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3.4数列的通项与求和 方法归纳


江苏省盱眙中学“三动”课堂导学案(2016 届高三文科数学 NO.39)

编制:于后勇

3.4 数列的通项与求和方法归纳
一、数列的递推关系求通项通项

1 2 3

类型一: an?1 ? an ? d (其中 d 是常数) 类型二: an?1 ? an q (其中 q 是不为 0 的

常数) 类型三: an?1 ? an ? f (n) ,

例 1、在数列{ an }中, a1 ? 1 ,且 an?1 ? an ? 2 n ,求 an .

4

类型四: an?1 ? f (n) ? an ,

例 2、在数列{ an }中, a1 ? 2 ,且 nan?1 ? (n ? 2)an ,求 an .

5

类型五: an?1 ? pan ? q (其中 p,q 是常数,且 p ? 0 )

例 3、已知数列{ an }满足 an ? 3an?1 ? 2(n ? 2) ,且 a1 ? 4 ,求 an .

6

类型六: an?1 ? pan ? f (n)

(1) 若 f (n) ? kn ? b (其中 k,b 是常数,且 k ? 0 ) 例 4、在数列{ an }中, a1 ? 1 ,且满足 an?1 ? 3an ? 2n ,求 an .

1

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(2) 若 f (n) ? r n (其中 r 是常数,且 r ? 0,1 ) 例 5、在数列{ an }中, a1 ? 1 ,且满足 an?1 ? 6an ? 3n ,求 an .

7

类型七: an?1 ?

qan (其中 p,q 是不为 0 的常数) pan ? q
2an ,求 an . an ? 2

例 6、数列{ an }中,若 a1 ? 1 , an ?1 ?

变式:若类型七变为 an?1 ?

ra n 的结构时, pan ? q 3an ,求 an . 2an ? 2

例 7、在数列{ an }中,若 a1 ? 1 , an?1 ?

8

类型八: an?1 ? p ? an (其中 p,r 为常数,且 p ? 0, an ? 0 )
2

r

例 8、在数列{ an }中,若 a1 ? 3 , an?1 ? an ,求 an .

9

类型九: an?1 ? pan ? qan?1 (其中 p,q 为常数,且 p ? q ? 1 )

例 9、数列{ an }中,若 a1 ? 8 , a2 ? 2 ,且满足 an?2 ? 4an?1 ? 3an ? 0 ,求 an .

2

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变式:若结构变为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 为常数,且满足 p 2 ? 4q ? 0 ) 例 10、已知数列{ an }满足 an?2 ? 5an?1 ? 6an ? 0 ,且 a1 ? 1 , a2 ? 5 ,求 an .



类型十:递推关系由 an 与 S n 的关系给出

?S (n ? 1) 方法:运用 a n ? ? 1 互化解决 ?S n ? S n ?1 (n ? 2)
例 11、已知数列{ an }的前 n 项的和为 S n ,且满足 an ? 2S n S n?1 ? 0(n ? 2) , 又 a1 ?
1 ,求 an . 2

十一

其它类型
1 ,求 an . 4

例 12、数列{ an }中, a1 ? 1 , a n ?1 ? a n ? a n ?

3

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例 13、设数列{ an }是首项为 1 的正项数列,且满足

(n ? 1)an?1 ? nan ? an?1an ? 0 ,求 an .

2

2

例 14、已知数列{ an }中, a1 ? 1 ,数列{ bn }中, b1 ? 1 ,且当 n ? 2 时,
1 1 a n ? (2a n ?1 ? bn ?1 ) , bn ? (a n ?1 ? 2bn ?1 ) ,求 an , bn . 3 3

例 15、 已知数列 { an } 中, (其中 k ? 1,2,3,? ) , a1 ? 1 ,a2k ? a2k ?1 ? (?1) k , a2k ?1 ? a2k ? 3k , 求 an .

4

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数列求和方法归纳
方法一 例1. 公式法 设 {an } 为等差数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,已知 S7 ? 7 , S15 ? 75 , Tn 为数列 { 项和,求 Tn .

Sn } 的前 n n

等差数列前 n 项和公式:

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d. 2 2

?na1 (q ? 1) ? 等比数列前 n 项和公式: S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q . ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) ?
自然数方幂和公式: 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ?

1 n(n ? 1) 2 1 12 ? 22 ? 32 ? ??? ? n 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 1 13 ? 23 ? 33 ? ??? ? n3 ? [ n(n ? 1)]2 2

1 【变式演练 1】在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=4,则公比 q=________;a1+a2+?+an=________. 2

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方法二

分组法

例 2. 已知数列{an}是 3+2-1,6+22-1,9+23-1,12+24-1,?,写出数列{an}的通项公式并求其前 n 项 Sn.

