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高三数学一轮复习精析教案42《高考选作部分(4-1、4-4、4-5)》


第 42 讲

高考选做部分(4-1、4-4、4-5)

(2007 广 东 理) 13.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为
?x ? t ? 3 ? x ? cos ? (参数 t∈R),圆 C 的参数方程为 ? (参数 ? ? [0, 2? ] ),则圆 C 的圆 ? ?y ? 3?

t ? y ? 2sin ? ? 2

心坐标为_______,圆心到直线 l 的距离为______. 答案:(0,2); 2 2 . 解析:直线的方程为 x+y-6=0,d=
| 2?6| 2 ?2 2;

14.(不等式选讲选做题)设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? x ? 3, 则 f (?2) =_____;若 f ( x) ? 5 ,则 x 的取值范围是________; 答案:6; [? ,1] 15.几何证明选讲选做题]如图所示,圆O的直径 为6, C为圆周上一点。 BC=3, 过C作圆的切线l, 过A作l的垂线AD, 垂足为D, 则∠DAC=______; 线段 AE 的长为_______。 答案:
?
6
1 2

D C l A O B

;3。

解析: 根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余, 很容易得到答案; AE=EC=BC=3; 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ=3,则点(2,π/6)到直 线l的距离为 . 【解析】 法1:画出极坐标系易得答案2; 法2:化成直角方程 y ? 3 及直角坐标 ( 3,1) 可得 答案2.

22.请考生在 A,B,C 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.A(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证 P 明选讲 如图,已知 AP 是 ? O 的切线,P 为切点, AC 是 ? O 的割线,与 ? O 交于 B,C 两点,圆心 O 在 A O ?PAC 的内部,点 M 是 BC 的中点.
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B

M
C

(Ⅰ)证明 A P,O,M 四点共圆; , (Ⅱ)求 ?OAM ? ?APM 的大小. (Ⅰ)证明:连结 OP,OM . 因为 AP 与 ? O 相切于点 P ,所以 OP ? AP . 因为 M 是 ? O 的弦 BC 的中点,所以 OM ? BC . 于是 ?OPA ? ?OMA ? 180° . 由圆心 O 在 ?PAC 的内部,可知四边形 APOM 的 A 对角互补,所以 A P,O,M 四点共圆. , (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 A P,O,M 四点共圆,所 , 以 ?OAM ? ?OPM . 由(Ⅰ)得 OP ? AP . 由圆心 O 在 ?PAC 的内部,可知 ?OPM ? ?APM ? 90°. 所以 ?OAM ? ?APM ? 90° 22.B(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

P

O

B

M C

? O1 和 ? O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4 cos ?,? ? ?4sin ? .
(Ⅰ)把 ? O1 和 ? O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过 ? O1 , ? O2 交点的直线的直角坐标方程. 解:以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的 长度单位.
2 (Ⅰ) x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,由 ? ? 4 cos ? 得 ? ? 4 ? cos ? . 2 2 所以 x ? y ? 4 x .

2 2 即 x ? y ? 4 x ? 0 为 ? O1 的直角坐标方程. 2 2 同理 x ? y ? 4 y ? 0 为 ? O2 的直角坐标方程.

(Ⅱ)由 ?

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0, ? x1 ? 0, x2 ? 2 ? ? 解得 ? . ? 2 2 ?x ? y ? 4 y ? 0 ? y1 ? 0, y2 ? ?2 ? ?

即 ? O1 , ? O2 交于点 (0, 和 (2, 2) .过交点的直线的直角坐标方程为 y ? ? x . 0) ?

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1 ? x≤? , ?? x ? 5, 2 ? 1 ? y ? ?3 x ? 3, ? ? x ? 4,...............3 分 2 ? ? x ? 5, x ≥ 4. ? ?

2 作出函数 y ? 2 x ? 1 ? x ? 4 的图象,它与直线 y ? 2 的交点为 (?7, 和 ? ,? . 2) ? ? 所以 2 x ? 1 ? x ? 4 ? 2 的解集为 (? x, 7) ? ? , x ? .
(Ⅱ)由函数 y ? 2 x ? 1 ? x ? 4 的图像可知,当 x ? ? 最小值 ?

?5 ? ?3 ?

?5 ?3

? ?

