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2010~2011学年度高二数学期末考试试题(理科)


2010~2011 学年度高二数学期末考试试题(理科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 150 分. 共 考试时 间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题: (本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、 (1 ? i ) 2 0 A. 2.在 ?x
?

? (1 ?

i )

20

的值是( C )
1024

?1024
10

B.

C.

0

D. 1 0 2 4 ( D
9 C 10
6

3

6 ? 的展开式中, x 的系数为
4 B. 27 C 10


4 D. 9 C 10

6 A. ? 27 C 10

C. ?

y 3.设有一个回归直线方程 ?

? 2 ? 1 .5 x

,则变量 x 增加 1 个单位时(



A.y 平均增加 1.5 个单位 B.y 平均增加 2 个单位 C.y 平均减少 1.5 个单位 D.y 平均减少 2 个单位 答案:C 4、已知回归直线的斜 率的估计值为 1.23,样本点的中心为(4,5) ,则回 归 直线方程为( ) A.
? ? 1 .2 3 x ? 4 y y B. ? y D. ? ? 1 .2 3 x ? 5

y C. ?

? 1 .2 3 x ? 0 .0 8

? 0 .0 8 x ? 1 .2 3

答案:C 5.对于 R 上可导的任意函数 f (x),满足(x-1)f ′(x)≥0,则必有( A.f (0)+f (2)<2f (1) B.f (0)+f (2)≤2f (1) D.f (0)+f (2)>2f (1) B )



)

C.f (0)+f (2)≥2f (1) 6. 由 y
? 3x
2

? 1, x ? 1, x ? 3

及 x 轴围成的图形的面积( C.30
n

A.20

B.28

D. 32
2 · 1 3 ? ( 2 n ? 1) · · ·

7.用数学归纳法证明 ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ( n ? n ) ? 要增乘的代数式为( A. 2 k
?1

,从 k 到 k
2k ? 3 k ?1

? 1 ,左边需


? 1)

B. 2 ( 2 k

C.

2k ? 1 k ?1

D.

答案:B 8.已知 m A. a
? b ? 1,a ?
m ?1? m

,b

?

m ?

m ?1

,则以下结论正确的是( D. a , b 大小不定



B. a

? b

C. a

? b

答案:B 9.已知 a, b ? R ,且 a A. 1 ?
ab ? a
2

? b, a ? b ? 2

,则(
a
2


? b 2
2

a

2

? b 2

2

B. a b ? 1 ? D.
a
2

C. a b ?

?b 2

2

?1

?b 2

2

? ab ? 1

答案:B 10.某人从家乘车到单位,途中有 3 个交通岗亭.假设在各交通岗遇到红灯的 事件是相互独立的, 且概率都是 0.4, 则此人上班途中遇红灯的次数的期望为: (B ) A.0.4 B.1.2 C. 0 . 4 3 D.0.6 11.甲、乙、丙、丁四种不同的种子,在三块不同土地上试种,其中种子甲必 须试种,那么不同的试种方法共有(B ) A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.96 种 12. 由数字 0,1 ,2,3,4,5 可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数 的个数有(B ) A.72 B.60 C.48 第Ⅱ卷(非选择题 13 、 若 ?2 x D.52 共 90 分)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分,把答案写在答题纸上)
? 3

?

4

? a 0 ? a 1x ? ? ? ? ? a 4 x

4

, 则 ?a 0

? a 2 ? a 4 ? ? ?a 1 ? a 3 ?
2

2

的值为

_______1___. 14、设 x,y,z ? R,若 x2 ? y2 ? z2 ? 4,则 x ? 2y ? 2z 最小值为 15.从一批含有 13 只正品,2 只次品的产品中,不放回地抽取 3 次,每次抽 取 1 只,设抽得次品数为 X,则 E(5X+1)=___________3_____.
?

