文科-2013年上海市嘉定长宁区高三数学二模(含答案)

2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——长宁嘉定区数学（文科）

2013 年上海市长宁、嘉定区高三年级二模试卷——数学（文科）
2013 年 4 月 （考试时间 120 分钟，满分 150 分）
一．填空题（本大题满分 56 分，共 14 小题，每小题 4 分） 1．函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

?

3

) 的最小正周期是__________．

2．若关于 x 的不等式 2 x 2 ? 3 x ? a ? 0 的解集为 ( m ,1 ) ，则实数 m ? _________． 3．（文）已知集合 A ? ?? 1,0, a?, B ? x 1 ? 3 x ? 9, x ? Z ，若 A ? B ? ? ，则实数 a 的值 是 ．

?

?

4 ．已知复数 z 满足

i ＝3，则复数 z 的实部与虚部之和为__________． z ?1

1 2 2013 5．求值： 1 ? 2C2013 ? 4C2013 ? ? ? (?2) 2013 C2013 ? ___________．

6．已知向量 a ? (?2,2), b ? (5, k ).若 | a ? b | 不超过 5，则 k 的取值范围是____________．

ax 7．设 a ? 0, a ? 1 ，行列式 D ? 2 2
数图像经过点 ?2,1? ，则 a ?

1 3 0 1 中第 3 行 4 ?3

开始

k ?1

第 2 列的代数余子式记作 y ，函数 y ? f ? x ? 的反函 ．

k 2 ? 6k ? 5 ? 0
是 输出 k

否

k ? k ?1

8．（文）已知 cos(? ? ? ) ?

? ? ? ? (0, ), ? ? (? ,0) ，则 sin ? ? _____．
2 2
结束

3 5 , sin ? ? ? ，且 5 13

9．（文）如图是一个算法框图，则输出的 k 的值是____________． 10．（文）设函数 y ? 1 ? x 的曲线绕 x 轴旋转一周所得几何体的表面积 __________．
2

11．（文）从 4 名男生和 3 名女生中任选 3 人参加会议，则选出 3 人中至少有名女生的概 率是__________． 12．（文）函数 f ( x) ?| x ? 4 | ? x ? 4 x 的单调递减区间是___________．
2 2

? x ? 2 y ? 3 ? 0, ? 13.（文） 已知变量 x ， y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 3 ? 0, 若目标函数 z ? ax ? y 仅在点 (3,0) 处取到最大 ? y ? 1 ? 0. ? 值，则实数 a 的取值范围_______________. 14 ． （ 文 ） 设 数 列 ?a n ? 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 ， a1 ? 2, a3 ? 6 ， 若 自 然 数 n1 , n 2 ,...n k ,... 满 足 3 ? n1 ? n2 ? ... ? nk ? ... ，且 a1 , a3 , a n1 ...a nk ,... 是等比数列，则 nk =_______________.

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二．选择题（本大题满分 20 分，共 4 小题，每小题 5 分）

??? ??? ? ? 15. 已 知 A ( a1 , b1 ) ， B ( a 2 , b2 ) 是 坐 标 平 面 上 不 与 原 点 重 合 的 两 个 点 ， 则 OA ? OB 的 充 要 条 件 是

（
A．

）
B. a1 a 2 ? b1b2 ? 0 C.

b1 b2 ? ? ?1 a1 a 2

a1 b1 ? a 2 b2

D. a1b2 ? a 2 b1

16.（文）关于直线， m 及平面α ，β ，下列命题中正确的是 A．若 l // ? , ? ? ? ? m, 则 l // m C．若 l // ? , m // ? , 则 l // m 17. 过点 P (1,1) 作直线与双曲线 x ?
2

（

）

B．若 l ? ? , m // ? , 则 l ? m D．若 l // ? , m ? l ，则 m ? ?

y2 ? 1 交于 A、B 两点，使点 P 为 AB 中点，则这样的直线 2

（

） B．存在无数条 D．不存在
2

A．存在一条，且方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 C．存在两条，方程为 2 x ? ? y ? 1? ? 0 18.
x

