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【成才之路】2014高中数学 3-1-2 用二分法求方程的近似解能力强化提升 新人教A版必修1

时间:2013-06-27


【成才之路】 2014 高中数学 3-1-2 用二分法求方程的近似解能 力强化提升 新人教 A 版必修 1
一、选择题 1.如下四个函数的图象,适合用二分法求零点的是( )

[答案] D [解析] 选项 A,B 不符合在零点两边函数值符号相异,不适宜用二分法求解;选项 C 中,零点左侧没有函数值,无法确定初始区间,只有 D 中的零点满足图象连续不断

且符号 相异,能用二分法.故选 D. 2.在用二分法求函数 f(x)在区间(a,b)上的唯一零点 x0 的过程中,取区间(a,b)上的 中点 c=

a+b
2

,若 f(c)=0,则函数 f(x)在区间(a,b)上的唯一零点 x0(

)

A.在区间(a,c)内 B.在区间(c,b)内 C.在区间(a,c)或(c,d)内 D.等于

a+ b
2

[答案] D 3.已知函数 y=f(x)的图象是连续不间断的,x,f(x)对应值表如下:

x f(x)

1 12.04

2 13.89

3 -7.67 )

4 10.89

5 -34.76

6 -44.67

则函数 y=f(x)存在零点的区间有( A.区间[1,2]和[2,3] B.区间[2,3]和[3,4] C.区间[2,3]和[3,4]和[4,5] D.区间[3,4]和[4,5]和[5,6] [答案] C

4.f(x)=x -15,下列结论中正确的有(

4

)
1

①f(x)=0 在(1,2)内有一实根;②f(x)=0 在(-2,-1)内有一实根;③没有大于 2 的零点;④f(x)=0 没有小于-2 的根;⑤f(x)=0 有四个实根. A.2 个 C.4 个 [答案] C 5.某方程在区间(2,4)内有一实根,若用二分法求此根的近似值,将此区间分( 次后,所得近似值的精确度可达到 0.1( A.2 C.4 [答案] D [解析] 等分 1 次,区间长度为 1,等分 2 次,区间长度变为 0.5,?,等分 4 次,区 间长度变为 0.125,等分 5 次,区间长度为 0.0625<0.1,符合题意,故选 D. 6.用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b| <ε (ε 为精确度)时,函数零点近似值 x0= A. ε 4 ) B.3 D.5 ) B.3 个 D.5 个

a+b
2

与真实零点的误差最大不超过( B. ε 2

)

C.ε [答案] B

D.2ε

[解析] 真实零点离近似值 x0 最远即靠近 a 或 b,而 b- ε 因此误差最大不超过 . 2

a+b a+b
2 = 2

-a=

b-a ε
2

= , 2

7.若函数 f(x)的零点与 g(x)=4 +2x-2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,则 f(x) 可以是( ) B.f(x)=(x-1)
2

x

A.f(x)=4x-1 C.f(x)=e -1 [答案] A
x

1 D.f(x)=ln(x- ) 2

1 2 x [解析] f(x)=4x-1 的零点为 , (x)=(x-1) 的零点为 1, (x)=e -1 的零点为 0, f f 4

f(x)=ln(x- )的零点为 .现在我们来估算 g(x)=4x+2x-2 的零点 x0,因为 g(0)=-1, g( )=1,所以 g(x)的零点,x0∈(0, ).又函数 f(x)的零点与 g(x)=4x+2x-2 的零点之
差的绝对值不超过 0.25,只有 f(x)=4x-1 的零点适合. 1 2 1 2

1 2

3 2

2

8.某农贸市场出售的西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少, 具体调查结果如下两表: 市场供给表 单价 (元/kg) 供给量 (1000kg) 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4

50

60

70

75

80

90

单价 (元/kg)

4

3.4

2.9

2.6

2.3

2

需求量(1000kg)

50

60

65

70

75

80 )

据以上提供的信息, 市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间( A.(2,3,2.6) C.(2,6,2.8) [答案] C B.(2,4,2.6) D.(2,4,2.8)

[解析] 供给量为 70 时单价为 2.8 元/kg,需求量为 70 时,单价为 2.6 元/kg,从市场 供给表和需求表观察,市场供需平衡点应在区间(2.6,2.8).故选 C. 二、填空题 9.若函数 f(x)=x +x -2x-2 的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下表:
3 2

f(1)=-2 f(1.375)≈
-0.260
3 2

f(1.5)=0.625 f(1.4375)≈
0.162

f(1.25)≈-0.984 f(1.46025)≈
-0.054

那么方程 x +x -2x-2=0 的一个近似的正数根(精确度 0.1)为________. [答案] 1.4375(或 1.375) [解析] 由 于 精 确 度 是 0.1 , 而 |1.4375 - 1.375| = 0.0625<0.1 , 故 取 区 间