16.若 ? 2 (s in
0

x ? a cos x )dx ? 2

,则实数 a 等于

-1

三、解答题 17. (本小题满分 10 分)

(1)关于 x 的不等式| k x -1|≤5 的解集为{ x |-3≤ x ≤2},求 k 的值。 按绝对值定义直接去掉绝对值符号后,由于 k 值的不确定,要以 k 的不同 取值分类处理。 解:原不等式可化为-4≤ k x ≤6
? 4 4 ? ? ?3 ? ? 4 6 ? k ?k ? ? ? 时,进一步化为 ? ? x ? ,依题意有 ? 3 k k ?6 ? 2 ?k ? 3 ? ?k ?

当 k >0

,此时

无解。 当 k =0 时,显然不满足题意。
? 4 ? ? 2 ? 6 4 ? k ? k ? ?2 ? x ? ? ,依题意有 ? k k ? 6 ? ?3 ?k ?

当 k <0 时,

综上, k =-2。 (2) 解不等式 5 x ? 1 分析:不等式
? 2? x

x ? a ? x ? a或 x ? ? a, x ? a ? ? a ? x ? a(其中 a ? 0
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)可以推

广为任意 a ? R 都成立,且 a 为代数式也成立 解:原不等式又化为
5 x ? 1 ? 2 ? x或 5 x ? 1 ? ? (2 ? x) 解之得 x ? 1 6 或x ? ? 3 4
1 6 或x ? ? 3 4 }

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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特级教师 王新敞
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∴原不等式的解集为 { x x ?

18. (本小题满分 12 分)投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若 能通过两位初审专家的评审,则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不 予录用;若恰能通过一位初审专家的评审,则再由第三位专家进行复审,若能 通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录用.设稿件能通过各初审专家 评审的概率均为 0.5,复审的稿件能通过评审的概率为 0.3.各专家独立评 审. (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率;(II)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿
件中被录用的篇数,求 X 的分布列及期望

解:(Ⅰ)记 A 表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审; B 表示事件:稿件恰能通过一位初审专家的评审; C 表示事件:稿件能通过复审专家的评审;

D 表示事件:稿件被录用. 则 D=A+B·C,

= = =0.25+0.5×0.3 =0.40. (Ⅱ)由题意知X的所有可能取值为 0,1,2,3,4,且 分布列为: ,其

(分布列略) 期望

.

19、 (本小题满分 12 分)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者 获得这次比赛的胜利,比赛结束。假设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获 胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立。已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局。 (Ⅰ)求再赛 2 局结束这次比赛的概率; (Ⅱ)求甲获得这次比赛胜利的概率。 解:记“第 i 局甲获胜”为事件 Ai(i=3,4,5) , “第 j 局甲获胜”为事件 Bi(j=3,4,5) . (Ⅰ)设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A,则 A=A3?A4+B3?B4,

由于各局比赛结果相互独立, 故 P(A)=P(A3?A4+B3?B4)=P(A3?A4)+P(B3?B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)P (B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52. (Ⅱ)记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B, 因前两局中,甲、乙各胜 1 局, 故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中, 甲先胜 2 局,从而 B=A3?A4+B3?A4?A5+A3?B4?A5, 由于各局比赛结果相互独立, 故 P(B)=P(A3?A4+B3?A4?A5+A3?B4?A5) =P(A3?A4)+P(B3?A4?A5)+P(A3?B4?A5) =P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5) =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648 (20) (本小题满分 12 分) 已知函数 (Ⅰ)讨论
f (x)
f (x) ? x ? 3x ? 6
4 2

. 上,若该曲线在点

的单调性; (Ⅱ)设点 P 在曲线 y

? f (x)

P 处的切线 l 通过坐标原点,求 l 的方程 解: (Ⅰ)
f `( x ) ? 4 x
3

? 6 x ? 4 x( x ?

6 2

)( x ?

6 2

)



f `( x ) ? 0

得?

6 2

? x ? 0

或x

?

6 2





f `( x ) ? 0

得x

? ?

6 2 6 2

或0

? x ?

