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2014年高考理科数学试题分类汇编


2014 年高考数学试题汇编 三角函数
一.选择题 1. (2014 大纲)设 a ? sin 33?, b ? cos55?, c ? tan 35?, 则 ( A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? b ? a
6



D. c ? a ? b 【答案】C. )

2

. (2014 陕西)函数 f ( x) ? cos(2 x ? ? ) 的最小正周期是(

A.

? 2

B.?

C .2?

D.4? 【答案】 B

【解析】?T = 2π = 2π = π,∴选B
|ω | 2

3、(2014 四川)为了得到函数 y ? sin(2 x ? 1) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上所有的点 ( )

1 个单位长度 2 C、向左平行移动 1个单位长度
A、向左平行移动

1 个单位长度 2 D、向右平行移动 2 个单位长度【答案】A
B、向右平行移动

1 1 【解析】? sin( 2 x + 1) = sin 2( x + ) ∴ 把y = sin( 2 x)左移动 得到 y = sin( 2 x + 1).选A 2 2

4. (2014 辽宁)将函数 y ? 3sin(2 x ? ? ) 的图象向右平移 ? 个单位长度,所得图象对应的函数
3

2




12 12

A.在区间 [ ? , 7? ] 上单调递减 B.在区间 [ ? , 7? ] 上单调递增
12 12
6 3

C.在区间 [? ? , ? ] 上单调递减 D.在区间 [? ? , ? ] 上单调递增【答案】B
6 3

π π π π π π π 把y = 3 sin(2 x + ) = 3 sin 2( x + )的周期T = π,一个增区间为 [- - , - ];右移 后, 3 6 4 6 4 6 2 【解析】 π π π π π π π 7π 增区间为 [ - - , + - ] = [ , ].选B. 2 4 6 2 4 6 12 12
2 5. (2014 新课标 II)设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x .若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ?m , m 2

则 m 的取值范围是(



A. ? ??, ?6? ? ? 6, ?? B. ? ??, ?4? ? ? 4, ?? C. ? ??, ?2? ? ? 2, ?? D. ? ??, ?1? ? ?4, ? ?
? f ( x) = 3 sin πx |m| 的极值为± 3,即[ f ( x0 )]2 = 3, | x0 |≤ , m 2 m2 m2 2 ∴ x0 + [ f ( x0 )]2 ≥ + 3, ∴ + 3 < m 2 , 解得 | m |> 2.故选C. 4 4

【答案】

C

6 (2014 浙江) 为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图像, 可以将函数 y ? 2 sin 3x 的图像 ( A.向右平移



? ? ? ? 个单位 B.向左平移 个单位 C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位 D 4 4 12 12

8(2014 新课标 I)设 ? ? (0, ? ) , ? ? (0, ? ) ,且 tan ? ? 1 ? sin ? ,则 2 2 cos ?

A . 3? ? ? ? ?

2

B . 2? ? ? ? ?

2

C . 3? ? ? ? ?

2

D . 2? ? ? ? ? 【答案】 :B
2

【解析】 :∵ tan ? ? sin ? ? 1 ? sin ? ,∴ sin ? cos ? ? cos ? ? cos ? sin ? cos ? cos ?
? ?? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? ∴ ? ? ? ? ? ? ,即 2? ? ? ? ,选 B 2 2 2 2 2 2 2 ? ?

9. (2014 新课标 II)钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=(

2

)

A. 5
? S ΔABC =

B.

5

C. 2

D. 1

【答案】B

1 1 1 2 ac sin B = ? 2 ? 1? sin B = ∴ sin B = , 2 2 2 2 π 3π π ∴ B = , 或 .当B = 时,经计算ΔABC为等腰直角三角形,不 符合题意,舍去。 4 4 4 3π ∴ B = ,使用余弦定理, b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B, 解得b = 5.故选B. 4

1. (2014 大纲)若函数 f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 在区间 ( 是 . 【答案】 ? ??,2? .

