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浅谈中学数学中导数在函数中的作用


浅谈中学数学中导数在函数中的作用
[摘要]导数是联系高等数学与初等数学的纽带,高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解
函数的性态,掌握函数思想,搞清曲线的切线问题,学好其他学科并发展学生的思维能力.因而在 中学数学教学及解题过程中,可以利用导数思想解决诸如函数(解析式、值域、最(极)值、单调 区间等)问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题.

因此本文通过导数的基本理论类解决熟悉中的相关问题,通过例题从简单应用和综合应用来说明导 数在解函数的问题中的应用,以及数列、函数不等式证明、数列和等方面的应用.

[关键词]导数 函数 作用
目录 1、引言??????????????????????????????????????2 2、微积分的发展史?????????????????????????????????2 3、导数在高中数学新课程中的地位??????????????????????????4 4、导数在函数问题中的作用?????????????????????????????5 4.1 利用导数求函数的单调区间????????????????????????????5 4.2 利用导数求参数的值与在指定区间内的极值?????????????????????6 4.3 利用导数在函数不等式证明中的应用????????????????????????7 4.4 利用导数作函数的图像 ?????????????????????????????9 4.5 导数在函数数列中的应用 ????????????????????????????11 4.5.1 导数在数列求和中的应用 ???????????????????????????11 4.5.2 求数列中的最大(小)项 ?????????????????????????????11 5、结束语?????????????????????????????????????12 6、参考文献????????????????????????????????????12

引言
导数是新课程增加的内容,随着课程改革的不断深入,导数知识在高考中的考查要求也逐年加
1

强, 导数已经由前几年只是在高考中的辅助地位升为分析和解决问题所必不可少的工具.导数在现行 的高中数学教材中处于一种特殊的地位,是联系高等数学与初等数学的纽带,是高中数学知识的一 个重要交汇点,是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具.本课题期望通过对导数在新课 程中的地位以及在中学数学解题应用中的探讨,拓展学生的解题思路,提高学生分析问题和解决问 题的能力. 微积分的知识和方法在中学数学的许多问题上,能起到以简驭繁的作用,尤其体现在判定函数 相关性质,证明不等式,恒等式及恒等变形,研究函数的变化形态及函数作图上.导数是微积分学中 重要的基础知识, 是研究函数解析性质的重要手段,在求函数的极值方面起着“钥匙”的作用.中学 数学中加入导数的基础知识不仅丰富了函数的基础知识,而且使得对函数内容以及对函数性质的研 究更加完整化、系统化,在初等数学与高等数学中导数起着“桥梁”作用,为中学生进入高等学府 后继续学习奠定了基础.导数是高等数学中一个很重要的概念, 深入理解导数的概念能够帮助我们很 好地解题.

导数,记

x 0 ??x 仍在该领域内)时,相应的函数 y 的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ;如果 ?y 与 ?x 之比当 ?x ? 0 时的极限存在,则称函数 y ? f (x) 在 x0 处可导,并称这个极限为函数 y ? f (x) 在 x0 处的 y? |x? x0
,即

x x 定义【1】:设函数 y ? f (x) 在 0 点的某个领域内有定义,当自变量 x 在 0 处取得增量 ?x (点

y? | x ? x0 ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ?x?0 ?x

(1.1)

导数定义的形式比较灵活.对它进行研究,能促进我们对导数的理解,帮助我们迅速、正确地解 题,导数的定义式(1.1)也可以有不同的形式,常见的有

f ?( x0 ) ? lim
x ? x0

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0
f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) h

(1.2)

f ( x0 ) ? lim
h ?0

(1.3)