（ 文 ） 已 知 函 数 f ( x) ? 2 ? 1, g ( x ) ? 1? x , 构 造 函 数 F ( x) ， 定 义 如 下 ： 当

| f ( x) |? g ( x)时, F ( x) ?| f ( x) |, 当 | f ( x) |? g ( x)时, F ( x) ? ? g ( x) ，那么 F ( x) （
A．有最小值 0，无最大值 C．有最大值 1，无最小值 三．解答题（本大题满分 74 分，共 5 小题） 19. （文）（本题满分 12 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分） B．有最小值 ? 1 ，无最大值 D．无最小值，也无最大值

）

如图， 已知点 P 在圆柱 OO1 的底面圆 O 上，AB 为圆 O 的直径， 圆柱 OO1 的表面积为 24? ，OA ? 2 ，

?AOP ? 120? ．
（1）求三棱锥 A1 ? APB 的体积； （2）求异面直线 A1 B 与 OP 所成角的大小．（结果用 反三角函数值表示）．

A1

O1

B1

A

O

B
P

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20. （本题满分 12 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分） 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对应的边 a ， b ， c 成等比数列． （1）求证： 0 ? B ?

?

3 1 ? sin 2 B （2）求 y ? 的取值范围． sin B ? cos B

；

21.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 10 分） 设函数 f ( x) ? a ? (k ? 1)a
x ?x

(a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 的奇函数．
2

（1）求 k 的值； （2）（文）若 f (1) ? 0 ，试说明函数 f (x) 的单调性，并求使不等式 f ( x ? tx ) ? f (4 ? x) ? 0 恒成立 的的取值范围．

22.（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题满分 6 分） 如图，已知点 F (0 , 1) ，直线 m ： y ? ?1 ， P 为平面上的动点，过点 P 作 m 的垂线，垂足为点 Q ， 且 QP ? QF ? FP ? FQ ． （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2） （文） 过轨迹 C 的准线与 y 轴的交点 M 作方向向量为 d ? (a , 1) 的 直 线 m? 与 轨 迹 C 交 于 不 同 两 点 A 、 B ， 问 是 否 存 在 实 数 a 使 得
?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

y F O x

FA ? FB ？若存在，求出 a 的范围；若不存在，请说明理由；
（3）（文）在问题（2）中，设线段 AB 的垂直平分线与 y 轴的交点 为 D (0 , y 0 ) ，求 y0 的取值范围．

m

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23．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题 6 分） （文）已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且对于任意 n ? N * ，总有 S n ? 2(a n ? 1) ． （1）求数列 {a n } 的通项公式； （2）在 a n 与 a n ?1 之间插入 n 个数，使这 n ? 2 个数组成等差数列，当公差 d 满足 3 ? d ? 4 时，求 n 的 值并求这个等差数列所有项的和 T ； （3）记 a n ? f (n) ，如果 c n ? n ? f (n ? log
2

m)（ n ? N * ），问是否存在正实数 m ，使得数列 {c n } 是

单调递减数列？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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长宁、嘉定区 2013 年高三年级二模数学（文科）参考答案
一、填空题（每小题 4 分，共 56 分） 1． ? 2。

1 2

3。（文） 1 4。

4 3

5。 ? 1

6. [?2 , 6]

7。 4

8．（文）

33 65
31 35

9。（文） 6

10。（文） 4? 13。 （文） ?

11、（文）

12。（文） (?? ，2]

?1 ? ，? ? ? ?2 ?

14．（文） 3 k ?1 二、选择题（每小题 5 分，共 20 分） 15．B 16。B 17。D 18。（文）B

三、解答题 19．（本题满分 12 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分） （理）解：（1）因为 AB ? 平面 BCD ，所以 AB ? CD ，又 BC ? CD ，所以 CD ? 平面 ABC ， ?DAC 就是 AD 与平面 ABC 所成的角． ………………2 分 因为 AB ? 平面 BCD ， AD 与平面 BCD 所成的角为 30? ，故 ?ADB ? 30? ， 由 AB ? BC ? 2 ，得 AD ? 4 ， AC ? 2 2 ， 所以 cos ?DAC ? ………………4 分

AC 2 ， ? AD 2
………………6 分

所以 AD 与平面 ABC 所成角的大小为 45? ．

（2）设点 B 到平面 ACD 的距离为 d ，由（1）可得 BD ? 2 3 ， CD ? 2 2 ， 则 V A? BCD ?