? ? , ) 是减函数,则 a 的取值范围 6 2

2. (2014 江苏) 已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? ) (0≤ ? ? ? ),它们的图象有一个横坐标为 的交点,则 ? 的值是 .

?
3

3. (2014 上海)设常数 a 使方程 sin x ? 3 cos x ? a 在闭区间[0,2 ? ]上恰有三个解 x1 , x2 , x3 ,则
x1 ? x2 ? x3 ?

。 【答案】

7π 3

π sin x + 3 cos x = 2 sin(x + ) = a, x ∈[0,2π] 3 【解析】 ? 2 sin x = a, 当x ∈[0,2π]时有3根,则x1 = 0, x2 = π, x2 = 2π,x1 + x2 = x2 = 3π π π 7π 当2 sin(x + ) = a, x ∈[0,2π]时,x1 = 0,x2 = ,x3 = 2πx2 ∴ x1 + x2 = x2 = 3 3 3

5. (2014 北京) 设函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ,A ? 0, ? ? 0 , 若 f ( x) 在区间 [ ? , ? ] 上具有单调性,
6 2

?? ? 2? ? ?? ? 且 f? ? ?? f? ? ? ? f ? ? ,则 f ( x ) 的最小正周期为________.
?2? ? 3 ? ?6?

π 7(2014 上海)函数 y ? 1 ? 2 cos2 (2x)的最小正周期是_______ . 【答案】 2
【解析】? y = 1 - 2 cos 2 (2 x) = - cos 4 x ∴ 周期 T = 2π = π
4 2

8. (2014 新课标 II)函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值为_______. 【答案】 1
? f ( x) = sin(x + 2φ) - 2 sin φ cos(x + φ) = sin(x + φ) ? cosφ + cos(x + φ) ? sin φ - 2 sin φ cos(x + φ) = sin(x + φ) ? cosφ - cos(x + φ) ? sin φ = sin x ≤ 1.∴ 最大值为 1.

9. (2014 江苏) 若△ ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2 sin C ,则 cos C 的最小值是

.

10、 (2014 福建)在 ?ABC 中, A ? 60?, AC ? 2, BC ? 3 ,则 ?ABC 等于_________.2 3 13. (2014 新课标 I)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2,且
(2 ? b)(sin A ? sin B) ? ( c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为

. 【答案】 : 3

【解析】 :由 a ? 2 且 (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,即 (a ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,
2 2 2 由及正弦定理得: (a ? b)(a ? b) ? (c ? b)c ∴ b2 ? c2 ? a2 ? bc ,故 cos A ? b ? c ? a ? 1 ,∴

2bc

2

?A ? 600 ,∴ b2 ? c2 ? 4 ? bc 4 ? b2 ? c2 ? bc ? bc ,∴ S ?ABC ? 1 bc sin A ? 3 ,
2

14 (2014 天津)在 D ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c .已知 b - c = 1 a , 4
2sin B = 3sin C ,则 cos A 的值为_______.

解:-

1 4

因为 2sin B = 3sin C ,所以 2b = 3c ,解得 b = 3c ,a = 2c .所以 cos A =
2

b2 + c 2 - a 2 1 =- . 2bc 4

三.解答题 2. (2014 湖北)(本小题满分 11 分) 某实验室一天的温度(单位: )随时间 (单位:h)的变化近似满足函数关系:

(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差; (Ⅱ)若要求实验室温度不高于 ,则在哪段时间实验室需要降温? (Ⅰ)因为 f (t ) ? 10 ? 2( 3 cos ? t ? 1 sin ? t ) =10 ? 2 sin( ? t ? ? ) ,
2 12 2

由 0≤t<24,所以 ? 当 t=2 时, sin( ?
12 t?

7? ? t? ? 3 12 3 3

?

?

, ? 1 ? sin( ?
12

12

12

3

?
3

) ?1

;当 t=14 时, sin(

t? 12 3 ? ?
t? 3

?

) ?1.

) ? ?1

.

