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二面角的基本求法例题及练习


一、平面与平面的垂直关系 1.判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 例 1.在空间四边形 ABCD 中,AB=CB,AD=CD,E、F、G 分别是 AD、DC、CA 的中点。 求证: 平面BEF ^ 平面BDG 。
A
A

F E
D

E G

B

r />
D

F

C

B

C

例 2. AB ^ 平面BCD,BC = CD , ? BCD 求证: 平面BEF ^ 平面ABC 。

90° ,E、F 分别是 AC、AD 的中点。

2.性质定理:若两个平面互相垂直,则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 例 3.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.。
D1 C1 A1 B1

二、二面角的基本求法 1.定义法:在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直。 例 4.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,
D A C B

D1 B1

C1

求(1)二面角 A - B1C - A1 的大小; (2)平面 A1 DC1 与平面 ADD1 A1 所成角的正切值。

A1

D

C B

练习:过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA ^ 平面ABCD ,设 PA=AB= a , 求二面角 B P

A

PC - D 的大小。

D

C

A D

B

C
A B

G

E

2.三垂线法
1

例 5. 平面ABCD ^ 平面ABEF,ABCD 是正方形,ABEF 是矩形且 AF=

1 AD= a ,G 是 EF 的中点, 2

(1)求证: 平面AGC ^ 平面BGC ; (2)求 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值; (3)求二面角 B - AC - G 的大小。 例 6.点 P 在平面 ABC 外, ? ABC 是等腰直角三角形, ? ABC (1)求证: 平面PA B ^ 平面A B C ;
P

90° , ? PAB 是正三角形, PA ^ BC 。

(2)求二面角 P - AC - B 的大小。

A

B

C

练习:正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,P 是 AD 的中点,求二面角 A - BD1 - P 的大小。
C1 B1 D1 A1
S

C D P A

B

A

C

3.垂面法 例 7. SA ^ 平面ABC,AB ^ BC,SA = AB = BC , (1)求证: SB ^ BC ; (2)求二面角 C - SA - B 的大小; (3)求异面直线 SC 与 AB 所成角的余弦值。

B

P

A D

4.无棱二面角的处理方法 (1)找棱

B

C

例 8.过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA ^ 平面ABCD ,设 PA=AB= a , 求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的大小。

2

(2)射影面积法( cos q =

s射影 S



例 9.正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,P 是棱 AA1 的中点, 求平面 PB1C1 与平面 ABCD 所成二面角的大小。

角,PA 地 M 成 30° 1、A、B 是二面角 M—a—N 的棱 a 上两点,P 是 N 内一点,PB^a 与 B,PA 与 a 成 45° 角,则二面角 M—a—N 的度数是 A、 30° B、45° C、60° D、75°

2、正四面体相邻两面所成二面角为 a,则有 A、cosa=1/3 B、sina=1/3 C、cosa= EQ R(,3) /3 D、sina= EQ R(,3) /3

3、已知两两垂直的三射线 OA、OB、OC 交平面 a 于 A、B、C 若 OA=1,OB=2,OC=3,则 a 与平面 OAB 所成角的余弦值是

A、2/7

B、3/7

C、6/7

D、不同于 A、B、C

4、两二面角的两个半平面分别垂直,则这两个二面角的平面 A、相等 B、互补 C、相等或互补 D、不确定

和 的角,则平面 ABC 与 a 所成的角为________ 5、RtDABC 斜边 AB 在平面 a 内,AC、BC 与 a 成 45° 30° _

6、以正方形 ABCD 的对角线 BD 为棱折成直二面角,连结 AC,则二面角 A—CD—B 的大小为________ 7、正三棱锥的一个侧面积与底面积之比为 2/3,则侧面与底面所成的二面角为________ 8、三棱锥 P—ABC 的底面 ABC 是以 AC 为斜边的 RtD,且顶点 P 在面 ABC 内的射影是 DABC 的外心,若 P A=AB=1,BC= EQ R(,2) ,则面 PAB 与面 ABC 所成的二面角为_______ 9、二面角 a—L—b 内一点 P 到两个面的距离分别为 EQ R(,2) , EQ R(,3) 到棱的距离为 2,求此二面角的 大小
3

10、四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形,AB//CD,AB^BC 且 AB= EQ F(1,2) CD,侧棱 PB^面 ABCD,PC=5,BC=3,SDPAB=6。求平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的大小 11.如图,PC⊥平面 ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角 B-PA-C 的平面角的正切值.

12.过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA⊥平面 ABCD,设 PA=AB=a 求(1)二面角 B-PC-D 的大小; (2)平面 PAB 和平面 PCD 所成二面角的大小.
13、如图,Δ ABC 中,∠A=90°,AB=4,AC=3,平面 ABC 外一点 P 在平面 ABC 内的射影是 AB 中点 M, 二面角 P—AC—B 的大小为 45°。求(1)二面角 P—BC—A 的大小; (2)二面角 C—PB—A 的大小

P

B D 14、正三角形 ABC 的边长为 10,A∈平面α ,

A M

C

B、C 在平面α 的同侧,且与α 的距离分别是 4 和 2,求平面 ABC 与α 所成的角的正弦值。

15、如图,设 M 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点,求平面 BMD1 与
A1

D1 B1 H D

C1

M C

底面 ABCD 所成的 二面角的大小。
A

B

4


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