2 【变式演练 2】 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n(n ? N ? ) , 数列 {bn } 是以函数 y ? 4sin (? x ? ) ? 1 的

1 2

最小正周期为首项,以 3 为公比的等比数列,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn .

方法三

裂项相消法

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

例 3.已知数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,首项为 a1 ,且 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

1 , an , Sn 成等差数列. 2

(Ⅱ)数列 {bn } 满足 bn ? (log2 a2n?1 ) ? (log2 a2 n?3 ) ,求证:

1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? . b1 b2 b3 bn 2

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【评注】在应用裂项相消法时,要注意消项的规律具有对称性,即前剩多少 项则后剩多少项.常用的裂项 公式:

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
. an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ??? ? (an ? an?1 )

an ?

1 ? n ?1 ? n n ?1 ? n

【变式演练 3】已知知函数 f ( x) ? x 2 ? bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线 l 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,若 数列 {

1 } 的前 n 项 和为 S n ,则 S2013 的值为 f (n)



方法四

错位相减法

例 4. 已知数列 {an } , {bn } 满足 a1 ? 2 , 2an ? 1 ? an an?1 , bn ? an ? 1 , bn ? 0 . (Ⅰ)求证数列 {

1 } 是等差数列,并求数列 {an }的通项公式; bn

(Ⅱ)令 c n ?

1 求数列 ?c n ?的前 n 项和 Tn . bn 2 n

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?

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n?N ) 【变式演练 4】 已知首项都是 1 的两个数列 {an } 、 ( bn ? 0 , 满足 anbn?1 ? an?1bn ? 2bn?1bn ? 0 . {bn }
(Ⅰ)令 cn ?

an ,求数列 {cn } 的通项公式; bn

(Ⅱ )若 bn ? 3n?1 ,求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .

方法五

倒序相加法 。

x 1? ?2? ?3? ? 10 ? 例 5.设 f ( x) ? 4 , 则f ? ? ? ? f ? ? ? f ? ? ??? f ? ? ? x 4 ?2 ? 11? ? 11? ? 11? ? 11 ?

3x ? 2 1 , ( x ? ). 2x ?1 2 1 2 2009 ) ? F( ) ? ?? F ( ) 的值; (1)求 F ( 2010 2010 2010
【变式演练 5】已知函数 F ( x) ? (2)已知数列 {an }满足a1 ? 2, an?1 ? F (an ) ,求证数列 ? (3)已知 bn ?

? 1 ? ? 是等差数列; ? an ? 1 ?

2n ? 1 ,求数列 {anbn } 的前 n 项和 S n . 2n

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【高考再现】 1. (2014· 江西卷)已知首项都是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. an (1)令 cn= ,求数列{cn}的通项公式; bn (2)若 bn=3n 1,求数列{an}的 前 n 项和 Sn.


2. (2014· 全国卷)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=10,a2 为整数,且 Sn≤ S4. (1)求{an}的通项公式; 1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1 【解析】(1)由 a1=10,a2 为整数知,等差数列{an}的公差 d 为整数 . 又 Sn≤S4,故 a4≥0,a5≤0,

3. (2014· 山东卷)已知等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=(-1)n
-1

4n ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1

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[来源:学科网]

当 n 为奇数时, 1 1 ? ? 1 1 ? 1 1 1 + + 1+ ?-? + ?+…-? Tn=? + 2n-3 2n-1 2n-1 2n+1 ? 3? ?3 5?

?

? ?

?

1 =1+ 2n+1 = 2n+2 . 2n+1
n-1

2n+2 ? ?2n+1,n为奇数,? 2n+1+(-1) 所以 T =? ?或T = 2n+1 ? 2n ,n为偶数. ? ?2n+1
n n

? ? ?

2 2 4. (2013· 江西卷)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0.

(1)求数列{an}的 通项公式 an; n+1 5 (2)令 bn= ,数列{bn}的前 n 项 和为 Tn,证明:对于任意的 n ∈N*,都有 Tn< . 64 (n+2)2a2 n

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1 5. (2013· 湖南卷)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=(-1)nan- n,n∈N*,则 2 (1)a3=________; (2)S1+S2+…+S100=________.

