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高中数学 学案36直接证明与间接证明


学案 36

直接证明与间接证明

导学目标: 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合 法的思考过程及特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法, 了解反证法的思考过程及 特点.

自主梳理 1.直接证明 (1)综合法 ①定义:从已知条件出发,以______________________

为依据,逐步下推,直到推出所 要证明的结论为止,这种证明方法叫做综合法. ②框图表示: P?Q1 → Q1?Q2 → Q2?Q3 →?→ Qn?Q (其中 P 表示已知条件,Q 表示要证的结论). (2)分析法 ①定义:从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使 ________________和______________________为止.这种证明方法叫做分析法. ②框图表示: Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →?→ 得到一个明显成立的条件 . 2.间接证明 反证法:假设原命题________(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理, 最后得出________,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证 法. 自我检测 1. 分析法是从要证的结论出发, 寻求使它成立的________条件. (填“充分”、 “必要” 或“充要”) 3 3 2.(2010· 揭阳高三统考)用反证法证明“如果 a>b,那么 a> b”的假设内容应是 __________________. 3.设 a、b、c 是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是________.(填序号). ①|a-c|≤|a-b|+|c-b|; 1 1 ②a2+ 2≥a+ ; a a ③ a+3- a+1< a+2- a; 1 ④|a-b|+ ≥2. a-b a b 1 1 4.已知 a+b>0,则 2+ 2与 + 的大小关系为____________________. b a a b 1 1 1 + 5.(2010· 东北三省四市联考)设 x、y、z∈R ,a=x+ ,b=y+ ,c=z+ ,证明 a,b, y z x c 中至少有一个不小于 2.

探究点一 综合法 例1 1 已知 a,b,c 都是实数,求证:a2+b2+c2≥ (a+b+c)2≥ab+bc+ca. 3

变式迁移 1 设 a,b,c>0,证明: a2 b2 c2 + + ≥a+b+c. b c a

探究点二 分析法 例 2 若 a,b,c 是不全相等的正数,求证: a+b b+c c+a lg +lg +lg >lg a+lg b+lg c. 2 2 2

变式迁移 2 已知 a>0,求证:

1 1 a2+ 2- 2≥a+ -2. a a

探究点三 反证法 例 3 若 x,y 都是正实数,且 x+y>2, 1+x 1+y 求证: <2 与 <2 中至少有一个成立. y x

π π π 式迁移 3 若 a,b,c 均为实数,且 a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ .求证: 2 3 6 a,b,c 中至少有一个大于 0.

转化与化归思想 例 (14 分)(2010· 上海改编)若实数 x、y、m 满足|x-m|>|y-m|,则称 x 比 y 远离 m. (1)若 x2-1 比 1 远离 0,求 x 的取值范围. (2)对任意两个不相等的正数 a、b,证明:a3+b3 比 a2b+ab2 远离 2ab ab. 多角度审题 (1)本题属新定义题, 根据“远离”的含义列出不等式, 然后加以求解. (2) 3 3 2 2 第(2)小题,实质是证明不等式|a +b -2ab ab|>|a b+ab -2ab ab|成立.证明时注意提取 公因式及配方法的运用. 【答题模板】 2 (1)解 由题意得|x -1|>1, 2 2 即 x -1>1 或 x -1<-1.[2 分] 由 x2-1>1,得 x2>2,即 x<- 2或 x> 2; 由 x2-1<-1,得 x∈?. 综上可知 x 的取值范围为(-∞,- 2)∪( 2,+∞).[4 分] 3 3 2 2 (2)证明 由题意知即证|a +b -2ab ab|>|a b+ab -2ab ab|成立.[8 分] ∵a≠b,且 a、b 都为正数, ∴|a3+b3-2ab ab|=|? a3?2+? b3?2-2 a3b3|=|? a3- b3?2|=(a a-b b)2,

|a2b+ab2-2ab
2

ab|=|ab?a+b-2 ab?|

=ab( a- b) =(a b-b a)2,[10 分] 即证(a a-b b)2-(a b-b a)2>0, 即证(a a-b b-a b+b a)(a a-b b+a b-b a)>0, 需证[? a- b??a+b?][?a-b?? a+ b?]>0,[12 分] 即证(a+b)(a-b)2>0,∵a、b 都为正数且 a≠b, ∴上式成立.故原命题成立.[14 分] 【突破思维障碍】 1.准确理解题意,提炼出相应不等式是解决问题的关键. 2.代数式|a3+b3-2ab ab|与|a2b+ab2-2ab ab|中的绝对值符号去掉为后续等价变形 提供了方便. 【易错点剖析】 1.推理论证能力较差,绝对值符号不会去. 2.运用能力较差,不能有效地进行式子的等价变形或中间变形出错.

