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文科-2013年上海市嘉定长宁区高三数学二模(含答案)

时间:2013-05-18


2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——长宁嘉定区数学(文科)

2013 年上海市长宁、嘉定区高三年级二模试卷——数学(文科)
2013 年 4 月 (考试时间 120 分钟,满分 150 分)
一.填空题(本大题满分 56 分,共 14 小题,每小题 4 分) 1.函数 f ( x) ? sin( 2 x ?


?

3

) 的最小正周期是__________.

2.若关于 x 的不等式 2 x 2 ? 3 x ? a ? 0 的解集为 ( m ,1 ) ,则实数 m ? _________. 3.(文)已知集合 A ? ?? 1,0, a?, B ? x 1 ? 3 x ? 9, x ? Z ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的值 是 .

?

?

4 .已知复数 z 满足

i =3,则复数 z 的实部与虚部之和为__________. z ?1

1 2 2013 5.求值: 1 ? 2C2013 ? 4C2013 ? ? ? (?2) 2013 C2013 ? ___________.

6.已知向量 a ? (?2,2), b ? (5, k ).若 | a ? b | 不超过 5,则 k 的取值范围是____________.

ax 7.设 a ? 0, a ? 1 ,行列式 D ? 2 2
数图像经过点 ?2,1? ,则 a ?

1 3 0 1 中第 3 行 4 ?3

开始

k ?1

第 2 列的代数余子式记作 y ,函数 y ? f ? x ? 的反函 .

k 2 ? 6k ? 5 ? 0
是 输出 k



k ? k ?1

8.(文)已知 cos(? ? ? ) ?

? ? ? ? (0, ), ? ? (? ,0) ,则 sin ? ? _____.
2 2
结束

3 5 , sin ? ? ? ,且 5 13

9.(文)如图是一个算法框图,则输出的 k 的值是____________. 10.(文)设函数 y ? 1 ? x 的曲线绕 x 轴旋转一周所得几何体的表面积 __________.
2

11.(文)从 4 名男生和 3 名女生中任选 3 人参加会议,则选出 3 人中至少有名女生的概 率是__________. 12.(文)函数 f ( x) ?| x ? 4 | ? x ? 4 x 的单调递减区间是___________.
2 2

? x ? 2 y ? 3 ? 0, ? 13.(文) 已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 3 ? 0, 若目标函数 z ? ax ? y 仅在点 (3,0) 处取到最大 ? y ? 1 ? 0. ? 值,则实数 a 的取值范围_______________. 14 . ( 文 ) 设 数 列 ?a n ? 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 , a1 ? 2, a3 ? 6 , 若 自 然 数 n1 , n 2 ,...n k ,... 满 足 3 ? n1 ? n2 ? ... ? nk ? ... ,且 a1 , a3 , a n1 ...a nk ,... 是等比数列,则 nk =_______________.

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二.选择题(本大题满分 20 分,共 4 小题,每小题 5 分)

??? ??? ? ? 15. 已 知 A ( a1 , b1 ) , B ( a 2 , b2 ) 是 坐 标 平 面 上 不 与 原 点 重 合 的 两 个 点 , 则 OA ? OB 的 充 要 条 件 是


A.


B. a1 a 2 ? b1b2 ? 0 C.

b1 b2 ? ? ?1 a1 a 2

a1 b1 ? a 2 b2

D. a1b2 ? a 2 b1

16.(文)关于直线, m 及平面α ,β ,下列命题中正确的是 A.若 l // ? , ? ? ? ? m, 则 l // m C.若 l // ? , m // ? , 则 l // m 17. 过点 P (1,1) 作直线与双曲线 x ?
2





B.若 l ? ? , m // ? , 则 l ? m D.若 l // ? , m ? l ,则 m ? ?

y2 ? 1 交于 A、B 两点,使点 P 为 AB 中点,则这样的直线 2



) B.存在无数条 D.不存在
2

A.存在一条,且方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 C.存在两条,方程为 2 x ? ? y ? 1? ? 0 18.
x

