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2009 年高考数学第二轮执点专题测试 平面解析几何(含详解)
一、选择题: 1、直线 4x+3y=40 与圆 x2+y2=100 的位置关系是( ) (A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)无法确定 2 2 2、经过点 M(2,1)作圆 C:x +y

=5 的切线,则切线方程是( (A) 2 x+y-5=0 (B) 2 x+y+5=0 )



(C)2x+y-5=0 (D)2x+y+5=0 3、直线 y=x-1 上的点到圆 C:x2+y2+4x-2y+4=0 的最近距离为( (A)1 (B)2 2 (C) 2 -1 (D)2 2 -1

4、已知圆 C 的半径为 2 ,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为(
2 2 2 2

) B. x ? y ? 4 x ? 0
2 2

A. x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 C. x ? y ? 2 x ? 3 ? 0

D. x ? y ? 4 x ? 0
2 2

5) 的最长弦和最短弦分别为 AC 5、已知圆的方程为 x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 0 .设该圆过点 (3,
和 BD ,则四边形 ABCD 的面积为( A. 10 6 B. 20 6 ) D. 40 6

C. 30 6

6、设椭圆 C1 的离心率为

5 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的 13


两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为(

A.

x2 y 2 ? ?1 42 32

B.

x2 y2 ? ?1 132 52

C.

x2 y 2 ? ?1 32 42

D.

x2 y2 ? ?1 132 122


7、若点 P 到直线 x =-1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1,则点 P 的轨迹为( (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 8、抛物线 x 2 ? y 的准线方程是( (A) 4 x ? 1 ? 0 ) (C) 2 x ? 1 ? 0 (D) 2 y ? 1 ? 0 )

(B) 4 y ? 1 ? 0
2 2

9、已知点 P( x, y) 在圆 ( x ? 2) ? y ? 1上运动,则代数式

y 的最大值是( x

(A)

3 3

(B)-

3 3
2

(C) 3

(D)- 3

?1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距 10、已知点 P 在抛物线 y ? 4 x 上,那么点 P 到点 Q(2,
离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( )

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(A) ? , ? 1?

?1 ?4

? ?

(B) ? , 1?

?1 ? ?4 ?

(C) (1 , 2)

, ? 2) (D) (1

11、我国于 07 年 10 月 24 日成功发射嫦娥一号卫星,并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕 地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆(地球半径忽略不计)。若第一次变轨前卫星的 近地点到地心的距离为 m ,远地点到地心的距离为 n ,第二次变轨后两距离分别为 2 m 、 2 n (近地点是指卫星到地面的最近距离,远地点是最远距离) ,则第一次变轨前的椭圆的离 心率比第二次变轨后的椭圆的离心率 A.变大 12、设 AB 是椭圆 B.变小 C.不变 D.以上都有可能

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的长轴,若把 AB100 等分,过每个分点作 AB a2 b2

的 垂 线 , 交 椭 圆 的 上 半 部 分 于 P1 、 P2 、 … 、 P99 , F1 为 椭 圆 的 左 焦 点 , 则

F1 A ? F1 P 1 ? F 1P 2 +… ? F 1P 99 ? F 1 B 的值是
(A) 98a (B) 99 a 二、填空题 (C) 100 a (D) 101a





13、由点 P(1 , 3) 引圆 x2 ? y 2 ? 9 的切线,则切线长等于 14、已知两圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 10 y ? 24 ? 0 , C2 : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 8 ? 0 , 则它们的公共弦长为______ 15、在平面直角坐标系 xoy 中,已知抛物线关于 x 轴对称,顶点在原点 O ,且过点P(2,4), 则该抛物线的方程是 .

16、双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦点 F 垂直

AB 、 OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同 于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知 OA 、
向.求双曲线的离心率_____ 三、解答题
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2 2

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17、已知,圆 C: x ? y ? 8 y ? 12 ? 0 ,直线 l : ax ? y ? 2a ? 0 . (1) 当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2) 当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB ? 2 2 时,求直线 l 的方程.

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?x ? 0 ? 18.已知平面区域 ? y ? 0 恰好被面积最小的圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 及其内 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?
部所覆盖. (Ⅰ)试求圆 C 的方程. (Ⅱ)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A, B. 满足 CA ? CB ,求直线 l 的方程.