1 1 1 1 - 2- 4-…- 100?-?1- 100? =S101-a101-2? 2 2 2 2 ? ? ? ? 1 ? ? 1 ?50? ? 22? 1 ?1-?22? ? ? 1 1 - 102?+2× 1- 100? =- 102-? - ? 2 ? ? 2 ? 2 1 1- 2 2 1 1 1 1 1- 100?= ? 100-1?. =- ? ? 3? 2 ? 3?2 6. (2013· 山东卷)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式;
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(2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn+ 和 Rn.

an+1 =λ(λ 为常数),令 cn=b2n(n∈N*),求数列{cn}的前 n 项 2n

[来源:Zxxk.Com]

3n+1 1 所以数列{cn}的前 n 项和 Rn= 4 - n-1 . 9 4

【反 馈练习】 1. 设{an}和{bn}都是等差数列, 其 中 a2+b2=20, a99+b99=100, 则数列{an+ bn}的前 100 项之和 S100=( A.6 000 B.60 000 C.600 D.5 050 )

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2.已知数列{an}中,an+1+(-1)nan=2n-1, 则数列{an}前 12 项和 S12=( A.76 C.80 B.78 D.82

)

3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,并且 S10>0,S11<0,若 Sn≤Sk 对 n∈N*恒成立,则正整数 k 的取值 为( ) A.5 C.4 B.6 D.7

4.在数列{an}中,an+1=can(c 为非零常数),前 n 项和为 Sn=3n+k,则实数 k 为( A.-1 B.0 C.1 D.2

)

5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1,则 a10=( A.1 C.10 B.9 D.55

)

解析:由 Sn+Sm=Sn+m,得 S1+S9=S10,又由 于 a10=S10-S9=S1=a1=1.故 a10=1. 答案:A
? 1 ? 6.设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则数列?f?n??(n∈N*)的前 n 项和是( ? ?

)

[来源:学科网]

n+2 n+1 n n A. B. C. D. n n+1 n+1 n-1

[来源:Z.xx.k.Com]

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7.已知数列{an}中,a1=1,an+1=(-1)n· (an+1),记 Sn 为{an}前 n 项的和,则 S2 013=________.

8.有穷数列 1,1+2,1+2+4,…,1+2 +4+…+2n

-1

所有项的和为________.

2 2 9.等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1,则 a2 1+a 2+…+an=________.

解析:当 n=1 时,a1=S1=1,

10.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上,n∈N*. (1)当实数 t 为何值时,数列{an}是等比数列; (2)在(1)的结论下,设 bn=log4an+1,cn=a n+bn,Tn 是数列{cn}的前 n 项和,求 Tn.

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11.设数列{an}的前 n 项 和为 Sn,已知 a1=1,Sn=nan-n(n-1)(n=1,2,3,…). (1)求证:数列{an}为等差数列, 并写出 an 关于 n 的表达式;
? 1 ? 100 (2)若数列?a a ?的前 n 项和为 Tn,问满足 Tn> 的最小正整数 n 是多少? 209 ? n n+1?

解析:(1)证明:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-2(n-1),得 an-an-1=2(n=2,3,4,…). 所以数列{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列. 所以 an=2n-1. 1 1 1 1 (2)Tn= + +…+ + a1a2 a2a3 an-1an anan+1 = 1 1 1 + + …+ 1× 3 3× 5 ?2 n-1? ? 2 n+1?

1 1 ? 1 1 1? ?1 1? - + - +…+ - = ?? 2n-1 2n+1? 2 ??1 3? ?3 5? 1 1 n = ?1-2n+1?= 2? ? 2n+1, 由 Tn= n 100 100 100 > ,得 n> ,所以满足 Tn> 的最小正整数 n 为 12. 9 209 2n+1 209

12.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ,且 Sn=2an-1;数列{bn}满足 bn-1-bn=bnbn-1( n≥2,n∈N*),b1=1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式;
?an? (2)求数列?b ?的前 n 项和 Tn. ? n?

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13.数列 ?an ? 的 前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? an ? 1 ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? 4, bn?1 ? 3bn ? 2 ; (Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;
[来源:学#科#网]

(Ⅱ)设数列 ?cn ? 满足 cn ? an log3 ?b2n?1 ?1? ,其前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

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14.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,满足: Sn ? 2an ? 2n(n ? N ) .
*

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项 an ;

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(Ⅱ)若数列 {bn } 的满足 bn ? log2 (an ? 2) , Tn 为数列 {

1 bn } 的前 n 项和,求证: Tn ? . 2 an ? 2

一、数列的通项

1

类型一: an?1 ? an ? d (其中 d 是常数)

显然,由 an?1 ? an ? d 知{ an }是等差数列,则 an ? a1 ? (n ? 1)d 2 类型二: an?1 ? an q (其中 q 是不为 0 的常数)
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显然,则 3

a n ?1 ? q 知{ an }是等比数列,于是 an ? a1q n?1 an

类型三: an?1 ? an ? f (n) ,方法:叠加法

例 1、在数列{ an }中, a1 ? 1 ,且 an?1 ? an ? 2 n ,求 an . 解:由 an?1 ? an ? 2 n 得,

a2 ? a1 ? 21

a3 ? a2 ? 2 2
…………

an ? an?1 ? 2 n?1
由上面等式叠加得, a n ? a1 ? 21 ? 2 2 ? ......? 2 n ?1 ? 故 an ? 2 n ? 1 。 4 类型四: an?1 ? f (n) ? an ,方法:叠乘法
2 ? 2 n ?1 ? 2 ? 2n ? 2 1? 2

例 2、在数列{ an }中, a1 ? 2 ,且 nan?1 ? (n ? 2)an ,求 an .