[来源:学科网]

1 1 4 2 ，………………8 分 S ?BCD ? AB ? ? BC ? CD ? AB ? 3 6 3

VB ? ACD ?

1 1 4 S ?ACD ? d ? ? AC ? CD ? d ? d ．………………10 分 3 6 3

由 V A? BCD ? V B ? ACD ，得 d ?

2．

所以点 B 到平面 ACD 的距离为 2 ．………………12 分

（文）解：（1）由题意 S表 ? 2? ? 2 ? ?? ? 2 ? AA1 ? 24? ，解得 AA1 ? 4 .
2

………………2 分

在△ AOP 中， OA ? OP ? 2, ?AOP ? 120 ，所以 AP ? 2 3 ．
0

在△ BOP 中， OB ? OP ? 2, ?BOP ? 60 ，所以 BP ? 2 ．
0

………………4 分

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所以 VA1 ? APB ?

1 1 8 3 1 ． S ?APB ? AA1 ? ? ? 2 3 ? 2 ? 4 ? 3 2 3 3

………………6 分

（2）取 AA1 中点 Q ，连接 OQ ， PQ ，则 OQ // A1 B ， 得 ?POQ 或它的补角为异面直线 A1 B 与 OP 所成的角. 又 AP ? 2 3 ， AQ ? AO ? 2 ，得 OQ ? 2 2 ， PQ ? 4 ， 由余弦定理得 cos ?POQ ?
[来源:Zxxk.Com]

………………8 分

PO 2 ? OQ 2 ? PQ 2 2 ， ?? 2 PO ? OQ 4
2 ． 4

………………10 分

所以异面直线 A1 B 与 OP 所成角的大小为 arc cos

………………12 分

20．（本题满分 12 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分） 解：（1）由已知， b 2 ? ac ，所以由余弦定理， 得 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac ? 2ac 2ac

………………2 分

由基本不等式 a 2 ? c 2 ? 2ac ，得 cos B ? 所以 cos B ? ?

? ?1 ? , 1? ．因此， 0 ? B ? ．……… ………6 分 3 ?2 ?

2ac ? ac 1 ? ．………………4 分 2ac 2

1 ? sin 2 B (sin B ? cos B) 2 ?? ? ? ? sin B ? cos B ? 2 sin ? B ? ? ， （2） y ? sin B ? cos B sin B ? cos B 4? ?
………………9 分 由（1）， 0 ? B ? 所以， y ?
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

?
3

，所以

?
4

? B?

?
4

?

1 ? sin 2 B 的取值范围是 1 , 2 ． sin B ? cos B

?

7? ?? ? 2 ? ? ，所以 sin ? B ? ? ? ? , 1? ， 12 4? ? 2 ? ? ?

?

………………12 分

21．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 10 分） （理）解：（1）由题意，对任意 x ? R ， f (? x) ? ? f ( x) ， 即a
?x

? (k ? 1)a x ? ?a x ? (k ? 1)a ? x ，
x ?x

………………2 分

即 (k ? 1)(a ? a

) ? (a x ? a ? x ) ? 0 ， (k ? 2)(a x ? a ? x ) ? 0 ，
………………4 分

因为 x 为任意实数，所以 k ? 2 ．

解法二：因为 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，所以 f (0) ? 0 ，即 1 ? (k ? 1) ? 0 ， k ? 2 ．

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当 k ? 2 时， f ( x) ? a ? a
x

?x

， f (? x) ? a

?x

? a x ? ? f ( x) ， f (x) 是奇函数．
………………4 分

所以 k 的值为 2 ． （2）由（1） f ( x) ? a ? a
x ?x

，因为 f (1) ?

3 1 3 ，所以 a ? ? ， 2 a 2
………………6 分

解得 a ? 2 ． 故 f ( x) ? 2 ? 2
x ?x

， g ( x) ? 2

2x

? 2 ?2 x ? 2m(2 x ? 2 ? x ) ，
?3 ? , ? ?? ， ?2 ?