19、若椭圆

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点(-3,2) ,离心率为 ,⊙O 的圆心为原点,直 2 3 a b

径为椭圆的短轴,⊙M 的方程为 ( x ? 8) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 4 ,过⊙M 上任一点 P 作⊙O 的切线 PA、PB,切点为 A、B. (1)求椭圆的方程; (2)若直线 PA 与⊙M 的另一交点为 Q,当弦 PQ 最大时,求直线 PA 的直线方程; (3)求 OA ? OB 的最大值与最小值.

20、已知圆 O: x ? y ? 1 ,圆 C: ( x ? 2) ? ( y ? 4) ? 1 ,
2 2 2 2

由两圆外一点 P(a, b) 引两圆切线 PA、PB,切点分别为 A、B, 如右图,满足|PA|=|PB|. (Ⅰ)求实数 a、b 间满足的等量关系; (Ⅱ)求切线长|PA|的最小值; (Ⅲ)是否存在以 P 为圆心的圆,使它与圆 O 相内切 并且与圆 C 相外切?若存在,求出圆 P 的方程; 若不存在,说明理由. B

P

A

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x2 y 2 21、已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 a b F : (?2,0), F : (2,0), 点P(3, 7) 的曲线 C 上.
(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)记 O 为坐标原点,过点 Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,若△ OEF 的面积为 2 2, 求直线 l 的方程

22、 已知圆 O: x2 ? y 2 ? 2 交 x 轴于 A, B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,离心率为

2 的椭圆, 2

其左焦点为 F.若 P 是圆 O 上一点,连结 PF,过原点 O 作直线 PF 的垂线交椭圆 C 的左准线 于点 Q. y Q (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; P (Ⅱ)若点 P 的坐标为(1,1),求证:直线 PQ 与圆 O 相切; (Ⅲ)试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与 A、 B 重合), 直线 PQ 与圆 O 是否保持相切的位置关系?若是,请 证明;若不是,请说明理由. B x A F O

参考答案(详解)
一、选择题

1 A
1、 (A)

2 C

3 D

4 D

5 B

6 A

7 D

8 B

9 A

10 A

11 C

12 D

解:圆心为(0,0) ,R=10,圆心到直线距离:d=

| 0 ? 0 ? 40 | 42 ? 32

=8<10。

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2、 (C) 解:因为,点 M 在圆上,圆心 C(0,0) , kOM =

1? 0 1 = ,过点 M 的切线的斜率为 k=- 2?0 2

2,切线方程为:y-1=-2(x-2) ,即 2x+y=5 3、 (D) 解:圆心(-2,1) ,R=1,圆心到直线距离:d= 1。 4、D 解:设圆心为 (a, 0), (a ? 0), 5、B 解: 化成标准方程 ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 25 ,过点 (3,5) 的最长弦为 AC ? 10, 最短弦为 BD ? 2 52 ? 12 ? 4 6, 6、A 解:对于椭圆 C1 , a ? 13, c ? 5, 曲线 C2 为双曲线, c ? 5, a ? 4 , b ? 3, 标准方程为:

| ?2 ? 1 ? 1| =2 2 ,最近距离为:2 2 - 2

3a ? 4 ? 2, a ? 2, ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 5

S?

1 A C? B D ? 20 6. 2

x2 y 2 ? ? 1. 42 32
7、D 解:点 P 到直线 x =-1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1,即 点 P 到直线 x =-2 的距离与它到点(2,0)的距离相等,故点 P 的轨迹是抛物线,选(D) 。 8、B 解:由 2p=1,则 p= 准线方程为:y=- 9、A 解:设

1 ,抛物线的开口向上,焦点在 y 轴上,所以, 2

1 ,即 4y+1=0,故选(B) 。 4

y y?0 ? k ,则 k 表示点 P( x, y) 与点(0,0)连线的斜率.当该直线 kx-y=0 = x?0 x

与圆相切时,k 取得最大值与最小值.圆心 (2,0) , 由

| 2k | k 2 ?1

=1, 解得 k ? ?

y ?1 3 , ∴ x?2 3

的最大值为

3 , 3

10、A 解:抛物线的焦点为 F(1,0) ,作 PA 垂直于准线 x=-1,则 |PA|=|PF|,当 A、P、Q 在同一条直线上时, |PF|+|PQ|=|PA|+|PQ|=|AQ|,

图 1

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此时,点 P 到 Q 点距离与抛物线焦点距离之和取得最小值, P 点的纵坐标为-1,有 1=4x,x= 11、C

