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浦东新区2013学年度高二第二学期期末质量测试


浦东新区 2013 学年度第二学期期末质量测试 高二数学
(答题时间:90 分钟
一 题 号 1~12 得 分 13~16 17 18 19 20 21 二

试卷满分:100 分)
三 总分

一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分.

1.已知 A?2 , 2? 、 B?? 1, ? 1? ,则直线 AB 的倾斜角为___________. 2.已知 i 为虚数单位,则 (1 ? i)10 ? ___________. 3.若复数满足 iz ? 3 ? i ( i 为虚数单位),则 | z |? .

4.以椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为圆心,半径为 4 的圆的方程是__________________. 169 144
2 2

5.经过点 P(3, 4) 且与圆 x ? y ? 25 相切的直线方程是
2

.

6. 关于 x 的方程 x ? 4 x ? k ? 0 有一个根为 ? 2 ? 3i ( i 为虚数单位) , 则实数 k =_________. 7.已知点 A(3,2) ,F 是抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,点 P 在抛物线上移动,为使 AP ? PF 有最 小值, P 点坐标应为_________________. 8.椭圆

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 的焦点相同,则 k = 9 k k 3
2

.

9 .已知 P 是抛物线 y ? 4 x 上的动点, F 是抛物线的焦点,则线段 PF 的中点轨迹方程 是 .

— 1 —

10.已知复数 z 满足 z ? 3 ? 4i ? 2 ( i 为虚数单位),则 z 的取值范围是________. 11.设 z 1 、 z 2 、 z ? C ,下列命题中 (1) 若 z1 ? z 2 ? 0 ,则 z1 ? z 2 ; (2) 复数等式 z ? i ? z ? i ? 2 在复平面上表示椭圆( i 为虚数单位) ;
2 2 (3) 若 z1 ? z2 ? 0 ,则 z1 ? z 2 ? 0 ;
2 (4)若 z ? z ,则 z 必为实数 ; 2

(5) 当 z ? 0 时, z ? 其中为真命题的序号为

1 ?0. z
.

x2 y2 ? ? 1 ,左焦点为 F ,一条直线 x ? m 与椭圆交于两点 A、B , 12.已知椭圆方程: 25 16
当 ?ABF 的周长为最大时, ?ABF 面积是___________. 二、选择题(本大题满分 12 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结 论,其中有且只有一个结论是正确的,每题答对得 3 分,否则一律得零分. 13.直线 2 x ? y ? 2 ? 0 与 3x ? y ? 1 ? 0 的夹角为………………………………………( )

? ? ? ? 3? B. C. ? D. 或 4 4 4 2 4 2 2 14.若 m 为实数,则复数 ?m ? m ? 1? ? ?? m ? m ? 1?i ( i 为虚数单位)在复平面内所对应的
A. 点位于………………………………………………………………………………… ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

15.已知 A?? 5 , 0? 、 B

?5 , 0? 两点,且满足 PA ? PB ? 2a ,当常数 0 ? a ? 5 时,点 P 的轨


迹为…………………………………………………………………………………… ( A.双曲线或一条直线 B.双曲线一支或一条射线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线或两条射线
2 2

16.直线 l 过点 (?4, 0) 且与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 25 交于 A、B 两点,如果 | AB |? 8 ,那么 直线 l 的方程为…………………………………………………………………………( A. 5x ? 12 y ? 20 ? 0 B. 5x ? 12 y ? 20 ? 0 或 x ? 4 ? 0 C. 5x ? 12 y ? 20 ? 0 D. 5x ? 12 y ? 20 ? 0 或 x ? 4 ? 0 )

— 2 —

三、解答题(本大题满分 52 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (本题满分 8 分) 已知复数 z1 ? 3 ? i ( i 为虚数单位),复数 z 2 的虚部为 2 ,且 z1 z 2 是实数,求复数 z 2 .

18. (本题满分 8 分) 已知直线 l 的斜率为

3 ,且与坐标轴所围成的三角形的周长是 12 ,求直线 l 的方程. 4

— 3 —

19. (本题满分 10 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分) 已知动圆过点 P?1, 0? ,且与定直线 l : x ? ?1 相切. (1) 求动圆圆心 M 的轨迹方程; (2) 若直线 y ? ? 3( x ?1) 与曲线 M 相交于 A 、 B 两点,点 C 在定直线 l : x ? ?1 上, 若以线段 AB 为直径的圆经过点 C ,求点 C 的坐标.

— 4 —

20. (本题满分 12 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 8 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的一个焦点坐标为 (1, 0) ,且长轴长是短轴长的 a 2 b2

2 倍.
(1) 求椭圆 C 的方程; (2) 设 O 为坐标原点,椭圆 C 与直线 y ? kx ? 1 相交于两个不同的点 A 、 B ,线段 AB 的中点为 P ,若直线 OP 的斜率为 ?1 ,求△ OAB 的面积.

— 5 —

21. (本题满分 14 分,第 1 小题 7 分,第 2 小题 7 分)

x2 ? y 2 ? 1 , P 为 C 上的任意点. 已知双曲线 C : 4
(1)若直线 y ? kx ? 1 与双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 有且仅有一个公共点,求实数 k 的值; 4

(2)设点 A 的坐标为 ?t , 0? ( t 为正实数) ,求 PA 的最小值.

