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数学理卷·2014届安徽省望江中学高三上学期第五次月考(2013.12)


2014 届望江中学高三第五次月考

数学试题卷(理科)2013-12-21
时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:李玉明 审题人:周涛

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 考查内容为:集合、简易逻辑;函数与导数;三角函数;平面向量;数列;不等式。 注意事项: 1.考生在答题前,请务必将自己的姓名、班级、

座位号号等信息填在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后填在答题卷上,答在试卷上无效. 3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卷上每题对应的答题区域内. 答在试题卷上无效.

第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在四个选项中,只有一项是符合
题目要求的) 1.已知复数 z ?

2?i ,则 z 在复平面内对应的点位于( 1? i
B.第二象限

) C.第三象限 ) D.第四象

A.第一象限 限

2. 集合 P ? {3, log 2 a} , Q ? {a, b} ,若 P ? Q ? {0} ,则 P ? Q ? ( A. {3,0} B. {3,0, 2} C. {3, 0,1} 3. 下列命题,正确的是(
2

D. {3, 0,1, 2}



A.命题: ?x ? R ,使得 x ? 1 ? 0 的否定是: ?x ? R ,均有 x 2 ? 1 ? 0 . B.命题:若 x ? 3 ,则 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的否命题是:若 x ? 3 ,则 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 . C.命题:存在四边相等的四边形不是正方形,该命题是假命题. D.命题:若 cos x ? cos y ,则 x ? y 的逆否命题是真命题. 4.若集合 A ? x x ? 5 x ? 4<0 ; B ? x x ? a <1 , 则“ a ? (2,3) ”是“ B ? A ”的
2

?

?

?

?



) B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件

5. 在函数 y=f(x)的图象上有点列(xn,yn),若数列{xn}是等差数列,数列{yn}是等比数列, 则函数 y=f(x)的解析式可能为( ) A. f(x)=2x+1 B.f(x)=4x
2

C.f(x)=log3x

D. f(x)=(

3 x ) 4

第 1 页 共 8 页

6. 已知一元二次不等式 f (x)<0 的解集为 ? x |x <-1或x > A. x |x <-1或x >lg2 ?

1 2

( ? ,则 f (10 x )>0 的解集为



?

B. x |-1<x <lg2 ?

?

C. x |x <-lg2 ? )

?

D. ? x |x >-lg2

?

7. 设 x, y为正数,且( x ? 1)( y ? 1) ? 4, 则 (

A.0 ? x ? y ? 6

B.x ? y ? 6

C.x ? y ? 1 ? 7

D.0 ? x ? y ? 1 ? 7
?

8. 已知函数 f(x)=sin(2x+φ ),其中 φ 为实数.若 f ( x) ?| f ( ) | 对 x∈R 恒成立,且 6

f ( ) ? f (? ) ,则 f(x)的单调递增区间是( 2 A. ?k? ? ? , k? ? ? ? (k ? Z ) ? 3 6? ? ? C. ?k? ? ? , k? ? 2? ? (k ? Z ) ? 6 3 ? ? ?

?

) B. ?k? , k? ? ? ? (k ? Z ) ? 2? ? ? D. ?k? ? ? , k? ? (k ? Z ) ? ? 2 ? ?

9.已知向量 a 、 b 满足 | a |? 1, ( a ? b) ? ( a ? 2b) ? 0 ,则 | b | 的取值范围为( A.[1, 2] B.[2, 4] C.[ , ]

?

?

?

? ?

?

?

?

) D.[ ,1]

1 1 4 2

1 2

10.函数 f ( x) 的定义域为 D,若对于任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 时都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称 函数 f ( x) 在 D 上为非减函数,设函数 f ( x) 在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件: ① f (0) ? 0 ; ( ) A. ② f( )?

x 3

1 1 1 f ( x) ;③ f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) , 则 f ( ) ? f ( ) 等 于 3 8 2 3 4 4 3

1 2

B.

C.1

D.

Ⅱ卷

非选择题 (共 100 分)

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 把每小题的答案填在答题纸的相
应位置)
11.在 ?ABC 中,若 a ? 2, ?B ? 60?, b ?

7 ,则 BC 边上的高等于

.

?3x ? y ? 6 ? 0, ? 12. 设 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 2 ? 0, 则 目 标 函 数 z = y ? 2 x 的 最 小 值 ? y ? 3 ? 0, ?

为 13. 已 知

; 数 列

?a n ?的前n项和为S n,且S n

? 2n 2 ? n,n ? N ? ,





?bn ?满足a n

? 4 log2 bn ? 3, n ? N ? ,则 bn ? __________ . ;
第 2 页 共 8 页

1 14.已知 sin x+sin y = ,则 sin y ? cos 2 x 的取值范围为 3
15.设 a ? b ? 0, 则a ?
2



1 1 ? 的最小值是 ___________ . ab a (a ? b)

三、 解答题: 本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (
16. (本小题 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax ? 4 x ? c ,且 f ( x) ? 0 的解集是( ? 1 ,5) .
2

(l)求实数 a,c 的值; (2)求函数 f ( x) 在 x ? ? 0,3? 上的值域.

17. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin ? ?x ?

? ?

??

其图像相邻两条对称轴之 ? ? 1? A ? 0, ? ? 0 ? 的最大值为 3 , 6?

间的距离为

?
2

.

(Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式; (Ⅱ)设 ? ? ? 0,

? ? ? ? ? ? 11 ?, f ? ? ? ,求 cos ? 的值. ? 2? ?2? 5

18. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x . (l)求 f ( x) 的单调区间和极值; (2)若对任意 x ? (0, ??), f ( x) ?

? x 2 ? mx ? 3 恒成立,求实数 m 的最大值. 2

19. (本小题 13 分) 已知集合 A ? ( x, y ) x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0 ,B ? ?( x, y ) x ? y ? 1 ? 0, 0 ? x ? 2? ,A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围?

?

?

第 3 页 共 8 页

20. (本小题 13 分) 如图,山顶有一座石塔 BC ,已知石塔的高度为 a . (Ⅰ) 若以 B, C 为观测点, 在塔顶 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 ? , 在塔底 C 处测得 A 处的俯角 为 ? ,用 a, ? , ? 表示山的高度 h ; (Ⅱ) 若将观测点选在地面的直线 AD 上, 其中 D 是塔顶 B 在地面上的射影. 已知石塔高 度 a ? 20 , 当观测点 E 在 AD 上满足 DE ? 60 10 时看 BC 的视角(即 ?BEC )最大, 求山的高度
h.

第 20 题

21. (本小题 13 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n .已知 a1 ? 1 , (Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

第 4 页 共 8 页

2014 届望江中学高三第五次月考

数学试题卷(理科) 参考答案
一 、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 A 5 D 6 C 7 B 8 C 9 D 10 B

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
3 3 2

11.

12. -7

13.

2 n ?1

14. [-

11 4 , ] 12 9

15. 4

三、解答题: (本大题共 6 小题;共 75 分)
16. 解: 由 f ? x ? ? 0 , (1) 得:ax 2 ? 4 x ? c ? 0 , 不等式 ax 2 ? 4 x ? c ? 0 的解集是 ? ?1,5 ? , 故方程 ax 2 ? 4 x ? c ? 0 的两根是 x1 ? -1,x2 ? 5 , 所以 ???????3 分

4 c ? x1 ? x2 ? 4 , ? x1 ? x2 ? ?5 a a

, ???????6 分

所以 a ? 1, c ? ?5

4 ﹣ ( ﹣) 9 (2)由(1)知, f ? x ? ? x ﹣ x 5 ? x 2 ﹣ .
2 2

∵x∈[0,3], f (x) 在[0,2]上为减函数,在[2,3]上为增函数. ∴当 x=2 时, f (x) 取得最小值为 f(2)=﹣9. 而当 x=0 时, (0)(﹣) 9 ?﹣ ,当 x=3 时, (3)(﹣) 9 ?﹣ f ? 0 2﹣ 5 f ? 32﹣ 8
2 2

∴ f (x) 在[0,3]上取得最大值为 (0) ﹣ f ? 5 ∴函数 f (x) 在 x∈[0,3]上的值域为[﹣9,﹣5]. ?????????12 分

17. 解:(1)∵函数 f(x)的最大值为 3,∴A+1=3,即 A=2, π ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ,∴最小正周期 T=π ,∴ω =2, 2

第 5 页 共 8 页

π 故函数 f(x)的解析式为 y=2sin(2x- )+1. 6 α? π? π? 3 11 ? ? ? (2)∵f? ?=2sin?α - ?+1= ,即 sin?α - ?= , 6? 6? 5 ?2? ? ? 5 π π π π ∵0<α < ,∴- <α - < , 2 6 6 3 ∴ cos? ? ?

6分

? ?

??

?? 4 ? ? ? ? 4 3 ?3 . ? ? , 所以 cos ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? 6? 5 6 ? 6? 10 ??
12 分

18.解 (1) ?

f ? x ? ? x ln x

? f ' ? x ? ? ln x ? 1
1 ?1 ? ? f ' ? x ? ? 0 有 x ? ,? 函数 f ? x ? 在 ? , ?? ? 上递增 e ?e ? 1 ? 1? f ' ? x ? ? 0 有 0 ? x ? ,? 函数 f ? x ? 在 ? 0, ? 上递减 e ? e?
? f ? x? 在 x ?
???????..3 分

???????..5 分

1 处取得极小值,极小值为 e
2

1 ?1? f ? ??? e ?e?

???????..6 分

(2) ? 2 f ? x ? ? ? x ? mx ? 3 即 mx ? 2 x ? ln x ? x 2 ? 3 , x ? 0 ? m ? 又 分 令 h ? x? ?

