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对数与对数运算


2.2

对数函数

2.2.1 对数与对数运算I

邓昀制作

1

? 截止到1999年底,我们人口约

思 考

13亿,如果今后能将人口年平 均均增长率控制在1%,那么经 过20年后,我国人口数最多为 多少(精确到亿)?


y ? 13?1.01

x

问:哪一年的人口数可 达到18亿,20亿?

当y ? 18时, 有18=13? 1.01 , 求x
x
2

对 数 定 义

一般地,如果a ? N ? a ? 0, 且a ? 1? 那么数 x叫做以a为底N的对数, 记作 x ? log a N ,其中a叫做对数 的底数,N叫做真数。式子log a N 叫做对数式.
x

18 x 由18=13 ? 1.01 , 得 =1.01 , 13 18 则x ? log1.01 . 13
x
3

常 用 对 2.以e为底的对数叫自然对数。 数 loge N 简记作lnN。 与 自 其中e为无理数e=2.71828…… 然 对 ( 如: loge 2的 对 数 可 简 记 作 ln 2) 数
4

1.以10为底的对数叫做常用对数。 log10 N 简记作lgN。 (如: log10 2的 对 数 可 简 记 作 lg 2)

讲 解 范 例

例1 将下列指数式写成对数式: (1)54 ? 625? log5 625 ? 4 1 1 ?6 ? ?6 (2) 2 ? ? log 2 64 64 a (3) 3 ? 27 ? log3 27 ? a
1 ? (4)? ? ? ? 5.13 ? log1 5.13 ? m ? 3? 3
m

1

5

讲 解 2.303 ln10 ? 2.303 ?e ? 10 范 ( 3) 例 ?2 (4)lg 0.01 ? ?2 ?10 ? 0.01

例2 将下列对数式写成指数式: ?3 1? ? (1)log1 27 ? ?3 ? ? ? ? 27 ? 3? 3 1 1 ?3 log 5 ? ?3 ? 5 ? ( 2) 125 125

2

6

指 数 式 与 对 数 式 的 关 系

当a ? 0, a ? 1时,

7

⑴负数与零没有对数.
⑵1的对数是0,即 loga 1 ? 0, ? a ? 0, 且a ? 1? ⑶底数的对数等于1,即loga a ? 1 (4)对数恒等式 a

探 究

?N (a ? 0, 且a ? 1, N ? 0)
log a N

? a ? 0, 且a ? 1?

8

讲 解 范 例

例3 求出下列各式中 x 值: 2 log 64 x ? ? (2) log x 8 ? 6 ( 1) 3 解:(1) 2 2

x ? 64
6

?

3

? (4 )
3

?

3

解:(2)

1 ?4 ? 16
?2
1 2

x ? 8, x ? 0 x ? 8 ? (2 ) ? 2 ? 2
9

3

1 6

1 3 6

例3 求出下列各式中 x 值:

(3) lg100? x; (4) ? ln e ? x;
2

讲 解 范 例

解: ( 3) ?10 ? 100,10 ? 100,
x 2

?x ? 2

解: (4) ln e ? ? x , e ? e ,
2 2

?x

3

? x ? ?2.
10

? P70

1 ~4

作业:

练 习

? 1.P82

习题2.2A组1、2
(1)~(3)、(8).

? 2.同步P57 ? 3.优化

11

2.2

对数函数

2.2.1 对数与对数运算 II

2006-10-09

邓昀制作

12

复 习 : 对 数 定 义

一般地,如果a ? N ? a ? 0, 且a ? 1? 那么数 x叫做以a为底N的对数, 记作 x ? log a N ,其中a叫做对数 的底数,N叫做真数。式子log a N 叫做对数式.
x

当a ? 0, a ? 1时,

13

⑴负数与零没有对数.