解:由已知得,

a n ?1 n ? 2 a 3 a 4 a 5 ,则有 2 ? , 3 ? , 4 ? ,…… ? an n a1 1 a2 2 a3 3

an?1 a a n n ?1 n(n ? 1) , n ? ,这( n ? 1 )个等式叠乘得, n ? ,则 ? an?2 n ? 2 a n ?1 n ? 1 a1 1? 2

an ? n(n ? 1) 。
5 类型五: an?1 ? pan ? q (其中 p,q 是常数,且 p ? 0 )方法:参数法

例 3、已知数列{ an }满足 an ? 3an?1 ? 2(n ? 2) ,且 a1 ? 4 ,求 an . 解:引入参数 c,令 an ? c ? 3(an?1 ? c) ,即 an ? 3an?1 ? 2c ,与已知 an ? 3an?1 ? 2 比较知 c=1,于是有

an ? 1 ? 3 ,即数列{ an -1}是以 a1 ? 1 ? 3 为首项,3 为公比的等比数 an?1 ? 1

列,则 an ? 1 ? 3 ? 3n?1 ,故 an ? 3n ? 1 6 类型六: an?1 ? pan ? f (n)

(1)若 f (n) ? kn ? b (其中 k,b 是常数,且 k ? 0 )方法:升降足标法
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例 4、在数列{ an }中, a1 ? 1 ,且满足 an?1 ? 3an ? 2n ,求 an . 解:∵ an?1 ? 3an ? 2n ①,∴ an ? 3an?1 ? 2(n ? 1) ,两式相减得,

an?1 ? an ? 3(an ? an?1 ) ? 2 , 令 bn ? an?1 ? an , 则 bn ? 3bn?1 ? 2 , 利 用 类 型 五 的 方 法 知 ,

bn ? 5 ? 3n?1 ? 1 ,即 an?1 ? an ? 5 ? 3n?1 ? 1 ②,再利用类型三的方法知,
an ? 5 n ?1 1 5 1 ? 3 ? n ? ;亦可联立①、②解出 a n ? ? 3 n ?1 ? n ? 。 2 2 2 2

(2)若 f (n) ? r n (其中 r 是常数,且 r ? 0,1 )

方法:两边同乘

1 r n ?1

例 5、在数列{ an }中, a1 ? 1 ,且满足 an?1 ? 6an ? 3n ,求 an . 解:将已知 an?1 ? 6an ? 3n 的两边同乘
1 3
n ?1

,得

a n ?1 an 1 ? 2? n ? , n ?1 3 3 3

令 bn ?

an 1 2n 1 b ? 2 b ? b ? ? ,则 ,则 ,利用类型五的方法知 n ?1 n n 3 3 3 3n

6n an ? ? 3 n ?1 。 3

7

类型七: an?1 ?

qan (其中 p,q 是不为 0 的常数) 方法:倒数法 pan? q
2an ,求 an . an ? 2

例 6、数列{ an }中,若 a1 ? 1 , an ?1 ?

解:∵ an ?1 ?

a ?2 1 1 1 2an 1 1 1 ,∴ ? n ? ? ,即数列{ }是以 ? 1 为首项, 为 2 an a1 an?1 2an an 2 an ? 2
2 1 1 。 ? 1 ? (n ? 1) ? ,即 a n ? n ?1 an 2

公差的等差数列,则

变式:若类型七变为 an?1 ?

ra n 的结构时,仍可使用倒数法。 pan ? q 3an ,求 an . 2an ? 2

例 7、在数列{ an }中,若 a1 ? 1 , an?1 ?

解:∵ an?1 ?

3an 2a ? 2 2 1 2 1 1 ,∴ ,则 ? n ? ? ? ,令 bn ? an 2an ? 2 an?1 3an 3 an 3

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bn ?1 ?

2 2 2 bn ? ,利用类型五知, bn ? 2 ? ( ) n ?1 ,则 a n ? 3 3 3

1 。 2 n ?1 2?( ) 3

8

类型八: an?1 ? p ? an (其中 p,r 为常数,且 p ? 0, an ? 0 )
2

r

方法:对数法 例 8、在数列{ an }中,若 a1 ? 3 , an?1 ? an ,求 an . 解:由 a1 ? 3 , an?1 ? an 知 an ? 0 ,对 an?1 ? an 两边取以 3 为底的对数得,
2 2