1 时, y ? 2 x ? 1 ? x ? 4 取得 2

9 . 2

13.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ? cos ? ? 3 ,

? ? 4 cos ? ? ? ≥ 0,≤ ? ? ? ,则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为 0 2
?
【标准答案】 (2 3,

? ?

π?



?
6

)。

?? ? 2 3 ? ? cos ? ? 3 ? ? ( ? ? 0, 0 ? ? ? ) 解得 ? 【试题解析】我们通过联立解方程组 ? ? , 2 ? ? ? 4 cos ? ?? ? 6 ?
即两曲线的交点为 (2 3,

?
6

)。

【高考考点】极坐标、极坐标方程

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14.(不等式选讲选做题)已知 a ? R ,若关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 则 a 的取值范围是 【标准答案】 ?0, ? 。 4 【试题解析】关于 x 的二次方程的判别式 ? ? 1 ? 4( a ? .

1 ? a ? 0 有实根, 4

? 1? ? ?

1 ? a ) ,方程有实根,那么 4

? ? 1 ? 4( a ?

1 ? a ) ? 0。 4

即 a?

1 1 1 1 1 1 ? a ? ,而 a ? ? a ? 2a ? ,从而 2a ? ? , 4 4 4 4 4 4
1 。 4

解得 0 ? a ?

【高考考点】不等式选讲。 15.(几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PA ? 2 . AC 是圆 O 的 直径, PC 与圆 O 交于点 B , PB ? 1 ,则圆 O 的半径 R ? . 【标准答案】 3 。 【试题解析】依题意,我们知道 ?PBA ? ?PAC ,由相似 三角形的性质我们有

PA PB ,即 ? 2 R AB

R?

PA ? AB 2 ? 22 ? 12 ? ? 3。 2 PB 2 ?1

【高考考点】几何证明选讲 14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C1 , C2 的极坐标方程分别为

? ? cos ? ? 3, ? ? 4cos ? ( ? ? 0,0 ? ? ? ) ,则曲线 C1 C2 交点的极坐标为 2



?? ? 2 3 ? ? cos ? ? 3 ? ? ( ? ? 0,0 ? ? ? ) 解得 ? 【解析】我们通过联立解方程组 ? ? ,即两曲线的 2 ? ? ? 4cos ? ?? ? 6 ?
交点为 (2 3,

?
6

)。

15. (几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切点,切点为 A,PA=2.AC 是圆 O 的直径, PC 与圆 O 交于 B 点,PB=1,则圆 O 的半径 R=________.
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【解析】依题意,我们知道 ?PBA ? ?PAC ,由相似三角形的性质我们有

PA PB ,即 ? 2 R AB

PA ? AB 2 ? 22 ? 12 R? ? ? 3。 2 PB 2 ?1

22、(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点为 A,过 A 作直线 AP 垂直直线 OM, 垂足为 P。 (Ⅰ)证明: OM· = OA2; OP (Ⅱ)N 为线段 AP 上一点,直线 NB 垂直直线 ON,且交 圆 O 于 B 点。过 B 点的切线交直线 ON 于 K。证明:∠OKM = 90°。 【试题解析】:(Ⅰ)证明:因为MA是圆O的切线,所以 OA ? AM . 又因为 AP ? OM ,在 Rt ?OAM 中,由射影定理知,
O B A N P M K

OA2 ? OM ? OP .
(Ⅱ)证明:因为BK是圆O的切线, BN ? OK , 同(Ⅰ),有 OB 2 ? ON ? OK , OB ? OA . 所以 OP ? OM ? ON ? OK ,即

又 ?NOP ? ?MOK , 所以 ?NOP ? ?MOK ,故 ?OKM ? ?OPN ? 90° . 【高考考点】圆的有关知识及应用 【易错点】:对有关知识掌握不到位而出错 【高考学习网提示】:高考对平面几何的考查一直要求不高,故要重点掌握,它是我 们的得分点之一。 (23)(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程

ON OM . ? OP OK

? 2 t ? 2, ?x ? ? x ? cos? , ? 2 已知曲线 C1: ? ( ? 为参数),曲线 C2: ? (t 为参数)。 2 ? y ? sin ? ?y ? . ? 2 ?
(Ⅰ)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数;
? (Ⅱ)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1? , C2 。写出

