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函数的极限


《高等数学》上册第三次课

内容:

函数的极限

一.自变量趋于无穷大时函数的极限( x ? ? , f ?x ? ? A )

§3. 函数的极限
?? ? 0 , ? N , 当 n ? N

复 习 数 列 极 限 的 定 义 : 数 列 ?xn ? 以 a 为

极 限 即 l i mx n ? a ?
n ??

时, xn ? a ? ? 。 令 xn ? f ?n? , 则数 列极限 的定义又 可以写 为: lim f ?n ? ? a ? ?? ? 0 , ? N , 当 n ? N 时,
n??

f ?n? ? a ? ? 。将 n 换成连续变量 x ,将 a 改记为 A ,可以得到 x ? ? 时, f ?x ? ? A 的函数极限的定义
及其数学上的精确描述。 定义 1、设函数 f ? x ? 在 x 的绝对值足够大时有定义, ? ? ? 0 , ? X ? 0 ,当 x ? X 时, f ?x? ? A ? ? , 称 A 为 x ? ? 时 f ? x ? 的极限,记作

y

lim f ?x ? ? A
x ?? x ??

( x ??) f ?x ? ? A ,

A

注:①描述 lim f ? x ? ? A 的语言称为 ? ~ X 语言; ② ? 的任意小性, X ? X ?? ? 的存在性,一般 ? 越小, X 越大; ③从图像上看,若 lim f ? x ? ? A ,则 y ? A 是曲线 y ? f ?x ? 的水平渐近线;
n ??

x

④问题:极限 lim f ? x ? ? A , lim f ? x ? ? A 应如何用 ? ? X 语言来描述。
x ? ?? x ? ??

例 1.证明: lim

sin x ?0。 x ?? x

证: (应证明, ? ? ? 0 , ? X ? 0 ,当 x ? X 时, |

sin x | sin x | ? 0 |? ?? ) x | x|

?? ? 0, 欲使 |
取X ?

1 sin x | sin x | sin x | sin x | 1 1 ? 0 |? ?? , ? 0 |? ? ?? ; 因为 | , 故只要 即x ? 。 ? x | x| x | x| | x| | x|

1

?

,当 x ? X 即 x ?

1

?

时,必有 |

sin x sin x 1 ?0。 ? 0 |? ? ? ,证得: lim x ? ? x x x

二.自变量趋于有限值时函数的极限( f ?x ? ? A, x ? x0 ) 1.定义 定义 2. 设函数 f ( x) 在 x0 的某邻域( x0 可以除外)内有定义, ? ? ? 0 , ? ? ? 0 ,当 0 ? x ? x0 ? ? 时, 若有 f ?x? ? A ? ? ,则称当 x ? x0 时,函数 f ? x ? 以 A 为极限,记作 注:①描述 x ? x0 时, f ?x ? ? A, 的数学语言称为 ? ? ? 语言; ②定义中 ? 的任意小性, ? 的存在性;一般 ? 越小, ? 也越小; ③极限定义的图示 例 2.证明极限 lim x ? 1 ? 3 。
2 x?2

x ? x0

lim f ?x ? ? A

{ f ?x ? ? A ( x ? x0 )}

A??

A??
A

?

?

x0 ? ?

A?? A??

x0 ? ? x x0 ? ? 0

x0 ? ?

2 证: ? ? ? 0 ,不妨设 1 ? x ? 3 ,欲使 x ? 4 ? x ? 2 ? x ? 2 ? ? ,只要

1

《高等数学》上册第三次课

内容:

函数的极限

x2 ? 4 ? x ? 2 ? x ? 2 ? 5 x ? 2 ? ?
即 x?2 ?

?
5

,取 ? ?

?
5

2 ,则当 0 ? x ? 2 ? ? 时,有 x ? 1 ? 3 ? ? ,证得 lim x ? 1 ? 3 。

?

?

x?2

?

2

?

2.左极限与右极限(单侧极限)

? x ? x0

lim f ?x ? ? A ,或 f ?x0 ? 0? ? lim f ?x ? ? A ; ?
x ? x0

若 x 从 x0 的 左 侧 ?x ? x0 ? 趋 于 x0 时 , 有 f ?x ? ? A , 称

A

为 函 数 f ?x ? 在 x0 的 左 极 限 , 记 作

? x ? x0

lim f ?x ? ? A ,或 f ?x0 ? 0? ? lim f ?x ? ? A ; ?
x ? x0

若 x 从 x 0 的 右 侧 ? x ? x0 ? 趋 于 x 0 时 , 有 f ? x ? ? A , 称 A 为 函 数 f ? x ? 在 x 0 的 右 极 限 , 记 作

?x ? 1 x ? 0 ? x ? 0 ,试观察函数在 x ? 0 时的左、右极限。 例 3.⑴设函数 f ? x ? ? ? 0 ?x ? 1 x ? 0 ?

?x ? 1? ? ?1, f ?0 ? 0? ? lim? f ?x? ? lim? ?x ? 1? ? 1 f ?x ? ? lim 解:⑴ f ?0 ? 0? ? lim ? ?
很显然, f ?0 ? 0? ? f ?0 ? 0? 。 ⑵中的左、右极限均存在,但是不相等, (3)中的左右极限存在且相等。
y

⑵观察图中的 f ?x0 ? 0? 与 f ?x0 ? 0? 。
x ?0 x ?0

x ?0

x ?0

y

y

1 O -1 x

y ? f ( x)

x0
O x0 x

x

问题:左、右极限与极限的关系,以上三例中的极限是否存在?
x ? x0

lim f ?x ? ? A : ?? ? 0 , ?? ? 0 ,当 0 ? x ? x0 ? ? 时, f ?x? ? A ? ?

