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选修4-4第二章 §2.3-2.4圆锥曲线的参数方程


选修 4—4 第 2 章 2.3-2.4 圆锥曲线的参数方程

姓名___________班级____________

§2.3—2.4 圆锥曲线的参数方程
【学习目标】 : 1.理解和掌握椭圆、双曲线、抛物线的参数方程的性质和特点 2.由曲线的参数方程写出曲线的各线段的长度 3. 参数方程和普通方程的互化 【学习重点】 :圆锥

曲线的参数方程的概念和它们与普通方程的互化 【学习重点】 :参数方程在解题中的应用 【问题导思】 : x2 y2 1.椭圆的参数方程椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的参数方程为 a b 【注】 (1)在椭圆的参数方程中,常数 a、b 分别是椭圆的 和 . (其中 a>b) (2) ? 称为离心角,规定参数 ? 的取值范围是 (3) ? 是椭圆上的点 M 所对应的圆的半径 OA(或 OB)的旋转角,不是 OM 的旋转角.

x2 y2 2. 双曲线 2 ? 2 ? 1 的参数方程为_______________ a b
【注】 (1) ? 称为离心角,规定参数 ? 的取值范围是 (2) ? 是双曲线上的点 M 所对应的圆的半径 OA(或 OB)的旋转角,不是 OM 的旋转角. 3.抛物线的参数方程:抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的参数方程是__________________ 你还有什么未解决的问题? 【自学检测】

1. 椭圆 ?

? x ? 3 ? 3 cos? ( ? 为参数)的中心坐标为( ? y ? sin ?
B. (0,?3) C.

) D. (?3,0) )
D.圆心在原点的圆

A. (0,3) 2.椭圆 ?

(3,0)

? x ? 4 sin ? ( ? 为参数)表示的曲线为( ? y ? 5 cos?
B.焦点 y 轴椭圆

A.焦点 x 轴椭圆

C.过原点的直线

3. ? 取一切实数时, A(4 sin ? ,6 cos? ) 和 B(?4 cos? ,6 sin ? ) ,线段 AB 的中点轨迹是( ). A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段
4. 若曲线 ?

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

上异于原点的不同两点 M 1 , M 2 所对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则弦 )

M 1 M 2 所在直线的斜率是(
A. t1 + t 2 B. t1 - t 2

C.

1 t1 ? t 2

D.

1 t1 ? t 2

1

选修 4—4 第 2 章 2.3-2.4 圆锥曲线的参数方程

姓名___________班级____________

5.双曲线 ?

? x ? 2 3 tan? ? y ? 6 sec ?

( ? 为参数)的两焦点坐标是

______.

6. (1)课本 P36 页练习 第 2 题; (2)课本 P38 页练习 第 2 题
【当堂训练】

1.下列参数方程( t 为参数)与普通方程 x2-y=0 表示同一曲线的方程为

(

)

? x ? tant ? x ? tant ? ? C. ? 1 ? cos2t D. ? 1 ? cos2t y? y? ? ? 1 ? cos2t 1 ? cos2t ? ? ? x ? 2 cost ? 2. 已知椭圆的参数方程为 ? ( t 为参数) ,点 M 在椭圆上,对应参数 t ? ,点 3 ? y ? 4 sin t

? x ?| t | A. ? ?y ? t

? x ? cos t B. ? 2 ? y ? cos t

O 为原点,则直线 OM 的倾斜角 ? 的正切值为(

) D. ? 2 3

A.

3

B.

3 2

C.

2 3

t ?t ? ?x ? 2 ? 2 , 3. 方程 ? (t 为参数)表示的曲线是 ( ) t ?t ? ?y ? 2 ? 2 A.双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支

D.圆

? 3 ?x ? 4. 下列双曲线中, 与双曲线 ? 的离心率和渐近线都相同的是 ( cos?( ? 为参数) ? y ? tan? ?
A.



y2 x2 ? ?1 9 3

B.

y 2 x2 ? ? ?1 3 9

C.

y2 ? x2 ? 1 3

D.

y2 ? x 2 ? ?1 3

x2 y 2 ? ? 1 上变化 , 5.动点 P( x, y ) 在曲线 9 4
(1)求 2x+3y 的最大值和最小值; (2)求一点 P,使点 P 到直线 x ? 2 y ? 10 ? 0 的距离最小,并求出最小距离

