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4、抽象函数经典习题答案


抽象函数经典习题 1. 若函数 f (2 x ? 1) 的定义域为 ? ?1, ? ,则函数 f (log2 x) 的定义域为(

? ?

3? 2?

)

A. ? 2.

?1 ? ,2? ?2 ?

B. ? , 2 ? ?2 ?

>?1

?

C. ?

?1 4 , ?2

? 2? ?

D. ? , 4 2 ? 2

?1 ?

? ?

若 f (n ? 1) ? f (n) ? 1(n ? N * ),且f(1)=2,则f(100)的值是( A.102 B.99 C.101 D.100

)

3.

定义 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), 且f (9) ? 8, 则f ( 3) ? ( A. 2 B.2 C.4 D.6



4.

2 定义在区间 (-1, 1) 上的减函数 f ( x ) 满足:f (? x) ? ? f ( x) 。 若 f1 ( ? a ) ?1 f( ? a ) 0?

恒成立,则实数 a 的取值范围是___________________. 5. 已知函数 f ( x ) 是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数 x, y ,都有: f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 成立.则不等式 f (log2 x) ? 0 的解集是_____________________. 6. 已知函数 f ( x ) 是定义在 (-∞, 3]上的减函数, 已知 f (a2 ? sin x) ? f (a ? 1 ? cos2 x) 对

x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围。
7. 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 不 恒 为 零 的 函 数 , 且 对 于 任 意 的 a , b ? R, 都 满 足 :

f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) .
(1)求 f (0), f (1) 的值; (2)判断 f ( x ) 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若 f (2) ? 2 , un ?

f (2? n ) (n ? N * ) ,求数列{ un }的前 n 项和 s n . n

8. 定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b∈R,有 f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x )>1,求 x 的取值范围。 9. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 R, 对任意实数 m, n 都有 f ( m ? n) ? f ( m) ? f ( n) ? , 且
2

1 2

1 1 f ( ) ? 0 ,当 x ? 时, f ( x) >0. 2 2
(1)求 f (1) ; (2)求和 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (n) (n ? N * ) ; (3)判断函数 f ( x ) 的单调性,并证明. 10. 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 R, 并 满足 以 下 条 件 : ① 对 任 意 x ? R , 有 f ( x ) >0; ② 对 任 意

1 x, y ? R,有 f ( xy) ? [ f ( x)]y ;③ f ( ) ? 1 . 3
(1)求 f (0) 的值; (2)求证: f ( x ) 在 R 上是单调减函数; (3)若 a ? b ? c ? 0 且 b ? ac ,求证: f (a) ? f (c) ? 2 f (b) .
2

11. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 R, 对任意实数 m, n 都有 f ( m ? n) ? f ( m) ? f ( n), 且当

x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 .
(1)证明: f (0) ? 1, 且x ? 0时,f(x)>1 ; (2)证明: f ( x ) 在 R 上单调递减;
2 2 (3)设 A= {( x, y ) f ( x ) ? f ( y ) ? f (1)} ,B={ ( x, y) f (ax ? y ? 2) ? 1, a ? R },若

A ? B = ? ,试确定 a 的取值范围.
12. 已知函数 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,且它的图象关于直线 x ? 1 对称. (1)求 f (0) 的值; (2)证明: 函数 f ( x ) 是周期函数; (3)若 f ( x) ? x(0 ? x ? 1), 求当 x ? R 时,函数 f ( x ) 的解析式,并画出满足 数 f ( x ) 至少一个周期的图象. 13. 函数 f ( x ) 对于 x>0 有意义,且满足条件 f (2) ? 1, f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f ( x)是 减函 数。 (1)证明: f (1) ? 0 ; 条件的函

(2)若 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 成立,求 x 的取值范围。 14. 设函数 f ( x ) 在 (??, ??) 上满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x ) , f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,且在闭 区间[0,7]上,只有 f (1) ? f (3) ? 0 . (1)试判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性; (2)试求方程 f ( x ) =0 在闭区间[-2005,2005]上的根的个数, 的结论 并证明你

1. 2. 3. 4.

B A A

0 ? a ? 2 ,解:由 f (1 ? a) ? f (1 ? a2 ) ? 0 得,
?0 ? a ? 2 ??1 ? 1 ? a ? 1 ? ? ,得 f ( 1? a )? f (2 a? 1 ) ??1 ? a 2 ? 1 ? 1 ? ?? 2 ? a ? 2且a ? 0 ? 0 ? a ? 2 ?1 ? a ? a 2 ? 1 ??2 ? a ? 1 ? ?

5.

? x 1 ? x ? 2?
f ( l 2o x g ?

; 解 : 令 x ? y ?1 , 则

f ( 1? ) f 2 ? ( f 1( )1? )
2

0 则 ,

)f ? l (o21x g) ?

? 1

2

x l o? g

..① l ? x o……… g? 2

2

∵函数 f ( x ) 是定义在(0,+∞)上的增函数 ∴ l og2 x ? 0 ? x ? 1 ,……………………………………………………② 由①②得,不等式的解集为 x 1 ? x ? 2 。

?

?

6.

? 2?a?