1 1 ,此时 P 点坐标为( ,-1) ,故选(A) 。 4 4

n?m n?m n?m 解 : 第一 次变 轨 前离 心率 e1 ? 2 ? , 第二 次变 轨 后离 心率 e2 ? , n?m n?m n?m 2
? e1 ? e2 。
12、D 解:由椭圆的定义知 F1 P i ? F2 P i ? 2a ( i ? 1,2, ?,99),

? ? ( F1 Pi ? F2 Pi ) ? 2a ? 99 ? 198a. 由题意知 P 1, P 2 , ?, P 99 关于 y 轴成对称分布,
i ?1 99

99

1 99 ? ? ( F1 Pi ) ? ? ( F1 Pi ? F2 Pi ) ? 99a. 又? F1 A ? F1 B ? 2a ,故所求的值为101a . 2 i ?1 i ?1
二、填空题 13、1 解:圆心(0,0) ,则由勾股定理,得切线长为: (0-1)2+(0-3)2-9=1。 14、2 5 解:由两圆 C1,C2 方程可知公共弦方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,

? 5) 到直线(公共弦)的距离为 d ? ? 圆 C1 圆心 (1,

1 ? 10 ? 4 5

?3 5.

? 弦长 ? 2 ? (5 2) 2 ? (3 5) 2 ? 2 5 .
15、 y ? 8x
2
2 2 解:设所求抛物线方程为 y ? ax ,依题意 4 ? 2a ? a ? 8 ,故所求为 y ? 8x .

2

16、

5 2

、 OB 解: ( 1 ) 因 为 O A、 A B 成等差数列,所以可设
OA ? m ? d , AB ? m , OB ? m ? d ,
画出草图, 如图, 由勾股定理可得:(m ? d ) ? m ? (m ? d )
2 2 2

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得: d ?

1 b AB m 4 m , tan ?AOF ? , tan ?AOB ? tan 2?AOF ? = = , 4 a OA m ? d 3

b a ?4 b 1 c a 2 ? b2 = 5 . 由倍角公式? ,解得: ? ,则离心率 e = = 2 3 ?b? a a 2 2 a 1? ? ? ?a? 2?
三、解答题 17.解:将圆 C 的方程 x 2 ? y 2 ? 8 y ? 12 ? 0 配方得标准方程为 x 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 ,则此 圆的圆心为(0 , 4) ,半径为 2. (1) 若直线 l 与圆 C 相切,则有

| 4 ? 2a |

3 ? 2 . 解得 a ? ? . 4 a2 ?1

(2) 解:过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,得 | 4 ? 2a | ? , ?CD ? 2 a ? 1 ? ? 2 2 2 2 解得 a ? ?7 , ? 1 . ?CD ? DA ? AC ? 2 , ? 1 ? DA ? AB ? 2 . 2 ? ? ∴直线 l 的方程是 7 x ? y ? 14 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 . 18. 解:(1)由题意知此平面区域表示的是以 O(0,0), P(4,0), Q(0, 2) 构成的三角形及其内部, 且△ OPQ 是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是 5 , 所以圆 C 的方程是 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5 .
2 2

(2)设直线 l 的方程是: y ? x ? b . 因为 CA ? CB ,所以圆心 C 到直线 l 的距离是 即

10 , 2

| 2 ?1 ? b | 12 ? 12

?

10 2

解得: b ? ?1 ? 5 . 所以直线 l 的方程是: y ? x ? 1 ? 5 .

4 ?9 ?a2 ? b2 ? 1 ? 2 ? x2 y2 3 ?c ?a ? 15 ? ?1 19.解: (1)由题意得: ? ? ,所以椭圆的方程为 ?? 2 15 10 3 ? ?a ?b ? 10 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?
(2)由题可知当直线 PA 过圆 M 的圆心(8,6)时,弦 PQ 最大 因为直线 PA 的斜率一定存在, 设直线 PA 的方程为:y-6=k(x-8) 又因为 PA 与圆 O 相切,所以圆心(0,0)到直线 PA 的距离为 10

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| 8k ? 6 | 1? k
2

? 10

可得 k ?

