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2.3.1双曲线及其标准方程(一)

时间:2016-06-10


生活中的双曲线

双曲线型自然通风冷却塔

迪拜双曲线建筑

生活中的双曲线

玉枕的形状

金沙江上的溪落渡水电站: 双曲拱坝

可口可乐的下半部

一.复习旧知 导入新知
1. 说出椭圆定义以及定义中需要注意的问题 平面内

与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|=2c>0) 的点的轨迹叫做椭圆.即

|MF1|+|MF2|=2a( 2a>2c>0) ?点M的轨迹是椭圆 Y 若2a=2c,点M的轨迹是线段F1F2; M ? x, y ? O 若2a<2c,点M的轨迹不存在。
F1?? c, 0 ? F2? c, 0 ? X

2. 引入问题: 平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?

二.群策群力 探知寻规
(一)动手动脑,小组共创
思考:1、余下一段拉链的目的是什么? 2、谁是动点,谁是定点

双曲线的形成过程

(要求:请同学认真观察实验,思考后举手回答

3、给双曲线下定义

数学实验: [1]取一条拉链; [2]如图把它固定在板上 的两点F1、F2; [3] 拉动拉链(M)。

二.群策群力 探知寻规
探究双曲线的定义 ①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B), |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值) 上面 两条合起来叫做双曲线

二.群策群力 探知寻规
1.双曲线的几何定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的差 的绝对值等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 注意:0<2a<2c ;
F1 o F2 M

双曲线定义的符号表述:
| |MF1| - |MF2| | = 2a ( 0<2a< |F1F2|)

2、讨论:定义当中差的绝对值小于|F1F2 |如果去掉,那么点的 轨迹还是双曲线吗?
(要求:类比椭圆,请同学先独立思考,然后同桌讨论,踊跃举手 发表你们的观点.)

(1)若2a=2c,则轨迹是什么?
P Q

M F1

F2

M
M F1 o F2

两条射线F1P、F2Q。 (2)若2a>2c,则轨迹是什么?

无轨迹。
(3)若2a=0,则轨迹是什么?

|MF1|=|MF2|
线段F1F2的垂直平分线。

F1 M

F2

二. 探知寻规
小试身手:请说出下列方程对应曲线的名称:
稍加思考,举手回答

(1) F1 (?5,0), F2 (5,0),|| PF1 | ? | PF2 ||? 6 (双曲线)

(2) F1 (?5,0), F2 (5,0),| PF (双曲线右支) 1 | ? | PF 2 |? 6
2 2 2 2

| ( x ? 5) ? y ? ( x ? 5) ? y |? 6 (双曲线) (3 )

(4 )

( x ? 3)2 ? y 2 ? ( x ? 3)2 ? y 2 ? 6 (两条射线)

二.群策群力 探知寻规
(二)齐思共想,推导方程
1. 双曲线方程的推导

建系标准:简洁、对称
y
M
O

|MF1| - |MF2|=±2a
(x ? c)2 ? y 2 ? (x ? c)2 ? y 2 ? ?2a 两次平方,得: (c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2) 令c2-a2=b2 y2 x2 a2 - b2 =1 (a>0,b>0)

F1

A F 2

x

思考1:在图形中,a,b,c分别代表哪段的长度? 思考2:当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢?

二.群策群力 探知寻规
(三)提炼精华,总结方程

(1)焦点在x轴上
y

(2)焦点在y轴上
y F

F1 o
2 2

F2

x

o

2

x

x y - 2 2 =1 a b

c2=a2+b2
(a>0, b>0)

F
2 y x - 2 2 =1 a b 2 1

思考:1、如何区分焦点位置? 2、焦点坐标,顶点坐标分别是什么?

二.群策群力 探知寻规
双 曲 线 与 椭 圆 之 间 的 区 别 与 联 系


定义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

方程

2 2 x2 y 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

三.知识迁移 深化认知
(一)基础练习,规范格式 1.判断下列双曲线的焦点在哪个轴上,并且写出焦点坐标及 其焦距

x2 y 2 1. ? ?1 16 9
(±5,0)

y x 2. ? ?1 16 9 (0,±5 )

2

2

x y 3. ? ? ?1 16 25

2

2

?0,? 41?

