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北京市西城区(北区)2011-2012学年高二下学期期末考试


北京市西城区(北区)2011—2012 学年度第二学期学业测试 高二数学(文科)
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知全集 U = {1, 2,3, 4,5} ,集合 A = {3, 4} ,那么集合 CU A 的子集有( A. 6

个 2. i 是虚数单位,复数 A. 1 ? 3i B. 7 个 C. 8 个 ) C. D. 9 个 )

2?i 等于( 1? i
B. 1 ? 3i

1 3 ? i 2 2

D.

1 3 ? i 2 2


3. 下列函数中,图象关于 y 轴对称,且在 (0, ??) 上单调递增的函数是( A. y ? x3 B. y ?| x | ?1 C. y ? ? x 2 ? 1 ) B. 必要但不充分条件

D. y ? 3x

4. 若 a ? R ,则“ a ? 8 ”是“ log2 a ? 2 ”的( A. 充分但不必要条件 C. 充要条件

D. 既不是充分条件也不是必要条件

5. 对于 x ? R , 函数 f ( x ) 满足 f (? x) ? f ( x) , f ( x ) 在 [0, ??) 上单调递减,f (2) ? 0 , 且 那么使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的范围是( A. (?2, 2) C. (??, ?2) ? (2, ??) ) B. (??, ?2) ? (0, 2) D. (?2,0) ? (2, ??)

6. 在数列 {an } 中, 1 ? 1, an ? an?1 ? (?1)n , 其中 n ? 1, 2,3,? 。 {an } 的前 n 项和为 Sn , 记 a 那么 S9 等于( A. ?5
2

) B. ?4 C. 4 D. 5

7. 已知函数 f ( x) ? ? x ? 4 x ? a 在区间 [?3,3] 上存在零点,那么实数 a 的取值范围是 ( ) A. (?4, 21) B. [?4, 21] C. (?3, 21) D. [?3, 21]

8. 设函数 f (x) 的定义域为 R,如果存在函数 g ( x) ? ax(a 为常数) ,使得 f ( x) ? g ( x) 对

-1-

于一切实数 x 都成立,那么称 g (x) 为函数 f (x) 的一个承托函数. 已知 g ( x) ? ax 是函数

f ( x) ? ex 的一个承托函数,那么实数 a 的取值范围是(
A. (0, ]

) D. [0, e]

1 e

B. [0, ]

1 e

C. (0, e]

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
x 9. 已知命题 p : ?x ? R , 2 ? 0 ,那么命题 ? p 为____________________________.

10. 已知函数 f ( x) ? ?

? x3 , x ? 0, ? 若 f (a) ? ?8 ,则实数 a ? _________. ? x ? 1, x ? 0, ?

11. 设 a ? log3 2, b ? log2 3, c ? log 2 0.3 ,那么实数 a, b, c 的大小关系是_________. 12. 在等比数列 {an } 中, a1 ? a2 ? 3 , a2 ? a3 ? 6 ,则 a4 ? a5 ? ________. 13. 设函数 f ( x) ?

ln x , x ? [1, 4] ,则 f ( x ) 的最大值为____________,最小值为_________。 x
2

14. 如图, P 是抛物线 y ? x 上一点, 设 0 且在第一象限. 过点 P 作抛物线的切线, x 轴于 Q1 交 0 点, Q1 点作 x 轴的垂线, 过 交抛物线于 P1 点, 此时就称 P 确定了 P1 .依此类推, 可由 P1 确定 P , 0 2

? .记 Pn ( xn , yn ) , n ? 0,1, 2,? 。

给出下列三个结论: ① n ? 0; x ② 数列 {xn } 是公比为

1 的等比数列; 4

③ x0 ? 1 时, y0 ? y1 ? y2 ? ? ? yn ? 2 . 当 其中所有正确结论的序号为___________.

