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2015届高考调研文科选修4-5-1

时间:2014-05-16


高考调研

新课标版 · 高三数学(文)

选修 4-5 不 等 式 选 讲 第 1 课时 绝 对 值 不 等 式

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<

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1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几 何意义证明以下不等式: (1)|a+b |≤ |a |+ |b |; (2)|a-b |≤ |a-c|+ |c-b |. 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+ b|≤ c; |ax+b |≥c; |x-a |+ |x-b |≥c.

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请注意!

1.以 选 择 题 的 形 式 考 查 绝 对 值 不 等 式 , 同 时 与 不 等 式 的 性 质相结合. 2. 以 考 查 绝 对 值 不 等 式 的 解 法 为 主 , 兼 顾 考 查 集 并、补运算. 合的交、

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1.绝对值三角不等式 定理 1.如果 a, b是 实 数 , 那 么 |a+b |≤ |a|+|b| , 当 且 仅 当 。

a,b同号

时,等号成立.

定理 2.如果 a,b 是实数,那么 ||a|-|b||≤|a+b| ,当且仅当

a,b异号 时,等号成立.

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2.绝对值不等式的解法 1 ( ) 含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解法
不等式 |x|<a |x|>a a>0 a=0 a<0

-a<x<a x>a或x<-a

?

?

x∈R且x≠0 x∈R

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2 |( ) ax+b |≤ c(c> 0 ) 和 |ax+b |≥ c(c> 0 ) 型 不 等 式 的 解 法 ①|ax+b |≤c? -c≤ax+b≤c ; ②|ax+b |≥c? ax+b≥c或ax+b≤-c . 3 |( ) x - a|+ |x - b |≥c(c> 0 ) 和 |x - a|+ |x - b |≤c(c> 0 ) 型 不 等 式 的 解 法 方 法 一 : 利 用 绝 对 值 不 等 式 的 几 何 意 义 求 解 , 体 现 了 数 形 结 合 的 思 想 . 方 法 二 : 利 用 “零 点 分 段 法 ”求 解 , 体 现 了 分 类 讨 论 的 思 想 .

方 法 三 : 通 过 构 造 函 数 , 利 用 函 数 的 图 像 求 解 , 体 现 了 函 数 与 方 程 的 思 想 .
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1. 不 等 式

|x 1 ( · | -2x> ) 0

的 解 集 是

(

)

1 A.(-∞, ) 2 1 C.( , + ∞) 2
答案 B

1 B.(-∞,0)∪(0, ) 2 1 D.(0, ) 2

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2.2 ( 0 1 3 · 为________.
答案 4 0 [ ] ,

江西)在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1 的解集

解析 原不等式等价于-1≤|x-2|-1≤1, 即 0≤|x-2|≤2,解得 0≤x≤4.

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3. 若 a,b,c∈R, 且 满 足 ①a+b>c ; ③a+c>b ; 其 中 错 误 的 个 数 A.1 C.3 ②b+c>a; ④|a |+ |b> | c|. ( )

|a-c|<b, 给 出 下 列 结 论

B.2 D.4

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答案 A

解析

? ?a-c>-b, ? ? ?a-c<b

? ?a+b>c, ?? ? ?b+c>a,

∴①、②都正确,③不正确. 又|a-c|=|c-a|≥|c|-|a|, ∴|c|-|a|<b=|b|,∴|a|+|b> | c|.④正确.

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|a|-|b| |a|+|b| 4. 已 知 |a|≠|b|,m= ,n= ,则 m、n 之 间 的 关 |a-b| |a+b| 系是( ) B.m<n D.m≤n

A.m>n C.m=n
答案 D

|a|-|b| |a|+|b| 解析 m= ≤1,n= ≥1.故 m≤n. |a-b| |a+b|

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5. 2 ( 0 1 3 ·

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重庆)若关于实数 x 的不等式|x-5|+|x+< 3 | a 无解,

则实数 a 的取值范围是________.