1 ? 10 2 2 ;解: f (a ? sin x) ? f (a ? 1 ? cos x) 等价于 2

? ?a 2 ? sin x ? 3 ?a 2 ? 3 ? sin x ? a 2 ? 3 ? ?1 ? ? ? 2 ? ?a ? 2 ? ? cos 2 x ? ?a ? 2 ? 0 ? ?a ? 1 ? cos x ? 3 ?a 2 ? sin x ? a ? 1 ? cos 2 x ?a 2 ? a ? 1 ? cos 2 x ? sin x ? 5 ? ? ?a 2 ? a ? 1 ? ? 4

? ?? 2 ? a ? 2 ? 1 ? 10 ? ?? 2?a? ?a ? 2 2 ? 1 ? 10 1 ? 10 ?a ? 或a ? ? ? 2 2
7. (1)解:令 a ? b ? 0 ,则 f (0) ? 0 令 a ? b ? 1 ,则 f (1) ? 2 f (1) ? f (1) ? 0 (2)证明:令 a ? b ? ?1 ,则 f (1) ? 2 f (?1) ,∵ f (1) ? 0 ,∴ f (?1) ? 0 令 a ? x, b ? ?1 ,则 f (? x) ? xf (?1) ? f ( x) ? ? f ( x) ∴ f ( x ) 是奇函数。 (3) 当 ab ? 0 时,
n

f (a ? b) f (b) f (a) f ( x) ? ? ( b ? ) ga ? ( ) gb ?() , 令 g ( x) ? , 则 ga ab b a x
n n n n n ?1

故 g (a ) ? ng (a) ,所以 f (a ) ? a ? g (a ) ? na g (a) ? na

f (a)

f (2? n ) ? 1 ? ∴ un ? ?? ? n ?2?

n ?1

1 ? f( ) 2
1 2 ?1? 1 ? ? f ?2? ? 0 ?2? 2
n ?1

∵ f (2) ? 2, f (1) ? f (2 ? ) ? 2 f ?

∴f?

1 1 ?1? ? 1? ?1? ? ? ? f (2) ? ? ,故 un ? ? ? ? ? ? ? 4 2 ?2? ? 2? ?2?

? n ? N ??

n 1? ?1? ? ? ?1 ? ? ? ? n 2? ? ?2? ? ? ?1? ∴ sn ? ? ? ? ? 1? n ? N ? ? 1 ?2? 1? 2

8. (1)令 a=b=0,则 f(0)=[f(0)] ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令 a=x,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ f (? x) ?
1 f ( x)

2

由已知 x>0 时,f(x)>1>0,当 x<0 时,-x>0,f(-x)>0

∴ f ( x) ?

1 ? 0 又 x=0 时,f(0)=1>0 f ( ? x)

∴对任意 x∈R,f(x)>0 (3)任取 x2>x1,则 f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴
f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 f ( x1 )

∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在 R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x )=f[x+(2x-x )]=f(-x +3x)又 1=f(0), f(x)在 R 上递增 ∴由 f(3x-x )>f(0)得:3x-x >0 ∴ 0<x<3
2 2 2 2 2

9.

1 1 1 1 1 1 ,则 f ( ? ) ? 2 f ( ) ? ? f (1) ? 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 (2)∵ f (1) ? , f (n ? 1) ? f (1) ? f (n) ? ? ? f (n) ? ? f (n) ? 1 2 2 2 2
8.(1)解:令 m ? n ? ∴ f (n ? 1) ? f (n) ? 1 ∴数列 ? f (n)? 是以

1 为首项,1 为公差的等差数列,故 2

n n(n ? 1) n2 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (n) = ? =? 2 2 2
(3)任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ,则

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ?
= f ( x2 ? x1 ? ) ? 0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴函数 f ( x ) 是 R 上的单调增函数.

1 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 2 2

1 2

2 10. 9.(1)解: ∵对任意 x ? R ,有 f ( x ) >0, ∴令 x ? 0, y ? 2 得, f (0) ? [ f (0)] ? f (0) ? 1

(2)任取任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ,则令 x1 ?

1 1 p1 , x2 ? p2 ,故 p1 ? p2 3 3

∵函数 f ( x ) 的定义域为 R,并满足以下条件:①对任意 x ? R ,有 f ( x ) >0;②对任意

1 x, y ? R ,有 f ( xy) ? [ f ( x)]y ;③ f ( ) ? 1 3 1 1 1 p 1 p ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( p1 ) ? f ( p2 ) ? [ f ( )] 1 ? [ f ( )] 2 ? 0 3 3 3 3

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴函数 f ( x ) 是 R 上的单调减函数. (3) 由(1) (2)知, f (b) ? f (0) ? 1 ,∴ f (b) ? 1 ∵ f (a) ? f (b ? ) ? ? f (b) ?b , f (c) ? ? b ?
a b c b

a b

a

? ?

c c? ? ? ? f (b) ?b b?
a ?c b

∴ f (a ) ? f (c) ? ? f (b) ? ? ? f (b) ? ? 2 [ f (b)] ∴2

,而 a ? c ? 2 ac ? 2 b2 ? 2b

? f (b)? b

a?c

?2

? f (b)? b

2b

? 2 f (b)

∴ f (a) ? f (c) ? 2 f (b) 11. (1)证明:令 m ? 0, n ? 1 ,则 f (0 ? 1) ? f (0) ? f (1) ∵当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 ,故 f (1) ? 0 ,∴ f (0) ? 1 ,∵当 x ? 0 ∴当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x ? x) ? f (? x) ? f ( x) ? f ( x) ? (2)证明: 任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ,则 时, 0 ? f ( x) ? 1

f (0) 1 ? ?1 f (? x) f ( ? x)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? [ f ( x2 ? x1 ) ?1] f ( x1 )
∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴0< 0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 ,故 f ( x2 ? x1 ) ?1 <0,又∵ f ( x1 ) ? 0, ∴ [ f ( x2 ? x1 ) ?1] f ( x1 ) ? 0 ,故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴函数 f ( x ) 是 R 上的单调减函数. (3) ∵ A ? ( x, y ) f ( x ) ? f ( y ) ? f (1) ? ( x, y ) f ( x ? y ) ? f (1)
2 2 2 2

?