令 t ? 2 x ? 2 ? x ，则 2 2 x ? 2 ?2 x ? t 2 ? 2 ，由 x ? [1 , ? ?) ，得 t ? ? 所以 g ( x) ? h(t ) ? t ? 2mt ? 2 ? (t ? m) ? 2 ? m ， t ? ?
2 2 2

?3 ? , ? ?? ?2 ?

………………9 分

3 9 ?3 ? ?3? 时， h(t ) 在 ? , ? ? ? 上是增函数，则 h? ? ? ?2 ， ? 3m ? 2 ? ?2 ， 2 4 ?2 ? ?2? 25 解得 m ? （舍去）． ………… ……11 分 12 3 当 m ? 时，则 f (m) ? ?2 ， 2 ? m 2 ? ?2 ，解得 m ? 2 ，或 m ? ?2 （舍去）． 2
当m ? 综上， m 的值是 2 ． ………………13 分 ………………14 分
?x

（文）解：（1）由题意，对任意 x ? R ， f (? x) ? ? f ( x) ，即 a

? (k ? 1)a x ? ?a x ? (k ? 1)a ? x ，

………………2 分 即 (k ? 1)(a ? a
x ?x

) ? (a x ? a ? x ) ? 0 ， (k ? 2)(a x ? a ? x ) ? 0 ，
………………4 分

因为 x 为任意实数，所以 k ? 2 ．

解法二：因为 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，所以 f (0) ? 0 ，即 1 ? (k ? 1) ? 0 ， k ? 2 ．
x ?x ?x x 当 k ? 2 时， f ( x) ? a ? a ， f (? x) ? a ? a ? ? f ( x) ， f (x) 是奇函数．

所以 k 的值为 2 ． （2）由（1）知 f ( x) ? a ? a
x ?x

………………4 分 ，由 f (1) ? 0 ，得 a ?

1 ? 0 ，解得 0 ? a ? 1 ． a
………………6 分

x ?x x ?x 当 0 ? a ? 1 时， y ? a 是减函数， y ? ? a 也是减函数，所以 f ( x) ? a ? a 是减函数．

………………7 分 由 f ( x ? tx ) ? f (4 ? x) ? 0 ，所以 f ( x ? tx ) ? ? f (4 ? x) ，………………8 分
2 2

因为 f (x) 是奇函数，所以 f ( x ? tx ) ? f ( x ? 4) ．
2

………………9 分

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因 为 f (x) 是 R 上 的 减 函 数 ， 所 以 x 2 ? tx ? x ? 4 即 x ? (t ? 1) x ? 4 ? 0 对 任 意 x ? R 成
2

立， 所以△ ? (t ? 1) ? 16 ? 0 ，
2

………………11 分 ………………12 分 ………………13 分
[来源:Zxxk.Com]

解得 ? 3 ? t ? 5 ． 所以，的取值范围是 (?3 , 5) ．

………………14 分

22．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题满分 6 分） （理）解：（1）设 P ( x , y ) ，由题意， Q ( x , ? 1) ， QP ? (0 , y ? 1) ， QF ? (? x , 2) ，

FP ? ( x , y ? 1) ， FQ ? ( x , ? 2) ，
由 QP ? QF ? FP ? FQ ，得 2( y ? 1) ? x ? 2( y ? 1) ，
2

………………2 分

化简得 x ? 4 y ．所以，动点 P 的轨迹 C 的方程为 x ? 4 y ．
2 2

………………4 分 ………………6 分

（2）轨迹 C 为抛物线，准线方程为 y ? ?1 ， 即直线 m ，所以 M (0 , ? 1) ， 设直线 m ? 的方程为 y ? kx ? 1 （ k ? 0 ），由 ? 由△ ? 16k 2 ? 16 ? 0 ，得 k 2 ? 1 ． 设 A( x1 , y1 ) ， B ( x 2 , y 2 ) ，则 x1 ? x 2 ? 4k ， 所以线段 AB 的中点为 (2k , 2k ? 1) ，
2 2

? y ? kx ? 1 , ?x ? 4 y ，
2

得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 ， ………………8 分 ………………9 分 ………………11 分 ………………12 分