( 文 ) 已 知 函 数 f ( x) ? 2 ? 1, g ( x ) ? 1? x , 构 造 函 数 F ( x) , 定 义 如 下 : 当

| f ( x) |? g ( x)时, F ( x) ?| f ( x) |, 当 | f ( x) |? g ( x)时, F ( x) ? ? g ( x) ,那么 F ( x) (
A.有最小值 0,无最大值 C.有最大值 1,无最小值 三.解答题(本大题满分 74 分,共 5 小题) 19. (文)(本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) B.有最小值 ? 1 ,无最大值 D.无最小值,也无最大值



如图, 已知点 P 在圆柱 OO1 的底面圆 O 上,AB 为圆 O 的直径, 圆柱 OO1 的表面积为 24? ,OA ? 2 ,

?AOP ? 120? .
(1)求三棱锥 A1 ? APB 的体积; (2)求异面直线 A1 B 与 OP 所成角的大小.(结果用 反三角函数值表示).

A1

O1

B1

A

O

B
P

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20. (本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对应的边 a , b , c 成等比数列. (1)求证: 0 ? B ?

?

3 1 ? sin 2 B (2)求 y ? 的取值范围. sin B ? cos B



21.(本题满分 14 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? a ? (k ? 1)a
x ?x

(a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 的奇函数.
2

(1)求 k 的值; (2)(文)若 f (1) ? 0 ,试说明函数 f (x) 的单调性,并求使不等式 f ( x ? tx ) ? f (4 ? x) ? 0 恒成立 的的取值范围.

22.(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 6 分) 如图,已知点 F (0 , 1) ,直线 m : y ? ?1 , P 为平面上的动点,过点 P 作 m 的垂线,垂足为点 Q , 且 QP ? QF ? FP ? FQ . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2) (文) 过轨迹 C 的准线与 y 轴的交点 M 作方向向量为 d ? (a , 1) 的 直 线 m? 与 轨 迹 C 交 于 不 同 两 点 A 、 B , 问 是 否 存 在 实 数 a 使 得
?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

y F O x

FA ? FB ?若存在,求出 a 的范围;若不存在,请说明理由;
(3)(文)在问题(2)中,设线段 AB 的垂直平分线与 y 轴的交点 为 D (0 , y 0 ) ,求 y0 的取值范围.

m

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23.(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题 6 分) (文)已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且对于任意 n ? N * ,总有 S n ? 2(a n ? 1) . (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)在 a n 与 a n ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成等差数列,当公差 d 满足 3 ? d ? 4 时,求 n 的 值并求这个等差数列所有项的和 T ; (3)记 a n ? f (n) ,如果 c n ? n ? f (n ? log
2

m)( n ? N * ),问是否存在正实数 m ,使得数列 {c n } 是

单调递减数列?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

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长宁、嘉定区 2013 年高三年级二模数学(文科)参考答案
一、填空题(每小题 4 分,共 56 分) 1. ? 2。

1 2

3。(文) 1 4。

4 3

5。 ? 1

6. [?2 , 6]

7。 4

8.(文)

33 65
31 35

9。(文) 6

10。(文) 4? 13。 (文) ?

11、(文)

12。(文) (?? ,2]

?1 ? ,? ? ? ?2 ?

14.(文) 3 k ?1 二、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 15.B 16。B 17。D 18。(文)B

三、解答题 19.(本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) (理)解:(1)因为 AB ? 平面 BCD ,所以 AB ? CD ,又 BC ? CD ,所以 CD ? 平面 ABC , ?DAC 就是 AD 与平面 ABC 所成的角. ………………2 分 因为 AB ? 平面 BCD , AD 与平面 BCD 所成的角为 30? ,故 ?ADB ? 30? , 由 AB ? BC ? 2 ,得 AD ? 4 , AC ? 2 2 , 所以 cos ?DAC ? ………………4 分

AC 2 , ? AD 2
………………6 分

所以 AD 与平面 ABC 所成角的大小为 45? .

(2)设点 B 到平面 ACD 的距离为 d ,由(1)可得 BD ? 2 3 , CD ? 2 2 , 则 V A? BCD ?