(1.3) 式中的 h 即为自变量的增量 ?x .
微积分的发展史 微积分的发展史简述一门科学的创立决不是某一个人的业绩,必定是经过多少人的努力后,在 积累了大量成果的基础上,最后由某个人或几个人总结完成的,微积分也是这样. 微积分的产生一 般分为三个阶段:极限概念、求积的无限小方法积、分与微分的互逆关系.因此从微积分成为一门学 科来说[2],是在十七世纪,但是,微分和积分的思想在古代就已经产生了. 在早至公元前 430 年安提丰为解决化圆为方问题而提出的”穷竭法”, 就为微积分奠定了一定的 基础,开始了极限论的萌芽.后经过欧多克斯的加工到阿基米德的完善,穷竭法最终定型.阿基米德 的贡献是积分学的萌芽.公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面 积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学的思想.作为微分学基础的极限 理论来说,早在古代以有比较清楚的论述.比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中,记有 “一尺之棰,日取其半,万世不竭”,这体现了无限可分性及极限思想.三国时期的刘徽在他的割圆术 中提到“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣.”这些都是朴素

2

的、也是很典型的极限概念.这是极限论思想的成功运用.他的极限思想和无穷小方法,也是世界古 代极限思想的深刻体现 . 到了十七世纪, 有许多科学问题需要解决, 这些问题也就成了促使微积分产生的因素.归结起来, 大约有四种主要类型的问题:第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题.第二 类问题是求曲线的切线的问题.第三类问题是求函数的最大值和最小值问题.第四类问题是求曲线 长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的 引力. 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工 作,如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的 卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论.为微积分的创立做出了贡献. 十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己 的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作, 虽然这只是十分初步的工作.他们的最大功绩是把两 个貌似毫不相关的问题联系在一起,一个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求积问题(积分 学的中心问题). 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量, 因此这门学科早期也称为无穷小分析, 这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源.牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑, 莱布尼茨 却是侧重于几何学来考虑的. 牛顿在 1671 年写了《流数法和无穷级数》,这本书直到 1736 年才出版,它在这本书里指出, 变量是由点、线、面的连续运动产生的,否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合.他把 连续变量叫做流动量,把这些流动量的导数叫做流数.牛顿在流数术中所提出的中心问题是:已知连 续运动的路径,求给定时刻的速度(微分法);已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法). 德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684 年,他发表了现在世界上认为是最早的微积分文 献,这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法,它也适用于分式和 无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算》.就是这样一片说理也颇含糊的文章,却有划时代的意 义.他以含有现代的微分符号和基本微分法则.1686 年,莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献.他是 历史上最伟大的符号学者之一,他所创设的微积分符号,远远优于牛顿的符号,这对微积分的发展 有极大的影响.现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的. 微积分学的创立,极大地推动了数学的发展,过去很多初等数学束手无策的问题,运用微积分, 往往迎刃而解,显示出微积分学的非凡威力. 前面已经提到,一门科学的创立决不是某一个人的业绩,他必定是经过多少人的努力后,在积 累了大量成果的基础上,最后由某个人或几个人总结完成的.微积分也是这样. 不幸的是,由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余,在提出谁是这门学科的创立者的时候,竟 然引起了一场悍然大波, 造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立.英国数学在一个时期里 闭关锁国,囿于民族偏见,过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前,因而数学发展整整落后了一百 年. 其实,牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究,在大体上相近的时间里先后完成的.比较特殊的是 牛顿创立微积分要比莱布尼茨早 10 年左右,但是正式公开发表微积分这一理论,莱布尼茨却要比牛 顿发表早三年.他们的研究各有长处,也都各有短处.那时候,由于民族偏见,关于发明优先权的争 论竟从 1699 年始延续了一百多年. 应该指出,这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样,牛顿和莱布尼茨的 工作也都是很不完善的.他们在无穷和无穷小量这个问题上,其说不一,十分含糊.牛顿的无穷小量, 有时候是零,有时候不是零而是有限的小量;莱布尼茨的也不能自圆其说.这些基础方面的缺陷,最 终导致了第二次数学危机的产生.

