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2013届高考数学一轮复习精品学案:第38讲 导数、定积分


数学科复习精品学案
第 38 讲 导数、定积分
一.课标要求:
1.导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概 念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 (2)导数的运算 ① 能根据导数定义求函数 y=c,y=x

,y=x2,y=x3,y=1/x,y=x 的导数; ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数, 能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax+b))的导数; ③ 会使用导数公式表。 (3)导数在研究函数中的应用 ① 结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究 函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间; ② 结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不 超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、 最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 (4)生活中的优化问题举例 例如,使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作 用。 (5)定积分与微积分基本定理 ① 通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际 背景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念; ② 通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分 基本定理的含义。

1

三.要点精讲
1.导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x , 那么函数 y 相应地有增量 ?y =f (x 0 + ?x ) -f(x 0 ),比值

?y 叫 做 函 数 y=f ( x ) 在 x 0 到 x 0 + ?x 之 间 的 平 均 变 化 率 , 即 ?x

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = 。 ?x ?x
如果当 ?x ? 0 时,

?y 有极限,我们就说函数 y=f(x)在点 x 0 处可导,并把这个极 ?x

限叫做 f(x)在点 x 0 处的导数,记作 f?(x 0 )或 y?| x ? x0 。 即 f(x 0 )= lim 说明: (1)函数 f(x)在点 x 0 处可导,是指 ?x ? 0 时, 就说函数在点 x 0 处不可导,或说无导数。 (2) ?x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量, ?x ? 0 时,而 ?y 是函数值的改变量,可以是 零。 由导数的定义可知,求函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的步骤(可由学生来归纳): (1)求函数的增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 );

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim 。 ?x ?x ?x?0

?y ?y 有极限。如果 不存在极限, ?x ?x

(2)求平均变化率

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = ; ?x ?x

(3)取极限,得导数 f?(x 0 )= lim 2.导数的几何意义

?y 。 ?x ? 0 ?x

函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 )) 处的切线的斜率。 也就是说, 曲线 y=f ( x) 在点 p (x 0 , f (x 0 ) ) 处的切线的斜率是 f? (x 0 ) 。 相应地,切线方程为 y-y 0 =f/(x 0 )(x-x 0 )。 3.常见函数的导出公式.

2

(1) (C )? ? 0 (C 为常数) (3) (sin x)? ? cos x 4.两个函数的和、差、积的求导法则

(2) ( x )? ? n ? x
n

n ?1

(4) (cos x)? ? ? sin x

法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ( u ? v) ? u ? v .
' ' '

法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即: (uv) ? u v ? uv .
' ' '

若 C 为常数,则 (Cu) ? C u ? Cu ? 0 ? Cu ? Cu .即常数与函数的积的导数等于常数
' ' ' ' '

乘以函数的导数: (Cu) ? Cu .
' '

法则 3 两个函数的商的导数, 等于分子的导数与分母的积, 减去分母的导数与分子的积, 再除以分母的平方: ?

? u ? u ' v ? uv' (v ? 0)。 ? ?= v2 ?v?

形如 y=f ?? ( x ) ? 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。 法则:y'| X = y'| U · u'| X 5.导数的应用 (1)一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间可导,如果 f ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;
'

如果 f ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数;如果在某区间内恒有 f ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为常数;
' '

(2)曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线 的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正; (3)一般地,在区间[a,b]上连续的函数 f ( x) 在[a,b]上必有最大值与最小值。①求函 数 ? ( x) 在(a,b)内的极值; ②求函数 ? ( x) 在区间端点的值 ?(a)、?(b); ③将函数 ? ( x) 的 各极值与 ?(a)、?(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。 6.定积分 (1)概念 设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…xn=b 把区间[a,b]等分

3

成 n 个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上取任一点 ξ( 2,…n)作和式 In= i i=1,

? f (ξ )△ x
i
i=1

n

(其中△ x 为小区间长度),把 n→∞即△ x→0 时,和式 In 的极限叫做函数 f(x)在区间[a,b] 上的定积分,记作:

?

b

a

f ( x)dx ,即 ? f ( x)dx = lim ? f (ξi)△ x。
b a
n ?? i ?1

n

这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做 被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式。 基本的积分公式: 0 dx =C; x dx =
x x =ln x +C; e dx = e +C; a dx =

?

