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2015年高三数学第二次模拟测试(含答案)


2015 届高三年级第二次模拟测试 数 学 试 卷
注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含[填空题(第 1 题~第 14 题,共 70 分) 、解答题(第 15~20 题,共 90 分) 。本次考试时间 120 分钟,满分 160 分、考试结束后,请将答题卡交回。理科学生完成加试, 考试时间 30 分钟。 2.答题前,

请考生务必将自己的姓名、班级、学号、考试证号用 0.5 毫米的黑色签字笔写在答题 卡上相应的位置,并将条形码贴在指定区域。 3.答题时请用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作图,并请加黑加粗,描写清楚。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程,请把答案直接填写 在答题卡相应位置上.
2

1. 已知全集为 R,集合 A={x|x -1≤0},B={x|x<1},则 A∩(CRB)等于 2. 设 i 是虚数单位,复数





1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 为 2?i





3. 已知 a、b 为非零向量,则“ a ? b ”是“函数 f ( x) ? (ax ? b ) ? (b x ? a) 为一次函数” 的 ▲ .条件.(填“充分而不必要、必要而不充分、充分必要、既不充分也不必要等) ▲ .

?

?

?

?

4. 直线 x cos ? ? y sin ? ? a ? 0 与 x sin ? ? y cos? ? b ? 0 的位置关系是 5. 函数 f ( x) ? ln(4 ? 3x ? x 2 ) 的单调递减区间是 ▲ .

? ? 33 5 6. 已知 ? ? (0, ), ? ?( , ? ) , sin(? ? ? ) ? ,cos ? ? ? , 则 sin ? = 2 2 65 13





7. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 R,且 f (? x) ? f ( x) ? 0 , f ? ? x ? ? 0 ,则不等式 f (?4 x ? 5) ? 0 的 解集为 ▲ .

8. 已知 e1 , e2 是夹角为

2π 的两个单位向量, a ? e1 ? 2e2 , b ? ke1 ? e2 若 a b ? 0 ,则 k= 3

▲ ▲

. .

9. 已知点 P 在曲线 y=

4 上,α 为曲线在点 P 处切线的倾斜角,则 α 的取值范围是 e ?1
x

高三数学 第 1 页(共 4 页)

2 10. 圆心在曲线 y ? ( x ? 0) 上,且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 相切的面积最小的圆的方程为 ▲ . x ? π? sin x ? cos x ? m ? 0 的否定为假命题, 11. 已知命题 p: 存在 x ? ? 0, ? , 则实数 m 的取值范围是 ▲ . ? 2?
3x 3x ? x x? 1 ? ? ? π? 12. 已知向量 a ? ? cos , ? sin ? , b ? ? cos ,sin ? , x ? ? 0, ? .若函数 f ? x ? ? a ? b ? ? a ? b 的 2 2 ? 2 2? 2 ? ? ? 2?

3 最小值为- ,则实数 λ 的值 2





13. 如图,四边形 ABCD 是正方形,延长 CD 至 E,使得 DE=CD.若动点 P 从点 A 出发,沿正方形 的边按逆时针方向运动一周回到 A 点, 其中 AP ? ? AB ? ? AE , 则 ? ? ? 的最大值为 ▲ .

? 1 ? ? x ? 1?2 , 0 ? x ? 2 ? 14. 已知函数 f ? x ? ? ? ,若关于 x 的方程 f x ? 2 , x … 2 ? ? ? ?

f(x)=kx(k>0)有且仅有四个根,其最大根为 t, 则函数 g (t ) ?

25 2 t ? 6t ? 7 的值域为 24





二.解答题: 本大题共 6 小题.共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已 知 命 题 p: 指 数 函 数 f ( x)? ( 2 a ?
x

6在 ) R 上单调递减,命题 q :关于 x 的方程

x 2 ? 3ax ? 2a 2 ? 1 ? 0 的两个实根均大于 3.若 “ p 或q” 为真, “ p 且q” 为假,求实数 a 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 在三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos A ? (1) 求 sin C 的值; (2) 若三角形 ABC 的面积 S ?

