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【高考调研】2015高中数学(人教A版)选修2-2:第一章 导数及其应用 单元测试题


第一章

单元测试题

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的 图像如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )

A.1 个 C.3 个 答

案 A

B.2 个 D.4 个

解析 设极值点依次为 x1,x2,x3 且 a<x1<x2<x3<b,则 f(x) 在(a,x1),(x2,x3)上递增,在(x1,x2),(x3,b)上递减,因此,x1、 x3 是极大值点,只有 x2 是极小值点. 1 1 2.在区间[2,2]上,函数 f(x)=x2+px+q 与 g(x)=2x+x2在同一 1 点处取得相同的最小值,那么 f(x)在[2,2]上的最大值是( 13 A. 4 C.8 答案 D 5 B.4 D.4 )

2 3.点 P 在曲线 y=x3-x+3上移动,设点 P 处的切线的倾斜角为 α,则 α 的取值范围是( π A.[0,2] 3 C.[4π,π) 答案 B ) π 3 B.[0,2]∪[4π,π) π 3 D.[2,4π]

1 4.已知函数 f(x)=2x4-2x3+3m,x∈R,若 f(x)+9≥0 恒成立, 则实数 m 的取值范围是( 3 A.m≥2 3 C.m≤2 答案 A ) 3 B.m>2 3 D.m<2

1 解析 因为函数 f(x)=2x4-2x3+3m, 所以 f′(x)=2x3-6x2. 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=3,经检验知 x=3 是函数的一个最小 27 值点,所以函数的最小值为 f(3)=3m- 2 .不等式 f(x)+9≥0 恒成立, 27 3 即 f(x)≥-9 恒成立,所以 3m- 2 ≥-9,解得 m≥2. x 5.函数 f(x)=cos2x-2cos22的一个单调增区间是(
?π 2π? A.?3, 3 ? ? ? ?π π? B.?6,2? ? ? ? ? π π? D.?-6,6? ?

)

π? ? C.?0,3?
? ?

答案

A

解析 f(x)=cos2x-cosx-1, ∴f′(x)=-2sinx· cosx+sinx=sinx· (1-2cosx). 令 f′(x)>0,结合选项,选 A. 6. 设 f(x)在 x=x0 处可导, 且 lim
Δx→0

f?x0+3Δx?-f?x0? =1, 则 f′(x0) Δx

等于( A.1 C.3 答案

) B.0 1 D.3 D )

x+9 7.经过原点且与曲线 y= 相切的切线方程为( x+5 A.x+y=0 B.x+25y=0 C.x+y=0 或 x+25y=0 D.以上皆非 答案 D

8.函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,其中 a,b,c 为实数,当 a2-3b <0 时,f(x)是( A.增函数 B.减函数 C.常数 D.既不是增函数也不是减函数 答案 A ) )

1 9.若 a>2,则方程3x3-ax2+1=0 在(0,2)上恰好有( A.0 个根 B.1 个根

C.2 个根 答案 B

D.3 个根

1 解析 设 f(x)=3x3-ax2+1,则 f′(x)=x2-2ax=x(x-2a),当 x
?8 ? ∈(0,2)时, f′(x)<0, f(x)在(0,2)上为减函数, 又 f(0)f(2)=1?3-4a+1?= ? ?

11 3 -4a<0, f(x)=0 在(0,2)上恰好有一个根,故选 B. 1 5 10. 一点沿直线运动, 如果由始点起经过 t s 后距离为 s=4t4-3t3 +2t2,那么速度为零的时刻是( A.1 s 末 C.4 s 末 答案 D ) ) B.0 s D.0,1,4 s 末

2 ? ?x , x∈[0,1], 11.设 f(x)=? 则?2f(x)dx 等于( ?2-x,x∈?1,2], ?0 ?

3 A.4 5 C.6 答案 C

4 B.5 D.不存在

解析 数形结合,如图.

