简 便 ,我 们 亦 可 ax 2 + bx + c = 0 两 边 同 乘 以 4a ,这 样 与 上 述 推 导
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b ± b 2 ? 4ac ? b ± b 2 ? 4ac = , 故 x1、 = ;当 2 2 2 2a

相比又略有改进。但是这一小步的改进是很难取得的,而且意义并不是很大— —除非我们遇上特殊的问题迫不得已这样做才会显露出其意义、价值——方程 两 边 同 乘 以 a , 问 题 已 经 得 到 完 美 、 完 满 解 决 。 思 维 一 般 到 此 就 终 止 了 ,为 什 么 还 要 考 虑 两 边 同 乘 以 4a ? … … 知 道 每 一 步 推 理 是 正 确 的 ,却 不 知 为 什 么 这 样 做 ,这 是 数 学 中 的 常 见 现 象 , 也是数学难以掌握的原因。解一元二次方程为什么要消去一次项?如何消去一 次项?方程的二次项是不是一完全平方式、如何变为完全平方式?清晰地把握 这一系列问题是我们打破、超越传统方法契的机。 我 们 用 现 在 的 观 点 来 解 读 一 下 传 统 推 导 方 法 的 理 由 。我 们 还 是 以 例 2 为 例 。 如何配方消去方程的一次项?因为方程的二次项不是一完全平方式。如果二次 项 系 数 为 1 就 很 简 单 了 。由 此 ⑴ 式 两 边 同 除 以 a 方 法 的 出 现 就 顺 理 成 章 ,这 便 是 教 材 中 传 统 推 导 方 法 应 该 说 明 而 又 没 有 说 明 的 理 由 。这 一 方 法 有 其 合 理 的 一 面 , 但要把求根公式⑸统一为⑹确有些麻烦。方程的二次项表面上看不是一完全平 方 式 ,把 一 非 负 实 数 化 为 一 完 全 平 方 式 却 是 初 中 生 熟 知 的 , 即 2 = ( 2 ) 2 却 是 我 们 熟悉知的,方程的二次项实质上是一完全平方式。怎么没想到这点?再有,方 程两边同乘以二次项系数 a并不比两边同除以二次项系数 a复杂…… “难以置信:结果,一旦发现,是如此自然、简明;而到达的途径却漫长 又 艰 辛 ” 。搞 清 解 一 元 二 次 方 程 的 方 法 实 质 这 一 核 心 问 题 ,一 切 问 题 迎 刃 而 解 。 3、 英 国 下 议 院 : 一 元 二 次 方 程 式 在 现 代 科 学 中 地 位 的 讨 论 有些人认为只要记住求根公式会用就可以了,无需管公式的推导。就连教 师都疑惑:简单公式刊物上众多的文章有什么可研究的?为应付职称晋升而写 文章的人,连自己的文章都不想看更别说他人了,外行的评判就更别提。激进 者认为中学教育中根本没有必要讲解这一内容。二次方程在人类文明史上是否 无 足 轻 重 ? 2003 年 英 国 下 议 院 曾 对 其 价 值 展 开 了 激 烈 的 辩 论 。有 议 员 认 为 二 次 方程及其解的原理支撑了现代科学。之后英国有数学家作出积极回响,并用较 为普及的方式向外界介绍一元二次方程式在现代科学中的应用……英国数学家 的观点确实很高,貌似简单的二次方程在?子物理中却蕴含着深奥的哲理!别 说 普 通 大 众 恐 怕 物 理 系 的 也 很 少 有 人 知 道 。 数 学 大 师 David Hilber 说 “ … … 对 科学极端无知的表现,其理由是不值一驳的……”,人们应如何正确理解这句 话? 英 国 下 议 院 对 一 元 二 次 方 程 式 的 激 烈 争 论 , 马 里 奥 ·利 维 奥 在 其 书 中 《 无 法 解 出 的 方 程 》 及 台 湾 “ 数 学 博 物 馆 ” ( 2009 年 ) 专 题 文 章 对 之 作 了 介 绍 。 有兴趣的话在网上点击台湾“数学博物馆”可以查找到“数学主題上?国会殿 堂?”一文。 4、 数 学 家 为 什 么 要 不 断 的 对 已 有 的 数 学 定 理 给 出 新 的 证 明 ? 其实,这里面有两个问题。第一,数学究竟有什么用?这是大众比较关心 的问题。其次,数学家为什么要不断的对已有的数学定理给出新的证明?这个 问题较大三言两语谈不清楚,我们仅引用两段话,大家从数学家的论述中可以 找到更为详尽的论述。 对早已正确认定的定理做进一步的研究,探索它的新证法,只不过是因为 现 有 的 证 明 欠 缺 美 的 魅 力 。 — — Morris Kline 许多结果首先是靠蛮力证明的。一些人坚韧不拔地一直往下算,不在乎它 是否优美,最后得到答案。接下去,对此结论感兴趣的人会继续考虑,试图理
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解它,最后把它打扮得很漂亮,富于感染力。当然,这并非简单的粉饰门面。 因为优美是一种评价标准,若想让数学继续保持旺盛的活力,坚持这一标准是 非常重要的。如果你想让其他人理解某个论证的实质,原则上它必须是简单和 优美的;这显示了质量:表达最明朗,最容易被人类的心智在数学框架内所理 解。事实上,庞加莱将简明性视为数学理论的定向力,使我们选择某个方向而 不 是 另 一 个 方 向 前 进 。 ─ ─ M. 阿 蒂 亚 5、 数 学 的 传 播 、 普 及 Morris Kline 在 《 数 学 :确 定 性 的 丧 失 》 中 谈 到 “ 然 而 ,即 使 是 伟 人 的 号 召 , 也不会得到非常迅速的回应”。这句话从侧面反映出学术思想的传播并非想象 的简单、容易。真理掌握在孤寂的少数人手中。 ………… 6 、 7 、 8 、 9 、 10 … … … …