6 2

因此,f ? x ? 在区间 ( ? 为减函数。 (Ⅱ)设点 P ( x 0 ,

,0 )

和(

6 2

, ?? ) 为增函数; 在区间 ( ?? , ?

6 2

) 和(0,

6 2

)

f ( x 0 ))

,由 l 过原点知, l 的方程为 y

? f `( x 0 ) x



因此
2

f ( x 0 ) ? f `( x 0 ) x
2

,即 x 04

? 3 x 0 ? 6 ? x 0 (4 x 0 ? 6 x 0 ) ? 0
2 3

,整理得

( x 0 ? 1 )( x 0 ? 2 ) ? 0

,解得 x 0
2x

? ?

2

或 x0

?

2



所以的方程为 y

? ?

或y

?

2x

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 值; (II)若函数 g ( x ) 21.解: (I)函数 当a
? f (x) ? 2 x
f ( x )的定义域为
2e x ?
f (x) ? x
2

函 ? a ln x .(I) a ? ? 2 e 时 , 求 数 当

f (x)

的单调区间和极

在[1,4]上是减函数,求实数 a 的取值范围.
( 0 , ?? ).
2(x ? e )( x ? x e) .

? ? 2 e 时 , f ?( x ) ? 2 x ?

????2 分

当 x 变化时,
x

f ? ( x ), f ( x ) 的变化情况如下:
(0, e)

e

(

e , ?? )

f ?( x ) f (x)


f ( x )的单调递减区间是

0 极小值
(0, e)

+

由上表可知,函数 单调递增区间是 ( (II)由 g ( x ) 又函数 g ( x ) 则 g ?( x ) 成立. 即a
? 2 x ? 2x
2

; ????6 分
2

e , ?? ).
2

极小值是
2 x

f (

e ) ? 0.

? x
2

? a ln x ? 2 x

, 得 g ?( x ) ? 2 x ?

a x

?

x

2

.

????7 分

? x

? a ln x ?

为[1,4]上单调减函数,
? 2 x
2

? 0

在[1,4]上恒成立,所以不等式 2 x

?

a x

? 0

在[1,4]上恒

在[1,4]上恒成立. ??10 分
63 2 . 所以 a ? ?
1 n ?1 ? 1 n ? 2



? (x) ?

2 x

? 2x

2

在[1,4]为减函数, 所以 ? ( x )的最小值为
? (4) ? ?

63 2

. ????12
1 3n ? 1 ? a 24



22. (本小题满分 12 分)若不等式

?? ?

对一切正整数 n 都

成立,求正整数 a 的最大值,并证明结论.

解:当 n

? 1 时,

1 1?1

?

1 1? 2

?

1 3?1

?

a 24

,即

26 24

?

a 24



所以 a ? 2 6 . 而 a 是 正 整 数 , 所 以 取
1 n ?1 ? 1 n ? 2 ?? ? 1 3n ? 1 ? 25 24

a ? 25

, 下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明 :



(1)当 n

? 1 时,已证; ? k

(2)假设当 n 则当 n ? k 有
?
1 ( k ? 1) ? 1

时,不等式成立,即

1 k ?1

?

1 k ? 2

?? ?

1 3k ? 1

?

25 24



? 1 时,
? 1 ( k ? 1) ? 2 ?? ? 1 3 ( k ? 1) ? 1

1 k ?1
25

?

1 k ? 2

?? ?

1 3k ? 1

?

1 3k ? 2

?

1 3k ? 3

?

1 3k ? 4

?

1 k ?1

?

? ? 1 1 2 ? ? ? ? ? 24 3k ? 4 3 ( k ? 1) ? ? 3k ? 2


? 2 3 ( k ? 1) 2 3 ( k ? 1)

因为 所以 所以

1 3k ? 2 1 3k ? 2 1 3k ? 2

?

1 3k ? 4 1 3k ? 4 1 3k ? 4

? 9k ? 9k ?