-2 -

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 . 15. (本小题满分 13 分) 设 a ? 0 ,集合 A ? {x | | x |? 2} , B ? {x | ( x ? 2a)( x ? 3) ? 0} . (Ⅰ)当 a=3 时,求集合 A ? B ; (Ⅱ)若 A ? B ? R ,求实数 a 的取值范围. 16. (本小题满分 13 分) 已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项 a1 ? 2 ,且 a1 , a2 , a4 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求数列 { 17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? x ?

1 } 的前 n 项和 Tn . Sn

a ,其中 a ? R . x2

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 为奇函数,求实数 a 的值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 [2, ??) 上单调递增,求实数 a 的取值范围. 18. (本小题满分 13 分) 如图,要建一间体积为 75m ,墙高为 3m 的长方体形的简易仓库. 已知仓库屋顶每平方 米的造价为 500 元,墙壁每平方米的造价为 400 元,地面造价忽略不计. 问怎样设计仓库地面 的长与宽,能使总造价最低?最低造价是多少?
3

19. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x ,其中 a ? R .
2

-3-

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 的图象在点 (a, f (a)) 处的切线与直线 x ? y ? 0 平行,求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极值. 20. (本小题满分 14 分) 在数列 {an } 中, 对于任意 n ? N , 等式 a1 +2a2 ? 22 a3 ? ?? 2n?1 an ? (n ? 2n ? 2n ? 1)b 成
*

立,其中常数 b ? 0 . (Ⅰ)求 a1 , a2 的值; (Ⅱ)求证:数列 {2 n } 为等比数列; (Ⅲ)如果关于 n 的不等式
a

1 1 1 1 c ? ? ? ? ? (c ? R ) 的 解 集 为 ? a2 a4 a8 a a1 2n

{n | n ? 3, n ?N*} ,求 b 和 c 的取值范围.

-4-

【试题答案】
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. C; 2. D; 3. B; 4. A; 5. C; 6. D; 7. B; 8. D.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
x 9. ?x ? R , 2 ? 0 ;

10. ?9 ; 13.

11. c ? a ? b ; 14. ① 。 、③

12. 24 ;

1 , 0; e

注:第 13 题第一个空 2 分,第二个空 3 分;第 14 题少选得 2 分,多选和错选均不得分.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.(如有其他方法,仿此给分) 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ )解:因为集合 A ? {x | | x |? 2} ? {x | x ? 2, 或 x ? ?2} , 集合 B ? {x | ( x ? 6)( x ? 3) ? 0} ? {x | ?3 ? x ? 6} , 所以 A ? B ? {x | ?3 ? x ? ?2, 或 2 ? x ? 6} . (Ⅱ )解:因为 A ? B ? R ,所以 2a ? 2 , 解得 a ? 1 . ………………………… 13 分 ………… 2 分

………………… 4 分 …………… 7 分 ……………… 11 分

注:第(Ⅱ )问中没有等号扣 2 分. 16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ )解:设等差数列 {an } 的公差为 d , 由题意,得 a22 ? a1a4 ,即 (a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) , …………………… 2 分

2 所以 (2 ? d ) ? 2(2 ? 3d ) ,解得 d ? 2 ,或 d ? 0 (舍) ,………… 4 分

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n . (Ⅱ )解:由(Ⅰ,得 S n ? na1 ? ) 所以

……… 6 分

n(n ? 1) d ? 2n ? n(n ? 1) ? n 2 ? n , …… 8 分 2

1 1 1 ? 2 ? . Sn n ? n n(n ? 1) 1 1 1 ? ??? S1 S2 Sn

则 Tn ?

-5-

?

1 1 1 ? ?? ? 1? 2 2 3 ? n n? (

1)

……………… 9 分

1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 1 ? 1? n ?1 n ? , n ?1
所以数列 {

…………………… 11 分

n 1 . } 的前 n 项和 Tn ? n ?1 Sn

…………………… 13 分

17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ )解:因为 f ( x ) ? x ?

a 是奇函数. x2
………… 2 分

所以 f (? x) ? ? f ( x) ,其中 x ? R 且 x ? 0 . 即 ?x ?

a a ? ? x ? 2 , 其中 x ? R 且 x ? 0 . 2 x x
………………………… 6 分

所以 a ? 0 . (Ⅱ )解: f ?( x ) ? 1 ?