所以线段 AB 垂直平分线的方程 为 ( x ? 2k ) ? k[ y ? (2k ? 1)] ? 0 ，………………10 分 令 x ? 0 ，得 y 0 ? 2k 2 ? 1 ． 因为 k 2 ? 1 ，所以 y 0 ? (3 , ? ?) ． （3）由（2）， x1 ? x 2 ? 4k ， x1 x 2 ? 4 ，所以 | AB |?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

? (1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) 2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? (1 ? k 2 )(16k 2 ? 16)

? 4 (k 2 ? 1)(k 2 ? 1) ．
假设存在点 D (0 , y 0 ) ，使得△ ABD 为等边三角形，

………………14 分

3 ………………15 分 | AB | ． 2 | y ? 1 | 2(k 2 ? 1) 2 因为 D (0 , 2k ? 1) ，所以 d ? 0 ? ? 2 k 2 ? 1 ，………………16 分 2 2 1? k k ?1 4 2 2 2 所以 2 k ? 1 ? 2 3 k ? 1 ? k ? 1 ，解得 k 2 ? ． ………………17 分 3 ? 11 ? 所以，存在点 D? 0 , ? ，使得△ ABD 为等边三角形． ………………18 分 3? ?
则 D 到直线 AB 的距离 d ?

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（文）（1）设 P ( x , y ) ，由题意， Q ( x , ? 1) ， QP ? (0 , y ? 1) ， QF ? (? x , 2) ，

FP ? ( x , y ? 1) ， FQ ? ( x , ? 2) ，
由 QP ? QF ? FP ? FQ ，得 2( y ? 1) ? x 2 ? 2( y ? 1) ，

………………2 分

化简得 x ? 4 y ．所以， 动点 P 的轨迹 C 的方程为 x ? 4 y ．………………4 分
2 2

（2）轨迹 C 为抛物线，准线方程为 y ? ?1 ，即直线 m ，所以 M (0 , ? 1) ，……………5 分 当 a ? 0 时，直线 m ? 的方程为 x ? 0 ，与曲线 C 只有一个公共点，故 a ? 0 ．…………6 分 所以直线 m ? 的方程为

? x ? ay ? a , x 2 2 2 2 得 a y ? (2a ? 4) y ? a ? 0 ， ? y ? 1 ，由 ? 2 a ?x ? 4 y ，
4

由△ ? 4(a ? 2) ? 4a ? 0 ，得 0 ? a 2 ? 1 ．
2 2

………………8 分

设 A( x1 , y1 ) ， B ( x 2 , y 2 ) ，则 y1 ? y 2 ? 所以 x1 ? x 2 ?

4 ? 2 ， y1 y 2 ? 1 ， a2
………………9 分

4 ， x1 x 2 ? 4 ， a

若 FA ? FB ，则 FA ? FB ? 0 ，即 ( x1 , y1 ? 1) ? ( x 2 , y 2 ? 1) ? 0 ，

? 4 ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? 1 ? 0 ， 4 ? 1 ? ? 2 ? 2 ? ? 1 ? 0 ， ?a ?
解得 a 2 ?

………………11 分

2 1 ．所以 a ? ? ． 2 2

………………12 分

（3）由（2），得线段 AB 的中点为 ? 以 线 段

? ?2 2 ? , 2 ?1? ，线段 AB 的垂直平分线的一个法向量为 n ? (a , 1) ，所 ?a a ?
垂 直 平 分 线 的 方 程 为

AB

的

2? ? 2 ? ? a? x ? ? ? ? y ? 2 ? 1? ? 0 ， a? ? a ? ?
2 ? 1， a2 2 因为 0 ? a 2 ? 1 ，所以 2 ? 1 ? 3 ． a
令 x ? 0 ， y0 ? 所以 y 0 的取值范围是 (3 , ? ?) ．

………………15 分

………………16 分

………………18 分

23．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题 6 分）

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（理）解：（1）因为 a ， b ， c 是互不相等的正数，所以 q ? 0 且 q ? 1 ． 由已知， a ， b ， c 是首项为，公比为 q 的等比数列，则 b ? q ， c ? q ，…2 分
2

当插入的一个数位于 b ， c 之间， 设由 4 个数构成的等差数列的公差为 d ，则 ?