2.已知a=4,b=3,焦点在x轴上,求双曲线的方程; 3.已知焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5),求双曲线的方程。

三.知识迁移 深化认知
例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲 线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6,
x y (1)双曲线的标准方程为______________ ? ?1 9 16 (2)若 |PF1|=10,则|PF2|=_________ 4或16
13 (3)若|PF1|= 7,则|PF2|=_________ (4)动点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 6 ,求
2 2

(二)典型例题

动点 P 的轨迹方程. x 2 y 2 ? ? 1 ( x ≥ 3) . 9 16

三.知识迁移 深化认知
x y 例2:如果方程 ? ? 1 表示双曲 2? m m ?1 线,求m的取值范围.
2 2

由(2 ? m)(m ? 1) ? 0 得m ? ?2或m ? ?1 解: ∴ m 的取值范围为 (??, ?2) ? (?1, ??) 思考: 2 2 方程 x ? y ? 1 表示焦点在y轴双曲线时, 2 ? m m ? 1 m ? ?2
则m的取值范围_____________.

小结
定义:
方程形式: ||MF1|-|MF2||=2a (0<2a<|F1F2|)

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y F2

图象:

F1

o

F2 x F1

o

x

位置特征: 焦点坐标 数量特征:

焦点在x轴上
F1 ( ?c, 0)
F2 (c, 0)

焦点在y轴上
F1 (0, ?c) F2 (0, c )

2 c 2 ? a 2 ? b( a, b, c ? 0)

例3.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆 炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.

如图所示,建立直角坐标系xOy, 使A、B两点在x轴上,并 且点O与线段AB的中点重合 y P 设爆炸点P的坐标为(x,y), 则 PA ? PB ? 340 ? 2 ? 680 A o B x 即 2a=680,a=340 ? AB ? 800 ? 2c ? 800, c ? 400, b2 ? c 2 ? a 2 ? 44400 ? 800 ? PA ? PB ? 680 ? 0 , ? x ? 0 x 2 y2 ? ? 1( x ? 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400

思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.

思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 时间差,可以确定爆炸点在某条曲线上,但不能确定 爆炸点的准确位置 . 而现实生活中为了安全,我们最 关心的是炮弹爆炸点的准确位置,怎样才能确定爆炸 点的准确位置呢?
答:再增设一个观测点C,利用B、C(或A、C)两 处测得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的 方程,解这两个方程组成的方程组,就能确定爆炸点 的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.

思考 3: (2004 年高考题)某中心接到其正东、正西、正 北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时 听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测 点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试 确定该巨响发生的位置 .( 假定当时声音传播的速度为 340m/s,相关各点均在同一平面上)

分析:依题意画出图形(如图)
直觉巨响点的位置情况.
只要能把巨响点满足的两个曲线 方程求出来 . 那么解方程组就可以确 定巨响点的位置.

P

yC

?

A

o

B

x

要求曲线的方程 , 恰当的建立坐 标系是一个关键.

解:如图,以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系. 设 A、B、C 分别是西、东、北观测点, 则 A(-1020,0) ,B(1020,0) ,C(0,1020). 设 P(x,y)为巨响点, 由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =-x,
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故|PB|-|PA|=340×4=1360, x2 y2 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 2 ? 2 ? 1 的一支上, a b 依题意得 a = 680, c = 1020,? b2 ? c 2 ? a 2 ? 10202 ? 6802 ? 5 ? 3402 x2 y2 ? ?1 ∴双曲线的方程为 2 2 680 5 ? 340
用 y=-x 代入上式,得 x ? ?680 5 ,∵|PB|>|PA|, ? x ? ?680 5, y ? 680 5, 即P(?680 5,680 5), 故PO ? 680 10 答:巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10m 处.


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