2 1 2 ? f(x)dx=? x dx+? (2-x)dx ?0 ?0 ?1

2

1 ?1 1 ? +?2x-2x2??2 = 3x3?0 ? ?1 1 1 =3+(4-2-2+2) 5 =6,故选 C. sinx sinx1 sinx2 12.若函数 f(x)= x ,且 0<x1<x2<1,设 a= x ,b= x ,则 1 2 a,b 的大小关系是( A.a>b C.a=b 答案 解析 A xcosx-sinx f′(x)= , x2 ) B.a<b D.a、b 的大小不能确定

令 g(x)=xcosx-sinx,则 g′(x)=-xsinx+cosx-cosx=-xsinx. ∵0<x<1, ∴g′(x)<0, 即函数 g(x)在(0,1)上是减函数, 得 g(x)<g(0) =0,故 f′(x)<0,函数 f(x)在(0,1)上是减函数,得 a>b,故选 A. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填 在题中横线上)

1 13.若 f(x)=3x3-f′(1)x2+x+5,则 f′(1)=________. 2 答案 3 解析 2 f′(x)=x2-2f′(1)x+1,令 x=1,得 f′(1)=3.

? π π? 14.已知函数 f(x)满足 f(x)=f(π-x),且当 x∈?-2,2?时,f(x) ? ?

=x+sinx,设 a=f(1),b=f(2),c=f(3),则 a、b、c 的大小关系是 ________. 答案 解析
?

c<a<b f(2)=f(π-2),f(3)=f(π-3),因为 f′(x)=1+cosx≥0,
?

? π π? π 故 f(x)在?-2,2?上是增函数, ∵2>π-2>1>π-3>0, ∴f(π-2)>f(1)>f(π

-3),即 c<a<b. 15.已知函数 f(x)为一次函数,其图像经过点(2,4),且
? f(x)dx=3,则函数 f(x)的解析式为________. ?0
1

答案

2 8 f(x)=3x+3

解析 设函数 f(x)=ax+b(a≠0),因为函数 f(x)的图像过点(2,4), 所以有 b=4-2a. ∴?1f(x)dx=?1 (ax+4-2a)dx
?0 ?0

1 1 =[2ax2+(4-2a)x] |1 0= a+4-2a=1. 2 2 8 2 8 ∴a=3.∴b=3.∴f(x)=3x+3.
2 16.(2010· 江苏卷)函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak )处的切线与

x 轴的交点的横坐标为 ak+1,其中 k∈N*.若 a1=16,则 a1+a3+a5 的

值是________. 答案 21 解析
2 2 ∵y′=2x,∴过点(ak,ak )处的切线方程为 y-ak =2ak(x

1 -ak),又该切线与 x 轴的交点为(ak+1,0),所以 ak+1=2ak,即数列{ak} 1 是等比数列,首项 a1=16,其公比 q=2,∴a3=4,a5=1,∴a1+a3 +a5=21. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应出写文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(10 分)如图,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围成图 形为面积相等的两部分,求 k 的值.

解析 抛物线 y=x-x2 与 x 轴两交点的横坐标为 x1=0,x2=1, x ?? 1 1 ?x 所以, 抛物线与 x 轴所围图形面积 S=? (x-x )dx= ? 2 - 3 ??1 = - ? ??0 2 3 ?0
1 2 2 3

1 =6.
?y=x-x2, ? 又? 由此可得抛物线 y=x-x2 与 y=kx 两交点的横坐 ?y=kx, ? ?1-k 2 x3??1-k S 2 标 x3=0,x4=1-k,所以2=?1-k (x-x -kx)dx= ? x - 3 ??0 = ? 2 ?? ?0

1 3 (1 - k) . 6

3 1 1 4 3 又 S=6,所以(1-k) =2,∴k=1- 2 . 18. (12 分)已知函数 f(x)=x4-4x3+ax2-1 在区间[0,1]上单调递 增,在区间[1,2)上单调递减. (1)求 a 的值; (2)若点 A(x0,f(x0))在函数 f(x)的图像上,求证:点 A 关于直线 x=1 的对称点 B 也在函数 f(x)的图像上. 解析 (1)由函数 f(x)=x4-4x3+ax2-1 在区间[0,1]单调递增,

在区间[1,2)单调递减, ∴x=1 时,取得极大值,∴f′(1)=0. 又 f′(x)=4x3-12x2+2ax, ∴4-12+2a=0?a=4. (2)点 A(x0,f(x0))关于直线 x=1 的对称点 B 的坐标为(2-x0, f(x0)), f(2-x0)=(2-x0)4-4(2-x0)3+4(2-x0)2-1 =(2-x0)2[(2-x0)-2]2-1 =x40-4x30+ax20-1=f(x0), ∴A 关于直线 x=1 的对称点 B 也在函数 f(x)的图像上. 19. (12 分)设 x=-2 与 x=4 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极 值点. (1)求常数 a,b; (2)试判断 x=-2, x=4 是函数 f(x)的极大值还是极小值, 并说明 理由. 解析 f′(x)=3x2+2ax+b.