?q ? 1 ? d
2 ?q ? 1 ? 3d

，消去 d 得

2q 2 ? 3q ? 2 ? 0 ，
因为 q ? 1 ，所以 q ? 2 ． ………………4 分

（2）设所构成的等差数列的公差为 d ，由题意， d ? 0 ，共插入 4 个数． ………………5 分 若在 a ， b 之间插入个数，在 b ， c 之间插入 3 个数，则 ? 于是

b?a c?b 2 ， 2b ? 2a ? c ? b ， q ? 3q ? 2 ? 0 ，解得 q ? 2 ．………………7 分 ? 2 4 ?b ? a ? 4d 若在 a ， b 之间插入 3 个数，在 b ， c 之间插入个数，则 ? ， ?c ? b ? 2d b?a c?b 1 于是 ， 2c ? 2b ? b ? a 解得 q ? （不合题意，舍去）． ………………9 分 ? 4 2 2 ?b ? a ? 3d 若 a ， b 之间和 b ， c 之间各插入 2 个数，则 ? ，b ? a ? c ? b， ?c ? b ? 3d 解得 q ? 1 （不合题意，舍去） ………………11 分 综上， a ， b 之间插入个数，在 b ， c 之间插入 3 个数． ………………12 分
（3）设所构成的等差数列的公差为 d ， 由题意， b ? a ? ( s ? 1)d ， d ?

?b ? a ? 2d ， ?c ? b ? 4d

b?a b?c ，又 c ? b ? (t ? 1)d ， d ? ，…………14 分 s ?1 t ?1 b?a c?b q ? 1 q (q ? 1) t ?1 所以 ，即 ，因为 q ? 1 ，所以 ? ? ? q ．………………16 分 s ?1 t ?1 s ?1 t ?1 s ?1 所以，当 q ? 1 ，即 a ? b ? c 时， s ? t ；当 0 ? q ? 1 ，即 a ? b ? c 时， s ? t ．
………………18 分 （文）（1）当 n ? 1 时，由已知 a1 ? 2(a1 ? 1) ，得 a1 ? 2 ． 当 n ? 2 时，由 S n ? 2(a n ? 1) ， S n ?1 ? 2(a n ?1 ? 1) ，两式相减得 a n ? 2a n ? 2a n ?1 ， 即 a n ? 2a n ?1 ，所以 {a n } 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列． 所以， a n ? 2 n （ n ? N * ）． （2）由题意， a n ?1 ? a n ? (n ? 1)d ，故 d ? ………………4 分

a n ?1 ? a n 2n ，即 d ? ，……… ………6 分 n ?1 n ?1

因为 3 ? d ? 4 ，所以 3 ?

2n ? 4 ，即 3n ? 3 ? 2 n ? 4n ? 4 ，解得 n ? 4 ，…………8 分 n ?1

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长宁区、嘉定区 2013 高三数学二模(文科)

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2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——长宁嘉定区数学（文科）

16 16 ．所以所得等差数列首项为 16 ，公差为 ，共有 6 项．………………10 分 5 3 6 ? (16 ? 32) 所以这个等差数列所有项的和 T ? ………………11 分 ? 144 ． 2 所以， n ? 4 ， T ? 144 ． ………………12 分
所以 d ? （3）由（1）知 f (n) ? 2 n ， 所以 c n ? n ? f (n ? log
2

m) ? n ? 2

n?log

2

m

? n ? 2 n?log 2 m

2

? n ? 2 2 n?log 2 m ? n ? (2 log 2 m ) 2 n ? n ? m 2 n ．………………14 分
由题意， c n ?1 ? c n ，即 (n ? 1) ? m 所以 m 2 ?
2n?2

? n ? m 2 n 对任意 n ? N * 成立，

n 1 对任意 n ? N * 成立．………………16 分 ? 1? n ?1 n ?1 1 1 因为 g (n) ? 1 ? 在 n ? N * 上是单调递增的，所以 g (n) 的最小值为 g (1) ? ． n ?1 2 ? 1 2? ?． 所以 m 2 ? ．由 m ? 0 得 m 的取值范围是 ? 0 , ? 2 2 ? ? ?
所以，当 m ? ? 0 ,

? ? ?

2? ? 时，数列 {c n } 是单调递减数列． 2 ? ?

………………18 分

长宁区、嘉定区 2013 高三数学二模(文科)

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