C1? , C2? 的参数方程。 C1? 与 C2? 公共点的个数和 C 1 与C 2 公共点的个数是否相同?说明你的
理由。
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【试题解析】:(Ⅰ)C1是圆, C2是直线, C1的普通方程是 x 2 ? y 2 ? 1 ,C2的普通方程是 x ? y ? 2 ? 0 . 因为圆心C1到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离是1, 所以C1与C2只有一个公共点.
? x ? cos ? (Ⅱ)压缩后的参数方程分别为 C1: ? (? 为参数) , ? 1 y ? sin ? ? ? 2
? 2 t? 2 ?x ? 2 曲线 C2: ? (t为参数) . ? ?y ? 2 t ? ? 4

化为普通方程为 C1 ' : x 2 ? 4 y 2 ? 1 , C2 ' : y ? 联立消元得 2 x 2 ? 2 2 x ? 1 ? 0 , 其判别式 ? ? (2 2) 2 ? 4 ? 2 ?1 ? 0 ,

1 2 x? . 2 2

所以压缩后的直线 C2 ' 与椭圆 C1 ' 仍然只有一个公共点, C1 与 C2 的公共点的个数相 和 同。 【高考考点】参数方程与普通方程的互化及应用 【易错点】:对有关公式掌握不到位而出错 【备考提示】:高考对参数方程的考查要求也不高,故要重点掌握,它也是我们的得 分点之一 (24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等 已知函数 f ( x) ?| x ? 8 | ? | x ? 4 | 。 (Ⅰ)作出函数 y ? f (x) 的图像; (Ⅱ)解不等式 | x ? 8 | ? | x ? 4 |? 2 。 【试题解析】:(Ⅰ)令 y ? 2 x ? 1 ? x ? 4 , 则 式选讲

?4, ? y ? f ( x) ? ??2 x ? 12, ??4, ?
图象如图所示,

x ? 4, 4 ? x ? 8, ...............3分 x ? 8.

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(Ⅱ)不等式 | x ? 8 | ? x ? 4 ? 2 ,即 f ( x) ? 2 . 由 ?2 x ? 12 ? 2 得 x ? 5 . 由函数 f ( x) 图象可知,原不等式的解集为 (??,5) . 【高考考点】绝对值不等式的有关知识及应用本题主要考查参数方程与普通方程的互 化,以及转化与化归的思想,分析问题与解决问题的能力。 【易错点】:对绝对值不等式不会灵活分类而出错 【备考提示】:高考对绝对值不等式的考查要求不高,以中档题为主,故是我们的得 分点之一,平时复习时不要盲目加深。 (2008 江苏卷)附加题 21:从 A,B,C,D 四个中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分。 A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,设△ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点 E,∠BAC 的平分线与 BC 交 于点 D.求证: ED 2 ? EC ? EB . 证明:如图,因为 AE 是圆的切线, 所以, ?ABC ? ?CAE , 又因为 AD 是 ?BAC 的平分线, 所以 ?BAD ? ?CAD 从而 ?ABC ? ?BAD ? ?CAE ? ?CAD 因为 ?ADE ? ?ABC ? ?BAD ,

?DAE ? ?CAD ? ?CAE 所以 ?ADE ? ?DAE ,故 EA ? ED . 因为 EA 是圆的切线,所以由切割线定理知, EA2 ? EC ? EB , 而 EA ? ED ,所以 ED 2 ? EC ?EB 。
B.选修 4—2 矩阵与变换
2 2 在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 4 x ? y ? 1 在矩阵 A ? ?

? 2????0 ? ? 对应的变换作用下 ?0????1 ?