1 13 或k ? 3 9

所以直线 PA 的方程为: x ? 3 y ? 10 ? 0或13x ? 9 y ? 50 ? 0 20、解: (Ⅰ)连结 PO、PC,∵|PA|=|PB|,|OA|=|CB|=1, ∴|PO|2=|PC|2,从而 a 2 ? b 2 ? (a ? 2) 2 ? (b ? 4) 2 化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: a ? 2b ? 5 ? 0 . (Ⅱ)由 a ? 2b ? 5 ? 0 ,得 a ? ?2b ? 5

| PA |? | PO | 2 ? | OA | 2 ? a 2 ? b 2 ? 1 ? (?2b ? 5) 2 ? b 2 ? 1 ? 5b 2 ? 20b ? 24 ? 5(b ? 2) 2 ? 4
∴当 b ? 2 时, | PA | min ? 2 (III)∵圆 O 和圆 C 的半径均为 1,若存在半径为 R 圆 P,与圆 O 相内切 并且与圆 C 相外切,则有

| PO |? R ? 1 且 | PC |? R ? 1
于是有: | PC | ? | PO |? 2 从而得 即

| PC |?| PO | ?2

(a ? 2) 2 ? (b ? 4) 2 ? a 2 ? b 2 ? 2

两边平方,整理得 a 2 ? b 2 ? 4 ? (a ? 2b) 将 a ? 2b ? 5 代入上式得: a 2 ? b 2 ? ?1 ? 0 故满足条件的实数 a、b 不存在,∴不存在符合题设条件的圆 P. 21、 (Ⅰ)解:依题意,由 a2+b2=4,得双曲线方程为 将点(3, 7 )代入上式,得 故所求双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 (0<a2<4=, a2 4 ? a2

9 7 ? ? 1 .解得 a2=18(舍去)或 a2=2, 2 2 a 4?a

x2 y2 ? ? 1. 2 2

(Ⅱ)解:依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理, 得(1-k2)x2-4kx-6=0. ∵直线 I 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,
2 ? ?k ? ?1, ?1 ? k ? 0, ? ∴? ? 2 2 ? ?? ? (?4k ) ? 4 ? 6(1 ? k ) >0, ?? 3<k< 3,

∴k∈(- 3,?1 )∪(1, 3 ). 设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 x1+x2=

4k 6 , x1 x 2 ? , 于是 2 1? k 1? k 2

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2 2 |EF|= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ?

(1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) 2
?

= 1? k 2

?

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2
2 1? k 2
?

2 2 3? k2 |1? k 2 |

而原点 O 到直线 l 的距离 d=

,

∴SΔ OEF=

1 1 2 d ? | EF |? ? 2 2 1? k 2

1? k 2

?

2 2 3?k2 2 2 3? k2 ? . |1? k 2 | |1? k 2 |

若 SΔ OEF= 2 2 ,即

2 2 3?k2 ? 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 2 ? 0, 解得 k=± 2 , 2 |1? k |

满足②.故满足条件的直线 l 有两条,其方程分别为 y= 2 x ? 2 和 y ? ? 2 x ? 2. 22、解:(Ⅰ)因为 a ?

2, e ?

2 ,所以 c=1 2
x2 ? y2 ? 1 2

则 b=1,即椭圆 C 的标准方程为 (Ⅱ)因为 P (1,1),所以 k PF ?

1 ,所以 kOQ ? ?2 ,所以直线 OQ 的方程为 y=-2x 2

又椭圆的左准线方程为 x=-2,所以点 Q(-2,4) 所以 kPQ ? ?1 ,又 kOP ? 1 ,所以 k OP ? k PQ ? ?1,即 OP ? PQ , 故直线 PQ 与圆 O 相切 (Ⅲ)当点 P 在圆 O 上运动时,直线 PQ 与圆 O 保持相切
2 2 证明:设 P( x0 , y0 ) ( x0 ? ? 2 ),则 y0 ,所以 k PF ? ? 2 ? x0

y0 x ?1 , kOQ ? ? 0 , x0 ? 1 y0

所以直线 OQ 的方程为 y ? ? 所以点 Q(-2,

x0 ? 1 x y0

所以 k PQ

2 x0 ? 2 ) y0 2x ? 2 y0 ? 0 y0 y 2 ? (2 x0 ? 2) ? x0 2 ? 2 x0 x y ? ? 0 ? ? ? 0 ,又 kOP ? 0 , x0 ? 2 ( x0 ? 2) y0 ( x0 ? 2) y0 y0 x0

所以 k OP ? k PQ ? ?1,即 OP ? PQ ,故直线 PQ 始终与圆 O 相切

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