? x ? x0

lim f ?x ? ? A : ?? ? 0 , ?? 1 ? 0 ,当 0 ? x ? x0 ? ? 1 时, f ?x? ? A ? ?

取 ? ? min? ? 1 , ? 2 ?,则当 0 ? x ? x0 ? ? ( 0 ? x ? x0 ? ?1 , 0 ? x0 ? x ? ? 2 )时, f ?x? ? A ? ? 。 定理:函数在一点极限存在的充分必要条件是在这一点的左右极限均存在并且相等,即
x ? x0

? x ? x0

lim f ?x ? ? A : ?? ? 0 , ?? 2 ? 0 ,当 0 ? x0 ? x ? ? 2 时, f ?x? ? A ? ?

lim f ?x ? ? A ? lim f ?x ? ? lim f ?x ? ? A ? ?
x ? x0 x ? x0

由定理可知,以上前两例中的极限均不存在,而第三例的极限存在。 注:函数的左右极限与极限的关系通常用在讨论分段函数在分界点的极限的存在性。 例 4.设函数为 f ? x ? ? ?

?x ? a ?
x ?1 x 2 ?1

x ?1 ,观察 lim f ? x ? 是否存在? x ?1 x ?1

f ?x ? ? lim 解:右极限: lim ? ?
x ?1 x ?1

x ?1 1 1 ? lim ? 2 ? x ?1 x ?1 x ? 1 x ?1 x ? 1 2 ?x ? a ? ? 1 ? a f ?x ? ? lim 左极限: lim ? ?
1 1 1 ,即 a ? ? 时,极限存在,并且有 lim f ? x ? ? ? ; x ?1 2 2 2

根据左右极限与函数极限的关系,只有当 1 ? a ? 若a ? ?

1 ,极限 lim f ? x ? 不存在。 x ?1 2

2

《高等数学》上册第三次课

内容:
? 1

函数的极限

例 5.讨论函数 f ( x) ? e x ,

1 g ( x) ? arctan 当 x ? 0 时是否存在极限? x
x ?0?

解: 因为

x ?0?

lim e

?

1 x

? 0,

lim e

?

1 x

? ??,

1 ? 1 ? lim arctan ? , lim arctan ? ? x ?0? x 2 x ?0? x 2

,所以当 x ? 0 时极限都不存在。

三.函数极限的若干定理 定理 1、 (局部有界性定理) 若 x ? x0 时函数 f ( x) 的极限存在, 则函数 f ( x) 在 x0 的某个去心邻域内有界。 证:由条件 x ? x0 时函数 f ( x) 的极限存在,即 lim f ( x) ? A ,根据函数极限的定义,?? ? 0 ,?? ? 0 ,
x ? x0

当 0 ?| x ? x0 |? ? 时,| f ( x) ? A |? ? ;特别对 ? ? 1 ,?? ? 0 ,当 0 ?| x ? x0 |? ? 时,| f ( x) ? A |? ? ? 1 , 即 x 满足不等式 0 ?| x ? x0 |? ? 时,有

| f ( x) | ?| f ( x) ? A ? A | ?| f ( x) ? A | ? | A | ? 1? | A |? M ?0 , ? ) ,当 x ? N ( x ?0 ,? ) 时, f ( x) 有界。 从而证得:存在 x0 的去心邻域 N ( x ? 0 , ? ? ,当 定理 2、 (局部保号性定理)若极限 lim f ? x ? ? A ? 0 ( A ? 0 ) ,则存在 x0 的一个 ? 邻域 N ?x
证:由于 lim f ? x ? ? A ? 0 ,由定义: ?? ? 0 , ?? ? 0 ,当 0 ? x ? x0 ? ? 时, f ?x? ? A ? ? 。因为 ?

? 0 , ? ?时,有 f ?x ? ? 0 ( f ?x ? ? 0 ) 。 x ? N ?x
x ? x0

x ? x0

? 0 , ? ? 时 , 有 f ?x ? ? A ? ? , 即 是 任 意 小 的 正 数 , 不 妨 设 ? ? A , 则 当 0 ? x ? x0 ? ? 即 x ? N ?x

A ? ? ? f ?x ? ? A ? ? ;从而可以得到: f ?x? ? A ? ? ? 0 。 | A| ?0 ) 注:事实上取 ? ? ,还可以得到更强的结论:若 lim f ? x ? ? A( A ? 0 ) ,则存在 x0 的去心邻域 U ( x x ? x0 2 | A| ?0 ) 时,有 | f ( x ) |? 当 x ?U ( x 。 2 ? 0 , ? ?时,有 f ?x ? ? 0 (or f ?x ? ? 0 ) 定理 3、设 x ? N ?x ,且 lim f ?x ? ? A ,则必有 A ? 0 (or A ? 0 ) 。
x ? x0

注:①以上的两个定理反映了极限 lim f ( x) 存在时,函数在点 x0 邻域内的特性。

? 0 , ? ?时,有 f ?x ? ? 0 ,且 lim f ?x ? ? A , 问 A 如何?考虑当 x ? 0 时,函数 f ( x) ? x 2 , ②设 x ? N ?x

x ? x0

? ,? 时,总有 f ( x) ? x ? 0 ,但 lim f ? x ? ? lim x 2 ? 0 。 当 x?N 0
2
x ?0

? ?

x ? x0

x ?0

3


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