6 ( k ? 1)
2

? 18k ? 8

, ,

?

6 ( k ? 1)
2

? 18k ? 8 ? 0

?

?

2 3 ( k ? 1)



所以当 n ? k

? 1 时不等式也成立.
1 n ?1 ? 1 n ? 2 ?? ? 1 3n ? 1 ? 25 24

由(1) (2)知,对一切正整数 n ,都有 所以 a 的最大值等于 25.



高二数学(理科)答题纸

二、填空题:本题共 4 小题,共 20 分,把答案填在题中的横线上 13. 15. 14. 16.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或

演算步骤. 17. (1)

(2)

18.

19.

20

21.

22.

参考答案 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.

题号 答案

1 C

2 D

3 C

4 C

5 C

6 B

7 B

8 B

9 B

10 B

11 B

12 B

二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. 1 14.-6 15. 3 16. -1 三、解答题 17、 (本小题满分 10 分) (1)关于 x 的不等式| k x -1|≤5 的解集为{ x |-3≤ x ≤2},求 k 的值。 按绝对值定义直接去掉绝对值符号后,由于 k 值的不确定,要以 k 的不同 取值分类处理。 解:原不等式可化为-4≤ k x ≤6
? 4 4 ? ? ?3 ? ? 4 6 ? k ?k ? ? ? 时,进一步化为 ? ? x ? ,依题意有 ? 3 6 k k ? ? 2 ?k ? 3 ? ?k ?

当 k >0

,此时

无解。 当 k =0 时,显然不满足题意。
? 4 ? ? 2 ? 6 4 ? k ? k ? ?2 ? x ? ? ,依题意有 ? k k ? 6 ? ?3 ?k ?

当 k <0 时,

综上, k =-2。 (2)解:原不等式又化为
5 x ? 1 ? 2 ? x或 5 x ? 1 ? ? (2 ? x) 解之得 x ? 1 6 或x ? ? 3 4
1 6 或x ? ? 3 4 }

∴原不等式的解集为 { x x ? 18、 (本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)记 A 表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审; B 表示事件:稿件恰能通过一位初审专家的评审; C 表示事件:稿件能通过复审专家的评审; D 表示事件:稿件被录用.



D=A+B·C,

= = =0.25+0.5×0.3 =0.40. (Ⅱ)由题意知X的所有可能取值为 0,1,2,3,4,且 分布列为: ,其

(分布列略) 期望 19、 (本小题满分 12 分)

.

解:记“第 i 局甲获胜”为事件 Ai(i=3,4,5) , “第 j 局甲获胜”为事件 Bi(j=3,4,5) . (Ⅰ)设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A,则 A=A3?A4+B3?B4, 由于各局比赛结果相互独立, 故 P(A)=P(A3?A4+B3?B4)=P(A3?A4)+P(B3?B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)P (B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52. (Ⅱ)记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B, 因前两局中,甲、乙各胜 1 局,

故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中, 甲先胜 2 局,从而 B=A3?A4+B3?A4?A5+A3?B4?A5, 由于各局比赛结果相互独立, 故 P(B)=P(A3?A4+B3?A4?A5+A3?B4?A5) =P(A3?A4)+P(B3?A4?A5)+P(A3?B4?A5) =P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5) =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648 20、 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)
f `( x ) ? 4 x
3

? 6 x ? 4 x( x ?

6 2

)( x ?

6 2

)



f `( x ) ? 0

得?

6 2

? x ? 0

或x

?

6 2





f `( x ) ? 0

得x

? ?

6 2 6 2

或0

? x ?

6 2

因此,f ? x ? 在区间 ( ? 为减函数。 (Ⅱ)设点 P ( x 0 , 因此
2

,0 )

和(

6 2

, ?? ) 为增函数; 在区间 ( ?? , ?