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一元二次方程求根公式及讲解

一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程 ax2 + bx + c=0(a≠0) 进行配方,当 b2 - 4ac≥0 时的根为 . 该式称为一元二次方程...

一元二次方程求根公式

一元二次方程求根公式_数学_初中教育_教育专区。一元二次方程求根公式: 当Δ=b^2-4ac≥0 时,x=[-b± (b^2-4ac)^(1/2)]/2a 当Δ=b^2-4ac<0 时...

正确使用“求根公式法”解一元二次方程步骤

运用该公式时,有的学生会出现盲 目套公式现象。 正确使用 “求根公式法”解一元二次方程的 应注意以下五个步骤 。 第一步:注意化方程为一般形式 ax2+bx+...

2.3用求根公式求解一元二次方程(2))

王庄中学九年级数学(上)导学案姓名: 【学习内容】用公式求解一元二次方程(P44-P45 页) 【学习目标】1、通过一元二次方程的建模过程,体会方程的解必须符合...

例析一元二次方程公式法的推导及应用

2a 2a 二、利用一元二次方程公式法成立的条件解题 在 一元二次方 程公式 法...三、利用公式法解一元二次方程 公式法是用求根公式 x ? ? b ? b ? 4ac...

一元二次方程求根公式

一元二次方程求解一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程 ax2 + bx + c=0(a≠0) 进行配方,当 b2 - 4ac≥0 时的根为 . 该式...

《用公式法求解一元二次方程(一)》

九 年级学习内容: 数学 科 探究 新知 导学案 主备人师:教学设计 生:学习笔记 时间 审定人 执教人(或学生) 2.3《用公式求解一元二次方程(一) 》 三、...

《用公式法求解一元二次方程》习题1

《用公式求解一元二次方程》习题1_数学_初中教育_教育专区。《用公式法解一元二次方程》习题一、选择题 1.用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正确的是...

用公式法求解一元二次方程

【知识拓展】(1)求根公式专指一元二次方程求根公式,只有确定方程是 一元二次方程时,才可以使用. (2)应用公式法解一元二次方程时,要先把方程化成一般形式,...