2 x ? ln x ? x 2 ? 3 x

???????..8

2 x ? ln x ? x 2 ? 3 x
2

h '? x?


? 2 x ? ln x ? x ?

? 3? '? x ? ? 2 x ? ln x ? x 2 ? 3? ? x ' x2

2x ? x2 ? 3 ? x2

???????.10

令 h ' ? x ? ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ?3 (舍) 当 x ? ? 0,1? 时, h ' ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ? 0,1? 上递减 当 x ? ?1, ?? ? 时, h ' ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上递增 分 ???????.11

? h ? x ?max ? h ?1? ? 4

第 6 页 共 8 页

即 4

m





大 值 ???????.12 分



19.

2 解法一: 问题等价于方程组 y ? x ? mx ? 2 在 [0, 2] 上有解, x ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 即
2

?y ? x ?1

在 [0, 2] 上有解, 令 f ( x) ? x ? (m ? 1) x ? 1 ,则由 f (0) ? 1 知抛物线 y ? f ( x) 过点 (0,1) ,
2

∴抛物线 y ? f ( x) 在 [0, 2] 上与 x 轴有交点等价于 f (2) ? 2 ? 2( m ? 1) ? 1 ? 0
2



?? ? (m ? 1) 2 ? 4 ? 0 ? 1? m ?2 或 ?0 ? 2 2 ? ? f (2) ? 2 ? 2(m ? 1) ? 1 ? 0
∴实数 m 的取值范围为 (??, ?1] .



由①得 m ? ?

3 3 ,由②得 ? ? m ? 1 , 2 2

20.(1)在△ ABC 中, ?BAC ? ? ? ? , ?BCA ? 90 ? ? ,
?

由正弦定理得:

BC AB ? sin ?BAC sin ?BCA

? AB ?

a sin(90? ? ? ) a cos ? ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? )

则 h ? AB ? sin ? ? a ?

a cos ? sin ? a ? cos ? sin ? ?a= sin(? ? ? ) sin(? ? ? )

h ? 20 h , tan ?CED ? x x tan ?BED ? tan ?CED ? tan ?BEC ? 1 ? tan ?BED ? tan ?CED 20 10 20 x ? ? ? (h ? 20)h (h ? 20)h h(h ? 20) 1? x? 2 x x (h ? 20)h 当且仅当 x ? 即 x ? h(h ? 20) 时, tan ?BEC 最大,从而 ?BEC 最大 x
(2)设 DE ? x ,? tan ?BED ? 由题意, h(h ? 20) ? 60 10 ,解得 h ? 180

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3 1 2 ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? 2 S1 ? a2 ? ? 1 ? ? a2 ? 2 又 a1 ? 1 ,? a2 ? 4 3 3
21. (1) 解:? (2)解:?

2Sn 1 2 ? ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N . n 3 3
第 7 页 共 8 页

n n ? 1?? n ? 2 ? ? 2Sn ? nan ?1 ? 1 n3 ? n 2 ? 2 n ? nan ?1 ? ?

① ②

? 当 n ? 2 时, 2Sn ?1 ? ? n ? 1? an ? ?

3

3

n ? 1? n ? n ? 1? 3

3

由① — ②,得 2 S n ? 2 S n ?1 ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? n ? n ? 1?

? 2an ? 2 S n ? 2 S n ?1 ? 2an ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? n ? n ? 1?
? ? an ?1 an ? ?1 n ?1 n a ?a ? ? 数列 ? n ? 是以首项为 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列. 1 ?n?
, 当 n ?1 时 , 上 式 显 然 成 立 .

an ? 1 ? 1? ? n ? 1? ? n,? an ? n 2 ? n ? 2 ? n

? an ? n 2 , n ? N *
(3)证明:由(2)知, an ? n 2 , n ? N * ①当 n ? 1 时,

1 7 ? 1 ? ,? 原不等式成立. a1 4

②当 n ? 2 时, 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 7 ,? 原不等式亦成立. a1 a2 4 4 ③当 n ? 3 时, ? n 2 ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ,?

1 1 ? 2 n ? n ? 1? ? ? n ? 1?

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 1? ? ??? ? a1 a2 an 1 2 n 1? 3 2 ? 4 ? n ? 2 ? ? n ? n ? 1? ? ? n ? 1?

1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1? 1 1? 1? 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? 2 ?1 3 ? 2 ? 2 4 ? 2 ? 3 5 ? 2 ? n ? 2 n ? 2 ? n ?1 n ? 1 ? 1 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 2 ?1 3 2 4 3 5 n ? 2 n n ?1 n ? 1 ? 1 ?1 1 1 1 ? 7 1? 1 1 ? 7 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 2 ? 1 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ? 4 ? 当 n ? 3 时,,? 原不等式亦成立. 综上,对一切正整数 n ,有 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 7 . a1 a2 an 4

第 8 页 共 8 页


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