nbhkdz.com冰点文库

2.4.2抛物线的简单几何性质1人教版


河南省淮阳一高:杨留杰 2012.12.5

(第一课时)

一、温故知新
(一) 抛物线的定义
平面内,到定点F的距离与到定直线l l(l不经

过点F)的距离相等的点的轨迹,

(二) 抛物线的标准方程
y2 = 2px (p>0) (2)开口向左 y2 =

-2px (p>0) (1)开口向右
2 (3)开口向上 x2 = 2py (p>0) (4)开口向下 x = -2py (p>0)

目标

理解并掌握抛物线的简单几何性质

重点

抛物线的几何性质与椭圆、双曲线 的比较 能利用抛物线的性质解决有关问题

难点

二、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px(p>0)的几何性质?

1、


范围

l

y

由抛物线y2 =2px(p>0)

2 px ? y ? 0 p?0
2

O

F

x

x ?? 0

所以抛物线的范围为 x ? 0

2、

对称性
关于x轴

l

y

? ( x, y)

对称

( x, ? y )
O F

x

若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px, 则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.

3、

顶点

l

y

定义:抛物线与它 的轴的交点叫做抛物线

的顶点。

? y2 = 2px

O

F

x

(p>0)中,

令y=0,则x=0.
即:抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点(0,0).

4、

离心率 l

y

抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离之比,叫做抛物线 的离心率。 由定义知, 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.

O

F

x

图 形 y
l O F

方程

焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R x≤0 x轴

e

y2 = 2px p p F ( ,0 ) x ? ? x (p>0) 2 2

y
F O

l

y2 = -2px p p F ( ? ,0 ) x ? 2 x(p>0) 2
p x2 = 2py p F (0, ) y ? ? 2 2 x (p>0)
l

y∈R
(0,0) 1 y≥0 x∈R y轴 y≤0

y
O

F

y
O F

= -2py F (0,? p ) y ? p 2 x(p>0) 2 x2

l

x∈R

拓展 5、

通径

过焦点而垂直于对称轴的弦 AB,称为抛物线的通径, |AB|=2p 利用抛物线的顶点、通 径的两个端点可较准确 画出反映抛物线基本特 征的草图.

y
A O B

y2=2px
? p ? ? , p? ?2 ?

F

2p

x

?p ? ? ,? p ? ?2 ?

2p越大,抛物线张口越大.

6、

焦半径

连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物 y 线的焦半径。
P

焦半径公式:

|PF|=x0+p/2

O

F

x

y

A ( x1 , y1 )
F

7、

焦点弦
O x

通过焦点的直线,与抛物 线相交于两点,连接这两点的

B ( x 2 , y2 )

线段叫做抛物线的焦点弦。
焦点弦公式:

p ? x1 ? x2

归纳:
(1)、抛物线只位于半个坐标平面内,它可以无 限延伸,但它没有渐近线; (2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
(3)、抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条 准线; (4)、抛物线的离心率e是确定的为1, ⑸、抛物线的通径为2P, 2p越大,抛物线的张 口越大. (6)、抛物线的焦半径为 |PF|=x0+p/2

(7)、抛物线的焦点弦为 p ? x1 ? x2

三、典例精析
例1:已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标 ? ),求它的标准方程. 原点,并且经过点M(2, 2 2

解: 因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原
点,并且经过点M(2, 2 2 ), ? 所以设方程为: y 2 ? 2 px 又因为点M在抛物线上: 所以:?2 (

( p ? 0)

2)2 ? 2 p ? 2 ? p ? 2 因此所求抛物线标准方程为:2 ? 4 x y

当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)),可避免讨论

l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的 例2、斜率为1的直线
焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线 段AB的长。
y

A`

A

解这题,你有什么方法呢?

O

B `

F B

x

法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长.

法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.

还有没有其他方法?

p 解 由题意可知 p ? 2, ? 1, , 2 焦点F ?1,0 ?, 准线l : x ? ?1. 如

y

A`
O

A

图2.3 ? 4, 设A? x1 , y1 ?, B? x2 , y2 ?, A, B到准线l的距离分别为 A , d B . d 由抛物线的定义可知

B`

F B

x

图2.3 ? 4

| AF |? d A ? x1 ? 1, | BF |? d B ? x2 ? 1.