2a . x3

………………………… 8 分

因为 f ( x ) 在区间 [2, ??) 上单调递增, 所以 f ?( x ) ? 1 ? 即a ?

2a ? 0 在 [2, ??) 上恒成立, x3

……… 9 分

1 3 x 在 [2, ??) 上恒成立, 2 1 3 x 在 [2, ??) 上的最小值 ymin ? 4 , 2

因为 y ?

所以 a ? 4 . 验证知当 a ? 4 时, f ( x ) 在区间 [2, ??) 上单调递增. 18. (本小题满分 13 分) 解:设仓库地面的长为 x( x ? 0) m ,宽为 y( y ? 0) m ,则有 3xy ? 75 , 所以 y ? … 13 分

25 . x
2

………………… 2 分
2

则仓库屋顶的面积为 xy m ,墙壁的面积为 6( x ? y) m . 所以仓库的总造价 W ? 500 xy ? 400 ? 6( x ? y) ,………………… 5 分

-6-

将y?

25 25 ). 代入上式,整理得 W ? 12500 ? 2400( x ? x x

…… 7 分

因为 x ? 0 , 所以 W ? 12500 ? 2400( x ? 且当 x ?

25 25 ) ? 12500 ? 2400 ? 2 x ? ? 36500 ,……… 10 分 x x

25 ,即 x ? 5 时,W 取得最小值 36500. x 25 ?5 . 此时 y ? ……………………… 12 分 x
答: 当仓库地面的长为 5 m , 宽为 5 m 时, 仓库的总造价最低, 最低造价为 36500 元. 13 分 19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ )解:函数 f ( x ) 的定义域是 {x | x ? 0} . 对 f ( x ) 求导数,得 f ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ? 由题意,得 a ? 0 ,且 f ?(a) ? 1, 解得 a ? 2 . ………………………… 5 分 ……………… 1 分 …………

a 2 x 2 ? (a ? 2) x ? a ? . ………… 3 分 x x

2 (Ⅱ )解:由 f ?( x) ? 0 ,得方程 2 x ? (a ? 2) x ? a ? 0 , 2 一元二次方程 2 x ? (a ? 2) x ? a ? 0 存在两解 x1 ? 1 , x2 ?

a ,………… 6 分 2

当 x2 ? 0 时,即当 a ? 0 时, 随着 x 的变化, f ( x) 与 f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)

(0,1)

1

(1, ??)

?


0
极小值

?


即函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增. 所以函数 f ( x ) 在 x ? 1 存在极小值 f (1) ? ?a ? 1 ; 当 0 ? x2 ? 1 时,即当 0 ? a ? 2 时, 随着 x 的变化, f ( x) 与 f ?( x ) 的变化情况如下表: …………… 8 分

-7-

x
f ?( x )
f ( x)

a (0, ) 2

a 2
0
极大值

a ( ,1) 2

1

(1, ??)

?


?


0
极小值

?


即函数 f ( x ) 在 (0, ) , (1, ??) 上单调递增,在 ( ,1) 上单调递减. 所 以 函 数 f ( x ) 在 x ? 1 存 在 极 小 值 f (1) ? ?a ? 1 , 在 x ?

a 2

a 2

a 存 在极大值 2

a a a2 f ( ) ? a ln ? a ? ; 2 2 4
当 x2 ? 1 时,即当 a ? 2 时, 因为 f ?( x) ?

