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第一讲等差等比数列


第一讲

等差数列、等比数列

一、等差数列 1.定义:an+1-an=d(常数)(n∈N*). 2.通项公式:an=a1+(n-1)d,an=am+(n-m)d. n?n-1?d n?a1+an? 3.前 n 项和公式:Sn=na1+ = . 2 2 a+b 4.a、b 的等差中项 A= 2
证明{an}为等差数列的方法: (1

)用定义证明:an-an-1=d(d 为常数,n≥2)?{an}为等差数列; (2)用等差中项证明:2an+1=an+an+2?{an}为等差数列; (3)通项法:an 为 n 的一次函数?{an}为等差数列; n?a1+an? (4)前 n 项和法:Sn=An2+Bn 或 Sn= . 2

二、等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项和. (1)若 m、n、p、q、k 是正整数,且 m+n=p+q=2k,则 am+an=ap+aq= 2ak. (2)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等差数列,公差为 kd. (3)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,也是等差数列. 等差数列的性质推广:

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am-an =d(m≠n),其 m-n 几何意义是点(n,an),(m,am)所在直线的斜率等于等差数列的公差. (2)和的性质:在等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,则 ①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1) ②S2n-1=(2n-1)an. n ③n 为偶数时,S 偶-S 奇=2d;n 为奇数时,S 奇-S 偶=a 中. (1)项的性质:在等差数列{an}中,am-an=(m-n)d?
等差数列的单调性 单调递增 单调递减 常数数列 d>0 d<0 d=0 当 a1 ? 0 时, Sn 有最小值 当 a1 ? 0 时, Sn 有最大值

三、等比数列

证明{an}是等比数列的两种常用方法 an (1)定义法:若 =q(q 为非零常数且 n≥2 且 n∈N*),则{an}是等比数列. an-1 2 (2)中项公式法:在数列{an}中,an≠0 且 an an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列. +1=an·

四、等比数列的性质 2 1.对任意的正整数 m、n、p、q,若 m+n=p+q=2k,则 am· an=ap· aq=ak . n -m * 2.通项公式的推广:an=amq (m,n∈N ) 3.公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列,其公比为 qn;当公比为-1 时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 不一定构成 等比数列. ?1? 2 4.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},?a ?,{an },{an· bn}, ? n? ?an? ? ?(λ≠0)仍是等比数列. ?bn?
等比数列的单调性 单调递增 单调递减 a1>0, q>1 或者 a1<0,0<q<1 a1>0,0<q<1 或者 a1<0, q>1
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常数数列 摆动数列

a1≠0,q=1 q<0

基础自测 2 1 1.(2013· 课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn=3an+3,则{an}的通项 公式是 an=________. 2 . (2013· 广东高考 ) 在等差数列 {an} 中,已知 a3 + a8 = 10 ,则 3a5 + a7 = ________. 3. [2014· 江苏卷] 在各项均为正数的等比数列{an}中, 若 a2=1, a8=a6+2a4, 则 a6 的值是________.

考点一

等差、等比数列的基本运算

例 1、[2014· 重庆卷] 在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=( ) A.5 B.8 C.10 D.1 2、 (2013 新课标全国Ⅱ)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3 = a2 + 10a1 ,a5=9,则 a1=( 1 A.3 1 B.-3 ) 1 C.9 1 D.-9

跟踪练习 1. (2013 安徽)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S8=4a3,a7 =-2,则 a9=( A.-6 ) B.-4 C.-2 D.2

2.[2014· 福建卷] 在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求 an; (2)设 bn=log3an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

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考点二 等差、等比数列的性质
例 1.(2012· 辽宁高考)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=( ) A.58 B.88 C.143 D.176 2. [2014· 广东卷] 等比数列{an}的各项均为正数, 且 a1a5=4, 则 log2a1+log2a2 +log2a3+log2a4+log2a5=________. 变式练习 1、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知前 6 项和为 36,最后 6 项的和为 180,Sn=324(n>6),求数列{an}的项数及 a9+a10. 2、[2014· 全国卷] 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6=( ) B.32 C.63 D.64

A.31

考点三 等差、等比数列的判断与证明
要证明一个数列是等差(比)数列必须用定义法或等差(比)中项法.

例 1、 [2014· 全国卷] 数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设 bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式.

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2、数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an+Sn=n,cn=an-1,求证:数列{cn}是 等比数列,并求{an}的通项公式.

跟踪练习 1、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn· Sn-1=0(n≥2), 1 a1=2. ?1? ①求证:?S ?是等差数列; ? n? ②求数列{an}的通项公式.

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