?

m

1 1 x m?1 +C(m∈Q, m≠-1); ? dx m ?1 x

?

x

?

ax +C;? cos xdx =sinx+C;? sin xdx =-cosx ln a

+C(表中 C 均为常数)。 (2)定积分的性质 ① ② ③

?

b

a b

kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx (k 为常数);
a

b

?

a b

f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ;
a a

b

b

?

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a<c<b ) 。
a c

c

b

(3)定积分求曲边梯形面积

由三条直线 x=a,x=b(a<b),x 轴及一条曲线 y=f(x) (f(x)≥0)围成的曲边梯的面积 S ?

?

b

a

f ( x)dx 。

如果图形由曲线 y1=f1(x), y2=f2(x(不妨设 ) f1(x)≥f2(x)≥0) , 及直线 x=a,x=b(a<b)围成,那么所求图形的面积 S=S 曲
边梯形 AMNB-S 曲边梯形 DMNC=

?

b

a

f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx 。
a

b

四.典例解析
题型 1:导数的概念 例 1.已知 s=

1 2 gt ,(1)计算 t 从 3 秒到 3.1 秒 、3.001 秒 、 3.0001 秒….各段内平 2

均速度;(2)求 t=3 秒是瞬时速度。

4

解析:(1) ?3,3.1?, ?t ? 3.1 ? 3 ? 0.1, ?t 指时间改变量;

?s ? s(3.1) ? s(3) ?
v?

?s 0.3059 ? ? 3.059 。 ?t 1

1 1 g 3.12 ? g 32 ? 0.3059 . ?s 指时间改变量。 2 2

其余各段时间内的平均速度, 事先刻在光盘上, 待学生回答完第一时间内的平均速度后, 即用多媒体出示,让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。 (2)从(1)可见某段时间内的平均速度

?s ?t ?s 随 变化而变化, ?t 越小, 越接近 ?t ?t ?s 的极限, ?t

于一个定值,由极限定义可知,这个值就是 ?t ? 0 时,

V= lim

?x ?0

?s lim ?t = ? x ?0

1 1 (3 ? ?t ) 2 ? g 3 2 s(3 ? ?t ) ? s(3) 2g 2 ? lim ?x ?0 ?t ?t

1 g lim (6+ ?t ) =3g=29.4(米/秒)。 2 ?x?0 4 例 2.求函数 y= 2 的导数。 x
= 解析: ?y ?

4 4 4?x(2 x ? ?x) ? 2 ?? 2 , 2 ( x ? ?x) x x ( x ? ?x) 2

?y 2 x ? ?x ? ?4 ? 2 , ?x x ( x ? ?x) 2

? lim

? 2 x ? ?x ? 8 ?y 。 ? lim ?? 4 ? 2 ? =?x ?0 ?x ?x ?0 x ( x ? ?x) 2 ? x 3 ?

点评:掌握切的斜率、 瞬时速度,它门都是一种特殊的极限,为学习导数的定义奠定 基础。 题型 2:导数的基本运算 例 3.(1)求 y ? x( x ?
2

1 1 ? ) 的导数; x x3
? 1) 的导数;

(2)求 y ? ( x ? 1)( (3)求 y ? x ? sin

1 x

x x cos 的导数; 2 2

5

(4)求 y=

x2 的导数; sin x
3x 2 ? x x ? 5 x ? 9 x
的导数。

(5)求 y=

解析:(1)? y ? x 3 ? 1 ? (2)先化简, y ?
1

1 2 ,? y ' ? 3x 2 ? 3 . 2 x x
1 x ?1 ? ?x ? x
1 2 ? 1 2

x?
3

1 x

? x?

1 ? 1 ? ?1 ? 1 ? ? y' ? ? x 2 ? x 2 ? ?1 ? ?. 2 2 x? 2 x?
(3)先使用三角公式进行化简.

x x 1 y ? x ? sin cos ? x ? sin x 2 2 2
1 1 1 ? ? ? y ? ? x ? sin x ? ? x ' ? (sin x) ' ? 1 ? cos x. 2 2 2 ? ?
' '

(4)y?=

( x 2 )' sin x ? x 2 * (sin x)' 2 x sin x ? x 2 cos x = ; sin 2 x sin 2 x
3

(5)?y= 3 x 2 -x+5- 9 x
3

?