6 2

) 和(0,

6 2

)

f ( x 0 ))

,由 l 过原点知, l 的方程为 y
2 3

? f `( x 0 ) x



f ( x 0 ) ? f `( x 0 ) x
2

,即 x 04

? 3 x 0 ? 6 ? x 0 (4 x 0 ? 6 x 0 ) ? 0

,整理得

( x 0 ? 1 )( x 0 ? 2 ) ? 0

,解得 x 0
2x

? ?

2

或 x0 w.

?

2



所以的方程为 y

? ?

或y

?

2x

21. (本小题满分 12 分) 解: (I)函数 f ( x )的定义域为 当a
? ? 2 e 时 , f ?( x ) ? 2 x ?

( 0 , ?? ).
2e x ? 2(x ? e )( x ? x e) .

????2 分

当 x 变化时,

f ? ( x ), f ( x ) 的变化情况如下:

x

(0,

e)

e

(

e , ?? )

f ?( x ) f (x)


f ( x )的单调递减区间是

0 极小值
(0, e)

+

由上表可知,函数 单调递增区间是 ( (II)由 g ( x ) 又函数 g ( x ) 则 g ?( x ) 成立. 即a
? 2 x ? 2x
2

; ????6 分
2

e , ?? ).
2

极小值是
2 x

f (

e ) ? 0.

? x
2

? a ln x ?
2 x

, 得 g ?( x ) ? 2 x ?

a x

?

x

2

.

????7 分

? x

? a ln x ?

为[1,4]上单调减函数,
? 2 x
2

? 0

在[1,4]上恒成立,所以不等式 2 x

?

a x

? 0

在[1,4]上恒

在[1,4]上恒成立. ??10 分
63 2 . 所以 a ? ? 63 2



? (x) ?

2 x

? 2x

2

在[1,4]为减函数, 所以 ? ( x )的最小值为
? (4) ? ?

. ????12



22. (本小题满分 12 分) 解:当 n
? 1 时,
1 1?1 ? 1 1? 2 ? 1 3?1 ? a 24

,即

26 24

?

a 24



所以 a ? 2 6 . 而 a 是 正 整 数 , 所 以 取
1 n ?1 ? 1 n ? 2 ?? ? 1 3n ? 1 ? 25 24

a ? 25

, 下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明 :



(1)当 n

? 1 时,已证;
? k

(2)假设当 n 则当 n ? k 有
?
1 ( k ? 1) ? 1

时,不等式成立,即

1 k ?1

?

1 k ? 2

?? ?

1 3k ? 1

?

25 24



? 1 时,
? 1 ( k ? 1) ? 2 ?? ? 1 3 ( k ? 1) ? 1

1 k ?1
25

?

1 k ? 2

?? ?

1 3k ? 1

?

1 3k ? 2

?

1 3k ? 3

?

1 3k ? 4

?

1 k ?1

?

? ? 1 1 2 ? ? ? ? ? 24 3k ? 4 3 ( k ? 1) ? ? 3k ? 2


? 2 3 ( k ? 1)

因为

1 3k ? 2

?

1 3k ? 4

? 9k

6 ( k ? 1)
2

? 18k ? 8



所以 所以

1 3k ? 2 1 3k ? 2

?

1 3k ? 4 1 3k ? 4

? 9k ?

6 ( k ? 1)
2

? 18k ? 8 ? 0

?

2 3 ( k ? 1)



?

2 3 ( k ? 1)



所以当 n ? k

? 1 时不等式也成立.
1 n ?1 ? 1 n ? 2 ?? ? 1 3n ? 1 ? 25 24

由(1) (2)知,对一切正整数 n ,都有 所以 a 的最大值等于 25.




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2010-2011 学年第二学期期末教学质量监测试题 高二理科数学试卷分选择题和非选择题两部分,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑...

2010—2011学年度第一学期期末考试高二数学试题(理)答案

20102011学年度第一学期期末考试高二数学试题(理)答案_数学_高中教育_教育专区。2010--2011 学年度第一学期期末考试 高二数学(理) 注意事项: 1.本试卷备有答题...