1.综合法是从条件推导到结论的思维方法,它是从已知条件出发,经过逐步的推理, 最后达到待证的结论.即由因导果. 2.分析法是从待证结论出发,一步一步地寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的 已知条件或已被证明的事实.即执果索因,用分析法寻找解题思路,再用综合法书写,这样 比较有条理,叫分析综合法. 3.用反证法证明问题的一般步骤: (1)反设:假设命题的结论不成立,即假定原结论的反面为真;(否定结论) (2)归谬:从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;(推导 矛盾) (3)存真:由矛盾结果断定反设不真,从而肯定原结论成立.(结论成立)

(满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)有有理数根,那么 a、b、c 中至少有一个是偶数”.假设内容应为____________________________________. 2.(2010· 无锡模拟)设 a,b 是两个实数,给出下列条件: (1)a+b>1;(2)a+b=2;(3)a+b>2; (4)a2+b2>2;(5)ab>1. 其中能推出:“a,b 中至少有一个大于 1”的条件是______.(填序号) 3.设 a、b、c∈(0,+∞),P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P、 Q、R 同时大于零”的________条件. 4.(2010· 安徽)若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的 是________(写出所有正确命题的序号). ①ab≤1;② a+ b≤ 2;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3; 1 1 ⑤ + ≥2. a b 5.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则△ A2B2C2 是________三角形(填“锐角”“钝角”或“直角”). 6. (2010· 江苏前黄高级中学模拟)某同学准备用反证法证明如下一个问题: 函数 f(x)在[0,1] 上有意义, f(0)=f(1), 且 如果对于不同的 x1, 2∈[0,1], x 都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|, 求证: 1) |f(x 1 -f(x2)|< .那么他的反设应该是__________________________________________________ 2 ________________________________________________________________________. 7.对于任意实数 a,b 定义运算 a*b=(a+1)(b+1)-1,给出以下结论: ①对于任意实数 a,b,c,有 a*(b+c)=(a*b)+(a*c); ②对于任意实数 a,b,c,有 a*(b*c)=(a*b)*c; ③对于任意实数 a,有 a*0=a.则以上结论正确的是________.(写出你认为正确的结论 的所有序号) 8.(2011· 天津)已知 log2a+log2b≥1,则 3a+9b 的最小值为________. 二、解答题(共 42 分) |a|+|b| 9.(14 分)已知非零向量 a、b,a⊥b,求证: ≤ 2. |a-b|

1 10.(14 分)已知 a、b、c>0,求证:a3+b3+c3≥ (a2+b2+c2)(a+b+c). 3

1 11.(14 分)已知 a、b、c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于 . 4

学案 36
自主梳理 1. (1)①已知的定义、 公理、 定理 不成立 矛盾 自我检测 1.充分 解析 由分析法的定义可知. 3 3 2. a≤ b

直接证明与间接证明 答案
(2)①结论成立的条件 已知条件或已知事实吻合 2.

3 3 3 3 解析 a> b的否定是 a≤ b. 3.④ 解析 ④选项成立时需得证 a-b>0.①中|a-b|+|c-b|≥|(a-b)-(c-b)|=|a-c|,②作 差可证; ③移项平方可证. a b 1 1 4. 2+ 2≥ + b a a b a b ?1 1? a-b b-a 解析 + - + = 2 + 2 b2 a2 ?a b? b a 2 1 1 ?a+b??a-b? =(a-b)?b2-a2?= . ? ? a2b2 ?a+b??a-b?2 ∵a+b>0,(a-b)2≥0,∴ ≥0. a2b2 a b 1 1 ∴ 2+ 2≥ + . b a a b 5.证明 假设 a,b,c 均小于 2,则 a+b+c<6. ① 1 1 1 又 a+b+c=x+ +y+ +z+ y z x 1 1 1 =(x+ )+(y+ )+(z+ )≥6, x y z 这与①式相矛盾,∴假设不正确. ∴a,b,c 至少有一个不小于 2. 课堂活动区 例 1 解题导引 综合法证明不等式,要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的 运用.这里可从基本不等式相加的角度先证得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca 成立,再进一步得出 结论. 证明 ∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, 三式相加得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca, ∴3a2+3b2+3c2≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca) =(a+b+c)2. 1 ∴a2+b2+c2≥ (a+b+c)2; 3 2 2 2 ∵a +b +c ≥ab+bc+ca,