1 2
1

?y?=3*(x 2 )'-x'+5'-9 ( x 2 )'=3*


? 3 2 1 x -1+0-9*(- ) x 2 2 2

1

3

9 1 x (1 ? 2 ) ? 1 。 2 x
点评:(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,

这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;(2)有的函数虽然表面形式为函数的商 的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导.有时可以避免 使用商的求导法则,减少运算量。 例 4.写出由下列函数复合而成的函数: (1)y=cosu,u=1+ X
2

(2)y=lnu, u=lnx
2

解析:(1)y=cos(1+ X ); (2)y=ln(lnx)。

6

点评:通过对 y=(3x-2 ) 展开求导及按复合关系求导,直观的得到 y x = y u . u x .给出复 合函数的求导法则,并指导学生阅读法则的证明。 题型 3:导数的几何意义 例 5. (1) 若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直, 则 l 的方程为 (
4

2

'

'

'



A. 4 x ? y ? 3 ? 0

B. x ? 4 y ? 5 ? 0
2

C. 4 x ? y ? 3 ? 0

D. x ? 4 y ? 3 ? 0 )

(2)过点(-1,0)作抛物线 y ? x ? x ? 1 的切线,则其中一条切线为( (A) 2 x ? y ? 2 ? 0 (B) 3x ? y ? 3 ? 0 (C) x ? y ? 1 ? 0

(D) x ? y ? 1 ? 0
4

解析:(1)与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 ,即 y ? x 在某一点 的导数为 4,而 y? ? 4 x ,所以 y ? x 在(1,1)处导数为 4,此点的切线为 4 x ? y ? 3 ? 0 ,
3 4

故选 A;
2 (2)y? ? 2 x ? 1 , 设切点坐标为 ( x0 , y0 ) , 则切线的斜率为 2 x0 ? 1 , 且 y0 ?x0 ?x0 ? 1 ,

于是切线方程为 y ? x0 ? x0 ? 1 ? (2 x0 ? 1)( x ? x0 ) ,因为点(-1,0)在切线上,可解得 x0
2

=0 或-4,代入可验正 D 正确,选 D。 点评:导数值对应函数在该点处的切线斜率。 例 6.(1)半径为 r 的圆的面积 S(r)= ? r2,周长 C(r)=2 ? r,若将 r 看作(0,+∞)上的变 1 ,○ 1 式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 量,则( ? r2)`=2 ? r ○ 1 的式子: 对 于 半 径 为 R 的 球 , 若 将 R 看 作 (0 , + ∞) 上 的 变 量 , 请 你 写 出 类 似 于 ○ 2 ;○ 2 式可以用语言叙述为: ○ ( 2 ) 曲线 y ? 是 。

1 2 和 y ? x 在 它们交 点处 的两 条切线 与 x 轴 所围成 的三 角形面 积 x



? =4? R 解析:(1)V 球= ? R ,又 ( ?R)
3 3

4 3

4 3

2

2 式可填 ? =4? R ,用语 故○ ( ?R)
3 2

4 3

言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”; (2)曲线 y ?

1 2 和 y ? x 在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是 y=-x+2 x 3 。 4

和 y=2x-1,它们与 x 轴所围成的三角形的面积是

点评:导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起,对于较复杂问题有很好的 效果。
7

题型 4:借助导数处理单调性、极值和最值 例 7. (1)对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1)f ? ?0,则必有( (x) A.f(0)+f(2)?2f(1) C.f(0)+f(2)?2f(1) B. f(0)+f(2)?2f(1) D. f(0)+f(2)?2f(1) )

(2)函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?( x) 在 (a, b) 内的图象如图所示, 则函数 f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点( A.1 个 B.2 个 ) D. 4 个

C.3 个

(3)已知函数 f ? x ? ?