4 , b ? 5c . 5

15 sin B ? sin C ,求 a 的值. 2
高三数学 第 2 页(共 4 页)

17. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? log4 (4 x ? 1) ? kx(k ? R) 是偶函数. (1) 求 k 的值;
4a ? ? (2) 设 g ? x ? ? log 4 ? a ? 2 x ? ? ,若函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数 a 的取值 3 ? ? 范围.

18. (本小题满分 16 分) 为丰富农村业余文化生活,决定在 A, B, N 三个村子的中间地带建造文化中心.通过测量,发 现三个村子分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A, B 和以边 AB 的中点 M 为圆心,以 MC 的长为 半径的圆弧的中点 N 处,且 AB ? 8km, BC ? 4 2km .经协商,文化服务中心拟建在与 A, B 等距离的 O 处,并建造三条道路 AO, BO, NO 与各村通达.若道路建设成本 AO, BO 段为每 公里 2a 万元, NO 段为每公里 a 万元,建设总费用为 ? 万元. (记 ?OAB ? ? ) (1) 若三条道路建设的费用相同,求该文化中心离 N 村的距离; (2) 求建设总费用 ? 关于 ? 的函数关系式;并求 ? 最少时,该文化中心离 N 村的距离.

N _ D _ O _ C _

A _

M _

B _

高三数学 第 3 页(共 4 页)

19. (本小题满分 16 分) 设圆 C : ( x ? 4)2 ? y 2 ? 16 ,动圆 M: x2 ? y 2 ? 2ax ? 2(8 ? a) y ? 4a ? 22 ? 0 , (1) 求证:动圆 M 的圆心 M 在一条直线上; (2) 点 P 是平面上圆 C 与圆 M 外的一点,过点 P 作圆 C 的一条切线,切点为 T1 ,过点 P 作圆 M 的一条切线,切点为 T2 . ① 若点 P(1,-1),求切线 PT1 和 PT2 的长度; ② 平面内是否存在定点 P ,使无穷多个圆 M ,满足 点 P ;如果不存在,说明理由. y
PT1 1 ? ?如果存在,求出所有这样的 PT2 2

M ·

T2 · C T1 O P x

20. (本小题满分 16 分) 已知曲线 C1 : f ? x ? ?

1 x ? e ? e? x ? ,曲线 C2 : g ? x ? ? 1 ?ex ? e? x ? ,直线 x=a 与曲线 C1 , C2 分别 2 2

交于点 A、B,曲线 C1 在点 A 处的切线为 l1 ,曲线 C2 在点 B 处的切线为 l2 . (1)证明:直线 l1 与 l2 必相交,且交点 P 到直线 AB 的距离为定值; (2)若三角形 PAB 为钝角三角形,求 a 的取值范围; (3)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若 h( x) …mx ? 1 对任意的 x ? R 恒成立,求正数 m 的值.

高三数学 第 4 页(共 4 页)

2015 届高三年级第二次学情检测
数学加试试卷(物理方向考生作答)
解答题(共 4 小题,每小题 10 分共 40 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 1. 求函数 f(x)=sin(

π π —2x)在 x= 处的导数. 3 12

2. 已知在平面直角坐标系 xOy 中,过点 P(2,4)的直线 l 分别与 x 正半轴,y 正半轴交于点 A,B, 求三角形 OAB 的面积最大值并求此时的直线 l 的方程.

3. 已知向量 a=(cosx,sinx),b=(-cosx,cosx),c=(-1,0).

π ,求向量 a、c 的夹角; 6 ? π 9π ? (2)当 x ? ? , ? 时,求函数 f(x)=2a· b+1 的最大值. ?2 8 ?
(1)若 x ?

4. 已知抛物线 E: x 2 ? 4 y ,点 P 为抛物线上除顶点 O 外任意一点,抛物线在点 P 处的切线与抛物 线的准线 y ? ?1 交于点 Q.问是否存在定点 M 使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M.若存在, 求出点 M; 若不存在,说明理由.