得到曲线 F,求 F 的方程. 解:设 P ( x0 , y 0 ) 是椭圆上任意一点,点 P ( x0 , y 0 ) 在矩阵 A 对应的变换下变为点
' ' P ' ( x0 , y0 ) 则有
' ? x0 ' ' ? x0 ? ? 2 0 ? ? x0 ? ? x0 ? 2 x0 ? x0 ? ? ,所以 ? 2 ? '??? ? ? ? ,即 ? ' ? y0 ? ?0 1 ? ? y 0 ? ? y0 ? y0 ? y ? y' ? ? ? 0 ? 0

2 2 ' ' 又因为点 P 在椭圆上,故 4 x0 ? y0 ? 1 ,从而 ( x0 ) 2 ? ( y0 ) 2 ? 1

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所以,曲线 F 的方程是 x 2 ? y 2 ? 1 C.选修 4—4 参数方程与极坐标 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P (x,y ) 是椭圆 的最大值.

x2 ? y 2 ? 1 上的一个动点,求 S ? x ? y 3

? x ? 3 cos ? x2 ? 解: 因椭圆 (?为参数) ? y 2 ? 1 的参数方程为 ? 3 ? y ? sin ? ?
故可设动点 P 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ?) ,其中 0 ? ? ? 2? . 因此 S ? x ? y ? 3 cos ? ? sin ? ? 2( 所以,当 ? ?

3 1 ? cos ? ? sin ? ) ? 2sin(? ? ) 2 2 3

?
6

时, S 取得最大值 2。

D.选修 4—5

不等式证明选讲

设 a,b,c 为正实数,求证:

1 1 1 ? ? ? abc ? 2 3 . a 3 b3 c 3

证明:因为 a, b, c 为正实数,由平均不等式可得

1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 3 ? 33 3 ? 3 ? 3 3 a b c a b c

1 1 1 3 ? 3? 3? 3 a b c abc 1 1 1 3 所以 3 ? 3 ? 3 ? abc ? ? abc , a b c abc
即 而

3 3 ? abc ? 2 ?abc ? 2 3 abc abc
1 1 1 ? ? ? abc ≥ 2 3 。 a 3 b3 c 3

所以

22.【必做题】如图,设动点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD -A1 B1C1 D1 的对角线 BD1 上 一点,记

D1 P ? ? .当 ?APC 为钝角时,求 ? 的取值范围. D1 B

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解:由题设可知,以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系

??? ?

????

???? ?

D ? xyz ,
则有 A(1, 0, 0) , B (1,1, 0) , C (0,1, 0) , D(0, 0,1) 由 D1 B ? (1,1, ?1) ,得 D1 P ? ? D1 B ? (? , ? , ?? ) , 所以 PA ? PD1 ? D1 A ? (?? , ?? , ? ) ? (1, 0, ?1) ? (1 ? ? , ?? , ? ? 1)

???? ?

???? ?

???? ?

??? ?

???? ???? ? ?

??? ???? ???? ? ? ? PC ? PD1 ? D1C ? (?? , ?? , ? ) ? (0,1, ?1) ? (?? ,1 ? ? , ? ? 1)
显然 ?APC 不是平角,所以 ?APC 为钝角等价于

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? PA?PC cos ?APC ? cos ? PA, PC ?? ??? ??? ? 0 ,则等价于 PA?PC ? 0 , ? ? PA ?PC

2 即 (1 ? ? )(?? ) ? (?? )(1 ? ? ) ? (? ? 1) ? (? ? 1)(3? ? 1) ? 0 ,得

1 ? ? ?1. 3

因此, ? 的取值范围是 ( ,1)

1 3

23.【必做题】.请先阅读:
2 在等式 cos 2 x ? 2 cos 2 x ? 1 ( x ? R )的两边求导,得: ( cos 2 x)? ? (2 cos x ? 1)?



sin 由求导法则,得 ( ? sin 2 x)?2 ? 4 cos x? ? sin x) ,化简得等式: sin 2 x ? 2 cos x? x . (
n (1)利用上题的想法(或者其他方法),试由等式 (1 ? x) n =C0 ? C1 x ? C 2 x 2 ? ? ? C n x n n n n
n

( x ? R ,正整数 n ≥ 2 ),证明: n[(1 ? x) (2)对于正整数 n ≥ 3 ,求证: (i)

n ?1

? 1] ? ? kCk x k ?1 . n
k ?2

? (?1)k kCnk ? 0 ; (ii) ? (?1)k k 2Ckn ? 0 ; (iii) ?
k ?1 k ?1

n

n

1 2n ?1 ? 1 Ck ? . n n ?1 k ?1 k ? 1
n

n 证明:(1)在等式 (1 ? x) n =C0 ? C1 x ? C 2 x 2 ? ? ? C n x n 两边对 x 求导得 n n n 1 2 n n n(1 ? x) n ?1 ? Cn ? 2Cn x ? ? ? (n ? 1)Cn ?1 x n ? 2 ? nCn x n ?1
n

移项得

k n[(1 ? x) n ?1 ? 1] ? ? kCn x k ?1 k ?2

(*)

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(2)(i)在(*)式中,令 x ? ?1 ,整理得
n

? (?1)
k ?1

n

k ?1

k kCn ? 0 .