1 ? x ? ax e 。(Ⅰ)设 a ? 0 ,讨论 y ? f ? x ? 的单调性;(Ⅱ) 1? x

若对任意 x ? ? 0,1? 恒有 f ? x ? ? 1 ,求 a 的取值范围。 解析:(1)依题意,当 x?1 时,f?(x)?0,函数 f(x)在(1,+?)上是增函数;当 x?1 时,f?(x)?0,f(x)在(-?,1)上是减函数,故 f(x)当 x=1 时取得最小值,即 有 f(0)?f(1),f(2)?f(1),故选 C; (2)函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?( x) 在 (a, b) 内的图象如图所示, 函数 f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由 负到正的点,只有 1 个,选 A。 (3):(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).对 f(x)求导数得 f '(x)= ax2+2-a -ax e 。 (1-x)2

(ⅰ)当 a=2 时, f '(x)= ∞,1), (1,+∞).为增函数;

2x2 - e 2x, f '(x)在(-∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于 0, 所以 f(x)在(- (1-x)2

(ⅱ)当 0<a<2 时, f '(x)>0, f(x)在(-∞,1), (1,+∞)为增函数.; a-2 (ⅲ)当 a>2 时, 0< <1, 令 f '(x)=0 ,解得 x1= - a 当 x 变化时, f '(x)和 f(x)的变化情况如下表: x (-∞, - + a-2 ) a (- a-2 , a - a-2 ) a ( a-2 ,1) a + (1,+∞) a-2 , x2= a a-2 ; a

f '(x)



8

f(x)

↗ a-2 ), ( a





↗ a-2 , a a-2 )为减函 a

f(x)在(-∞, - 数。

a-2 ,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(- a

(Ⅱ)(ⅰ)当 0<a≤2 时, 由(Ⅰ)知: 对任意 x∈(0,1)恒有 f(x)>f(0)=1; (ⅱ)当 a>2 时, 取 x0= 1 2 a-2 ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)<f(0)=1; a

1+x - (ⅲ)当 a≤0 时, 对任意 x∈(0,1),恒有 >1 且 e ax≥1, 1-x 得:f(x)= 1+x -ax 1+x e ≥ >1. 综上当且仅当 a∈(-∞,2]时,对任意 x∈(0,1)恒有 f(x)>1。 1-x 1-x

点评:注意求函数的单调性之前,一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数 增减。 例 8.(1) f ( x) ? x ? 3x ? 2 在区间 ? ?1,1? 上的最大值是(
3 2

) (D)4

(A)-2
3

(B)0
2

(C)2

(2)设函数f(x)= 2 x ? 3(a ? 1) x ? 1, 其中a ? 1. (Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)讨 论f(x)的极值。 解析:(1) f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3x( x ? 2) ,令 f ?( x) ? 0 可得 x=0 或 2(2 舍去),当
2

-1?x?0 时, f ?( x) ?0,当 0?x?1 时, f ?( x) ?0,所以当 x=0 时,f(x)取得最大值为 2。 选 C;
' (2)由已知得 f ( x) ? 6 x ? x ? (a ? 1) ? ,令 f ( x) ? 0 ,解得

'

x1 ? 0, x2 ? a ? 1 。

(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 6 x , f ( x) 在 (??, ??) 上单调递增;
' 2
' 当 a ? 1 时, f ( x ) ? 6 x ? ? x ? ? a ? 1? ? ? , f ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

'

x
f ' ( x)
f ( x)

(??,0)
+

0 0 极大值

(0, a ? 1)
?

a ?1
0 极小值

(a ?1, ??)

?
?

?

?

从上表可知,函数 f ( x) 在 (??,0) 上单调递增;在 (0, a ? 1) 上单调递减;在 (a ? 1, ??)
9

上单调递增。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a ? 1 时,函数 f ( x) 没有极值;当 a ? 1 时,函数 f ( x) 在 x ? 0 处取得极大值,在 x ? a ? 1 处取得极小值 1 ? (a ? 1) 。
3

点评: 本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识, 以及运用数学 知识解决实际问题的能力。

例. (2008?广东)设 k∈R,函数

,F(x)=f(x)﹣kx,x∈R,

试讨论函数 F(x)的单调性. 解答:解:

对于



当 k≤0 时,函数 F(x)在(﹣∞,1)上是增函数; 当 k>0 时,函数 F(x)在 数; 对于 , 上是减函数,在 上是增函

当 k≥0 时,函数 F(x)在[1,+∞)上是减函数; 当 k<0 时,函数 F(x)在 上是减函数,在 上是增函数.