∴a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥ab+bc+ca+2(ab+bc+ca), ∴(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca). ∴原命题得证. 变式迁移 1 证明 ∵a,b,c>0,根据基本不等式, a2 b2 c2 有 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c. b c a a2 b2 c2 三式相加: + + +a+b+c≥2(a+b+c). b c a a2 b2 c2 即 + + ≥a+b+c. b c a 例 2 解题导引 当所给的条件简单,而所证的结论复杂,一般采用分析法.含有根 号、对数符号、绝对值的不等式,若从题设不易推导时,可以考虑分析法. a+b b+c c+a 证明 要证 lg +lg +lg >lg a+lg b+lg c, 2 2 2 a+b b+c c+a? 只需证 lg? b· ? 2 · 2 · 2 ?>lg(a· c), a+b b+c c+a 只需证 · · >abc.(中间结果) 2 2 2 因为 a,b,c 是不全相等的正数, a+b b+c c+a 则 ≥ ab>0, ≥ bc>0, ≥ ca>0. 2 2 2 且上述三式中的等号不全成立, a+b b+c c+a 所以 · · >abc.(中间结果) 2 2 2 a+b b+c c+a 所以 lg +lg +lg >lg a+lg b+lg c. 2 2 2 1 1 变式迁移 2 证明 要证 a2+ 2- 2≥a+ -2, a a 1 1 只要证 a2+ 2+2≥a+ + 2. a a 1 1 ∵a>0,故只要证 ? a2+ 2+2?2≥?a+a+ 2?2, ? a ? ? ? 1 1 即 a2+ 2+4 a2+ 2+4 a a 1 1 ≥a2+2+ 2+2 2?a+a?+2, ? ? a 1 1 从而只要证 2 a2+ 2≥ 2?a+a?, ? ? a 1? ? 2 1? 2 只要证 4?a +a2?≥2?a +2+a2?, ? 1 即 a2+ 2≥2,而该不等式显然成立,故原不等式成立. a 例 3 解题导引 (1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定 形式出现时,宜用反证法来证,反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是①与 已知条件矛盾,②与假设矛盾,③与定义、公理、定理矛盾,④与事实矛盾等方面,反证法 常常是解决某些“疑难”问题的有力工具,是数学证明中的一件有力武器. (2)利用反证法证明问题时,要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理, 否则,将出现循环论证的错误. 1+x 1+y 证明 假设 <2 和 <2 都不成立, y x 1+x 1+y 则有 ≥2 和 ≥2 同时成立, y x

因为 x>0 且 y>0, 所以 1+x≥2y,且 1+y≥2x, 两式相加,得 2+x+y≥2x+2y, 所以 x+y≤2,这与已知条件 x+y>2 相矛盾, 1+x 1+y 因此 <2 与 <2 中至少有一个成立. y x 变式迁移 3 证明 假设 a,b,c 都不大于 0,即 a≤0,b≤0,c≤0. π π π ∵a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ , 2 3 6 π 2 π 2 π 2 ∴x -2y+ +y -2z+ +z -2x+ 2 3 6 =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(π-3)≤0, ① 2 2 2 又∵(x-1) +(y-1) +(z-1) ≥0,π-3>0, ∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(π-3)>0. ② ①式与②式矛盾, ∴假设不成立, 即 a,b,c 中至少有一个大于 0. 课后练习区 1.假设 a、b、c 都不是偶数 2.(3) 1 2 解析 若 a= ,b= ,则 a+b>1, 2 3 但 a<1,b<1,故(1)推不出; 若 a=b=1,则 a+b=2,故(2)推不出; 若 a=-2,b=-3,则 a2+b2>2,故(4)推不出; 若 a=-2,b=-3,则 ab>1,故(5)推不出; 对于(3),即 a+b>2,则 a,b 中至少有一个大于 1, 反证法:假设 a≤1 且 b≤1, 则 a+b≤2 与 a+b>2 矛盾, 因此假设不成立,故 a,b 中至少有一个大于 1. 3.充要 解析 必要性是显然成立的,当 PQR>0 时,若 P、Q、R 不同时大于零,则其中两个为 负,一个为正,不妨设 P>0,Q<0,R<0,则 Q+R=2c<0,这与 c>0 矛盾,即充分性也成立. 4.①③⑤ a+b 2 解析 ①ab≤( ) =1,成立. 2 ②欲证 a+ b≤ 2, 即证 a+b+2 ab≤2,即 2 ab≤0,显然不成立. ③欲证 a2+b2=(a+b)2-2ab≥2, 即证 4-2ab≥2, 即 ab≤1,由①知成立. ④a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥3 3 3 ?a2-ab+b2≥ ?(a+b)2-3ab≥ 2 2 3 5 5 ?4- ≥3ab?ab≤ ,由①知,ab≤ 不恒成立. 2 6 6 1 1 ⑤欲证 + ≥2, a b a+b 即证 ≥2,即 ab≤1,由①知成立. ab 5.钝角 解析 由条件知,△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则△A1B1C1 是锐角三角形,