log3

an ?1

a a a ? 2 log3 n ,则数列{ log3 n }是以 log3 1 ? 1 为首项,2 为公比的等比数列,

则 log3 9

an

,即 an ? 32 。 ? 1? 2n?1 ? 2n?1 , 类型九: an?1 ? pan ? qan?1 (其中 p,q 为常数,且 p ? q ? 1 )

n ?1

方法:转化法 例 9、数列{ an }中,若 a1 ? 8 , a2 ? 2 ,且满足 an?2 ? 4an?1 ? 3an ? 0 ,求 an . 解:把 an?2 ? 4an?1 ? 3an ? 0 变形为 an?2 ? an?1 ? 3(an?1 ? an ) ,则数列 { an?1 ? an }是以 a2 ? a1 ? ?6 为首项,3 为公比的等比数列,则 an ?1 ? an ? ?6 ? 3n ?1 利用类型三的方法可得, an ? 11? 3n 。 变式:若结构变为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 为常数,且满足 p 2 ? 4q ? 0 ) 方法:待定系数法 例 10、已知数列{ an }满足 an?2 ? 5an?1 ? 6an ? 0 ,且 a1 ? 1 , a2 ? 5 ,求 an . 解:令 an?2 ? ?an?1 ? ? (an?1 ? ?an ) ,即 an?2 ? (? ? ? )an?1 ? ??an ? 0 ,与已知

?? ? ? ? 5 an?2 ? 5an?1 ? 6an ? 0 比较,则有 ? ??? ? 6

?? ? 2 ?? ? 3 ,故 ? 或? ?? ? 3 ?? ? 2

下面我们取其中一组 ? ? 2, ? ? 3 来运算(另一组同学们自己练习) ,即有

an?2 ? 2an?1 ? 3(an?1 ? 2an ) ,则数列{ an?1 ? 2an }是以 a2 ? 2a1 ? 3 为首项,3 为公比的等比数
列,故 an?1 ? 2an ? 3 ? 3n?1 ? 3n ,即 an?1 ? 2an ? 3n ,利用类型六(2)的方法,可得 an ? 3n ? 2 n 。 十 类型十:递推关系由 an 与 S n 的关系给出

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?S (n ? 1) 方法:运用 a n ? ? 1 互化解决 ?S n ? S n ?1 (n ? 2)
例 11、已知数列{ an }的前 n 项的和为 S n ,且满足 an ? 2S n S n?1 ? 0(n ? 2) , 又 a1 ?
1 ,求 an . 2

解:∵ n ? 2 时,有 an ? S n ? S n?1 ,∴由 an ? 2S n S n?1 ? 0 ,得 S n ? S n?1 ? ?2S n S n?1 即

S n ? S n?1 1 1 1 1 }是以 ? 2 为首项,2 为公差的等差数 ? ? 2 ,故数列{ ? ?2 ,亦即 S n S n ?1 Sn a1 S n S n?1
1 1 ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ,则 S n ? 2n Sn

列,∴

故当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 显然上式对 n ? 1 时不成立,则

1 1 1 ? ?? 2n 2(n ? 1) 2n(n ? 1)

?1 (n ? 1) ? ?2 an ? ? 1 ?? (n ? 2) ? ? 2n(n ? 1)
十一 其它类型
1 ,求 an . 4

例 12、数列{ an }中, a1 ? 1 , a n ?1 ? a n ? a n ? 解:由 a n ?1 ? a n ? a n ?

1 1 1 知, a n ?1 ? ( a n ? ) 2 ? 0 ,即有 a n ?1 ? a n ? , 4 2 2 1 1 n ?1 故数列{ a n }是以 a1 ? 1 为首项, 为公差的等差数列,从而 a n ? 1 ? (n ? 1) ? ? , 2 2 2 n ?1 2 ) 则 an ? ( 2 评注:方法是配方法。

例 13、设数列{ an }是首项为 1 的正项数列,且满足

(n ? 1)an?1 ? nan ? an?1an ? 0 ,求 an .
解:原递推式可以分解为 (an?1 ? an ) ? [(n ? 1)an?1 ? nan ] ? 0 由于 an ? 0 ,则有 an?1 ? an ? 0 ,故知 a n ?1 ?
n a n ,利用类型四的方法可解出 n ?1
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2

2

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an ?

1 。 n 评注:方法是因式分解法。

例 14、已知数列{ an }中, a1 ? 1 ,数列{ bn }中, b1 ? 1 ,且当 n ? 2 时,
1 1 a n ? (2a n ?1 ? bn ?1 ) , bn ? (a n ?1 ? 2bn ?1 ) ,求 an , bn . 3 3 1 1 解:由于 a n ? (2a n ?1 ? bn ?1 ) , bn ? (a n ?1 ? 2bn ?1 ) 3 3

两式相加得 an ? bn ? an?1 ? bn?1 ①
1 1 再由两式相减得 a n ? bn ? (a n ?1 ? bn ?1 ) ,这表明数列{ a n ? bn }是以 a1 ? b1 ? 1 为首项, 为 3 3 1 n ?1 公比的等比数列,则 a n ? bn ? ( ) ② 3 1 1 1 1 联立①、②,解之得: a n ? (1 ? n ?1 ) , bn ? (1 ? n ?1 ) 2 2 3 3 评注:方法是加减法。

例 15、 已知数列 { an } 中, (其中 k ? 1,2,3,? ) , a1 ? 1 ,a2k ? a2k ?1 ? (?1) k , a2k ?1 ? a2k ? 3k , 求 an .