点评:本题主要考查了分段函数的单调性,导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即 当导函数大于 0 时原函数单调递增, 当导函数小于 0 时原函数单调递减, 以及分类讨论的数 学思想,属于中档题.

题型 5:导数综合题 例 9 .设函数 f ( x) ? ? x3 ? 3 x ? 2 分别在 x1、x2 处取得极小值、极大值 . xoy 平面上点

10

??? ? ??? ? 、 ,该平面上动点 P 满足 PA ? PB ? 4 ,点 Q 是点 P (x1 ,f ( x1 )) (x2 ,f ( x2 )) A、B 的坐标分别为
关于直线 y ? 2( x ? 4) 的对称点.求 (I)求点 A、B 的坐标; (II)求动点 Q 的轨迹方程. 解析: (Ⅰ)令 f ?( x) ? (? x ? 3x ? 2)? ? ?3x ? 3 ? 0 解得 x ? 1或x ? ?1;
3 2

当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 , 当 ? 1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1时, f ?( x) ? 0 。 所 以 , 函 数 在 x ? ?1 处 取 得 极 小 值 , 在 x ? 1 取 得 极 大 值 , 故

x1 ? ?1, x2 ? 1, f (?1) ? 0, f (1) ? 4 。
所以, 点 A、B 的坐标为 A(?1,0), B(1,4) 。 (Ⅱ) 设 p(m, n) , Q( x, y ) ,

PA ? PB ? ?? 1 ? m,?n ? ? ?1 ? m,4 ? n ? ? m 2 ? 1 ? n 2 ? 4n ? 4 ,

1 y?n 1 k PQ ? ? ,所以 ?? 。 2 x?m 2
又 PQ 的 中 点 在 y ? 2( x ? 4) 上 , 所 以

y?m ?x?n ? ? 2? ? 4 ? , 消 去 m, n 得 2 ? 2 ?

?x ? 8?2 ? ? y ? 2?2 ? 9 。
点评:该题是导数与平面向量结合的综合题。

(2012 广东理)21.(本小题满分 14 分) 设 a<1,集合 (1)求集合 D(用区间表示) (2)求函数 21. (1)记 h ? x ? ? 2 x 2 ? 3 ?1 ? a ? x ? 6a ? a ? 1?
? ?9 ? 1 ? a?
2

在 D 内的极值点。

?4 8 a

??

a 3 ?? ?1 a 3 ?? 9

1 ① 当 ? ? 0 ,即 ? a ? 1 , D ? ? 0, ?? ? 3 1 ② 当0 ? a ? , 3
11

? 3 ? 3a ? 9a 2 ? 30a ? 9 ? ? 3 ? 3a ? 9a 2 ? 30a ? 9 ? D ? ? 0, , ?? ? ? ?? ? ? ? ? 4 4 ? ? ? ? ? 3 ? 3a ? 9a 2 ? 30a ? 9 ? ③ 当a ? 0,D ?? , ?? ? ? ? 4 ? ?
(2)由 f ? ? x ? ? 6 x 2 ? 6 ?1 ? a ? x ? 6a ? 0得x =1,a 得
1 ① 当 ? a ? 1 , f ? x ? 在D内有一个极大值点a,有一个极小值点1 3 1 ② 当 0 ? a ? ,∵ h ?1? ? 2 ? 3 ?1 ? a ? ? 6a =3a ? 1 ? 0 3

h ? a ? ? 2a 2 ? 3 ?1 ? a ? a ? 6a =3a ? a 2 ? 0
∴ 1? D, a ? D ∴ f ? x ? 在D内有一个极大值点a ③ 当 a ? 0 ,则 a ? D 又∵ h ?1? ? 2 ? 3 ?1 ? a ? ? 6a =3a ? 1 ? 0 ∴ f ? x ? 在D内有无极值点
例 (2013 广东理).(本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ( x ? 1)e ? kx (k ? R) .
x 2

(1)当k=1时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当k∈ ( , 1? 时,求函数 f ( x) 在[0,k]上的最大值M. 21.(1)k=1 时 f ( x) ? ( x ? 1)e ? x
x x x 2 x