解析 方法一:设 f(x)=|x-5|+|x+3|= ?2x-2,x≥5, ? ?8,-3<x<5, ? -2x+2,x≤-3, ?

可求得 f(x)的值域为[8,+∞), 因 为 原 不

等式无解,只需 a≤8,故 a 的取值范围是(-∞,8]. 方 法 二 : 由 绝 对 值 不 等 式 , 得 3 |) =8. ∴不等式|x-5|+|x+< 3 | a 无解时, a的 取 值 范 围 为
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|x-5|+|x+3|≥|(x-5)-( x+

(-∞, 8].
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例 1 a,b∈R,求|a+b|=|a|+|b|成 立 的 充 要 条 件 .

【 解 析 】

|a +b |= |a |+ |b |

?(a+b)2=(|a |+ |b |)2 ?a2+2ab+b2=a2+2|a ||b |+b2 ?ab=|a ||b | ?ab≥0, ∴|a+b |= |a |+ |b |成 立 的 充 要 条 件 为
【答案】 ab≥0
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ab≥0.

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探究 1

每一个公式都有相应成立的条件,如果不注意往往

出现逻辑错误.

思考题 1 ________.

1 ( ) ① |a + b< | a| + |b | 成 立的 充 要条 件 为

②|a-b|=|a|+|b|成立的充要条件为__________. ③|a-b< | a|+|b|成立的充要条件为__________.
【答案】 ①ab<0 ②ab≤0 ③ab>0

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2 ( ) 已知实数 a ∈1 0 ( ) , o l g |

, 则 关 于

x 的 不 等 式

|x -o g l

< | ax

x|+

ax |的解集为__________.

【解析】 |x-o l g ?xo g l l g ax>0?o

< | ax

x|+ o l g |

ax |

1 . ax>0,∴0<x<

【答案】 1 0 ( ) ,

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例 2 解下列绝对值不等式. 1 ( ) < | x-2|≤3; x;

2 |( ) x2-2x+> 4 2 |

3 |( ) x+3|-|x-2|≥3. 【解析】 1 ( ) 原不等式等价于 1<x-2≤3 或-3≤x-2<-1, 解得 3<x≤5 或-1≤x< 1 . 所以原不等式的解集是{x|-1≤x<1 或 3<x≤5}.
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2 ( ) 原不等式等价于①x2-2x+4<-2x 或②x2-2x+4 > 2 x.解①得无解,解②得 x≠2. ∴原不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠2}. 3 ( ) 分别令 x+3=0,x-2=0 得零点为-2 3 . ,
? ?x<-3, ∴原不等式等价于:①? ? ?-x-3+x-2≥3

?解集为?;

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?-3≤x<2, ? 或②? ? ?x+3+x-2≥3 ?x≥2, ? 或③? ? ?x+3-x+2≥3

?1≤x<2;

?x≥2.

综上,不等式的解集为{x|x≥1}.
【答案】 1 { ( ) 2 { ( ) x|-1≤x<1 或 3<x≤5} x|x≥1}

x|x∈R 且 x≠2} 3 { ( )

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探 究 2

解 含 绝 对 值 不 等 式 的 原 则 是 去 掉 绝 对 值 , 转 化 为 有

理 不 等 式 再 求 解 , 一 般 有 以 下 几 种 解 法 : ①公 式 法 : 利 用 |x|>a(或<a)(a> 0 ) 去 绝 对 值 , 如 3 ( ) 题 ; 2 1 ( ) ; 1 ( ) 题 ;

②定 义 法 : 利 用 绝 对 值 定 义 去 绝 对 值 如 ③平 方 法 : 如 下 面 思 考 题

④几 何 法 : 利 用 绝 对 值 的 几 何 意 义 求 解 .

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思考题 2 1 ( ) 解不等式:|x< | x+.1 |
1 【解析】 两边平方法,得 x <(x+1) ,∴x>-2.
2 2

另外,此题也可用定义法,几何法求解.

1 【答案】 {x|x>-2}

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2 ( ) 解不等式:4|x+< 6 3 |

-2x.