于是 | AB |?| AF | ? | BF |? x1 ? x2 ? 2.
由已知得抛物线的焦点 F ?1,0?, 所以直线 AB 的 为 方程为 y ? x ? 1.

?1?

将 ?1 ? 代入 y 2 ? 2 x , 得 ? x ? 1 ? ? 4 x.
2

y

A`
O

A

化简得 x ? 6 x ? 1 ? 0.
2

B`

F B

x

由求根公式得 x1 ? 3 ? 2 2 , x2 ? 3 ? 2 2 , 于是 | AB |? x1 ? x2 ? 2 ? 8 .
图2.3 ? 4

?或由韦达定理得x1 ? x2 ? 6?
所以, 线段 AB的长是 8 .

一般地, 题目改为: 倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求,(1)求|AB|;(2)求|AB| 的最小值.

2p AB ? 2 sin ?

思考:通径是抛物线的 焦点弦中最短的弦吗?

问题(接上一节的思考): 倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长.
解本题,可尝试用的方法有: 法一:设而不求,运用韦达定理, 计算弦长; 法二:设而不求,数形结合,运用 定义转化,计算弦长.

法三: 纯几何计算,这也是一种 较好的思维.

继续

问题: 倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长. 法1: 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) p ∵焦点 F ( , 0) ,直线 AB 的倾斜角为 ? 2 p ∴直线 AB 的方程为 x ? y cot ? ? 2 p ? ( x2 , y2 ) ? x ? y cot ? ? 由? 2 消去 x 并整理得 y2 ? 2 py cot ? ? p2 ? 0 与直线 ? y 2 ? 2 px ? 的倾斜角 ∴ y1 ? y2 ? 2 p cot ? , y1 ? y2 ? ? p2 无关! 2 2 2 AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) = (1 ? cot ? )( y1 ? y2 )2 很奇怪! 2p 2 2 = (1 ? cot ? ) ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 = 2 sin ?
解完后回味一下,这是一个很好的解题习惯,利于提高!

问题: 2 法2: 倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长. p 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,焦点 F ( , 0) M ( x1 , y1 ) 2
p 准线 l : x ? ? ,分别过点 A、B 作 l 的垂 2 线,垂足分别为 M、N.

由抛物线定义可知 FA ? MA , FB ? NB N

( x2 , y2 )

p ∵直线 AB 的方程为 x ? y cot ? ? 2 p ? ? x ? y cot ? ? 由? 2 消去 y 并整理得 x2 ? (2 p cot 2 ? ? p) x ? p2 ? 0 ? y 2 ? 2 px ? 2p 2 ∴ AB = 2 p cot ? ? 2 p ? sin 2 ?

∴ AB ? FA ? FB = x1 ? x2 ? p

问题: 2 法3: 倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长.

解:如图记焦点 F ,准线 l ,分别过点 M A、B 作 l 的垂线,垂足分别为 M、N. 由抛物线定义可知 FA ? MA , FB ? NB

K 过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 E. N 在△ AFE 中 EF ? AF cos ? .

Q
E

记 x 轴与准线 l 的交点为 K ,则 KF ? p
p ∴ FA = MA ? KE ? p ? FA cos ? ∴ FA ? 1 ? cos ?
p p p 2p ? ? 同理 FB ? ,∴ AB ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin 2 ?

返回

发现一个结论: 2 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点的一条直 线和抛物线相交,两个交点的纵坐标为 y1 、y2 , 则 y1 ? y2 ? ? p .
2

M

这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动. K?

几何解释,就是

N
2

MK ? NK ? KF

思考: “一条直线和抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交, 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 ? y2 ? ? p2 .则 这条直线过焦点.”成立吗?

刚才发现的结论的逆命题是否成立? 已知直线 l 和抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交,两个交点的纵坐 p 2 标为 y1 、y2 ,且 y1 ? y2 ? ? p ,求证:直线 l 过焦点 F ( , 0) . 2

太漂亮了!
继续大胆猜想

大胆猜想: 过定点 P(a,0) (a>0)的一条直线和抛物线 2 y ? 2 px( p ? 0) 相 交 , 两 个 交 点 的 纵 坐 标 为 y1 、y2 ,求证: y1 ? y2 是定值.

关于过焦点弦还有一条性质,请大家思考: 思考:(课本第 70 页例 5) 过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点, 通过点 A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 D, 求证:直线 DB 平行于抛物线的对称轴.

