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2013届高三数学一轮复习单元训练 数列


黑龙江省 2013 届高三数学一轮复习单元训练:数列
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 已知等差数列 ?an ? 中, a5 ? a9 ? a7 ?

10 ,记 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ,则 S13 的值( ) A. 130 【 答案】D B. 260 C. 156 D. 168

22π 2.若{an}为等差数列,Sn 是其前 n 项和,且 S11= ,则 tana6 的值为( 3 A. 3 B.- 3 D.- 3 3

)

C.± 3 【答案】B 3.数列

3 5 7 2n ? 1 , 2 2 , 2 2 ,? , 2 ,? 的前 n 项和是( ) 2 1 ?2 2 ? 3 ?4 3 n ? n ? 1) 2 ( 1 1 1 1 A. 1 ? 2 B. 1 ? 2 C. 1 ? D. 1 ? 2 ( n ? 1) (n ? 1) 2 n n
2

【答案】D n 4.若数列{an}的通项公式是 an=(-1) ·(3n-2),则 a1+a2+…+a10=( A.15 B.12 C.-12 D.-15 【答案】A 5.等比数列 {an } 中, | a1 |? 1, a5 ? ?8a2 , a5 ? a2 , 则 an ? ( A. (?2)
n?1

)

) D. ?(?2)
n

B. ?(?2

n?1

)

C. ( ?2)

n

【答案】A 6.已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2·a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为 5 ,则 S5=( ) 4 A.35 B.33 C.31 D.29 【答案】C 7.设等差数列 {an } 的前 n 项之和为 S n ,已知 a2 ? 3, a5 ? 9, 则S5 等于 ( )

A.15 B.20 C.25 D.30 【答案】C 8.已知{an}为等差数列,其公差 为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和, n∈N*,则 S10 的值为( ) A.-110 B.-90 C.90 D.110 【答案】D 9.等差数列 a n ? 的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 等比中项,则数列 a n ? 的前 10
用心 爱心 专心 1

?

?

项之和是( A.90 【答案】B

) B. 100 C. 145 D. 190

1 10.数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? , 并且 an (an ?1 ? an ?1 ) ? 2an ?1an ?1 (n ? 2) ,则数列的第 2010 项 2 为 ( ) 1 1 1 1 A. 100 B. 2010 C. D. 2 2010 2 100 【答案】C
11. {an } ,{bn } 均为正项等比数列, 设 将它们的前 n 项之积分别记为 An ,Bn , 若
2 An ? 2n ? n , Bn



a5 的值为 b5
D.512 ) D.32

(



A.32 B.64 C.256 【答案】C 12.在等差数列 ?an ? 中,已知 a 4 ? a5 ? 8 ,则 S8 等于( A.8 B.16 C.24 【答案】D

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2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知数列{an}的首项 a1≠0,其前 n 项的和为 Sn,且 Sn+1=2Sn+a1,则 =________. 2 n 2 -1 14.设等差数列{an}的前 n 项和为 S n,若 1≤a5≤4,2≤a6≤3,则 S6 的取值范围是_______. 【答案】 [-12,42] 【答案】 15.设 a n ? 3 ? n (n ? N * ) ,则数列 {a n } 的各项和为 【答案】 .
n-1

an Sn

1 2

16.已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 【答案】

4n ? 3 4n ? 2

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 , 则 a n ? _____________。 2 4n ? 1

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3

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
2 * 17.已知数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn ? n ? 2n, (n ? N ) 。

(1)求通项 an ;
n * (2)若 bn ? 2 ? (an ? 12), (n ? N ) ,求数列 ?bn ? 的最小项。

【答案】 (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ; 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (n ? 2n) ? [(n ? 1) ? 2(n ? 1)] ? 2n ? 1 。
2 2

又 n ? 1 时, 2 ?1 ? 1 ? 3 成立,所以 an ? 2n ? 1(n ? N ) 。
*

(2) bn ? 2 ? (an ? 12) ? 2 ? (2n ? 11) ,
n n

? 2 n ? (2n ? 11) ? 2 n ?1 ? (2n ? 9) ?bn ? bn ?1 ? n ? 3.5 ? ?? n ?? 由? n ?1 ? 2 ? (2n ? 11) ? 2 ? (2n ? 13) ? n ? 4.5 ?bn ? bn ?1 ?
所以 3.5 ? n ? 4.5 ,所以 n ? 4 ,所以最小项为 b4 ? ?48 。 18.已知 直线 ln:y=x- 2n与圆 Cn:x +y =2an+n+2(n∈N )交于不同点 An,Bn.其中数 1 2 列{an}满足:a1=1,an+1= |AnBn| . 4 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= (an+2),求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 3 |- 2n| 【答案】 (1)∵圆心到直线的距离 d= = n, 2 ?1 ?2 ∴an+1=? |AnBn|? =(2an+n+2)-n=2an+2, ?2 ? 则 an+1+2=2(an+2). ∵a1=1,∴数列{an+2}是首项为 3,公比为 2 的等比数列, n-1 n-1 则 an+2=3 ? 2 ,∴an=3 ? 2 -2. (2)bn= (an+2)=n ? 2 . 3 Sn=1 ? 20+2 ? 21+3 ? 22+…+n ? 2n-1,① 1 2 n-1 n 2Sn=1 ? 2 +2 ? 2 +…+(n-1)? 2 +n ? 2 .② 1 2 n-1 n n ①-②,得-Sn=1+2 +2 +…+2 -n ? 2 =(1-n)2 -1, n ∴Sn=(n- 1)2 +1. 19.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an 和 Sn. ?a1q=6, ? 【答案】设{an}的公比为 q,由题设得 ? 2 ? ?6a1+a1q =30. 解得?
?a1=3, ? ? ?q=2
2 2 *

n

n

n-1

或?