1 1 【解析】 原不等式等价于-4(3-2x)<x+6<4(3-2x).
?4x+2 4 > 2 ? 即? ? 4 < 3 ?4x+2

x-3, -2x.

27 7 解之得- <x<- . 2 2

? 27 7? ∴原不等式的解集为?x|- 2 <x<-2?. ? ? ? 27 7? 【答案】 ?x|- 2 <x<-2? ? ?

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1-ab 例3 1 ( ) 已知|a < 1 | , |b < 1 | ,求证:| > 1 |. a-b 1-abλ 2 ( ) 求实数 λ 的取值范围,使不等式| > 1 | aλ-b |b< 1 | 的一切实数 a,b 恒成立. 对满足|a < 1 | ,

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【解析】 1 1 |( ) -1).

-ab|2-|a-b |2=1+a2b2-a2-b2=(a2-1 ( ) b2

∵|a< 1 | ,|b< 1 | ,∴a2-1 < 0 ,b2-1 < 0 . ∴|1-ab |2-|a-b |2>0,∴|1-ab > | a-b|. 1-ab |1-ab | ∴| |= > 1 . a-b |a-b |

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1-abλ 2 ( ) ∵| > 1 | ?|1-abλ |2-|aλ-b|2=(a2λ2-1 ( ) b2-1 > ) 0 . aλ-b 又∵b2<1,∴a2λ2-1 < 0 当 a=0 时,a λ -1 < 0 满足|a< 1 |
2 2

对于任意满足|a < 1 | 成 立 ; 当

的 a 恒成立.
2

1 a≠0,要使 λ < 2对于任意 a

1 的 a 恒成立,而 2>1, a

∴|λ |≤1.∴λ 的取值范围是-1≤λ≤1.
【答案】 1 ( ) 略 2 ( ) -1≤λ≤1

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探究 3 证明含有绝对值的不等式,其思路主要有两条:一 是恰当地运用|a |- |b |≤ |a± b |≤ |a |+ |b |进 行 放 缩 , 并 注 意 不 等 号 的 传递性及等号成立的条件; 二是把含有绝对值的不等式等价转化 为不含有绝对值的不等式,再利用比较法、综合法及分析法等进 行证明,其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法.

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思考题 3 意 x1,x2∈1 0 ] [ ,

设函数 f(x)在1 0 [ ] ,

上 有 意 义 ,

f0 ( ) =f1 ( ) , 对 于 任

,都有|f(x1)-f(x2 < |) x1-x2|.

1 求证:|f(x1)-f(x2 < |) 2.

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【证明】 不妨设 0≤x1<x2≤1, |f(x1)-f(x2)| =|f(x1)-f0 ( ) -f(x2)+f1 |( ) ≤|f(x1)-f0 |( ) +|f(x2)-f1 |( ) ≤x1+1-x2, 又|f(x1)-f(x2 < |) x2-x1, ∴2|f(x1)-f(x2 < 1 |)
【答案】 略
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1 ,∴|f(x1)-f(x2 < |) 2.

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例4

求函数 y=|x+1|+|x-2|的 最 小 值 , 并 求 出 取 得 最 小 值

时的 x 的值.

【解析】 方法一:y=|x+1|+|x-2| ?2x-1, x>2, ? -1≤x≤2, =? 3, ?-2x+1, x<-1. ? ∴当-1≤x≤2 时,yn m i =3.

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方 法 二 : 当 且 仅 当

|x+1|+ |x-2|≥ |(x+ 1)-(x-2 |) =3, (x+1 ( ) x-2)≤0 即 - 1≤x≤2 时 , 取 “=”号 . A(-1),B2 ( ) , 则 |x+1|+ |x-2|表 示 |PA |+|PB |, 由 图 形 3, 即 当 -