所以

? (?1)
k ?1

k

k kCn ? 0

1 2 n n (ii)由(1)知 n(1 ? x) n ?1 ? Cn ? 2Cn x ? ? ? (n ? 1)Cn ?1 x n ? 2 ? nCn x n ?1 , n ? 3 . 2 3 n 两边对 x 求导,得 n(n ? 1)(1 ? x) n ? 2 ? 2Cn ? 3?2Cn x ? ? ? n(n ? 1)Cn x n ? 2 .

在上式中,令 x ? ?1
2 3 2 0 ? 2Cn ? 3?2Cn (?1) ? ? ? n (n ? 1)Cn (? 1)n ? 2 ,
n



? k (k ? 1)C
k ?2

k n

(?1) k ? 2 ? 0 ,

亦即

? (?1)
k ?2

n

k

k (k 2 ? k )Cn ? 0



又由(i)知

? (?1)
k ?1 n k ?1

n

k

k kCn ? 0



由①+②得

? (?1) k
k

2

Ck ? 0 . n

n (iii)将等式 (1 ? x) n =C0 ? C1 x ? C 2 x 2 ? ? ? C n x n 两边在 [0,1] 上对 x 积分, n n n

? (1 ? x)
0

1

n

2 n dx ? ? (C0 ? C1 x ? Cn x 2 ? ? ? C n x n )dx , n n 0

1

由微积分基本定理,得

1 (1 ? x) n ?1 n ?1

1 0

? (?

1 k k ?1 1 Cn x ) 0 , k ?0 k ? 1

n

所以 2009 广东卷

1 k 2n ?1 ? 1 ? k ? 1Cn ? n ? 1 . k ?0
n

13. (坐标系与参数方程选做题) 若直线 l1 : ? ( s 为参数)垂直,则 k ? 【解析】 ? .

? x ? 1 ? 2t , ? x ? s, ( t 为参数) 与直线 l2 : ? ? y ? 1 ? 2 s. ? y ? 2 ? kt.

k ? (?2) ? ?1 ,得 k ? ?1 . 2

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14.(不等式选讲选做题)不等式

x ?1 x?2

? 1 的实数解为



【解析】

? x ?1 ? x ? 2 ?( x ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 3 ?? ? x ? ? 且 x ? ?2 . ?1 ? ? x?2 2 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0
x ?1

15. (几何证明选讲选做题) 如图 4, A, B, C 是圆 O 上的点, 且 AB ? 4, ?ACB ? 450 , 点 则圆 O 的面积等于 .

OB 则 OA 【解析】 解法一: 连结 OA 、 , ?AOB ? 90 0 , AB ? 4 , ? OB , OA ? 2 2 , ∵ ∴
则 S圆 ? ? ? (2 2 ) 2 ? 8? ;解法二: 2 R ?

4 ? 4 2 ? R ? 2 2 ,则 sin 45 0

S圆 ? ? ? (2 2 ) 2 ? 8? .
2009 江苏卷 21.[选做题]在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题,每小题 10 分,共计 20 分。请在 ...... 答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ....... A.选修 4 - 1:几何证明选讲 如图,在四边形 ABCD 中,△ABC≌△BAD. 求证:AB∥CD. [解析] 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识, 考查推理论证能力。满分 10 分。 证明: 由△ABC≌△BAD 得∠ACB=∠BDA, A、 C、 四点共圆, 故 B、 D 从而∠CBA=∠CDB。 再由△ABC≌△BAD 得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB,所以 AB∥CD。

B. 选修 4 - 2:矩阵与变换 求矩阵 A ? ?

?3 2? ? 的逆矩阵. ?2 1?

[解析] 本小题主要考查逆矩阵的求法,考查运算求解能力。满分 10 分。 解:设矩阵 A 的逆矩阵为 ? 即?