解:由 a2k ?1 ? a2k ? 3k 知, a2k ?1 ? a2k ?2 ? 3k ?1 ,再由 a2k ? a2k ?1 ? (?1) k 知,
a2k ?2 ? a2k ?3 ? (?1) k ?1 ,于是 a2k ?1 ? a2k ?3 ? 3k ?1 ? (?1) k ?1 ,则 a2k ?1 ? a1 ? (a3 ? a1 )
? (a5 ? a3 ) ? ? ? (a2k ?1 ? a2k ?3 ) ? 1 ? 31 ? (?1)1 ? 32 ? (?1) 2 ? ? ? 3k ?1 ? (?1) n?1 ? (?1) 0 ? (?1)1 ? (?1) 2 ? ? ? (?1) k ?1 ? 31 ? 32 ? ? ? 3k ?1
1 ? (?1) k 3(3k ?1 ? 1) 3k (?1) k ? ? ? ? ?1 2 2 2 2

于是 a2k ? a2k ?1 ? (?1) k ?

3 k ? (?1) k ?1 2

综上可知:当 n ? 2k ? 1 时, a n ?
n 2

3

n ?1 2

? (?1) 2
n 2

n ?1 2

?1

3 ? (?1) ?1 2 评注:方法是奇偶分类法。 总之,由递推关系求数列的通项,核心是把所给递推式变形构造成等差或等比数列来解 决。同学们应该熟练掌握上面归纳整理的这些常见的递推关系,以利于正确、快速地解决相 关问题。

当 n ? 2k 时, a n ?

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数列求和方法
【高考地位】 数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与 方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重 要地位。数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法,是高考的必考热点之一。此 类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面,就近几 年 高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法 和技巧。 【方法点评】 方法一 公式法 解题模板:第一步 结合所求结论,寻找已知与未知的关系; 第二步 根据已知条件列方程求出未知量; 第三步 利用前 n 项和公式求和结果 例 1.设 {an } 为等差数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,已知 S7 ? 7 , S15 ? 75 , Tn 为数列 { 和,求
[来源:学科网]

Sn } 的前 n 项 n

Tn .

【评析】直接应用公式求和时,要注意公式的应用范围,如当等比数列公比为参数(字母)时,应对其公比
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是否为 1 进行讨论.常用的数列求和公式有: 等差数列前 n 项和公式:

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d. 2 2

?na1 (q ? 1) ? 等比数列前 n 项和公式: S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q . ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) ?
自然数方幂和公式: 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ?

1 n(n ? 1) 2 1 12 ? 22 ? 32 ? ??? ? n 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 1 13 ? 23 ? 33 ? ??? ? n3 ? [ n(n ? 1)]2 2

1 【变式演练 1】在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=4,则公比 q=________;a1+a2+?+an=________. 2

方法二 分组法 解题模板:第一步 定通项公式:即根据已知条件求出数列的通项公式; 第二步 巧拆分:即根据通项公式特征,将其分解为几个可以直接求和的数列; 第三步 分别求和:即分别求出各个数列的和;
[来源:Z。xx。k.Com]

第四步 组合:即把拆分后每个数列的求和进行组合,可求得原数列的和. 例 2. 已知数列{an}是 3+2-1,6+22-1,9+23-1,12+24-1,?,写出数列{an}的通项公式并求其前 n 项 Sn.

2 【变式演练 2】 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n(n ? N ? ) , 数列 {bn } 是以函数 y ? 4sin (? x ? ) ? 1 的

1 2

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最小正周期为首项,以 3 为公比的等比数列,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn .

方法三

裂项相消法

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

解题模板 :第一步 定通项公式:即根据已知条件求出数列的通项公式; 第二步 巧裂项:即根据通项公式特征准确裂项,将其表示为两项之差的形式; 第三步 消项求和:即把握消项的规律,准确求和. 例 3.已知数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,首项为 a1 ,且 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {bn } 满足 bn ? (log2 a2n?1 ) ? (log2 a2 n?3 ) ,求证:

1 , an , Sn 成等差数列. 2

1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? . b1 b2 b3 bn 2

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【评注】在应用裂项相消法时,要注意消项的规律具有对称性,即前剩多少 项则后剩多少项.常用的裂项 公式:

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
m?1 m?1 m? 2 . Cn ? Cn ?1 ? Cn

an ?