高三数学(加试) 第 1 页(共 1 页)

2015 届高三年级第一次学情检测 数学参考答案与评分标准
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程,请把答案直接填写 在答题卡相应位置上. 1. ?1? , 2. 2
? 3π ? 9. ? , π ? ?4 ?

3. 必要而不充分条件

4.垂直

3 5. ? , 4 ? ?2

?

6.

3 5

7. ? x x ?

? ?

5? ? 4?

8.

5 4

10.

? x ? 1?

2

? ? y ? 2? ? 5
2

11. ?1 ,2?

?

?

12. λ=2

13. 3

? 41 ? 14、 [ ? ? , ?1? ? 25 ?

二、解答题: 本大题共 6 小题.共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15. 解:由题意可知 0<2a-6<1,故 3 ? a ?

7 2

. ?????????????????3 分

因为关于 x 的方程 x2 ? 3ax ? 2a 2 ? 1 ? 0 的两个实根均大于 3,
0, 所以 9a 2 ? 8a 2 ? 4…

3a ? 3 且 9 ? 9a ? 2 a 2 ? 1 ? 0 , 2
?????????????????7 分

解之得 a ?

5 . 2
7 5 且 a? ,无解; 2 2

当 p 真 q 假时, 3 ? a ?

?????????????????10 分

7 ? 3卆a或a , ? ? ?5 ? 2 当 p 假 q 真时,由 ? 可得 a ? ? ,3? 5 ?2 ? ?a ? ? ? 2
?5 ? 综上可知 a ? ? ,3? ?2 ? ?7 ? ? 2 , ?? ? . ? ?

?7 ? ? 2 , ?? ? .?????????????13 分 ? ?

???????????????????14 分

16. 解:(1) 因为 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 26c2 ? 10c2 ? 因为 cos A ? 因为

4 ? 18c2 ,所以 a ? 3 2c . 5

3 4 且 A ? ? 0, π ? 所以 sin A ? . 5 5

c sin A 2 a c ? ,所以 sin C ? . ????????????????7 分 ? a 10 sin A sin C sin B b (2) 因为 b=5c,所以 ? ? 5 ,可得 sin B ? 5sin C . sin C c
高三数学(答案) 第 1 页(共 5 页)

所以

15 75 3 sin B sin C ? sin 2 C ? . 2 2 4

1 3 a2 a2 3 又因为 S ? bc sin A ? c2 ? ,所以 ? , 2 2 12 12 4
可得 a=3. ???????????????????14 分

17.解:(1) 由题意知 f(-x)=f(x),可得 log4 (4x ? 1) ? kx ? log4 (4? x ? 1) ? kx ,

4x ? 1 ? ?2kx 等价于 log4 4x ? ?2kx , ?x 4 ?1 1 即 x=-2kx 对任意 x ? R 恒成立,可得 k ? ? .????????????????5 分 2
化简得 log4 (2) 函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,

1 4 即方程 log4 (4x ? 1) ? x ? log 4 (a ? 2 x ? a) 有且只有一个实根, 2 3
等价于方程 2x ?

1 4 ? a ? 2x ? a 有且只有一个实根 ??????????????7 分 x 2 3

4 令 t ? 2 x ? 0 ,则方程 ? a ? 1? t 2 ? at ? 1 ? 0 有且只有一个正根, 3

3 ① 当 a=1 时 t ? ? ,不合题意; 4
3 3 1 ② 若 ? ? 0 则 a ? ? 或 ?3 .当 a ? ? 时 t=-2,不合题意;当 a=-3 时 t ? 符合题意; 4 4 2
③若方程一个正根与一个负根,即

?1 ? 0 ,则 a>1. a ?1
??????????????14 分

综上:实数 a 的取值范围是 a=-3 或 a>1.
? ?? 18.解:(1) 因为 ?OAB ? ? ,依题意 ? ? ? 0, ? . ? 3?