? ?

?

2 2 由(2)知, f ( x ) 是 R 上的减函数,∴ x ? y ? 1

∵B={ ( x, y) f (ax ? y ? 2) ? 1, a ? R }= 又∵ A ? B ? ? , ∴方程组 ?

?? x, y ? ax ? y ? 2 ? 0, a ? R?
2 2

? x2 ? y 2 ? 1 ? ax ? y ? 2 ? 0

无解,即直线 ax ? y ? 2 ? 0与单位圆x ? y ? 1的内 部无公共

点 ∴

2 a ?1
2

? 1 ? a2 ? 3 ? ? 3 ? a ? 3 ,故 a 的取值范围是- 3 ? a ? 3

12. (1) 解 :∵ f ( x ) 为 R 上的奇函数 , ∴对任意 x ? R, 都有 f (? x) ? ? f ( x) , 令 x ? 0, 则

f (?0) ? ? f (0)
∴ f (0) =0 (2)证明: ∵ f ( x ) 为 R 上的奇函数, ∴对任意 x ? R, 都有 f (? x) ? ? f ( x) , ∵ f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称, ∴对任意 x ? R, 都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) , ∴ 用 1 ? x 代 x 得, f (2 ? x) ? f [1 ? (1 ? x)] ? f (? x) ? ? f ( x) ∴ f [2 ? (2 ? x)] ? ? f ( x ? 2) ? ?[? f ( x)] ? f ( x) ,即 f (4 ? x) ? f ( x) ∴ f ( x ) 是周期函数,4 是其周期. (3)当 x ?? ?1,3? 时, f ( x) ? ?

? x(?1 ? x ? 1) ?? x ? 2(1 ? x ? 3)

当 4k ? 1 ? x ? 4k ? 1时, f ( x) ? x ? 4k , k ? Z 当 4k ? 1 ? x ? 4k ? 3 时, f ( x) ? ? x ? 2 ? 4k , k ? Z ∴ f ( x) ? ? 图象如下: y

? x ? 4k (4k ? 1 ? x ? 4k ? 1) ,z?R ?? x ? 2 ? 4k (4k ? 1 ? x ? 4k ? 3)

-2

-1 0 1 2 3 4 5 6

x

13.

(1)证明:令 x ? y ? 1 ,则 f (1?1) ? f (1) ? f (1) ,故 f (1) ? 0

(2)∵ f (2) ? 1 ,令 x ? y ? 2 ,则 f (2 ? 2) ? f (2) ? f (2) ? 2 , ∴ f (4) ? 2

f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 ?

f [ x( x ? 3)] ? f (4) ? f ( x2 ? 3x) ? f (4) ? x2 ? 3x ? 4 ? ?1 ? x ? 4
∴ f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 成立的 x 的取值范围是 ?1 ? x ? 3 。 14. 解:(1)由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数 y ? f ( x) 的对称轴为 x ? 2和x ? 7 , 从而知函数 y ? f ( x) 不是奇函数,

由?

? f ( 2 ? x) ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? f ( 4 ? x) ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x)

? f ( x) ? f ( x ? 10) ,从而知函数 y ? f ( x) 的周期为 T ? 10
又 f (3) ? f (0) ? 0, 而f (7) ? 0 ,故函数 y ? f ( x) 是非奇非偶函数; (2) 由

? f ( 2 ? x) ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? f ( 4 ? x) ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x)
? f ( x) ? f ( x ? 10)
又 f (3) ? f (0) ? 0, f (11) ? f (13) ? f (?7) ? f (?9) ? 0 故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数 y ? f ( x) 在[0,2005]上有 402 个解,在 [-2005.0]上有 400 个解,所以函数 y ? f ( x) 在[-2005,2005]上有 802 个解.

经典习题 2 1. 定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b∈R,有 f(a+b)=f(a)f(b), (3)求证:f(0)=1; (4)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x )>1,求 x 的取值范围。 解 (1)令 a=b=0,则 f(0)=[f(0)] ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令 a=x,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ f (? x) ?
1 f ( x)
2 2

由已知 x>0 时,f(x)>1>0,当 x<0 时,-x>0,f(-x)>0

∴ f ( x) ?

1 ? 0 又 x=0 时,f(0)=1>0 f ( ? x)

∴对任意 x∈R,f(x)>0 (3)任取 x2>x1,则 f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴
f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 f ( x1 )

∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在 R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x )=f[x+(2x-x )]=f(-x +3x)又 1=f(0), f(x)在 R 上递增 ∴由 f(3x-x )>f(0)得:3x-x >0 ∴ 0<x<3 2. 已 知 函 数 f ( x) 对 任 意 实 数 x, y 恒 有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) 且 当 x > 0 ,
f ( x ) ? 0.又f (1) ? ?2.
2 2 2 2 2

(1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)求 f ( x) 在区间[-3,3]上的最大值; (3)解关于 x 的不等式 f (ax2 ) ? 2 f ( x) ? f (ax) ? 4. 解(1)取 x ? y ? 0, 则 f (0 ? 0) ? 2 f (0) 取 y ? ? x, 则f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x)