6.设点 A,B 是抛物线 y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点,O 为原点,OA⊥OB, OM⊥AB,并与 AB 相交于点 M. 求点 M 的轨迹方程

7.设 P 为等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 上的一点, F1 , F2 为两个焦点, 证明 F1 P ? F2 P ? OP
2

2

选修 4—4 第 2 章 2.3-2.4 圆锥曲线的参数方程

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§2.3—2.4 圆锥曲线的参数方程答案
自学检测 1-4.C B B C; 5. (0,?4 3) ;6. (1)见教参 42 页;(2)见教参 43 页 当堂训练1-4. B C B B;

? x ? 3 cos? ( ? 为参数) ,则点P (3 cos? ,2 sin ? ) ? y ? 2 sin ? ? ? (1) 2 x ? 3 y ? 6 cos ? ? 6 sin ? ? 6 2 sin(? ? ) ? ?1 ? sin(? ? ) ? 1
5. 解:椭圆的参数方程为: ?

4

4

??6 2 ? 2x ? 3 y ? 6 2 ;故 (2x ? 3 y)min ? ?6 2 ; (2x ? 3 y)max ? 6 2 | 3 cos? ? 4 sin ? ? 10 | (2)点 P 到直线 x ? 2 y ? 10 ? 0 的距离为 d ? 5

3 4 | 5( cos ? ? sin ? ) ? 10 | | 5 cos( ? ? ? ) ? 10 | 4 3 5 5 ? ? (其中 sin ? ? , cos ? ? ) 5 5 5 5
当 ? ? ? 时即 cos(? ? ? ) ? 1 时, dmin ? 5 此时, 3 cos ? ? 3 cos ? ?

9 8 9 8 , 2 sin ? ? 2 sin ? ? ,因而 P ( , ) 5 5 5 5

9 8 5 5 2 6.解:设 M ( x, y) A(2 pt12 ,2 pt1 ) , B(2 pt2 ,2 pt2 ) (t1 ? t2且t1.t2 ? 0)
所以点 P ( , ) 到直线 x ? 2 y ? 10 ? 0 的距离最小, dmin ? 5
2 2 OM ? ( x, y) , OA ? (2 pt12 ,2 pt1 ) , OB ? (2 pt2 ,2 pt2 ) , AB ? (2 p(t2 ? t12 ),2 p(t2 ? t1 ))

因为 OA ? OB ,所以 (2 pt1t2 )2 ? (2 p)2 t1t2 ? 0 , 所以 t1t2 ? ?1
2 因为 OM ? AB ,所以 2 px(t2 ? t12 ) ? 2 py(t2 ? t1 ) ? 0 ,所以 t1 ? t2 ? ?

1 ○

y ( x ? 0) x

2 ○

2 因为 AM ? ( x ? 2 pt12 , y ? 2 pt1 ) , MB ? (2 pt2 ? x,2 pt2 ? y) 且 A,M,B 三点共线,
2 所以 ( x ? 2 pt12 )(2 pt2 ? y) ? (2 pt2 ? x)( y ? 2 pt1 ) ,即: y(t1 ? t2 ) ? 2 pt1t2 ? x ? 0

3 ○

1 ○ 2 代入○ 3 中得到 y ( ? ) ? 2 p ? x ? 0 即 x 2 ? y 2 ? 2 px ? 0( x ? 0) 将○

y x
2

7.【证明】设 P(sec ? , tan ? ) ,双曲线两个焦点的坐标是 F 1 (? 2,0) 、 F 2 ( 2,0) , 所以 | F1 P |? (sec ? ? 2) ? tan ? ?
2

2sec2 ? ? 2 2 sec? ? 1 ?| 2 sec? ?1| ,

| F2 P |? (sec ? ? 2) 2 ? tan 2 ? ? 2sec2 ? ? 2 2 sec? ? 1 ?| 2 sec? ?1| ,
所以 F1P ? F2 P ??| 2 sec? ? 1| ? | 2 sec ? ?1|?| 2sec 2 ? ?1|? sec 2 ? ? tan 2 ? ,
2 2 而 OP ? sec ? ? tan ? ,所以 F1 P ? F2 P ? OP . 2

2

3


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