坐标法是一种非常好的证明,你 还有没有其他好方法呢? 本题几何法也是一个极佳的思维!

学习小结: 刚才发现的结论,坐标法起着重要作用. 设而不求,联立方程组,韦达定理这是研 究直线和圆锥曲线的位置关系问题的重要方 法.

四、归纳总结

1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、 离心率、通径;

2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方 程、焦点坐标及解决其它问题;

作业: A 、B 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两点,满 足 OA ? OB ( O 为坐标原点). 求证:⑴ A 、B 两点的横坐标之积,纵坐标之 积分别为定值; ⑵直线 AB 经过一个定点.

答案:下一张

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,中点 P(x0,y0) y y ⑴ kOA ? 1 , kOB ? 2 ∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1∴ x1x2+y1y2=0 x1 x2

y12 y2 2 ∵ y12=2px1,y22=2px2∴ ? ? y1 y2 ? 0 2p 2p ∵ y1≠0,y2≠0 ∴ y1y2=-4p2 ∴ x1x2=4p2 ⑵∵y12=2px1,y22=2px2∴(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2) 2p 2p y ?y 2p ∴ 1 2? ∴ k AB ? ∴直线 AB: y ? y1 ? ( x ? x1 ) y1 ? y2 y1 ? y2 x1 ? x2 y1 ? y2

y12 ? 2 px1 ? y1 y2 2 px1 2 px 2 px ∴ y? ∴ y? ? ? y1 ? y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2

2 px ?4 p2 ∵ y12 ? 2 px1 , y1 y2 ? ?4 p2 ∴ y ? ? y1 ? y2 y1 ? y2 2p ∴ y? ( x ? 2 p) ∴ AB 过定点(2p,0). y1 ? y2


2.4.2抛物线的简单几何性质 (1)

2.4.2抛物线的简单几何性质 (1)_数学_高中教育_教育专区。2.4.2 抛物线的简单几何性质(第一课时) 班别:___ 组别:___ 姓名:___ 评价:___【学习目标】...

2.4.2抛物线的简单几何性质教学设计

2.4.2抛物线的简单几何性质教学设计_数学_高中教育_教育专区。问题一 抛物线的几何性质有哪些?(设计意图:让学生充分认识抛物线) (师生活动:结合图像,各组研讨,最好...

2.4.2 抛物线的简单几何性质教学稿(1)

2.4.2 抛物线的简单几何性质教学稿(1)_数学_高中教育_教育专区。2.4.2 抛物线的简单几何性质(1)教学稿、抛物线的性质: 标准 方程 y 2 ? 2 px ( p ? ...

2.4.2抛物线的简单几何性质(1)

课题§ 2.4.2 抛物线的简单几何性质(1) ※ 学习探究 1、抛物线定义 平面内与个定点 F 和条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中定点 F ...

数学选修2.4.2抛物线的简单几何性质1及答案

数学选修2.4.2抛物线的简单几何性质1及答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。...人教版数学选修1-1:2.3... 暂无评价 33页 ¥2.00 人教A版数学选修2-...

2.4.2抛物线的简单几何性质(1) - 学生版

课题:§2.4.2 抛物线的简单几何性质() 学习目标 1.掌握抛物线的几何性质; 2.根据几何性质确定抛物线的标准方程并解决简单问题; 3.在对抛物线的几何性质的讨论...

2.4.2 抛物线的简单几何性质第1课时

变革学习方式 构建高效课堂 高二数学选修 2-1 第二章 圆锥曲线与方程 导学案 数学组 YZM 设计 《§2.4.2 抛物线的简单几何性质》第 1 课时导学案班级: 姓名:...

2.4.2抛物线及其简单几何性质

2.4.2 抛物线的简单几何性质一、抛物线的定义: 平面内,到 的距离与到 ( )的距离 的点的轨迹叫做抛物线。定点 F 叫作抛物线的焦点,定直线 l 叫作抛物线的准线...

2.4.2抛物线的简单几何性质(1)

§2.4.2 抛物线的简单几何性质(1)学习目标 1.掌握抛物线的几何性质; 2.根据几何性质确定抛物线的标准方程. 学习过程 、课前准备 (预习教材理 P68~ P70,文 ...