? f (0) ? 0

? f (? x) ? ? f ( x) 对任意 x ? R 恒成立 ∴ f ( x) 为奇函数. (2)任取 x1 , x2 ? (??,??)且x1 ? x2 , 则 x2 ? x1 ? 0 ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 0 ? f ( x2 ) ? ? f (? x1 ), 又 f ( x) 为奇函数 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f ( x) 在(-∞,+∞)上是减函数. ? 对任意 x ? [?3,3] ,恒有 f ( x) ? f (?3) 而 f (3) ? f (2 ? 1) ? f (2) ? f (1) ? 3 f (1) ? ?2 ? 3 ? ?6 ∴ f ( x) 在[-3,3]上的最大值为 6 ? f (?3) ? ? f (3) ? 6
(3)∵ f ( x) 为奇函数,∴整理原式得 f (ax2 ) ? f (?2x) ? f (ax) ? f (?2) 进一步可得 f (ax2 ? 2 x) ? f (ax ? 2) 而 f ( x) 在(-∞,+∞)上是减函数,? ax ? 2 x ? ax ? 2
2

? (ax ? 2)(x ? 1) ? 0. ? 当 a ? 0 时, x ? (??,1) 当 a ? 2 时, x ? {x | x ? 1且x ? R} 2 当 a ? 0 时, x ?{x | ? x ? 1} a
当 0 ? a ? 2 时, x ? { x | x ? 当 a>2 时, x ? { x | x ?
2 或x ? 1} a 2 或x ? 1} a

1 1 1 2 n ? 5 ? ? ? ? ? ? f ( x ) f ( x ) f ( x ) n ? 2 1 2 n
3.已知函数 f ( x) 的定义域为 ?0,1? ,且同时满足: (1)对任意 x ??0,1? ,总有 f ( x) ? 2 ; (2) f (1) ? 3 (3)若 x1 ? 0, x2 ? 0 且 x1 ? x2 ? 1 ,则有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 . (I)求 f (0) 的值; (II)求 f ( x) 的最大值;
* (III)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 Sn ? ? 1 2 (an ? 3), n ? N .

求证: f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (an ) ? 3 ? 2n ? 1n?1 . 2 2?3 解: (I)令 x1 ? x2 ? 0 ,由(3),则 f (0) ? 2 f (0) ? 2,? f (0) ? 2 由对任意 x ??0,1? ,总有 f ( x) ? 2,? f (0) ? 2 (II)任意 x1 , x2 ??0,1? 且 x1 ? x2 ,则 0 ? x2 ? x1 ? 1,? f ( x2 ? x1 ) ? 2

? f ( x2 ) ? f ( x2 ? x1 ? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 2 ? f ( x1 ) ? f max ( x) ? f (1) ? 3
* (III)? Sn ? ? 1 ? Sn?1 ? ? 1 2 (an?1 ? 3)(n ? 2) 2 (an ? 3)(n ? N )

1 ?an ? 1 3 an?1 (n ? 2),?a1 ? 1 ? 0?an ? 3n?1

? f (an ) ? f (
1)? ? f (3 n

1 ) ? f ( 1 ? 1 ? 1 ) ? f ( 2 )? f ( 1 )?2?3f ( 1 )?4 3n 3n 3n 3n 3n 3n 3n?1 1 f ( 1 ) ? 4 ,即 4 f (an?1 ) ? 1 n) ? 3 。 3 3 3 3n?1

f (a

4 1 4 4 1 4 4 4 4 1 ? f (an ) ? 1 3 f (an?1 ) ? 3 ? 32 f (an?2 ) ? 32 ? 3 ? ? ? 3n?1 f (a1 ) ? 3n?1 ? 3n?2 ? ?? 32 ? 3 ? 2 ? 3n?1

1 故 f ( an ) ? 2 ? n ?1 3

? f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (an ) ? 2n ? 1?31 即原式成立。 3
4 对于定义域为 ?0,1? 的函数 f ( x) ,如果同时满足以下三条:①对任意的 x ??0,1? ,总有

1?( 1 )n

f ( x) ? 0 ;② f ( 1 ) ? 1 ;③若 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 ,都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成
立,则称函数 f ( x) 为理想函数. (1) 若函数 f ( x) 为理想函数,求 f (0) 的值; (2)判断函数 g ( x) ? 2 ? 1 ( x ? [0,1]) 是否为理想函数,并予以证明;
x

(3) 若 函 数 f ( x) 为 理 想 函 数 ,

假 定 ? x0 ? ?0 , 1 ? , 使 得 f ( x0 )?? 0 ,?1, 且

f ( f ( x0 )) ? x0 ,求证 f ( x0 ) ? x0 .

解: (1)取 x1 ? x 2 ? 0 可得 f (0) ? f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0 . 又由条件① f (0) ? 0 ,故 f (0) ? 0 . (2)显然 g ( x) ? 2 x ? 1在[0,1]满足条件① g ( x) ? 0 ;也满足条件② g (1) ? 1 . 若 x1 ? 0 , x 2 ? 0 , x1 ? x 2 ? 1 ,则

g ( x1 ? x2 ) ? [ g ( x1 ) ? g ( x2 )] ? 2 x1 ? x2 ? 1 ? [(2 x1 ? 1) ? (2 x2 ? 1)] ? 2 x1 ? x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 1 ? (2 x2 ?1)(2 x1 ?1) ? 0 ,即满足条件③,
故 g ( x) 理想函数. (3)由条件③知,任给 m 、 n ? [0,1],当 m ? n 时,由 m ? n 知 n ? m ?[0,1],