复 习 : 有 关 性 质

⑵ loga 1 ? 0, loga a ? 1 ? a ? 0, 且a ? 1? (3)对数恒等式 a loga N

?N (a ? 0, 且a ? 1, N ? 0)

14

复 习 : 指 数 运 算 法 则

a ?a ? a
m n

m?n

(m , n ? R)

(a ) ? a
m n n

mn

(m , n ? R)
n

(ab) ? a ? b ( n ? R )
n

15

?a ? a ? a
m n m

m? n

(m, n ? R)
n

推 导 一

设M ? a , N ? a , m? n ? MN ? a , loga M ? m,
loga N ? n, ? loga MN ? m ? n,
? loga M ? loga N .
16

积 、 商 、 幂 的 对 数 运 算 法 则

如果 a > 0,a ? 1,M > 0,N > 0, 那么:

loga ( MN ) ? loga M ? loga N M loga ? loga M ? loga N N n loga M ? nloga M ( n ? R)

(1) ( 2) ( 3)

17

?a ? a ? a
m n m

m?n

( m , n ? R)
n

推 导 二

设M ? a , N ? a , M m?n ? ? a , loga M ? m , N loga N ? n, M ? loga ? m ? n, N ? loga M ? loga N .
18

? (a ) ? a
m n m

mn

( m , n ? R)

推 导 三

设M ? a , n mn ? loga M ? m , M ? a ,
? loga M ? mn,
n

? n loga M .

19

用loga x,loga y, loga z 表示下列各式:
xy (1)loga ; z (2) loga x
2 3

y z

例 1
练习 P75 1

原 式 ? loga ( xy) ? loga z
解(2)
1 2

解(1)

? loga x ? loga y ? loga z
原式 ? loga ( x 2 y ) ? loga z
2 1 2

1 3
1 3

? loga x ? loga y ? loga z

1 1 ? 2 loga x ? loga y ? loga z 2 3 20

(1)log2 (2

5

?4 )
7
5
5

解 : 原式 ? log2 2 ? log2 47

例 2
计 算
练习 P75 2、3

? log2 2 ? log2 214
=5+14 =19 (2) lg
5

100
2 lg10 5

解 : 原式 =

2 = 5
21

积、商、幂的对数运算法则 如果 a > 0,a ? 1,M > 0,N > 0, 那么: loga ( MN ) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N ( 2) N n loga M ? nloga M ( n ? R) ( 3)

小 结

推论: loga a ? n(n ? R)
n
22

log N c ? 探究:推导公式 log N ? a logc a
作业:
(a, c ? (0,1) ? (1,??), N ? 0)
?1.P82~83习题2.2A组3、4,B组1 ?2.同步P57

探 究

基础训练.

?3.优化

P1~5 填空题

23

2.2

对数函数

2.2.1 对数与对数运算 III

2006-10-10

邓昀制作

24

小 结

loga ( MN ) ? loga M ? loga N M loga ? loga M ? loga N N n loga M ? nlog a M ( n ? R) loga
n

积、商、幂的对数运算法则 如果 a > 0,a ? 1,M > 0,N > 0, 那么:

1 N ? loga N ( n ? R) n
n
25

推论: loga a ? n(n ? R)

推导其他重要公式1:
通过换底公式,人们 (可以把其他底的对数 a, c ? (0,1) ? (1,??), N ? 0) 转换为以10或e为底 证明:设 loga N ? p 的对数,经过查表就 能求出任意不为1的 p 正数为底的对数。 由对数的定义可以得: N ?a ,

logc N loga N ? logc a

? logc N ? logc a , ? logc N ? p logc a,
p

logc N log N c ? p? loga N ? 即证得 logc a logc a
这个公式叫做换底公式
26

证明:
n

其他重要公式2: n n log a N ? log a N m 利用换底公式得:
m

lg N n lg N n lg N n log am N ? ? ? ? log a N lg a m lg a m lg a m

即证得 log a m

n N ? log a N m
n

特别地:当m=1时, n logaM ? nlogaM (n∈R)即公式(3)
27

其他重要公式3: 1 loga b ? a, b ? (0,1) ? (1,??) logb a 证明:由换底公式 loga b ? logb a



lg b lg a ? ? ?1 lg a lg b
1 loga b ? logb a
a, b ? (0,1) ? (1,??)

28

logc N 1、 换 底 公 式log :a N ? logc a

2、log a m

n N ? log a N m
n

(a, c ? (0,1) ? (1,??), N ? 0)

归 纳

1 1 3、 l oga b ? ? l og1 l ogb a b a ? l ogn a b ? l oga n b ,
n n

a , b ? (0,1) ? (1,? ?)

4、 loga a ? n, a ? (0,1) ? (1,??)
n
29

例5 ? P73 例6 ? 练习 P75 4 , P83 11、12. 作业:

? P73

例 题

?1.P82~84习题2.2A组5、6,B组3

?2.同步P65

1(1),

P66拓展训练(1)(2)(5)(9).
?3.优化

P18~19 填空题

30


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