[来源:学科网]

1 1 4 2 ,………………8 分 S ?BCD ? AB ? ? BC ? CD ? AB ? 3 6 3

VB ? ACD ?

1 1 4 S ?ACD ? d ? ? AC ? CD ? d ? d .………………10 分 3 6 3

由 V A? BCD ? V B ? ACD ,得 d ?

2.

所以点 B 到平面 ACD 的距离为 2 .………………12 分

(文)解:(1)由题意 S表 ? 2? ? 2 ? ?? ? 2 ? AA1 ? 24? ,解得 AA1 ? 4 .
2

………………2 分

在△ AOP 中, OA ? OP ? 2, ?AOP ? 120 ,所以 AP ? 2 3 .
0

在△ BOP 中, OB ? OP ? 2, ?BOP ? 60 ,所以 BP ? 2 .
0

………………4 分

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所以 VA1 ? APB ?

1 1 8 3 1 . S ?APB ? AA1 ? ? ? 2 3 ? 2 ? 4 ? 3 2 3 3

………………6 分

(2)取 AA1 中点 Q ,连接 OQ , PQ ,则 OQ // A1 B , 得 ?POQ 或它的补角为异面直线 A1 B 与 OP 所成的角. 又 AP ? 2 3 , AQ ? AO ? 2 ,得 OQ ? 2 2 , PQ ? 4 , 由余弦定理得 cos ?POQ ?
[来源:Zxxk.Com]

………………8 分

PO 2 ? OQ 2 ? PQ 2 2 , ?? 2 PO ? OQ 4
2 . 4

………………10 分

所以异面直线 A1 B 与 OP 所成角的大小为 arc cos

………………12 分

20.(本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 解:(1)由已知, b 2 ? ac ,所以由余弦定理, 得 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac ? 2ac 2ac

………………2 分

由基本不等式 a 2 ? c 2 ? 2ac ,得 cos B ? 所以 cos B ? ?

? ?1 ? , 1? .因此, 0 ? B ? .……… ………6 分 3 ?2 ?

2ac ? ac 1 ? .………………4 分 2ac 2

1 ? sin 2 B (sin B ? cos B) 2 ?? ? ? ? sin B ? cos B ? 2 sin ? B ? ? , (2) y ? sin B ? cos B sin B ? cos B 4? ?
………………9 分 由(1), 0 ? B ? 所以, y ?
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

?
3

,所以

?
4

? B?

?
4

?

1 ? sin 2 B 的取值范围是 1 , 2 . sin B ? cos B

?

7? ?? ? 2 ? ? ,所以 sin ? B ? ? ? ? , 1? , 12 4? ? 2 ? ? ?

?

………………12 分

21.(本题满分 14 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分) (理)解:(1)由题意,对任意 x ? R , f (? x) ? ? f ( x) , 即a
?x

? (k ? 1)a x ? ?a x ? (k ? 1)a ? x ,
x ?x

………………2 分

即 (k ? 1)(a ? a

) ? (a x ? a ? x ) ? 0 , (k ? 2)(a x ? a ? x ) ? 0 ,
………………4 分

因为 x 为任意实数,所以 k ? 2 .

解法二:因为 f (x) 是定义域为 R 的奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即 1 ? (k ? 1) ? 0 , k ? 2 .

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当 k ? 2 时, f ( x) ? a ? a
x

?x

, f (? x) ? a

?x

? a x ? ? f ( x) , f (x) 是奇函数.
………………4 分

所以 k 的值为 2 . (2)由(1) f ( x) ? a ? a
x ?x

,因为 f (1) ?

3 1 3 ,所以 a ? ? , 2 a 2
………………6 分

解得 a ? 2 . 故 f ( x) ? 2 ? 2
x ?x

, g ( x) ? 2

2x

? 2 ?2 x ? 2m(2 x ? 2 ? x ) ,
?3 ? , ? ?? , ?2 ?