? f (n) ? f (n ? m ? m) ? f (n ? m) ? f (m) ? f (m)
若 x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ? f [ f ( x0 )] ? x0 ,前后矛盾; 若 x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ? f [ f ( x0 )] ? x0 ,前后矛盾. 故 x0 ? f ( x0 ) 5 已知定义在 R 上的单调函数 f ( x) ,存在实数 x0 ,使得对于任意实数 x1 , x2 ,总有

f ( x0 x1 ? x0 x2 ) ? f (x0 ) ? f (x1 ) ? f (x2 ) 恒成立。
(Ⅰ)求 x0 的值; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ? 1 ,且对任意正整数 n ,有 an ? f (

1 ) ? 1 , ,求数列{an}的通项公式; 2n (Ⅲ)若数列{bn}满足 bn ? 2?og 1 an ? 1 ,将数列{bn}的项重新组合成新数列 ?cn ? ,具体法则
2

如下: c1 ? b1 , c2 ? b2 ? b3 , c3 ? b4 ? b5 ? b6 , c4 ? b7 ? b8 ? b9 ? b10 , ……,求证:

1 1 1 1 29 ? ? ??? ? 。 c1 c2 c3 cn 24
解:(Ⅰ)令 x1 ? x2 ? 0 ,得 f ( x0 ) ? ? f (0) ,① 令 x1 ? 1, x2 ? 0 ,得 f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? f (1) ? f (0) ,? f (1) ? ? f (0) ,②

由①、②得 f ( x0 ) ? f (1) ,又因为 f ( x) 为单调函数,? x0 ? 1 (Ⅱ)由(1)得 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f ( x1) ? f ( x 2) ?1 ,

1 1 1 1 f (1) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? f (1), 2 2 2 2 1 1 f ( ) ? 0, a1 ? f ( ) ? 1 ? 1 2 2 1 1 1 1 1 1 f ( n ) ? f ( n ?1 ? n ?1 ) ? f ( n ?1 ) ? f ( n ?1 ) ? f (1) ? 2 f ( n ?1 ) ? 1 , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 f ( n ?1 ) ? 1 ? [ f ( n ) ? 1], 2 2 2

1 ?1? an?1 ? an , an ? ? ? 2 ?2?

n ?1


n ?1

?1? bn ? 2?og 1 an ? 1 ? 2?og 1 ? ? 2 2 ?2?
[1+2+…+(n-1)]+1=

? 1 ? 2n ? 1

(Ⅲ)由{Cn}的构成法则可知,Cn 应等于{bn}中的 n 项之和,其第一项的项数为

(n ? 1)n (n ? 1)n +1,即这一项为 2×[ +1]-1=n(n-1)+1 2 2 n(1 ? 2n ? 1) 3 Cn=n(n-1)+1+n(n-1)+3+…+n(n-1)+2n-1=n2(n-1)+ =n 2 1 9 29 1? 3 ? ? 2 8 24 1 1 1 1 1 1 ? ? [ ? ] 当 n ? 3 时, 3 ? 2 2 n n?n n(n ? 1) 2 (n ? 1)n n(n ? 1)
?1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 3 ??? 3 ? 1? ? [ ? ??? ? ] 3 2 3 4 n 8 2 2 ? 3 3? 4 (n ? 1) ? n n ? (n ? 1)

1 1 1 1 1 1 29 ? 1? ? [ ? ] ? 1? ? ? 8 2 2 ? 3 n ? (n ? 1) 8 12 24
解法 2:? n3 ? 4n(n ?1) ? n(n ? 2)2 ? 0,?n3 ? 4n(n ?1)

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 3 n 4n(n ? 1) 4 n ? 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?1 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? 1 ? ? ( ? ? ? ? ? ) 2 3 4 n 8 4 2 3 n ?1 n 1 1 1 1 1 19 29 ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 8 16 4n 8 16 16 24

( ?? n ) fm () · fn ( ) 6. 设函数 f(x)定义在 R 上,对于任意实数 m、n,恒有 fm ,

且当 x>0 时,0<f(x)<1。 (1)求证:f(0)=1,且当 x<0 时,f(x)>1; (2)求证:f(x)在 R 上单调递减; (3)设集合 A , ? ( x , y ) |( f xf ) · ( y ) ? f ( 1 )
2 2

?

?

B ? ( x , y ) |( f a x ? y ? 2 ) ?? 1 , a R ,若 A ,求 a 的取值范围。 ∩ B?? ? ?
解: (1)令 m=1,n=0,得 f(1)= f(1) ·f(0) 又当 x>0 时,0< f(x)<1,所以 f(0)=1 设 x<0,则-x>0 令 m=x,n=-x,则 f(0)= f(x) ·f(-x) 所以 f(x) ·f(-x)=1 又 0< f(-x)<1,所以 f (x )?

1 ?1 f (? x )

(2)设 x ,且 x 、 x R x 0 1 ?x 2,则 x 2? 1? 1 2? 所以 0 ? fx ( ? x ) ? 1 2 1 从而 f ( x )( ? f x ? x ? x )( ? f x ? x ) · f ( x ) 2 212 21 1 又由已知条件及(1)的结论知 f(x)>0 恒成立 所以

f (x 2) ? f (x x ) 2? 1 f (x ) 1 f (x2 ) ?1 f (x1)

所以 0 ?

所以 f(x2)< f(x1) ,故 f(x)在 R 上是单调递减的。

(3)由

得: f( x? y)? f() 1
2 2

因为 f(x)在 R 上单调递减

所以 x ?y ?1 ,即 A 表示圆 x ?y ?1 的内部
2 2 2 2

由 f(ax-y+2)=1= f(0)得:ax-y+2=0 所以 B 表示直线 ax-y+2=0 所以 A ,所以直线与圆相切或相离,即 ∩ B??