………………………… 10 分

2( x ? 1) 2 ? 0 (当且仅当 x ? 1 时等号成立) , x
……………12 分

所以 f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数,故不存在极值; 当 x2 ? 1 时,即当 a ? 2 时, 随着 x 的变化, f ( x) 与 f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)

(0,1)

1

a (1, ) 2

a 2
0
极小值

a ( , ??) 2

?
Z

0
极大值

?
]

?
Z

即函数 f ( x ) 在 (0,1) , ( , ??) 上单调递增,在 (1, ) 上单调递减. 所 以 函 数 f ( x ) 在 x ? 1 存 在 极 大 值 f (1) ? ?a ? 1 , 在 x ?

a 2

a 2

a 存 在极小值 2

a a a2 f ( ) ? a ln ? a ? ; 2 2 4
综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 存在极小值 f (1) ? ?a ? 1 ,不存在极大值; 当 0 ? a ? 2 时,函数 f ( x ) 存在极小值 f (1) ? ?a ? 1 ,存在极大值 f ( ) ? a ln ? a ? 当 a ? 2 时,函数 f ( x ) 不存在极值;

a 2

a 2

a2 ; 4

-8-

当 a ? 2 时,函数 f ( x ) 存在极大值 f (1) ? ?a ? 1 ,存在极小值 f ( ) ? a ln

a 2

a a2 ?a? . 2 4

…………………………14 分 20. (本小题满分 14 分) (Ⅰ )解:因为 a1 +2a2 ? 22 a3 ? ?? 2n?1 an ? (n ? 2n ? 2n ? 1)b , 所以 a1 ? (21 ? 21 ? 1)b , a1 +2a2 ? (2 ? 22 ? 22 ? 1)b , 解得 a1 ? b , a2 ? 2b . ………………………… 3 分 ① ②

(Ⅱ )证明:当 n ? 2 时,由 a1 +2a2 ? 22 a3 ? ?? 2n?1 an ? (n ? 2n ? 2n ? 1)b , 得 a1 +2a2 ? 22 a3 ? ?? 2n?2 an?1 ? [(n ?1) ? 2n?1 ? 2n?1 ? 1]b , 将①,②两式相减,得 2n?1 an ? (n ? 2n ? 2n ? 1)b ? [(n ?1) ? 2n?1 ? 2n?1 ?1]b , 化简,得 an ? nb ,其中 n ? 2 . 因为 a1 ? b , 所以 an ? nb ,其中 n ? N .
*

………………… 5 分

………………………… 6 分

因为

2an ? 2an ? an?1 ? 2b (n ? 2) 为常数, 2an?1
a

所以数列 {2 n } 为等比数列.
n

…………………… 8 分 ……………………… 9 分

(Ⅲ )解:由(Ⅱ,得 a2n ? 2 b , )

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ? 1 (1 ? 1 ) , 11 分 所以 ? ? ?? ? ? ? ??? n ? ? 1 a2 a4 a8 a2n 2b 4b 2 b b b 2n 1? 2
又因为

1 1 ? , a1 b
1 1 c c 1 1 1 1 ? 化简为 (1 ? n ) ? , ? ? ??? b 2 b a2 a4 a8 a2n a1

所以不等式

当 b ? 0 时,考察不等式

1 1 c (1 ? n ) ? 的解, b 2 b

-9-

由题意,知不等式 1 ?

1 ? c 的解集为 {n | n ? 3, n ?N*} , n 2

1 x 2 1 1 所以只要求 1 ? 3 ? c 且 1 ? 2 ? c 即可, 2 2 3 7 解得 ? c ? ; …………………… 13 分 4 8 1 1 c 当 b ? 0 时,考察不等式 (1 ? n ) ? 的解, b 2 b 1 由题意,要求不等式 1 ? n ? c 的解集为 {n | n ? 3, n ?N*} , 2 1 1 因为 1 ? 2 ? 1 ? 3 , 2 2 所以如果 n ? 3 时不等式成立,那么 n ? 2 时不等式也成立,
因为函数 y ? 1 ? ( ) 在 R 上单调递增, 这与题意不符,舍去. 所以 b ? 0 ,

3 7 ?c? . 4 8

………………………… 14 分

- 10 -


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