令 t ? 2 x ? 2 ? x ,则 2 2 x ? 2 ?2 x ? t 2 ? 2 ,由 x ? [1 , ? ?) ,得 t ? ? 所以 g ( x) ? h(t ) ? t ? 2mt ? 2 ? (t ? m) ? 2 ? m , t ? ?
2 2 2

?3 ? , ? ?? ?2 ?

………………9 分

3 9 ?3 ? ?3? 时, h(t ) 在 ? , ? ? ? 上是增函数,则 h? ? ? ?2 , ? 3m ? 2 ? ?2 , 2 4 ?2 ? ?2? 25 解得 m ? (舍去). ………… ……11 分 12 3 当 m ? 时,则 f (m) ? ?2 , 2 ? m 2 ? ?2 ,解得 m ? 2 ,或 m ? ?2 (舍去). 2
当m ? 综上, m 的值是 2 . ………………13 分 ………………14 分
?x

(文)解:(1)由题意,对任意 x ? R , f (? x) ? ? f ( x) ,即 a

? (k ? 1)a x ? ?a x ? (k ? 1)a ? x ,

………………2 分 即 (k ? 1)(a ? a
x ?x

) ? (a x ? a ? x ) ? 0 , (k ? 2)(a x ? a ? x ) ? 0 ,
………………4 分

因为 x 为任意实数,所以 k ? 2 .

解法二:因为 f (x) 是定义域为 R 的奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即 1 ? (k ? 1) ? 0 , k ? 2 .
x ?x ?x x 当 k ? 2 时, f ( x) ? a ? a , f (? x) ? a ? a ? ? f ( x) , f (x) 是奇函数.

所以 k 的值为 2 . (2)由(1)知 f ( x) ? a ? a
x ?x

………………4 分 ,由 f (1) ? 0 ,得 a ?

1 ? 0 ,解得 0 ? a ? 1 . a
………………6 分

x ?x x ?x 当 0 ? a ? 1 时, y ? a 是减函数, y ? ? a 也是减函数,所以 f ( x) ? a ? a 是减函数.

………………7 分 由 f ( x ? tx ) ? f (4 ? x) ? 0 ,所以 f ( x ? tx ) ? ? f (4 ? x) ,………………8 分
2 2

因为 f (x) 是奇函数,所以 f ( x ? tx ) ? f ( x ? 4) .
2

………………9 分

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因 为 f (x) 是 R 上 的 减 函 数 , 所 以 x 2 ? tx ? x ? 4 即 x ? (t ? 1) x ? 4 ? 0 对 任 意 x ? R 成
2

立, 所以△ ? (t ? 1) ? 16 ? 0 ,
2

………………11 分 ………………12 分 ………………13 分
[来源:Zxxk.Com]

解得 ? 3 ? t ? 5 . 所以,的取值范围是 (?3 , 5) .

………………14 分

22.(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 6 分) (理)解:(1)设 P ( x , y ) ,由题意, Q ( x , ? 1) , QP ? (0 , y ? 1) , QF ? (? x , 2) ,

FP ? ( x , y ? 1) , FQ ? ( x , ? 2) ,
由 QP ? QF ? FP ? FQ ,得 2( y ? 1) ? x ? 2( y ? 1) ,
2

………………2 分

化简得 x ? 4 y .所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 x ? 4 y .
2 2

………………4 分 ………………6 分

(2)轨迹 C 为抛物线,准线方程为 y ? ?1 , 即直线 m ,所以 M (0 , ? 1) , 设直线 m ? 的方程为 y ? kx ? 1 ( k ? 0 ),由 ? 由△ ? 16k 2 ? 16 ? 0 ,得 k 2 ? 1 . 设 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? 4k , 所以线段 AB 的中点为 (2k , 2k ? 1) ,
2 2

? y ? kx ? 1 , ?x ? 4 y ,
2

得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 , ………………8 分 ………………9 分 ………………11 分 ………………12 分