?x y ? ? 3 2 ? ? x y ? ?1 0 ? ? , 则 ? 2 1 ? ? z w? ? ?0 1 ? , ? z w? ? ?? ? ? ?

?3 x ? 2 z 3 y ? 2 w ? ? 1 0 ? ?3 x ? 2 z ? 1, ?3 y ? 2 w ? 0, ? ? ?0 1 ? , 故 ?2 x ? z ? 0, ?2 y ? w ? 1, ? 2x ? z 2 y ? w ? ? ? ? ?

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解得: x ? ?1, z ? 2, y ? 2, w ? ?3 , 从而 A 的逆矩阵为 A?1 ? ?

? ?1 2 ? ?. ? 2 ?3?

C. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程

1 ? ?x ? t ? t ? 已知曲线 C 的参数方程为 ? , ( t 为参数, t ? 0 ). ? y ? 3(t ? 1) ? t ?
求曲线 C 的普通方程。 [解析] 本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识,考查转化问题的能力。满分 10 分。 解:因为 x 2 ? t ? ? 2, 所以 x 2 ? 2 ? t ? ?
2 故曲线 C 的普通方程为: 3 x ? y ? 6 ? 0 .

1 t

1 t

y , 3

D. 选修 4 - 5:不等式选讲 设 a ≥ b >0,求证: 3a 3 ? 2b3 ≥ 3a 2b ? 2ab 2 . [解析] 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法,考查代数式的变形能力。满分 10 分。
3 3 2 2 2 2 2 2 证明: 3a ? 2b ? (3a b ? 2ab ) ? 3a (a ? b) ? 2b (b ? a ) ? (3a ? 2b )(a ? b). 2 2 因为 a ≥ b >0,所以 a ? b ≥0, 3a 2 ? 2b 2 >0,从而 (3a ? 2b )(a ? b) ≥0,

即 3a 3 ? 2b3 ≥ 3a 2b ? 2ab 2 . 2009 海南宁夏卷 (22)(本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲 如图,已知 ? ABC 中的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H , ? B=60 ? , F 在 AC 上,且 AE ? AF 。 (1)证明: B, D, H , E 四点共圆; (2)证明:CE 平分 ? DEF。

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(22)解: (Ⅰ)在△ABC 中,因为∠B=60°, 所以∠BAC+∠BCA=120°. 因为 AD,CE 是角平分线, 所以∠HAC+∠HCA=60°, 故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠AHC=120°. 因为∠EBD+∠EHD=180°, 所以 B,D,H,E 四点共圆。 (Ⅱ)连结 BH,则 BH 为 ?ABC 的平分线,得 ?HBD ? 30° 由(Ⅰ)知 B,D,H,E 四点共圆, 所以 ?CED ? ?HBD ? 30° 又 ?AHE ? ?EBD ? 60°,由已知可得 EF ? AD , 可得 ?CEF ? 30° 所以 CE 平分 ?DEF (23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程。 已知曲线 C 1 : ?

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , (t 为参数), C 2 : ? ( ? 为参数)。 ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3sin ? ,

(1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ?

?
2

,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? ? y ? ?2 ? t
(23)解:

(t 为参数)距离的最小值。

(Ⅰ) C1 : ( x ? 4) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1, C2 :

x2 y 2 ? ?1 64 9

C1 为圆心是 (?4,3) ,半径是 1 的圆。 C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆
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(Ⅱ)当 t ?

?
2

时, P (?4, 4).Q(8cos ? ,3sin ? ) ,故 M (?2 ? 4 cos ? , 2 ?

3 sin ? ) 2

C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 ,
M 到 C3 的距离 d ?

5 | 4 cos ? ? 3sin ? ? 13 | 5

从而当 cos ? ?

8 5 4 3 ,sin ? ? ? 时, d 取得最小值 5 5 5

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 如图,O 为数轴的原点,A, B, M 为数轴上三点,C 为线段 OM 上的动点, x 表示 C 设 与原点的距离, y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和. (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70, x 应该在什么范围内取值?