1 2

∴ f ?( x) ? e ? ( x ? 1)e ? 2 x ? x(e ? 2) 当 x<0 时 e x ? 2 ? 0 ,故 f ?( x) ? x(e ? 2) ? 0 , f ( x) 单调递增;
x

0< x<ln2 时 e x ? 2 ? 0 ,故 f ?( x) ? x(e ? 2) ? 0 , f ( x) 单调递减;
x

x>ln2 时 e x ? 2 ? 0 ,故 f ?( x) ? x(e ? 2) ? 0 , f ( x) 单调递增; 综上, f ( x) 的单调增区间为 (??,0) 和 (ln 2,??) ,单调减区间为 (0, ln 2) .
x

(2) f ?( x) ? e ? ( x ? 1)e ? 2kx ? x(e ? 2k )
x x x

1 ? k ? 1 ,∴ 1 ? 2k ? 2 2 由(1)可知 f ( x) 的在(0,ln2k)上单调递减,在(ln2k,+∞)上单调递增 1 设 g ( x) ? x ? ln 2 x, ( ? x ? 1) 2 2 1 则 g ?( x) ? 1 ? ? 1? 2x x 1 1 1 ∵ ? x ? 1 ,∴ 1 ? ? 2 ,∴ ? 1 ? 1 ? ? 0 2 x x

12

∴ g ( x) ? x ? ln 2 x 在 ? , 1? 上单调递减.

?1 ? ?2 ?

1 ? k ? 1 , ∴ g (k ) ? g (1) ? 1 ? ln 2 ? 0 2 ∴ k ? ln 2k ? 0 即 k ? ln 2k ∴ f ( x) 的在(0,ln2k)上单调递减,在(ln2k,k)上单调递增. ∴ f ( x) 的在[0,k]上的最大值应在端点处取得. 而 f (0) ? ?1 , f (k ) ? (k ? 1)e k ? 2k 3 ? f (1) ? ?1 ∴当 x=0 时 f ( x) 取最大值 ? 1 .


题型 6:导数实际应用题 例 11.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱 锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心
o1 的距离为多少时,帐篷的体积最大?

本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值 的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力。
2 2 2 解析:设 OO1 为 x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为 3 ? ( x ? 1) ? 8 ? 2 x ? x

(单位:m)。 于是底面正六边形的面积为(单位:m2):

32 ? ( x ? 1)2 ? 6?

3 3 3 ? ( 8 ? 2 x ? x2 )2 ? (8 ? 2 x ? x 2 ) 。 4 2

帐篷的体积为(单位:m3):

V ( x) ?

3 3 3 ?1 ? (8 ? 2 x ? x 2 ) ? ( x ? 1) ? 1? ? (16 ? 12 x ? x 3 ) 2 3 2 ? ?

求导数,得 V ?( x) ?

3 (12 ? 3x 2 ) ; 2

令 V ?( x) ? 0 解得 x=-2(不合题意,舍去),x=2。 当 1<x<2 时, V ?( x) ? 0 ,V(x)为增函数;当 2<x<4 时, V ?( x) ? 0 ,V(x)为减函数。

13

所以当 x=2 时,V(x)最大。 答:当 OO1 为 2m 时,帐篷的体积最大。 点评:结合空间几何体的体积求最值,理解导数的工具作用。 例 12.已知函数 f(x)=x 3 + x 3 ,数列|x n |(x n >0)的第一项 x n =1,以后各项按如下方式取定:曲线 x=f(x)在 ( x n ?1 , f ( x n ?1 )) 处 的切线与经过(0,0)和(x n ,f (x n ))两点的直线平行(如图)求证:当 n ? N * 时,

2 (Ⅰ)x 2 n ? x n ? 3 x n ?1 ? 2 x n ?1 ;

(Ⅱ) ( ) n ?1 ? x n ? ( ) n ? 2 。

1 2

1 2

证明:(I)因为 f ( x) ? 3x ? 2 x, 所以曲线 y ? f ( x) 在 ( xn ?1 , f ( xn ?1 )) 处的切线斜率
' 2

2 kn ?1 ? 3x n ? 2 xn ?1. ?1
2 2 因为过 (0, 0) 和 ( xn , f ( xn )) 两点的直线斜率是 xn ? xn ? 3xn ?12 ? 2 xn ?1 . ? xn , 所以 xn
2 ? xn ? 3xn ?12 ? 2 xn ?1 (II)因为函数 h( x) ? x ? x 当 x ? 0 时单调递增,而 xn