于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12℃,最低温度为 8℃,最大温差为 4℃. (Ⅱ)依题意,当 f(t)>11 时,实验室需要降温. 由(Ⅰ)得 f (t ) ? 10 ? 2 sin( ? 又 0≤t<24,因此 7?
6 ?

12

t?
?
3

?
3

) ,故有10 ? 2 sin(
11? 6

?
12

t?

?
3

) >11,即 sin(

?
12

t?

?
3

) <? 1 .
2

?
12

t?

?

,即 10<t<18.在 10 时至 18 时实验室需要降温.

3. (2014 江苏) (本小题满分 14 分) 已知 ? ? ( ? , ? ) , sin ? ? 5 . (1)求 sin( ? ? ) 的值; (2)求 cos(5?
6

2 ?
4

5

? 2? ) 的值.

7、(2014 广东)(12 分)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? ), x ? R ,且 f ( 5 ? ) ? 3 ,
4
12 2

(1)求 A 的值; (2)若 f (? ) ?
解 : (1) f (

f (?? ) ?

3 , ? ? (0, ? ) ,求 3 f ( ? ??) . 2 4 2

5? 5? ? 2? 3 3 2 ) ? A sin( ? ) ? A sin ? ,? A ? ? ? 3. 12 12 4 3 2 2 3

(2)由(1)得 : f ( x) ? 3 sin( x ? ), 4

?

? f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ? ) ? 3 sin(?? ? ) 4 4 ? 3 (sin ? cos

?

?

? cos ? sin ) ? 3 (sin(?? ) cos ? cos( ?? ) sin ) 4 4 4 ? 3 ? 2 3 cos ? sin ? 6 cos ? ? 4 2 6 ? 10 ? cos ? ? , ? ? (0, ),? sin ? ? 4 2 4 3? 3? ? 10 30 ? f ( ? ? ) ? 3 sin( ? ? ? ) ? 3 sin(? ? ? ) ? 3 sin ? ? 3 ? ? . 4 4 4 4 4 4

?

?

?

?

8、(2014 四川) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(3x ? ? )
4

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ )若 ? 是第二象限角, f (? ) ? 4 cos(? ? ? ) cos 2? ,求
3 5 4

cos? ? sin ? 的值。
【解析】 (Ⅰ)
π π π π 2kπ π 2kπ π ? f ( x) = sin(3x + ) ∴单调递增区间是 2kπ - ≤3x + ≤2kπ + ,解得 - ≤x ≤ + . 4 2 4 2 3 4 3 12 2kπ π 2kπ π 所以,单调递增区间是 [ - , + ], k ∈ Z 3 4 3 12
π α 4 π ? f ( x) = sin(3x + ), α在第二象限∴ cosα - sin α < 0 ? f ( ) = cos(α + ) cos 2α 4 3 5 4 π 2 4 2 即sin(α + ) = (sin α + cosαo= ? (cosα - sin α)(cos2 α - sin 2 α) (Ⅱ ) 4 2 5 2 ∴ 5(sin α + cosα) = 4(cosα - sin α)2 (sin α + cosα) 当 sin α + cosα = 0时, sin α = -cosα = 所以,cosα - sin α = - 2,或 5 2 2 5 ,cosα - sin α = - 2;当sin α + cosα ≠ 0时, cosα - sin α = 2 2

11. (2014 浙江) (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已 知 a ? b, c ? 3 , cos2 A - cos2 B ? 3sin A cos A - 3sin B cos B. (I)求角 C 的大小; (II)若 sin A ?

4 ,求 ?ABC 的面积. 5
2 2

(I)由题意得, 1 ? cos 2 A ? 1 ? cos 2B ? 3 sin 2 A ? 3 sin 2 B ,即
2 2

? ? 3 1 3 1 sin 2 A ? cos 2 A ? sin 2 B ? cos 2 B , sin(2 A ? ) ? sin(2 B ? ) ,由 a 6 6 2 2 2 2

? b 得, A ? B ,又

A ? B ? ? 0, ? ? ,得 2 A ?

?
6

? 2B ?