假设△A2B2C2 是锐角三角形,

? ? π 由?sin B =cos B =sin?2-B ?, ? ? ?sin C =cos C =sin??π-C ?? ? 2
2 1 1 2 1 1

π sin A2=cos A1=sin?2-A1?, ? ?

? ? π 得?B =2-B , ?C =π-C , ? 2
2 1 2 1

π A2= -A1, 2

π 那么,A2+B2+C2= , 2 这与三角形内角和为 π 相矛盾,所以假设不成立,所以△A2B2C2 是钝角三角形. 1 6.“?x1,x2∈[0,1],使得|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,则|f(x1)-f(x2)|≥ ” 2 7.②③ 解析 按新定义,可以验证 a*(b+c)≠(a*b)+(a*c); 所以①不成立;而 a*(b*c)=(a*b)*c 成立, a*0=(a+1)(0+1)-1=a.所以正确的结论是②③. 8.18 解析 由 log2a+log2b≥1 得 log2(ab)≥1,即 ab≥2, a+2b ∴3a+9b=3a+32b≥2×3 (当且仅当 3a=32b,即 a=2b 时“=”号成立). 2 又∵a+2b≥2 2ab≥4(当且仅当 a=2b 时“=”成立), ∴3a+9b≥2×32=18. 即当 a=2b 时,3a+9b 有最小值 18. 9.证明 ∵a⊥b,∴a· b=0. (2 分) |a|+|b| 要证 ≤ 2,只需证:|a|+|b|≤ 2|a-b|, (6 分) |a-b| 2 2 2 2 平方得:|a| +|b| +2|a||b|≤2(|a| +|b| -2a· b), (10 分) 只需证:|a|2+|b|2-2|a||b|≥0, (12 分) 即(|a|-|b|)2≥0,显然成立.故原不等式得证. (14 分) 10.证明 ∵a2+b2≥2ab,a、b、c>0, ∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b), (3 分) ∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2, ∴a3+b3≥a2b+ab2.(7 分) 同理,b3+c3≥b2c+bc2,a3+c3≥a2c+ac2, 将三式相加得, 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2.(10 分) ∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+ 2 c ). 1 ∴a3+b3+c3≥ (a2+b2+c2)(a+b+c).(14 分) 3 1 11.证明 方法一 假设三式同时大于 , 4 1 1 1 即(1-a)b> ,(1-b)c> ,(1-c)a> ,(3 分) 4 4 4 ∵a、b、c∈(0,1), 1 ∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a> .(8 分) 64 1-a+a?2 1 又(1-a)a≤? ? 2 ? =4,(10 分)

1 1 同理(1-b)b≤ ,(1-c)c≤ , 4 4 1 ∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤ ,(12 分) 64 这与假设矛盾,故原命题正确.(14 分) 1 方法二 假设三式同时大于 , 4 ∵0<a<1,∴1-a>0,(2 分) ?1-a?+b 1 1 ≥ ?1-a?b> = ,(8 分) 2 4 2 ?1-b?+c 1 ?1-c?+a 1 同理 > , > ,(10 分) 2 2 2 2 3 3 三式相加得 > ,这是矛盾的,故假设错误, 2 2 ∴原命题正确.(14 分)


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