2

? 4 xn ?12 ? 2 xn ?1 ? (2 xn ?1 ) 2 ? 2 xn ?1 ,
所以 xn ? 2 xn ?1 ,即

xn ?1 1 x x x 1 ? , 因此 xn ? n ? n ?1 ????? 2 ? ( )n ?1. xn 2 xn ?1 xn ? 2 x1 2
2

2 又因为 xn ? xn ? 2( x n?1 ? xn ?1 ), 令 yn ? xn ? xn , 则

2

yn ?1 1 ? . yn 2

因为 y1 ? x12 ? x1 ? 2, 所以 yn ? ( ) n ?1 ? y1 ? ( ) n ? 2 .
2 因此 xn ? xn ? xn ? ( )n ?2 ,

1 2

1 2

1 2

故 ( )n ?1 ? xn ? ( ) n ?2 .

1 2

1 2

点评:本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识,以及不等式的证明,同时 考查逻辑推理能力。 题型 7:定积分 例 13.计算下列定积分的值
14

(1)

?

3

?1

2 (2)? ( x ? 1) 5 dx ; (3)? 2 ( x ? sin x)dx ; (4)? 2? cos xdx ; (4 x ? x 2 )dx ;

2

?

?

1

0

?

2

解析:(1)

(2)因为 [ ( x ? 1) 6 ]? ? ( x ? 1) 5 ,所以 (3)

1 6

?

2

1

( x ? 1) 5 dx ?

1 1 2 ( x ? 1) 6 |1 ? ; 6 6

(4)

例 14.(1)一物体按规律 x=bt3 作直线运动,式中 x 为时间 t 内通过的距离,媒质的 阻力正比于速度的平方.试求物体由 x=0 运动到 x=a 时,阻力所作的功。 (2)抛物线 y=ax2+bx 在第一象限内与直线 x+y=4 相切.此抛物线与 x 轴所围成的图 形的面积记为 S.求使 S 达到最大值的 a、b 值,并求 Smax. 解析:(1)物体的速度 V ?
2

dx ? (bt 3 )? ? 3bt 2 。 dt
2 4

媒质阻力 Fzu ? kv ? k (3bt ) ? 9kb t ,其中 k 为比例常数,k>0。
2 2

当 x=0 时,t=0;当 x=a 时, t ? t1 ? ( ) 3 , 又 ds=vdt,故阻力所作的功为:

a b

1

15

Wzu ? ? Fzu ds ? ? kv2 ? vdt ? k ? v 3 dt ? k ? (3bt 2 ) 3 dt ?
0 0 0

t1

t1

t1

27 3 7 27 3 7 2 kb t1 ? k a b 7 7

(2)依题设可知抛物线为凸形,它与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1=0,x2=-b/a,所 以S ?

?

?

b a

0

(ax 2 ? bx)dx ?

1 3 b (1) 6a 2
2

又直线 x+y=4 与抛物线 y=ax +bx 相切,即它们有唯一的公共点,

由方程组 ?

?x ? y ? 4
2 ? y ? ax ? bx

得 ax +(b+1)x-4=0,其判别式必须为 0,即(b+1) +16a=0.

2

2

于是 a ? ?

1 (b ? 1) 2 , 代入(1)式得: 16

S (b) ?

128b 3 128 b 2 (3 ? b) ? , ( b ? 0 ) S ( b ) ? , ; 6(b ? 1) 4 3(b ? 1) 5

令 S'(b)=0;在 b>0 时得唯一驻点 b=3,且当 0<b<3 时,S'(b)>0;当 b>3 时,S'(b) <0. 故在 b=3 时, S(b)取得极大值, 也是最大值, 即 a=-1, b=3 时, S 取得最大值, 且 S max ? 点评:应用好定积分处理平面区域内的面积。

9 。 2

五.思维总结
1 主要考查: (1)函数的极限; (2)导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用; (3)计算曲边图形的面积和旋转体的体积。

16


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