?
6

? ? ,即 A ? B ? 2? ,所以 C ? ? ;
3
3

8 (II)由 c ? 3 , sin A ? 4 , a ? c 得 a ? ,由 a ? c ,得 A ? C ,从而 cos A ? 3 ,故
5
sin A sin C

5

5

sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C ?

4 ? 3 3 ,所以 ?ABC 的面积为 1 8 3 ? 18 . S ? ac sin B ? 10 2 25

12. (2014 北京)(本小题 13 分)

? 如图, 在 ?ABC 中, 点 D 在 BC 边上, 且 CD ? 2, cos ?ADC ? 1(1) 求 sin ?BAD ?B ? , AB ? 8 ,
3
7

(2)求 BD, AC 的长 解: (I)在 ?ADC 中,因为 COS ?ADC ? 1 ,所以 sin ?ADC ? 4 3 。所以
7

7

sin ?BAD ? sin(?ADC ? ?B) ? sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B = 4 3 ? 1 ? 1 ? 3 ? 3 3 。
7 2 7 2 14

(Ⅱ)在 ?ABD 中,由正弦定理得

3 3 8? AB ? sin ?BAD 14 ? 3 , BD ? ? sin ?ADB 4 3 7

在 ?ABC 中, 由余弦定理得 AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos B ? 82 ? 52 ? 2 ? 8 ? 5 ? 1 ? 49 所以
2

AC ? 7
13. (2014 辽宁) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边 a,b,c,且 a ? c ,已知 BA ? BC ? 2 , cos B ? 1 , b ? 3 ,
3

求: (1)a 和 c 的值; (2) cos( B ? C ) 的值. 【解析】

1 ac a 2 + c2 - b2 ? cos B = , b = 3 , BA ? BC = ca cos B = = 2 ,且 cos B = ∴ ac = 6, a + c = 5 (1) 3 3 2ac ? a > c ∴ 解得a = 3, c = 2.所以,a = 3, c = 2
1 2 2 a 2 + b2 - c2 7 4 2 ? cos B = ∴sin B = ? a = 3, b = 3, c = 2, cosC = = , sin C = 3 3 2ab 9 9 (2) 23 23 ∴cos(B - C ) = cos B cosC + sin B sin C = .所以, cos(B - C ) = 27 27

14. (2014 陕西)(本小题满分 12 分)

?ABC 的内角 A, b, c. B, C 所对的边分别为 a,

b, c 成等差数列,证明: sin A ? sin C ? 2 sin? A ? C ? ; (I)若 a , b, c 成等比数列,求 cos B 的最小值. (II)若 a ,
【解析】 (1)

? a, b, c成等差, ∴ 2b ? a ? c,即2sinB ? sinA ? sinC. ? sinB ? sin(A ? C),∴.sinA ? sinC ? 2sin(A ? C)

a 2 + c 2 - b 2 2ac - b 2 2ac - ac 1 ? a, b, c成等比, ∴ b 2 = ac.又cosB= ≥ = = 2ac 2ac 2ac 2 (2) 1 仅当a = c = b时,cosB取最小值 , 这时三角形为正三角形 . 2 16(2014 安徽)(本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B.
?? (Ⅰ)求 a 的值;(Ⅱ)求 sin ? ? A ? ? 的值.
? 4?

(Ⅰ)因为 A ? 2 B ,所以 sin A ? sin 2 B ? 2 sin B cos B .
2 2 2 2 由正、 余弦定理得 a ? 2b ? a ? c ? b . 因为 b ? 3 ,c ? 1 , 所以 a ? 12 ,a ? 2 3 . 2ac
2 2 2 (Ⅱ)由余弦定理得 cos A ? b ? c ? a ? 9 ? 1 ? 12 ? ? 1 .

2bc

6

3

由于 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 1 ? cos2 A ? 1 ? 1 ? 2 2 .
9 3

故 sin( A ? ? ) ? sin A cos ? ? cos A sin ? ? 2 2 ? 2 ? (? 1 ) ? 2 ? 4 ? 2 4 4 4 3 2 3 2 6


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