方 法 三 : 在 数 轴 上 取 点 数 轴 上 任 意 一 点 知 , 当 点

P(x),到 A、B 两 点 的 距 离 和

P位 于 线 段

AB 上 时 , |PA |+ |PB |取 得 最 小 值

1≤x≤2 时 , yn m i =3.
【答案】 当-1≤x≤2 时,yn m i =3

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探究 4 含绝对值的函数在近几年高考中多次出现,解决这 类 问 题 的 基 本 方 法 是 方 法 一 , 而 法二)解决这类问题比较简单.
思考题 4 1 ( ) 关于 x 的不等式|x+2|+|x-> 1 | a恒 成 立 , 则 a 的取值范围为__________.
【解析】 x∈R 时,|x+2|+|x-1|的最小值为 3.∴a< 3 . 【答案】 a<3

运 用 绝 对 值 不 等 式 求 其 最 值

(方

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2 ( ) 不 等 式 |x+3|- |x-1|≤a2-3a 对 任 意 实 数 数a的 取 值 范 围 为 ( )

x恒 成 立 , 则 实

A.(-∞, - 1]∪[4, + ∞) B.(-∞, - 2]∪[5, + ∞) C.2 1 [ ] , D.(-∞,1]∪[2, + ∞)
【解析】 ∵ |x+3|- |x -1|≤|( x+3) -(x-1 |) = 4,∴a2 -

3a≥4 恒成立.∴a∈(-∞,-1]∪[4,+∞).
【答案】 A
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3 ( ) 已 知 |x - 1|≤1 , |y + 2|≤3 , 则 |x - y| 的最大值为 __________. 【解析】 |x-y|=|( x-1)-(y+2)+3| ≤|x-1|+|y+2|+3≤1+3+3=7.
【答案】 7

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例5 2 ( 0 1 2 ·

课标全国)已知函数 f(x)=|x+a|+|x-.2 |

1 ( ) 当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; 2 ( ) 若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1, 2 ] ,求 a 的取值范围. ?-2x+5,x≤2, ? 【解析】 1 ( ) 当 a=-3 时,f(x)=?1,2<x<3, ? 2x-5,x≥3. ?
当 x≤2 时,由 f(x)≥3,得-2x+5≥3,解得 x≤1; 当 2<x<3 时,f(x)≥3 无解; 当 x≥3 时,由 f(x)≥3,得 2x-5≥3,解得 x≥4; 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1 或 x≥4}.
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2 ( ) f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a |. 当 x∈2 1 [ ] , 时,|x-4|-|x-2|≥|x+a |?4-x-(2 -x)≥|x+a |

?-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1 且 2-a≥2,即-3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围为[-0 3 ] ,
【答案】 1 { ( ) x|x≤1 或 x≥4} 2 [ ( )


-0 3 ] ,

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思考题 5 2 ( 0 1 3 · +a|,g(x)=x+3.

课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x

1 ( ) 当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; a 1 2 ( ) 设 a>-1,且当 x∈[-2,2)时,f(x)≤g(x),求 a 的取值 范围.

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【解析】 1 ( ) 当 a=-2 时 , 不 等 式 -2|-x-3 < 0 .

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f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x

设 函 数

y= |2x-1|+ |2x-2|- x-3,

1 ? ?-5x,x<2, ? 1 则 y=? ?-x-2,2≤x≤1, ?3x-6,x> 1 . ?

其 图 像 如 图 所 示 . 从 图 像 可 知 , 当 且 仅 当 所 以 原 不 等 式 的 解 集 是 {x 0 < | x< 2 } .
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x∈2 0 ( ) ,

时 , y< 0 .

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a 1 (2)当 x∈[- , )时,f(x)=1+a. 2 2 不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3. a 1 所以 x≥a-2 对 x∈[-2,2)都成立. a 4 故- ≥a-2,即 a≤ . 2 3 4 从而 a 的取值范围是(-1,3].

【答案】 1 { ( )

x 0 < | x< 2 }

2 ( )

4 -1,3]
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含绝对值不等式的证法和技巧: 1. 含 绝 对 值 不 等 式 的 证 明 方 法 有 : 综 合 法 、 分 析 法 、 反 证 法、放缩法、三角代换法等. 2. 利 用 不 等 式 的 性 质 和 含 绝 对 值 不 等 式 的 性 质 , 放 缩 变 换 的方法是处理含绝对值不等式的常用方法之一.