所以线段 AB 垂直平分线的方程 为 ( x ? 2k ) ? k[ y ? (2k ? 1)] ? 0 ,………………10 分 令 x ? 0 ,得 y 0 ? 2k 2 ? 1 . 因为 k 2 ? 1 ,所以 y 0 ? (3 , ? ?) . (3)由(2), x1 ? x 2 ? 4k , x1 x 2 ? 4 ,所以 | AB |?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

? (1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) 2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? (1 ? k 2 )(16k 2 ? 16)

? 4 (k 2 ? 1)(k 2 ? 1) .
假设存在点 D (0 , y 0 ) ,使得△ ABD 为等边三角形,

………………14 分

3 ………………15 分 | AB | . 2 | y ? 1 | 2(k 2 ? 1) 2 因为 D (0 , 2k ? 1) ,所以 d ? 0 ? ? 2 k 2 ? 1 ,………………16 分 2 2 1? k k ?1 4 2 2 2 所以 2 k ? 1 ? 2 3 k ? 1 ? k ? 1 ,解得 k 2 ? . ………………17 分 3 ? 11 ? 所以,存在点 D? 0 , ? ,使得△ ABD 为等边三角形. ………………18 分 3? ?
则 D 到直线 AB 的距离 d ?

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(文)(1)设 P ( x , y ) ,由题意, Q ( x , ? 1) , QP ? (0 , y ? 1) , QF ? (? x , 2) ,

FP ? ( x , y ? 1) , FQ ? ( x , ? 2) ,
由 QP ? QF ? FP ? FQ ,得 2( y ? 1) ? x 2 ? 2( y ? 1) ,

………………2 分

化简得 x ? 4 y .所以, 动点 P 的轨迹 C 的方程为 x ? 4 y .………………4 分
2 2

(2)轨迹 C 为抛物线,准线方程为 y ? ?1 ,即直线 m ,所以 M (0 , ? 1) ,……………5 分 当 a ? 0 时,直线 m ? 的方程为 x ? 0 ,与曲线 C 只有一个公共点,故 a ? 0 .…………6 分 所以直线 m ? 的方程为

? x ? ay ? a , x 2 2 2 2 得 a y ? (2a ? 4) y ? a ? 0 , ? y ? 1 ,由 ? 2 a ?x ? 4 y ,
4

由△ ? 4(a ? 2) ? 4a ? 0 ,得 0 ? a 2 ? 1 .
2 2

………………8 分

设 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ? 所以 x1 ? x 2 ?

4 ? 2 , y1 y 2 ? 1 , a2
………………9 分

4 , x1 x 2 ? 4 , a

若 FA ? FB ,则 FA ? FB ? 0 ,即 ( x1 , y1 ? 1) ? ( x 2 , y 2 ? 1) ? 0 ,

? 4 ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? 1 ? 0 , 4 ? 1 ? ? 2 ? 2 ? ? 1 ? 0 , ?a ?
解得 a 2 ?

………………11 分

2 1 .所以 a ? ? . 2 2

………………12 分

(3)由(2),得线段 AB 的中点为 ? 以 线 段

? ?2 2 ? , 2 ?1? ,线段 AB 的垂直平分线的一个法向量为 n ? (a , 1) ,所 ?a a ?
垂 直 平 分 线 的 方 程 为

AB



2? ? 2 ? ? a? x ? ? ? ? y ? 2 ? 1? ? 0 , a? ? a ? ?
2 ? 1, a2 2 因为 0 ? a 2 ? 1 ,所以 2 ? 1 ? 3 . a
令 x ? 0 , y0 ? 所以 y 0 的取值范围是 (3 , ? ?) .

………………15 分

………………16 分

………………18 分

23.(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题 6 分)

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(理)解:(1)因为 a , b , c 是互不相等的正数,所以 q ? 0 且 q ? 1 . 由已知, a , b , c 是首项为,公比为 q 的等比数列,则 b ? q , c ? q ,…2 分
2

当插入的一个数位于 b , c 之间, 设由 4 个数构成的等差数列的公差为 d ,则 ?