— 6 —

浦东新区 2013 学年度第二学期期末质量测试 高二数学
(答题时间:90 分钟
一 题 号 1~12 得 分 13~16 17 18 19 20 21 二

试卷满分:100 分)
三 总分

一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分. 1.已知 A?2 , 2? 、 B?? 1, ? 1? ,则直线 AB 的倾斜角为_ 2.已知 i 为虚数单位,则 (1 ? i)10 ? _ 32i _. 3.若复数满足 iz ? 3 ? i ( i 为虚数单位),则 | z |? 2 .

? _. 4

4.以椭圆

x2 y2 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,半径为 4 的圆的方程是_ ?x ? 5? ? y 2 ? 16 _. 169 144

5.经过点 P(3, 4) 且与圆 x 2 ? y 2 ? 25 相切的直线方程是 3x ? 4 y ? 25 ? 0 . 6.关于 x 的方程 x ? 4 x ? k ? 0 有一个根为 ? 2 ? 3i ( i 为虚数单位) ,则实数 k =_ 13 _.
2

7.已知点 A(3,2) ,F 是抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,点 P 在抛物线上移动,为使 AP ? PF 有最 小值, P 点坐标应为_ ( 2,2) _.

8.椭圆

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 的焦点相同,则 k = 2 . 9 k k 3

— 7 —

9.已知 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的动点, F 是抛物线的焦点,则线段 PF 的中点轨迹方程是

y 2 ? 2x ? 1 .
10.已知复数 z 满足 z ? 3 ? 4i ? 2 ( i 为虚数单位),则 z 的取值范围是_ ?3 , 7?_. 11.设 z 1 、 z 2 、 z ? C ,下列命题中 (1) 若 z1 ? z 2 ? 0 ,则 z1 ? z 2 ; (2) 复数等式 z ? i ? z ? i ? 2 在复平面上表示椭圆( i 为虚数单位) ;
2 2 (3) 若 z1 ? z2 ? 0 ,则 z1 ? z 2 ? 0 ;
2 (4)若 z ? z ,则 z 必为实数 ; 2

(5) 当 z ? 0 时, z ?

1 ?0. z

其中为真命题的序号为 (4) . 12.已知椭圆方程:

x2 y2 ? ? 1 ,左焦点为 F ,一条直线 x ? m 与椭圆交于两点 A、B , 25 16
96 _. 5

当 ?ABF 的周长为最大时, ?ABF 面积是_

二、选择题(本大题满分 12 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结 论,其中有且只有一个结论是正确的,每题答对得 3 分,否则一律得零分. 13.直线 2 x ? y ? 2 ? 0 与 3x ? y ? 1 ? 0 的夹角为………………………………………( A )

? ? ? ? 3? B. C. ? D. 或 4 4 4 2 4 2 2 14.若 m 为实数,则复数 ?m ? m ? 1? ? ?? m ? m ? 1?i ( i 为虚数单位)在复平面内所对应的
A. 点位于………………………………………………………………………………… ( D ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

15.已知 A?? 5 , 0? 、 B

?5 , 0? 两点,且满足 PA ? PB ? 2a ,当常数 0 ? a ? 5 时,点 P 的轨

迹为…………………………………………………………………………………… ( B ) A.双曲线或一条直线 B.双曲线一支或一条射线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线或两条射线

— 8 —

16.直线 l 过点 (?4, 0) 且与圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 25 交于 A、B 两点,如果 | AB |? 8 ,那么 直线 l 的方程为…………………………………………………………………………( D ) A. 5x ? 12 y ? 20 ? 0 B. 5x ? 12 y ? 20 ? 0 或 x ? 4 ? 0 C. 5x ? 12 y ? 20 ? 0 D. 5x ? 12 y ? 20 ? 0 或 x ? 4 ? 0

三、解答题(本大题满分 52 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (本题满分 8 分) 已知复数 z1 ? 3 ? i ( i 为虚数单位),复数 z 2 的虚部为 2 ,且 z1 z 2 是实数,求复数 z 2 . 解:设 z 2 ? a ? 2i ?a ? R ? , 又由题意 z1 z 2 ? ?a ? 2i ??3 ? i ? ? ?3a ? 2? ? ?6 ? a ?i ? R …………(4 分) 得, 6 ? a ? 0 ,即 a ? 6 .…………………………………………(3 分) 所以,复数 z 2 ? 6 ? 2i .……………………………………………(1 分) 18. (本题满分 8 分)

3 ,且与坐标轴所围成的三角形的周长是 12 ,求直线 l 的方程. 4 3 解:设所求直线 l 的方程为 y ? x ? b ,……………………………………(1 分) 4 4 令 x ? 0 ,得 y ? b ;令 y ? 0 ,得 x ? ? b . 3
已知直线 l 的斜率为

4 ? 4 ? 2 由题意得: b ? ? b ? b ? ? ? b ? ? 12 …………………………(4 分) 3 ? 3 ?
即b? ?