1 ? n ?1 ? n n ?1 ? n

n ? n != (n ? 1) ! ?n !
2

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ??? ? (an ? an?1 )

【变式演练 3】已知知函数 f ( x) ? x ? bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线 l 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,若 数列 {

1 } 的前 n 项 和为 S n ,则 S2013 的值为( f (n)

)

A.

2013 2014

B.

2012 2013

C.

2011 2012

D.

2010 2011

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方法四

错位相减法

解题模板:第一步 巧拆分:即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式; 第二步 确定等差、等比数列的通项公式; 第三步 构差式:即写出 Sn 的表达式,然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子, 两式作差; 第四步 求和:根据差式的特征准确求和. 例 4. 已知数列 {an } , {bn } 满足 a1 ? 2 , 2an ? 1 ? an an?1 , bn ? an ? 1 , bn ? 0 . (Ⅰ)求证数列 {

1 } 是等差数列,并求数列 {an }的通项公式; bn

(Ⅱ)令 c n ?

1 求数列 ?c n ?的前 n 项和 Tn . bn 2 n

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【评注】 利用裂项相消法求和时, 应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项, 也有可能前面剩两项, 后面也剩两项,再就是将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与 原通项公式相等.在应用错位相减法时,注意观察未合并项的正负号.

n?N ) 【变式演练 4】 已知首项都是 1 的两个数列 {an } 、 ( bn ? 0 , 满足 anbn?1 ? an?1bn ? 2bn?1bn ? 0 . {bn }
(Ⅰ)令 cn ?

?

an ,求数列 {cn } 的通项公式; bn

(Ⅱ )若 bn ? 3n?1 ,求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .

方法五

倒序相加法 )

x 1? ?2? ?3? ? 10 ? 例 5.设 f ( x) ? 4 , 则f ? ? ? ? f ? ? ? f ? ? ??? f ? ? ? ( x 4 ?2 ? 11? ? 11? ? 11? ? 11 ?

A.4 【答案】B

B. 5

C. 6

D. 10

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考点:倒序相加法求和.

3x ? 2 1 , ( x ? ). 2x ?1 2 1 2 2009 ) ? F( ) ? ?? F ( ) 的值; (1)求 F ( 2010 2010 2010
【变式演练 5】已知函数 F ( x) ? (2)已知数列 {an }满足a1 ? 2, an?1 ? F (an ) ,求证数列 ? (3)已知 bn ?

? 1 ? ? 是等差数列; ? an ? 1 ?

2n ? 1 ,求数列 {anbn } 的前 n 项和 S n . 2n 6027 2?n 【 答 案 】 (1) S= . (2)见解析; (3) S n = 4 ? n ?1 。 2 2

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【高考再现】 1. (2014· 江西卷)已知首项都是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. an (1)令 cn= ,求数列{cn}的通项公式; bn (2)若 bn=3n 1,求数列{an}的 前 n 项和 Sn.


2. (2014· 全国卷)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=10,a2 为整数,且 Sn≤ S4. (1)求{an}的通项公式; 1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1 【解析】(1)由 a1=10,a2 为整数知,等差数列{an}的公差 d 为整数 . 又 Sn≤S4,故 a4≥0,a5≤0,

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3. (2014· 山东卷)已知等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=(-1)n
-1

4n ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1

[来源:学科网]

当 n 为奇数时, 1? ?1 1? ? 1 + 1 ? ? 1 + 1 ? Tn=? ?1+3?-?3+5?+…- 2n-3 2n-1 + 2n-1 2n+1

?

? ?

?

1 =1+ 2n+1 = 2n+2 . 2n+1
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n-1

2n+2 ? ?2n+1,n为奇数,? 2n+1+(-1) 所以 T =? ?或T = 2n+1 ? 2n ,n为偶数. ? ?2n+1
n n

? ? ?

2 2 4. (2013· 江西卷)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0.

(1)求数列{an}的 通项公式 an; n+1 5 (2)令 bn= ,数列{bn}的前 n 项 和为 Tn,证明:对于任意的 n ∈N*,都有 Tn< . 64 (n+2)2a2 n

1 5. (2013· 湖南卷)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=(-1)nan- n,n∈N*,则 2 (1)a3=________; (2)S1+S2+…+S100=________.