N _ D _ O _ C _

由题意得:

4 AO ? BO ? , NO ? 4 3 ? 4 tan ? MC ? 4 3, cos?
因为三条道路建设的费用相同, 则

4 ? 2a ? (4 3 ? 4 tan ? )a cos ?

A _

M _

B _

所以 sin(

?
3

??) ?

? 2 , 所以 ? ? 12 2

??????????????6 分

tan ? ? tan

?
12

? 2 ? 3 ,即 NO ? 8 3 ? 8 .
高三数学(答案) 第 2 页(共 5 页)

故该文化中心离 N 村的距离为 (8 3 ? 8)km. (2) 总费用 ? ? 2 ?
4 2a ? a(4 3 ? 4 tan ? ), cos ?

??????????????8 分

? ?? ? ? ?0, ? ????????????11 分 ? 3?

即? ?

8 2 ? 4 sin ? a ? 4 3a cos? 8 2 sin ? ? 4 2 a ? 0, 得 sin ? ? 2 4 cos ?
2 2 3 <sin ? ? 时, ? ?<0 ;当 时, ? ? ? 0 . 4 4 2

令 ?? ?

当 0 ? sin ? ?

所以当 sin ? ?

2 时,? 有最小值, 4

??????????????14 分

此时 tan? ?

7 4 7 . , NO ? 4 3 ? 7 7
4 7 ) km .?????????????16 分 7 y

答: 该文化中心离 N 村的距离为 (4 3 ? 19.解:(1) 由题意可得 M(a,8-a),因为 a+8-a=8,

所以点 M 在直线上 x+y-8=0 上. ????????5 分 (2) ① 因为 PT12 ? PC2 ? CT12 ? ?1 ? 4? ? 1 ? 16 ? 10 ,
2

M ·

所以 PT1 ? 10 . 同理可得 PT2 ? 2 10 .??9 分 ② 设 P ? x0 , y0 ? ,由题意可得 PT2 ? 4PT .
2 2 1

T2 · C T1 O P x

故 4( x0 ? 4)2 ? 4 y02 ? 64 ? x02 ? y02 ? 2ax0 ? 2(8 ? a) y0 ? 4a ? 22 , 化简可得 3x02 ? 3 y02 ? 32x0 ? 16 y0 ? 22 ? 2a ? x0 ? y0 ? 2? ? 0 . 由题意知上式对 ?x ? ? ??,3?

? 7, ??? 恒成立,

2 2 ? ?3x ? 3 y0 ? 32 x0 ? 16 y0 ? 22 ? 0 , 故? 0 ? ? x0 ? y0 ? 2 ? 0 .

? x0 ? 1 , ? x0 ? ?7 , 解之得 ? 或? ? y0 ? ?1 ? y0 ? ?9 .
高三数学(答案) 第 3 页(共 5 页)

综上可得存在点 P(1,-1)和 P(-7,-9)满足题意. ???????????16 分 20.解: (1) f ? ? x ? ?

1 x 1 e ? e? x ? , g ? ? x ? ? ? e x ? e? x ? ? 2 2 1 a 1 e ? e? a ? ,直线 l2 的斜率 k2 ? ? ea ? e?a ? . ? 2 2

直线 l1 的斜率 k1 ?

又因为 e? a ? 0 ,所以 k1 ? k2 ,故直线 l1 与 l2 必相交. 又因为直线 l1 的方程为: y ? f ? a ? ? g ? a ?? x ? a ? , 直线 l2 的方程为: y ? g ? a ? ? f ? a ?? x ? a ? , 联立求得交点坐标为 P a ? 1, ea . 故点 P a ? 1, ea 到直线 AB 的距离为 1; ??????????????5 分
? 1 ? ? 1 ? (2) 由(2)可知 A ? a, ? e a ? e ? a ? ? , B ? a, ? e a ? e ? a ? ? , P a ? 1, ea , ? 2 ? ? 2 ? ? 1 ? ? 1 ? 所以 AB ? 0, ?e?a , AP ? ?1, ? e a ? e ? a ? ? , BP ? ?1, ? e a ? e ? a ? ? . 2 2 ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

因为, BA BP ? 且 AB AP ?