2 1? a2

?1

解得: ? 3 ? a ?3 7.定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 a、b 都有 f(a+b)+ f(a-b)=2 f(a) ·f(b) 成立,且 f (0 ) ?0。 (1)求 f(0)的值; (2)试判断 f(x)的奇偶性; (3)若存在常数 c>0 使 f ( ) ? 0 ,试问 f(x)是否为周期函数?若是,指出它的一个 周期;若不是,请说明理由。 解: (1)令 a=b=0 则 f(0)+ f(0)=2 f(0) ·f(0) 所以 2 f(0) ·[f(0)-1]=0 又因为 f (0 ) ?0,所以 f(0)=1 (2)令 a=0,b=x,则 f(x)+ f(-x)=2 f(0) ·f(x) 由 f(0)=1 可得 f(-x)= f(x) 所以 f(x)是 R 上的偶函数。 (3)令 a?x? , b? ,则

c 2

c 2

c 2

c ? ? ? ? ? c ? c ?c ? c ?c ? ? ? f x ? ? ? f x ? ? ? 2 fx ? · f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 ? ? ? ? 22 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ?
因为 f ? ? ? 0

? c? ? 2?

所以 f(x+c)+ f(x)=0

所以 f(x+c)=- f(x) 所以 f(x+2c)=- f(x+c)= -[-f(x)]= f(x) 所以 f(x)是以 2c 为周期的周期函数。

) 立,且 8 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 对 于 任 意 x, y 都 有 f ( x? y) ? f ( x)? f ( y 成
f (1)? ? 2 ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 。
(1)判断 f(x)的奇偶性,并加以证明; (2)试问:当-2003≤ x ≤2003 时, f ( x ) 是否有最值?如果有,求出最值;如果没有, 说明理由; (3)解关于 x 的不等式

1 1 f (bx 2 ) ? f ( x) ? f (b 2 x) ? f (b) ,其中 b2 ? 2 . 2 2

分析与解:⑴令 x=y=0,可得 f(0)=0 令 y=-x,则 f(0)=f(-x)+f(x),∴f(-x)= -f(x),∴f(x)为奇函数 ⑵设-3≤x1<x2≤3,y=-x1,x=x2 则 f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1),因为 x>0 时,f(x)<0, 故 f(x2-x1)<0,即 f(x2)-f(x1)<0。 ∴f(x2)<f(x1)、f(x)在区间[-2003、2003]上单调递减 ∴ x= - 2003 时, f(x) 有最 大值 f( - 2003)= - f(2003)= - f(2002+1)= - [f(2002)+f(1)]= - [f(2001)+f(1)+f(1)]=…=-2003f(1)=4006。 x=2003 时,f(x)有最小值为 f(2003)= -4006。 ⑶由原不等式,得

1 [f(bx2) -f(b2x)]>f(x) -f(b)。 2

即 f(bx2)+f(-b2x)>2[f(x)+f(-b)] ∴f(bx2-b2x)>2 f(x-b),即 f[bx(x-b)]>f(x-b)+f(x-b) ∴f[bx(x-b)]>f[2 f(x-b)] 由 f(x)在 x∈R 上单调递减,所以 bx(x-b)<2(x-b),∴(x-b)(bx-2) <0 ∵b2≥2, ∴b≥ 2 或 b≤- 2

当 b> 2 时,b>

2 ? 2 ? ,不等式的解集为 ? x | ? x?b? b ? b ?
2? 2 ? ,不等式的解集为 ? x | x?b或x? ? b? b ?

当 b<- 2 时,b<

当 b=- 2 时,不等式的解集为 x | x ? ? 2 , 且x ? R 当 b= 2 时,不等式解集为φ 9.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:

?

?

(1)值域为 ? ?1,1? ,且当 x ? 0 时, ?1 ? f ? x ? ? 0 ; (2)对于定义域内任意的实数 x, y ,均满足: f ? m ? n ? ? 试回答下列问题: (Ⅰ)试求 f ? 0 ? 的值; (Ⅱ)判断并证明函数 f ? x ? 的单调性; (Ⅲ) 若函数 f ? x ? 存在反函数 g ? x ? , 求证:g ? ? ? g ?

f ? m? ? f ? n ? 1 ? f ? m? f ? n ?

?1? ? 5?

1 ?1? ? ? ?1? ? ?? ? g ? 2 ? ? g? ? . ? 11 ? ? n ? 3n ? 1 ? ? 2?
1 ? f ? m? f ? 0?

f ?m ? ?f n ? ? 中, 分析与解: (Ⅰ) 在 f ?m ? 令 m ? 0, n ? 0 , 则有 f ? m ? ? f ? m ? ? f ? 0 ? . 即: n ?? 1 ? f ?m ?f n ?

?

2 ? ? f ?m? ? ?1 ? f ? m ? f ? 0 ? ? ? ? f ? m ? ? f ? 0 ? .也即: f ? 0? ?? f ? m? ? ?1? ? 0 .

由于函数 f ? x ? 的值域为 ? ?1,1? ,所以, ? f ? m ?

? ?

?

2

? 1? ? 0 ,所以 f ? 0? ? 0 . ?