1 1 1 1 - 2- 4-…- 100?-?1- 100? =S101-a101-2? 2 ? ? 2 ? ? 2 2
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1 ? ? 1 ?50? ? 22? 1 ? ?1-?22? ? ? 1 1 ? =- 102-?-2102?+2× -?1-2100? ? 2 1 1- 2 2 1 1 1 1 1- 100?= ? 100-1?. =- ? ? 3? 2 ? 3?2 6. (2013· 山东卷)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn+ 和 Rn. an+1 =λ(λ 为常数),令 cn=b2n(n∈N*),求数列{cn}的前 n 项 2n

[来源:Zxxk.Com]

3n+1 1 所以数列{cn}的前 n 项和 Rn= 4 - n-1 . 9 4

【反 馈练习】
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1. 设{an}和{bn}都是等差数列, 其 中 a2+b2=20, a99+b99=100, 则数列{an+ bn}的前 100 项之和 S100=( A.6 000 B.60 000 C.600 D.5 050

)

2.已知数列{an}中,an+1+(-1)nan=2n-1, 则数列{an}前 12 项和 S12=( A.76 C.80 B.78 D.82

)

3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,并且 S10>0,S11<0,若 Sn≤Sk 对 n∈N*恒成立,则正整数 k 的取值 为( ) A.5 C.4 B.6 D.7

4.在数列{an}中,an+1=can(c 为非零常数),前 n 项和为 Sn=3n+k,则实数 k 为( A.-1 B.0 C.1 D.2

)

5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1,则 a10=( A.1 C.10 B.9 D.55

)

解析:由 Sn+Sm=Sn+m,得 S1+S9=S10,又由 于 a10=S10-S9=S1=a1=1.故 a10=1. 答案:A
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? 1 ? 6.设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则数列?f?n??(n∈N*)的前 n 项和是(

)

[来源:学科网]

n+2 n+1 n n A. B. C. D. n n+1 n+1 n-1

[来源:Z.xx.k.Com]

7.已知数列{an}中,a1=1,an+1=(-1)n· (an+1),记 Sn 为{an}前 n 项的和,则 S2 013=________.

8.有穷数列 1,1+2,1+2+4,…,1+2 +4+…+2n

-1

所有项的和为________.

2 2 9.等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1,则 a2 1+a 2+…+an=________.

解析:当 n=1 时,a1=S1=1,

10.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上,n∈N*.
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(1)当实数 t 为何值时,数列{an}是等比数列; (2)在(1)的结论下,设 bn=log4an+1,cn=a n+bn,Tn 是数列{cn}的前 n 项和,求 Tn.

11.设数列{an}的前 n 项 和为 Sn,已知 a1=1,Sn=nan-n(n-1)(n=1,2,3,…). (1)求证:数列{an}为等差数列, 并写出 an 关于 n 的表达式;
? 1 ? 100 (2)若数列?a a ?的前 n 项和为 Tn,问满足 Tn> 的最小正整数 n 是多少? 209 ? n n+1?

解析:(1)证明:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-2(n-1),得 an-an-1=2(n=2,3,4,…). 所以数列{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列. 所以 an=2n-1. 1 1 1 1 (2)Tn= + +…+ + a1a2 a2a3 an-1an anan+1 = 1 1 1 + + …+ 1× 3 3× 5 ?2 n-1? ? 2 n+1?

1 1 ? 1 1 1? ?1 1? - + - +…+ - = ?? 1 3 3 5 ? ? ? ? 2n-1 2n+1? 2? 1 1 n = ?1-2n+1?= 2? ? 2n+1, 由 Tn= n 100 100 100 > ,得 n> ,所以满足 Tn> 的最小正整数 n 为 12. 9 209 2n+1 209

12.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ,且 Sn=2an-1;数列{bn}满足 bn-1-bn=bnbn-1( n≥2,n∈N*),b1=1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式;
?an? (2)求数列?b ?的前 n 项和 Tn. ? n? 38

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13.数列 ?an ? 的 前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? an ? 1 ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? 4, bn?1 ? 3bn ? 2 ; (Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;
[来源:学#科#网]

(Ⅱ)设数列 ?cn ? 满足 cn ? an log3 ?b2n?1 ?1? ,其前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

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14.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,满足: Sn ? 2an ? 2n(n ? N ) .
*

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项 an ;

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(Ⅱ)若数列 {bn } 的满足 bn ? log2 (an ? 2) , Tn 为数列 {

1 bn } 的前 n 项和,求证: Tn ? . 2 an ? 2

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数列求和方法归纳与训练_数学_高中教育_教育专区。数列求和方法归纳与练习数列...3 2 ? 4 3 ? 5 四、错位相减法 源于等比数列前 n 项和公式的推导,对于...

数列求和的基本方法归纳

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数列求和的基本方法归纳

数列求和的基本方法归纳_高三数学_数学_高中教育_教育专区。数列求和的基本方法...的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 2 4 6 ...

高一数列通项与求和的常用方法总结

高一数列通项与求和的常用方法总结求通项公式是学习数列时的一个难点。 由于求...项,写出它的一个通项公式: (1) 1 , 2 1 2 4 9 16 , 3 , 4 ,? ...