(1)由极值点的必要条件可知:

? ?12-4a+b=0, f′(-2)=f′(4)=0,即? ?48+8a+b=0, ?

解得 a=-3,b=-24. 或 f′(x)=3x2+2ax+b=3(x+2)(x-4) =3x2-6x-24, 也可得 a=-3,b=-24. (2)由 f′(x)=3(x+2)(x-4). 当 x<-2 时,f′(x)>0,当-2<x<4 时,f′(x)<0. ∴x=-2 是极大值点,而当 x>4 时,f′(x)>0, ∴x=4 是极小值点. 20.(12 分)已知 f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为 3, 最小值为-29,求 a,b 的值. 解析 a≠0(否则 f(x)=b 与题设矛盾),

由 f′(x)=3ax2-12ax=0 及 x∈[-1,2],得 x=0. (1)当 a>0 时,列表: x f′(x) f(x) (-1,0) + 增 0 0 极大值 b (0,2) - 减

由上表知,f(x)在[-1,0]上是增函数, f(x)在[0,2]上是减函数. 则当 x=0 时,f(x)有最大值,从而 b=3. 又 f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3, ∵a>0,∴f(-1)>f(2). 从而 f(2)=-16a+3=-29, 得 a=2.

(2)当 a<0 时,用类似的方法可判断当 x=0 时 f(x)有最小值. 当 x=2 时,f(x)有最大值. 从而 f(0)=b=-29, f(2)=-16a-29=3, 得 a=-2. 综上,a=2,b=3 或 a=-2,b=-29. 21. (12 分)(2010· 重庆卷)已知函数 f(x)=ax3+x2+bx(其中常数 a, b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数. (1)求 f(x)的表达式; (2)讨论 g(x)的单调性, 并求 g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值. 解析 (1)由题意得 f′(x)=3ax2+2x+b.因此 g(x)=f(x)+f′(x)=

ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.因为函数 g(x)是奇函数,所以 g(-x)=- g(x),即对任意实数 x,有 a(-x)3+(3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b=- 1 [ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b],从而 3a+1=0,b=0,解得 a=-3,b 1 =0,因此 f(x)的解析式为 f(x)=-3x3+x2. 1 (2)由(1)知 g(x)=-3x3+2x,所以 g′(x)=-x2+2. 令 g′(x)=0,解得 x1=- 2,x2= 2,则当 x<- 2或 x> 2时, g′(x)<0,从而 g(x)在区间(-∞,- 2],[ 2,+∞)上是减函数;当 - 2<x< 2时, g′(x)>0,从而 g(x)在[- 2, 2]上是增函数. 由前面讨论知, g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在 x=1, 5 4 2 4 2,2 时取得,而 g(1)=3,g( 2)= 3 ,g(2)=3.因此 g(x)在区间[1,2] 4 2 4 上的最大值为 g( 2)= 3 ,最小值为 g(2)=3. 1-x 22.(12 分)已知函数 f(x)=ln(ax+1)+ ,x≥0,其中 a>0. 1+x

(1)若 f(x)在 x=1 处取得极值,求 a 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)若 f(x)的最小值为 1,求 a 的取值范围. 分析 解答本题,应先正确求出函数 f(x)的导数 f′(x),再利用导 数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解,并注意在 定义域范围内求解. 解析 ax2+a-2 a 2 (1)f′(x)= - = , ax+1 ?1+x?2 ?ax+1??1+x?2

∵f(x)在 x=1 处取得极值, ∴f′(1)=0,即 a· 12+a-2=0,解得 a=1. ax2+a-2 (2)f′(x)= , ?ax+1??1+x?2 ∵x≥0,a>0,∴ax+1>0. ①当 a≥2 时,在区间[0,+∞)上,f′(x)>0, ∴f(x)的单调增区间为[0,+∞). ②当 0<a<2 时, 由 f′(x)>0,解得 x> 由 f′(x)<0,解得 x< ∴f(x)的单调减区间为(0, ∞). (3)当 a≥2 时,由(2)①知,f(x)的最小值为 f(0)=1; 当 0<a<2 ,由 (2) ②知, f(x) 在 x = f( 2-a a )<f(0)=1. 2-a a 处取得最小值,且 2-a a . 2-a a . 2-a a ),单调增区间为( 2-a a ,+

综上可知,若 f(x)的最小值为 1,则 a 的取值范围是[2,+∞).


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