(Ⅱ)函数 f ? x ? 的单调性必然涉及到 f ? x ? ? f ? y ? ,于是,由已知

f ? m ? n? ?

f ? m? ? f ? n ? f ? m? ? f ? n ? , 我们可以联想到: 是否有 f ? m ? n ? ? ? (*) 1 ? f ? m? f ? n ? 1 ? f ? m? f ? n ?

这个问题实际上是: f ? ?n ? ? ? f ? n ? 是否成立? 为此,我们首先考虑函数 f ? x ? 的奇偶性,也即 f ? ? x ? 与f ? x ? 的关系.由于 f ? 0? ? 0 ,所 以, 在 f ? m ? n? ?

f ? m? ? f ? n ? 中, 令 n ? ?m , 得fm 所以, 函数 f ? x ? f m ? ? ?? ? ? ? 0. 1 ? f ? m? f ? n ?

为奇函数.故(*)式成立.所以, f ? m ? ? f ? n ? ? f ? m ? n ? ? ?1 ? f ? m ? f ? n ? ? ? .任取

x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则 x2 ? x1 ? 0 ,故 f ? x2 ? x1 ? ? 0 且 ?1 ? f ? x2 ? , f ? x1 ? ? 1 .所以,
f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? ? ?1 ? f ? x2 ? f ? x1 ? ? ? ? 0 ,所以,函数 f ? x ? 在 R 上单调递减.
(Ⅲ)由于函数 f ? x ? 在 R 上单调递减, 所以,函数 f ? x ? 必存在反函数 g ? x ? , 由原函数与反函数的关系可知: g ? x ? 也为奇函数; g ? x ? 在 ? ?1,1? 上单调递减;且当

?1 ? x ? 0 时, g ? x ? ? 0 .

为了证明本题,需要考虑 g ? x ? 的关系式. 在(*)式的两端,同时用 g 作用,得: m ? n ? g ? 令 f ? m? ? x, f ? n ? ? y , 则 m ?g ? x ?n , ? g y?

? f ? m? ? f ? n? ? ?, ?1 ? f ? m ? f ? n ? ?
? 1 ? xy ?

x? y ?. ? ,则上式可改写为:g ? x ? ? g ? y ? ? g ? ? ?

不难验证:对于任意的 x, y ? ? ?1,1? ,上式都成立. (根据一一对应) . 这样,我们就得到了 g ? x ? 的关系式. 这个式子给我们以提示:即可以将 法化简求证式的左端.

1 x? y 写成 的形式,则可通过裂项相消的方 n ? 3n ? 1 1 ? xy
2

1 1 ? n ? 1 n ? 2 1 1 ? ?? ? n ?1 n ? 2 ? ? ? 事实上,由于 2 , 1 n ? 3n ? 1 ? n ? 1?? n ? 2 ? ? 1 ? 1 ??? 1 ? 1? 1? ? ? ? ? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? n ?1? ? n ? 2 ?
所以, g ?

1

1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? g? ??g? ?. 2 ? n ? 3n ? 1 ? ? n ?1? ? n?2? 1 ?1? ? ? ? ??? g ? 2 ? ? 11 ? ? n ? 3n ? 1 ?

所以, g ? ? ? g ?

?1? ? 5?

? ?1? ? ? 1 ? ? 1 ?? ? ? 1 ? ? 1 ?? ? 1 ?? ? ? g ? ? ? g ? ?? ? ? g ? ? ? g ? ?? ? ? ? g ? ?? g? ?? ? 3 ?? ? ? 3 ? ? 4 ?? ? n ? 2 ?? ? ?2? ? ? n ?1 ? 1 ? ?1? ? 1 ? ?1? ? ?1? ? g? ?? g? ? ? g? ?? g?? ? ? g? ? ?2? ?n?2? ?2? ? n?2? ?2?
点评:一般来说,涉及函数奇偶性的问题,首先应该确定 f ? 0 ? 的值. 10. 定义在区间(0, ? )上的函 f(x)满足: (1)f(x)不恒为零; (2)对任何实数 x、q,都 有 f ( x ) ? qf ( x) .
q

(1)求证:方程 f(x)=0 有且只有一个实根; (2)若 a>b>c>1,且 a、b、c 成等差数列,求证: f (a) ? f (c) ? f (b) ;
2

(3) (本小题只理科做) 若 f(x) 单调递增, 且 m>n>0 时, 有 f (m) ? f (n) ? 2 f (

m?n ), 2

求证: 3 ? m ? 2 ? 2

解:(1)取 x=1,q=2,有 若 存 在 另 一 个 实 根 x0 ? 1 , 使 得 f (12 ) ? f (2)即f (1) ? 0?1是f ( x) ? 0的一个根,

f ( x1 ) ? 0对任意的 x1 ( x1 ? (0,??)成立,且 x1 ? x0 (q ? 0), 有f ( x1 ) ? qf ( x0 ) ? 0,
? f ( x0 ) ? 0恒成立, ? f(x1 ) ? 0, 与条件矛盾, ? f ( x) ? 0有且只有一个实根 x ?1
(2)? a ? b ? c ? 1, 不妨设a ? b 1 , c ? b 2 ,
q q

q

,则 q 1 ? 0, q2 ? 0 ∴ f (a) ? f (c) ? f (b 1 ) ? f (b 2 ) ? q1 q2 ? f 2 (b) ,又 a+c=2b,
q q

∴ac-b = ?
2

(a ? c) 2 ?0 4
q1 ? q2

即 ac<b ?b
2

?q ?q ? ? b ,?0 ? q1 ? q2 ? 2,? q2q1 ? ? 1 2 ? ? 1 ? f (a) f (c) ? f 2 (b) ? 2 ?
2