(1.375,1.4375)端点值 1.375 或 1.4375 作为方程近似解. 10.已知二次函数 f(x)=x -x-6 在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线,且 f(1) =-6<0,f(4)=6>0,由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点,用二分法求解时,取 (1,4)的中点 a,则 f(a)=________. [答案] -2.25 [解析] 由(1,4)的中点为 2.5,得 f(2.5)=2.5 -2.5-6=-2.25. 11.用二分法求方程 x -2x-5=0 在区间[2,3]内的实数根时,取区间中点 x0=2.5,
3 2 2

3

那么下一个有根区间是______________. [答案] (2,2.5) [解析] ∵f(2)<0,f(2.5)>0,∴下一个有根区间是(2,2.5). 12. 用二分法求方程 f(x)=0 在[0,1]内的近似解时, 经计算, (0.625)<0, (0.75)>0, f f

f(0.687 5)<0,即可得出方程的一个近似解为________(精确度 0.1).
[答案] 0.75(答案不唯一) [解析] 因为|0.75-0.6875|=0.0625<0.1,所以区间[0.6875,0.75]内的任何一个值 都可作为方程的近似解. 三、解答题 13. 已知图象连续不断的函数 y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点, 如果用“二分法” 求这个零点(精确度 0.01)的近似值,求区间(0,0.1)等分的至少次数. 0.1 n [解析] 依题意 n <0.01,得 2 >10.故 n 的最小值为 4. 2 14.求证:方程 x -3x+1=0 的根一个在区间(-2,-1)内,一个在区间(0,1)内,另 一个在区间(1,2)内. [解析] 证明:令 F(x)=x -3x+1,它的图象一定是连续的, 又 F(-2)=-8+6+1=-1<0,F(-1)=-1+3+1=3>0, ∴方程 x -3x+1=0 的一根在区间(-2,-1)内. 同理可以验证 F(0)F(1)=1×(-1)=-1<0,
3 3 3

F(1)F(2)=(-1)×3=-3<0,
∴方程的另两根分别在(0,1)和(1,2)内. 15.求方程 2x +3x-3=0 的一个近似解(精确度 0.1). [解析] 设 f(x)=2x +3x-3,经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,所以函数在(0,1) 内存在零点,即方程 2x +3x-3=0 在(0,1)内有实数根. 取(0,1)的中点 0.5,经计算 f(0.5)<0,又 f(1)>0,所以方程 2x +3x-3=0 在(0.5,1) 内有实数根. 如此继续下去,得到方程的一个实数根所在的区间,如下表: (a,b) (0,1) (0.5,1) (0.5,0.75) (0.625,0.75) (a,b) 的 中点 0.5 0.75 0.625 0.6875
3 3 3 3

f(a) f(0)<0 f(0.5)<0 f(0.5)<0 f(0.625)<0
3

f(b) f(1)>0 f(1)>0 f(0.75)>0 f(0.75)>0

f(

a+b
2

)

f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0 f(0.6875)<0

因为|0.6875-0.75|=0.0625<0.1, 所以方程 2x +3x-3=0 的一个精确度为 0.1 的近

4

似解可取为 0.75. 16.方程 x +x-3=0 有多少个实数解?你能证明自己的结论吗?如果方程有解,请求 出它的近似解(精确到 0.1). [解析] 考查函数 f(x)=x +x-3, ∵f(1)=-1<0,f(2)=31>0, ∴函数 f(x)=x +x-3 在区间(1,2)有一个零点 x0. ∵函数 f(x)=x +x-3 在(-∞,+∞)上是增函数(证明略), ∴方程 x +x-3=0 在区间(1,2)内有唯一的实数解. 取区间(1,2)的 中点 x1=1.5,用计算器算得 f(1.5)≈6.09>0,∴x0∈(1,1.5). 同理, 可得 x0∈(1,1.25), 0∈(1.125,1.25), 0∈(1.125, x x 1.1875), 0∈(1.125,1.156 x 25),x0∈(1.125,1.1406 25). 由于|1.1406 25-1.125|<0.1,此时区间(1.125,1.1406 25)的两个端点精确到 0.1 的近似值都是 1.1.
5 5 5 5 5

5


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