(24)解: (Ⅰ) y ? 4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |, 0 ? x ? 30 (Ⅱ)依题意, x 满足

?4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |? 70, ? ?0 ? x ? 30
解不等式组,其解集为 [9, 23] 所以

x ? [9, 23]

2009 辽宁理卷 ( 22 ) (本小题满分 10 分)选修 4- l :几何证明选讲 己知△ABC 中,AB=AC , D 是△ABC 外接圆

A
E

AC 劣弧 ? 上的点(不与点 A , C 重合),延长 BD 至 E。
(1)求证:AD 的延长线平分 ?CDE ; (2)若 ?BAC ? 300 ,△ABC 中 BC 边上的高 2 ? 3 ,
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D
F

B

C

求△ABC 外接圆的面积. ( 22 ) 解:( 1 )如图,设 F 为 AD 延长线上一点,∵A,B,C, D 四点共圆, ?CDF = ?ABC , 又 AB=AC,∴ ?ABC ? ?ACB ,且 ?ADB ? ?ACB , ∴ ?ADB ? ?CDF ,对顶角 ?EDF ? ?ADB ,故 ?EDF ? ?CDF , 故 AD 的延长线平分 ?CDE 。 A .( 2)设 O 为外接圆圆心,连接 AO 交 BC 于 H ,则 AH⊥BC , 连接 OC ,由题意 ? OAC= ? OCA = 15? , ?ACB ? 75? ,

O
∴ ?OCH ? 60? ,设圆半径为 r,则 r ?

D

E

得:r= 2 ,故外接圆面积为 4? 。 ( 23 ) (本小题满分 10 分)选修 4- 4 :极坐标与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐 标方程为 ? cos(? ?

3 r ? 2? 3 , 2 B

H

C

F

?

3

) ? 1 ,M , N 分别为曲线 C 与 x 轴,y 轴的交点.

(1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并求 M , N 的极坐标; (2)设 M , N 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. ( 23 )解:(1)由 ? cos(? ?

?

1 3 ? sin ? ? 1 , ) ? 1 得: ? cos ? ? 2 2 3 1 3 x? y ? 1 ,即 x ? 3 y ? 2 , 2 2

∴曲线 C 的直角坐标方程为

当 ? ? 0 时, ? ? 2 ,∴M 的极坐标(2,0); 当? ?

?
2

时, ? ?

2 3 2 3 ? , )。 ,∴N 的极坐标 ( 3 3 2 2 3 3 ) ,∴P 的直角坐标为 (1, ) , 3 3

(2)M 的直角坐标为(2,0),N 的直角坐标为 (0,

则 P 的极坐标为 (

2 3 ? ? , ) ,直线 OP 的极坐标方程为 ? ? , ? ? (??, ??) .----10 分 3 6 6

( 24 ) (本小题满分 10 分)选修 4- 5 :不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | , (1)若 a ? ?1 ,解不等式 f ( x) ? 3 ; (2)如果 ?x ? R , f ( x) ? 2 ,求 a 的取值范围

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| ( 24 )解: 当 a ? ?1 时, f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| , f ( x) ? 3 得: x ? 1| ? | x ? 1|? 3 , (1) 由
(法一)由绝对值的几何意义知不等式的解集为 {x | x ? ? 或x ? } 。 (法二)不等式可化为 ?

3 2

3 2

? x ? ?1 ??1 ? x ? 1 ? x ? 1 或? 或? , ?2 x ? 3 ??2 x ? 3 ? 2 ? 3
3 2 3 2

∴不等式的解集为 {x | x ? ? 或x ? } 。 (2)若 a ? 1 , f ( x) ? 2 | x ? 1| ,不满足题设条件;
? ?2 x ? a ? 1, ( x ? a ) ? 若 a ? 1 , f ( x) ? ?1 ? a , (a ? x ? 1) , f ( x) 的最小值为 1 ? a ; ? 2 x ? (a ? 1), ( x ? 1) ? ? ?2 x ? a ? 1, ( x ? 1) ? 1 , f ( x) ? ?a ? 1, (1 ? x ? a) , f ( x) 的最小值为 a ? 1 。 ? ? 2 x ? (a ? 1), ( x ? a ) ?

若a

所以对于 ?x ? R , f ( x) ? 2 的充要条件是 | a ? 1|? 2 ,从而 a 的取值范围

(??, ?1] ? [3, ??) 。

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