2

(3)

? f (1) ? 0, f ( x)在(0,??)单调递增,当 x ? (0,1)时f ( x) ? 0;当x ? (1,??)时,f ( x) ? 0.
又 f (m) ? f (n) ,? f (m) ? f (n), f (m) ? ? f (n),?m ? n ? 0,? f (m) ? ? f (n). 令 m=b 1 ,n= b
q

q2

,b ? 1, 且 q 1 q 2 ? 0
2

?m ? n? 则 f(m)+f(n)=(q 1 ?q 2 ) f(b)=f(mn)=0? m n ? 1.0 ? n ? 1 ? m,? f (m) ? 2 f ? ? ,且 ? 2 ? m ? 1, m?n m?n ? m n ? 1,? f (m) ? 2 f ( ),? f (m) ? 2 2
2 2, 2 2

2 ?? m ? n ? 2 ? ?m ? n? f ?? ? m ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ?? 2 ? ? ?

2 即 4m= m ? 2m n ? n ? 4m ? m ? 2 ? n ,由 0<n<1 得 0 ? 4m ? m ? 2 ? 1, ? m ? 1 ,

?3 ? m ? 2 ? 2
11. 设 f ( x) 是定义域在 [?1, 1] 上的奇函数,且其图象上任意两点连线的斜率均小于零. (l)求证 f ( x) 在 [?1, 1] 上是减函数; (ll)如果 f ( x ? c) , f ( x ? c ) 的定义域的交集为空集,求实数 c 的取值范围;
2 2 (lll)证明若 ? 1 ? c ? 2 ,则 f ( x ? c) , f ( x ? c ) 存在公共的定义域,并求这个公

共的空义域.

解: (1)∵奇函数 f ( x ) 的图像上任意两点连线的斜率均为负 ∴对于任意 x1、 x2 ? [?1 , 1] 且 x1 ? x 2 有

f (x1 ) ? f (x 2 ) ?0 x1 ? x 2
从而 x1 ? x2 与 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 异号

, 1] 上是减函数 ∴ f ( x ) 在 [?1
(2)

f ( x ? c) 的定义域为 [c ? 1, c ? 1]

f ( x ? c 2 ) 的定义域为 [c 2 ? 1, c 2 ? 1]
∵ 上述两个定义域的交集为空集 则有:

c2 ?1 ? c ?1 或 c2 ?1 ? c ?1

解得: c ? 2 或 c ? ?1 故 c 的取值范围为 c ? 2 或 c ? ?1 (3)∵

c 2 ? 1 ? c ? 1 恒成立

由(2)知:当 ? 1 ? c ? 2 时

c2 ?1 ? c ?1
当1 ? c ? 2 或 ? 1 ? c ? 0 时

c 2 ? 1 ? c ? 1且
2

c2 ?1 ? c ?1

此时的交集为 [(c ? 1, 当0 ? c ?1

c ? 1]

c2 ?1 ? c ?1 且

c2 ?1 ? c ?1

此时的交集为 [c ? 1,

c 2 ? 1]

故 ? 1 ? c ? 2 时,存在公共定义域,且
2 当 ? 1 ? c ? 0 或 1 ? c ? 2 时,公共定义域为 [(c ? 1,

c ? 1] ;

当 0 ? c ? 1 时,公共定义域为 [c ? 1,

c 2 ? 1] .

12.定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时 f(x)<0恒成立. (1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论; (2)证明f(x)为减函数;若函数f(x)在[-3,3)上总有f(x)≤6成立,试确定f(1)应满足的条件;

1 1 (3)解关于x的不等式 f (ax 2 ) ? f (x) ? f (a 2 x) ? f (a), (n是一个给定的自然数 , a ? 0) n n 解:(1)由已知对于任意x∈R,y∈R,f(x+y)=f(x)+ f(y)恒成立 令x=y=0,得f(0+0)= f(0)+ f(0) ,∴f(0)=0 令x=-y,得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0∴对于任意x,都有f(-x)= - f(x)∴f(x)是奇函数. (2)设任意x1,x2∈R且x1<x2,则x2-x1>0,由已知f(x2-x1)<0(1) 又f(x2-x1)= f(x2)+ f(-x1)= f(x2)- f(x1) ( 2) 由(1) (2)得f(x1)>f(x2),根据函数单调性的定义知f(x0在(-∞,+∞)上是减函数. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为f(-3).要使f(x)≤6恒成立,当且仅当f(-3)≤6, 又∵f(-3)= - f(3)= - f(2+1)=-[ f(2)+ f(1)]= -[ f(1)+ f(1)+ f(1)]= -3 f(1) , ∴f(1)≥-2. 1 1 (3) f(ax2)- f(x)> f(a2x)- f(a) n n

? f(ax2)- f(a2x)>n[f(x)- f(a)] ? f(ax2-a2x)>nf(x-a) (10分)
由已知得:f[n(x-a)]=nf(x-a) ∴f(ax2-a2x)>f[n(x-a)] ∵f(x)在(-∞,+∞)上是减函数 ∴ax2-a2x<n(x-a).即(x-a) (ax-n)<0, ∵a<0,

n )>0, (11分) a n 讨论: (1)当a< <0,即a<- n 时, a n 原不等式解集为{x | x> 或x<a}; a n (2)当a= <0即a=- n 时,原不等式的解集为φ ; a n (3)当 <a<0时,即- n <a<0时, a n 原不等式的解集为{x | x>a或x< } a
∴(x-a) (x-


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