2

4 5 b ? b ? 12 ,? b ? ?3 .…………………………………(2 分) 3 3
3 x ? 3 ,即 3x ? 4 y ? 12 ? 0 .…………(1 分) 4

所以直线 l 的方程为: y ?

— 9 —

19. (本题满分 10 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分) 已知动圆过点 P?1, 0? ,且与定直线 l : x ? ?1 相切. (1) 求动圆圆心 M 的轨迹方程; (2) 若直线 y ? ? 3( x ?1) 与曲线 M 相交于 A 、 B 两点,点 C 在定直线 l : x ? ?1 上, 若以线段 AB 为直径的圆经过点 C ,求点 C 的坐标. 解: (1)由题意知,动圆圆心 M 到定点 P?1, 0? 与到定直线 l : x ? ?1 的距离相等,所以动圆 圆心 M 的轨迹方程为 y 2 ? 4 x .…………………………………………(4 分) (2)将直线 y ? ? 3?x ? 1? ,代入抛物线方程得

3x 2 ? 10x ? 3 ? 0 ,解得: x1 ?
所以 A?

1 , x 2 ? 3 ,…………………………(2 分) 3

?1 2 3 ? ? ? 3 , 3 ? , B 3 , ? 2 3 .……………………………………(1 分) ? ?

?

?

设 C ?? 1 , y0 ? ,由题意知, AC ? BC ? AC ? BC ? 0 ,得

?2 3 ? 4 ? ? 2 3 ? y 0 ? 0 ,解得: y 0 ? ? 2 3 , ?4?? ? y 0 ? 3 ? 3 3 ? ?
所以点 C 的坐标为 ? ? 1 , ?

?

?

? ? ?

2 3? ? .………………………………………(3 分) 3 ? ?

— 10 —

20. (本题满分 12 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 8 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的一个焦点坐标为 (1, 0) ,且长轴长是短轴长的 a 2 b2

2 倍.
(1) 求椭圆 C 的方程; (2) 设 O 为坐标原点,椭圆 C 与直线 y ? kx ? 1 相交于两个不同的点 A 、 B ,线段 AB 的中点为 P ,若直线 OP 的斜率为 ?1 ,求△ OAB 的面积. 解: (1)由题意得 c ? 1, a ? 2b ,又 a ? b ? 1,所以 b ? 1 , a ? 2 .
2 2 2 2

所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .…………………………………………(4 分) 2

(2)设 A(0,1) , B( x1 , y1 ) , P( x0 , y0 ) , 联立 ?

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, ? y ? kx ? 1

消去 y 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kx ? 0 (*) …………(3 分)

解得 x ? 0 或 x ? ? 所以 B(?

4k 4k ,所以 x1 ? ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

2k 1 4k 1 ? 2k 2 , ), , ) , P(? 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 1 ? 2k 1 ? 2k
1 ? ?1 , 2k

因为直线 OP 的斜率为 ?1 ,所以 ? 解得 k ?

1 (满足(*)式判别式大于零). ……………………………(3 分) 2 1 2 2 2 2 x ? 1的距离为 5, , AB ? x1 ? ( y1 ? 1) ? 2 3 5

O 到直线 l : y ?

所以△ OAB 的面积为

1 2 2 2 ? 5? ? 2 3 5 3

……………………………(2 分)

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21. (本题满分 14 分,第 1 小题 7 分,第 2 小题 7 分)

x2 ? y 2 ? 1 , P 为 C 上的任意点. 已知双曲线 C : 4
(1)若直线 y ? kx ? 1 与双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 有且仅有一个公共点,求实数 k 的值; 4

(2)设点 A 的坐标为 ?t , 0? ( t 为正实数) ,求 PA 的最小值. 解: (1)将直线 y ? kx ? 1 代入双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 得, 4

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kx ? 8 ? 0 ,…………………………………………………(2 分)
2 ① 当 1 ? 4k ? 0 时,即 k ? ?

1 ,直线与渐近线平行,满足条件;……(2 分) 2

② 当 1 ? 4k ? 0 时, ? ? 64k 2 ? 32(1 ? 4k 2 ) ? 0 ,解得 k ? ?
2

2 ……(2 分) 2

所以实数 k 的值为 ?

1 2 、? . …………………………………………(1 分) 2 2
2 2 2 2

(2)设的坐标为 P?x , y ? ,则 PA ? ?x ? t ? ? y ? ?x ? t ?
2

x2 ? ?1 4

5? 4 ? 1 ? ? x ? t ? ? t 2 ?1 4? 5 ? 5
① 当0 ?

( x ? 2) ……(2 分)

4 5 2 t ? 2 ,即 0 ? t ? 时,当 x ? 2 时, PA 的最小值为 ?t ? 2?2 , 5 2 4 5 4 1 2 2 ② 当 t ? 2 ,即 t ? 时,当 x ? t 时, PA 的最小值为 t ? 1 . 5 5 5 2

即 PA min

? ?t ? 2 ? ?? ? 1 t 2 ?1 ? ? 5

5? ? ?0 ? t ? ? 2? ? 5? ? ?t ? ? 2? ?

.……………………………………………(5 分)

— 12 —


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