1 ?2a ? e ? 1? ? 0 ; 2

PA PB ? 1 ?

1 2a ?e ? e?2a ? , 4

1 ?2a 1 1 e ? 1? ,由题意 1 ? ? e2a ? e?2a ? ? 0 或 ? e?2a ? 1? ? 0 ? 2 2 4

解得: a ? 0 或 a ?

1 ln 2

?

5 ? 1 ; ??????????????10 分

?

(3) 记 F ( x) ? h( x) ? mx ? 1
F ?( x) ? e x ? m ? 0 ,解得 x ? ln m

当 x ? (??,ln m) 时, F ?( x) ? 0 ;当 x ? (ln m, ??) 时, F ?( x) ? 0 . ∴ F ( x) 在 (??, ln m) 单调递减,在 (ln m, ??) 单调递增 即 F ( x) 在 x ? ln m 处取得极小值,且为最小值,其值为 m ? m ln m ? 1 令 H (m) ? m ? m ln m ? 1
H ?(m) ? ? ln m ? 0 ,则 m=1

故 H ( x) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减 所以 H ( m) 在 m ? 1 时取得最大值, H (1) ? 0 因此 F ( x) ? h( x) ? mx ? 1 ? 0 的解只有 m ? 1 即 h( x) …mx ? 1 的解只有 m ? 1 ?????????????16 分

高三数学(答案) 第 4 页(共 5 页)

数学加试试卷参考答案与评分标准
解答题(共 4 小题,每小题 10 分共 40 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤) ?π ? 21.解:因为 f ? ? x ? ? ?2 cos ? ? 2 x ? , ??????????????5 分 ?3 ?
? π? ? π 2π ? 所以 f ? ? ? ? ?2cos ? ? ? ? ? 3 12 ? ? ? 3 12 ? 22.解:设直线 l 的方程为 y-4=k(x-2)(k<0) .

??????????????10 分

当 x=0 时,y=-2k+4; 当 y=0 时, x ? 2 ? 所以 S?OAB ?
1 4? ? ?2k ? 4 ? ? ?2 ? ? 2 k? ?

4 . k

??????????????4 分

4? ? ? 2 ? 4 ? k ? ?… 2 4 ? 2 4 ? 16 . k? ?

?

?

??????????????8 分

当且仅当 k=-2 时等号成立. 此时直线 l 的方程为 2x+y-8=0. 23.解:(1) 当 x ?

??????????????10 分

? cos x π 3 π ? ? cos x ? ? cos ? ? 时, cos a, c ? , 2 2 6 2 6 cos x ? sin x ? 1

5π . 6 π? ? (2) 由题意知 f ? x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? 4? ?
因为 x ? ?0, π? ,所以 x ?

??????????????5 分

? 2? ? π 9π ? 因为 x ? ? , ? ,所以 f ? x ? ? ??1, ?. 2 ? ?2 8 ? ?
所以 f ? x ? max ?
2 . 2

??????????????10 分

? x2? x2 x 24.解:存在点 M ? 0,1? . 设点 P ? x0 , 0 ? ,则抛物线在点 P 处的切线方程为 y ? 0 ? 0 ? x ? x0 ? . 4 2 4 ? ?

令 y ? ?1 ,则 x ?

?1 ?

? ? x0 2 x0 2 x2 ?2 ? 0 ? ?2 ? ? 2 4 ?x ? 2 ,即 Q ? , ?1? . 0 x0 x0 ? x0 ? ? ? 2 ? ?

? ? x0 2 ? 2 ? ? ? ? x0 ? 2 , ?2 ? , 可得 MP ? ? x0 , ? 1? , MQ ? ? x0 4 ? ? ? ? ? ? ? ?
2

高三数学(答案) 第 5 页(共 5 页)

故 MP ? MQ ? ?2 ?

x0 2 x2 ?2? 0 ?0. 2 2

??????????????10 分

高三数学(答案) 第 6 页(共 5 页)


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