?q ? 1 ? d
2 ?q ? 1 ? 3d

,消去 d 得

2q 2 ? 3q ? 2 ? 0 ,
因为 q ? 1 ,所以 q ? 2 . ………………4 分

(2)设所构成的等差数列的公差为 d ,由题意, d ? 0 ,共插入 4 个数. ………………5 分 若在 a , b 之间插入个数,在 b , c 之间插入 3 个数,则 ? 于是

b?a c?b 2 , 2b ? 2a ? c ? b , q ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2 .………………7 分 ? 2 4 ?b ? a ? 4d 若在 a , b 之间插入 3 个数,在 b , c 之间插入个数,则 ? , ?c ? b ? 2d b?a c?b 1 于是 , 2c ? 2b ? b ? a 解得 q ? (不合题意,舍去). ………………9 分 ? 4 2 2 ?b ? a ? 3d 若 a , b 之间和 b , c 之间各插入 2 个数,则 ? ,b ? a ? c ? b, ?c ? b ? 3d 解得 q ? 1 (不合题意,舍去) ………………11 分 综上, a , b 之间插入个数,在 b , c 之间插入 3 个数. ………………12 分
(3)设所构成的等差数列的公差为 d , 由题意, b ? a ? ( s ? 1)d , d ?

?b ? a ? 2d , ?c ? b ? 4d

b?a b?c ,又 c ? b ? (t ? 1)d , d ? ,…………14 分 s ?1 t ?1 b?a c?b q ? 1 q (q ? 1) t ?1 所以 ,即 ,因为 q ? 1 ,所以 ? ? ? q .………………16 分 s ?1 t ?1 s ?1 t ?1 s ?1 所以,当 q ? 1 ,即 a ? b ? c 时, s ? t ;当 0 ? q ? 1 ,即 a ? b ? c 时, s ? t .
………………18 分 (文)(1)当 n ? 1 时,由已知 a1 ? 2(a1 ? 1) ,得 a1 ? 2 . 当 n ? 2 时,由 S n ? 2(a n ? 1) , S n ?1 ? 2(a n ?1 ? 1) ,两式相减得 a n ? 2a n ? 2a n ?1 , 即 a n ? 2a n ?1 ,所以 {a n } 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列. 所以, a n ? 2 n ( n ? N * ). (2)由题意, a n ?1 ? a n ? (n ? 1)d ,故 d ? ………………4 分

a n ?1 ? a n 2n ,即 d ? ,……… ………6 分 n ?1 n ?1

因为 3 ? d ? 4 ,所以 3 ?

2n ? 4 ,即 3n ? 3 ? 2 n ? 4n ? 4 ,解得 n ? 4 ,…………8 分 n ?1

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长宁区、嘉定区 2013 高三数学二模(文科)

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2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——长宁嘉定区数学(文科)

16 16 .所以所得等差数列首项为 16 ,公差为 ,共有 6 项.………………10 分 5 3 6 ? (16 ? 32) 所以这个等差数列所有项的和 T ? ………………11 分 ? 144 . 2 所以, n ? 4 , T ? 144 . ………………12 分
所以 d ? (3)由(1)知 f (n) ? 2 n , 所以 c n ? n ? f (n ? log
2

m) ? n ? 2

n?log

2

m

? n ? 2 n?log 2 m

2

? n ? 2 2 n?log 2 m ? n ? (2 log 2 m ) 2 n ? n ? m 2 n .………………14 分
由题意, c n ?1 ? c n ,即 (n ? 1) ? m 所以 m 2 ?
2n?2

? n ? m 2 n 对任意 n ? N * 成立,

n 1 对任意 n ? N * 成立.………………16 分 ? 1? n ?1 n ?1 1 1 因为 g (n) ? 1 ? 在 n ? N * 上是单调递增的,所以 g (n) 的最小值为 g (1) ? . n ?1 2 ? 1 2? ?. 所以 m 2 ? .由 m ? 0 得 m 的取值范围是 ? 0 , ? 2 2 ? ? ?
所以,当 m ? ? 0 ,

? ? ?

2? ? 时,数列 {c n } 是单调递减数列. 2 ? ?

………………18 分

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