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高考中三角函数题型和解题方法

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龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 高考中三角函数题型和解题方法 作者:陶为民 来源:《中学生数理化· 学研版》2014 年第 04 期 一、三角函数的地位 在高考中,三角函数每年必考,分值一般占 10%,对本章知识的考查,一般在选择、填空 和解答题的 17、18 题中出现,其难度中等偏下.对本章知识的考查,主要体现在:三角函数的 基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质与平面的向量的数量积及平面向 量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇. 二、三角函数考纲要求 1.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.掌握同角三角函数的基本关系式.掌握正 弦、余弦的诱导公式.了解周期函数与最小正周期的意义. 2.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公 式. 3.能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. 4.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦 函数和函数 y=Asin(ωx+φ)的简图,理解 A,ω,φ 的物理意义. 5.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形. 三、三角函数典例分析 1.考查纯三角函数函数知识 例 1(陕西卷 17)已知函数 f(x)=2sinx4cosx4-23sin2x4+3. (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g(x)=fx+π3,判断函数 g(x)的奇偶性,并说明理由. 解:(Ⅰ)因为 f(x)=sinx2+31-2sin2x4=sinx2+3cosx2=2sinx2+π3. 所以 f(x)的最小正周期 T=2π12=4π. 当 sinx2+π3=-1 时,f(x)取得最小值-2; 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 当 sinx2+π3=1 时,f(x)取得最大值 2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)=2sinx2+π3. 又 g(x)=fx+π3, 所以 g(x)=2sin12x+π3+π3=2sinx2+π2=2cosx2. 因为 g(-x)=2cos-x2=2cosx2=g(x), 所以函数 g(x)是偶函数. 本题主要考查三角函数的二倍角公式,三角函数的周期、最值及奇偶性,关键在三角函数 的化简. 2.三角函数与平面向量的模的综合 例 2 已知向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a-b|=255. (Ⅰ)求 cos(α-β)的值; (Ⅱ)若-π2<β<0<α<π2,且 sinβ=-513,求 sinα 的值. 解:(Ⅰ)因为|a-b|=255,所以 a2-2a?b+b2=45, 将向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)代入上式,得 12-2(cosαcosβ+sinαsinβ)+12=45, 所以 cos(α-β)=-35. (Ⅱ)因为-π2<β<0<α<π2,所以 0<α-β<π. 由 cos(α-β)=-35,得 sin(α-β)=45. 又 sinβ=-513,所以 cosβ=1213. 所以 sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=3365. 本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.解答 中要注意两点:(1)化|a-b|为向量运算|a-b|2=(a-b)2;(2)注意 α-β 的范围.整个解答过程体 现方程及转化的思想. 3.三角函数与正余弦定理的综合 龙源期刊网 http://www

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