?a1=2, ? ? ?q=3.
n-1

当 a1 =3,q=2 时,an=3×2



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4

a1(1-qn) 3(1-2n) n Sn= = =3(2 -1); 1-q 1-2 n-1 当 a1=2,q=3 时,an=2×3 , n n a1(1-q ) 2(1-3 ) n Sn= = =3 -1. 1-q 1-3
20.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? (1)证明:数列 ?

1 , S n ? n 2 an ? n(n ? 1), n ? 1,2,?? 2

?n ?1 ? S n ? 是等差数列,并求 S n ; ? n ?

(2)设 bn ?

Sn ,求证: b1 ? b2 ???? bn ? 5 . 2 n ? 3n 12
3
2

【答案】 (I)由 S n ? n an ? n(n ? 1) 知, 当 n ? 2 时: S n ? n ( S n ? S n?1 ) ? n(n ? 1) ,
2

即 (n ? 1) S n ? n S n?1 ? n(n ? 1) ,
2 2



n ?1 n Sn ? Sn?1 ? 1 ,对 n ? 2 成立。 n n ?1
1?1 ?n ?1 ? S1 ? 1,? ? S n ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列。 1 ? n ?



n ?1 S n ? 1 ? (n ? 1) ?1 n
n2 n ?1

∴ Sn ?

bn ?

Sn 1 1 1 1 ? ? ( ? ) n ? 3n (n ? 1)( n ? 3) 2 n ? 1 n ? 3
3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ?? ? ? ? ) 2 2 4 3 5 n n ? 2 n ?1 n ? 3 1 5 1 1 5 = ( ? ? )? 2 6 n ? 2 n ? 3 12
∴ b1 ? b2 ? ?? ? bn ? 21. 已知单调递增的等比数列{ an }满足:a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式. (2)若 bn = an log 1 an ,Sn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,求 Sn.
2

【答案】 (1)设等比数列 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q,

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5

依题意,有 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4

代入 a2+a3+a4=28,得 a3 ? 8

∴ a2 ? a4 ? 20

?a1q ? a1q 3 ? 20, ? ∴? 2 ?a3 ? a1q ? 8, ?

1 ? ?q ? 2 ? q ? 解之得 ? 或? 2 ?a1 ? 2 ? a ? 32 ? 1
n

又 {an } 单调递增,∴ ?

?q ? 2 ?a1 ? 2

∴ an ? 2

.

(2) bn ? 2n ? log 1 2n ? ?n ? 2n ,
2

∴ ? sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ... ? n ? 2
2 3

n

① ②



?2sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ... ? (n ? 1) ? 2n ? n2n ?1
2 3 n n ?1

∴①-②得 sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? n ? 2 = 2n?1 ? n ? 2n?1 ? 2

?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 1? 2

22.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x -anx-an=0 有一根为 Sn-1,n=1,2,3,…. (1)求 a1,a2; (2) an}的通项公式. { 2 【答案】(1)当 n=1 时,x -a1x-a1=0 有一 根为 S1-1=a1-1, 1 2 于是(a1-1) -a1(a1-1)-a1=0,解得 a1= . 2 1 2 当 n=2 时,x -a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2- , 2 1 2 1 1 于是(a2- ) -a2(a2- )-a2=0,解得 a1= . 2 2 6 (2)由题设(Sn-1) -an(Sn-1)-an=0, 2 即 Sn -2Sn+1-anSn=0. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代入上式得 Sn-1Sn-2Sn+1=0 ① 1 1 1 2 由(1)知 S1=a1= ,S2=a1+a2= + = . 2 2 6 3 3 由①可得 S3= . 4 由此猜想 Sn=
2

2

n ,n=1,2,3,…. n+1

下面用数学归纳法证明这个结论. (i)n=1 时已知结论成立. (ii)假设 n=k 时结论成立,即 Sk=

k

k+1



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6

当 n=k+1 时,由①得 Sk+1= 故 n=k+1 时结论也成 立. 综上,由(i)、(ii)可知 Sn=

1 k+1 ,即 Sk+1= , 2-Sk k+2

n

n+1

对所有正整数 n 都成立.

于是当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=

n n-1 1 - = , n+1 n n(n+1)

1 1 又 n=1 时,a1= = ,所以 2 1×2 {an}的通项公式 an= 1

n(n+1)

, n ? N *) . (

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