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3. 对 于 一 般 的 含 绝 对 值 不 等 式 不 好 入 手 , 我 们 可 采 用 分 析 法. 4. 对 于 不 等 式 左 右 两 边 形 式 完 全 相 同 的 , 可 联 想 函 数 性 质 , 构造函数再用函数的单调性去证明.

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1.不等式 1 < | x+< 1 3 | A.2 0 ( ) , C.(-0 4 ) ,
答案 D

的解集为( B.(-0 2 ) ,

) ∪4 2 ( ) ,

D.(-4,-2)∪2 0 ( ) ,

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2. 已 知

a,b∈R,ab>0, 则 下 列 不 等 式 中 不 正 确 的 是 B.2 ab≤|a+b| b a D.| + |≥2 a b

(

)

A.|a+b |≥a-b C.|a+b < | a|+|b |
答案 C

解析 当 ab>0 时,|a+b|=|a|+|b|.

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3. 如 果 存 在 实 数 合是( )

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x 1 x,使 c o s α=2+ 成 立 , 那 么 实 数 2x

x 的集

A.{-1 } , C.{x|x>0 或 x=-1 }
答案 A

B.{x|x<0 或 x=1} D.{x|x≤-1 或 x≥1}

解析 由 c o s |

x 1 α |≤1,所以| + |≤1. 2 2x

x 1 |x| 1 |x| 1 又| + |= + ≥1,所以 + =1. 2 2x 2 2|x| 2 2|x| 又当且仅当|x|=1 时成立,即 x=± 1 .
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4.2 ( 0 1 4 ·

3 百校联盟)函数 f(x)=2|x-2|,g(x)=ax.

1 ( ) 当 a=1 时,解不等式 f(x)<g(x2); 2 ( ) 若 f(x)-g(|x|)的最大值为 3,求 a 的范围.
答案 1 { ( ) x|x<-3 或 x> 1 } 2 ( ) a≥2

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3 2 解析 1 ( ) 当 a=1 时,不等式 f(x)<g(x )化为 2|x-2|<x ,等
2

? 3 ? 3 ?x≥ , ?x< , 2 价于①? 或②? 2 2 2 ? ? 2 x - 3< x 3 - 2 x < x . ? ? 3 由①解得 x≥ . 2 3 由②解得 x<-3 或 1<x<2. 所以不等式 f(x)<g(x2)的解集为{x|x<-3 或 x> 1 } .

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3 2 ( ) f(x)-g(|x|)=2|x- |-a |x|= |2x-3|-a |x|, 2 3 ? ??2-a?x-3,?x≥2?, ? 3 那 么 f(x)-g(|x|)= ? -?a+2?x+3,?0<x< ?, ? 2 ??a-2?x+3,?x≤0?. ? 当 a=2 时 , 画 图 知 满 足 要 求 ; 当 a>2 时 , 画 图 知 满 足 要 求 ; 当 a<2 时 , 画 图 知 不 满 足 要 求 . 所 以 实 数 a的 取 值 范 围 为
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a≥2.
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5. 2 ( 0 1 3 · 1 2?A.

3 福建)设不等式|x-< 2 | a(a∈N )的解集为 A, 且2∈A,
*

1 ( ) 求 a 的值; 2 ( ) 求函数 f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.
答案 1 ( ) a=1 2 3 ( )

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?3 ? ?1 ? 3 1 解析 1 ( ) 因为 ∈A,且 ?A,所以? -2?<a,且? -2?≥a, 2 2 ?2 ? ?2 ?

1 3 解得2<a≤2. 又因为 a∈N*,所以 a=1. 2 ( ) 因为|x+1|+ |x-2|≥|(x+1)-(x-2 |) =3, 当且仅当(x+1 ( ) x-2)≤0,即-1≤x≤2 时取到等号. 所以 f(x)的最小值为 3.

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