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直到 19 世纪初,法国科学学院的科学家以柯西为首,对微积分的理论进行了认真研究,建立了 极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为了微积分的坚定 基础.才使微积分进一步的发展开来. 任何新兴的、 具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者.在微积分的历史上也闪烁着 这样的一些明星:瑞士的雅科布· 贝努利和他的兄弟翰· 贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西…… 欧氏几何也好,上古和中世纪的代数学也好,都是一种常量数学,微积分才是真正的变量数学, 是数学中的大革命.微积分是高等数学的主要分支,不只是局限在解决力学中的变速问题,它驰骋在 近代和现代科学技术园地里,建立了数不清的丰功伟绩.

导数在高中数学新课程中的地位
导数是连联系高等数学与初等数学的纽带,高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函 数的性态, 掌握函数思想, 学好其他学科并发展学生的思维能力.因而在中学数学教学及解题过程中, 可以利用导数思想解决函数(解析式、值域、最(极)值、当调区间等)问题、以及实际应用等问 题.导数在现在的高中数学教材中处于一种特殊的地位,是连系高等数学与初等数学的纽带,是高中 数学知识的一个重要交汇点, 是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具.其一导数在高中数 学新课程中的地位《新课程标准》指出高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分组成,必修课 程是整个高中数学课程的基础,选修课程是在完成必修课程学习的基础上,希望进一步学习数学的 学生根据自己的兴趣和需求选修,选修课程系列 1、系列 2、系列 3、系列 4 等组成.在系列 1 和系 列 2 中都选择了导数及其应用.显然导数的重要性不言而喻. (一)有利于学生更好地理解函数的性态. 学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等.我们知道,函数的这些性 质都可以通过函数的图形表现出来,因而,如果能准确地作出函数的图形,函数是的性质就一目了 然,喊道的性态也容易掌握了,如果所涉及的函数是基本初等喊道,用描点法就可以作出函数的图 像.但是,如果所涉及的函数是非基本初等,仅用描点法就很难较准确地作出图像,但是,掌握了导 数的知识之后,学生就可以利用函数的一阶导数判断函数的单调区间、极值点、最值点,这样就拓 宽了学生的知识面. (二)有利于学生更好地掌握函数思想. 数学上上的许多问题,用初等数学方法是不能解决的,,或者难以解决,二通过数学模型建立函数 关系,利用函数思想然后用导数来研究其性质,充分发挥导数的工具性和应用性的作用,可以轻松 简捷地获得问题的解决,这也正体现和显示了新课程的有越性.其实我们不难发现,函数是建立在中 学知识和导数直接的一座桥梁,不管是在证明不等式,解决数列求和的有关问题,以及解决一些实 际应用问题,我们都可以构造函数模型,并且利用导数来解决相关问题. (三)有利与学生学好其它学科. 高中的物理、化学等课程都与数学紧密相关,我们所学的导数是微分学的科学概念,它在物理、 化学、生物、天文、工程以及地质学等中都有着广泛的应用,微积分所讨论的基础对象是函数,而 且一函数的极限为基础.作为作为微积分的一个重要的分支——微分学,主要涉及变量的“变化率”

? y 问题,对于 y ? f (x) 的导数 f (x) 可以解释为 关于 x 的变化率,在学习并且掌握了导数及其应用
以后,学生就可以很容易地根据做变速直线运动物体的运动方程: S ? S (t ) ,算出物体的瞬时速度:

V (t ) ? ds dt 、瞬时加速度: a(t ) ? d 2 s dt 2 ;对化学中的反应速度、冷却速度等也都可以通过微
积分的方法来解决的. (四)有利用发张学生的思维能力.

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在一起的课程标准中,无论是导数的概念还是应用,更多的是作为一种规则来教、来学.这样造 成的后果是:不仅使学生感受不到学习导数有什么好处.反而加重了他们的学习负担.课改后对之一 部分内容的教育价值。定位和处理做了一定的变化,即在高中阶段,应通过大量的实例,让学生理 解从“平均变化到瞬时变化”、从”有限到无限“的思想,认识和理解这种特殊的极限,通过它了解 这种认识世界的思维方式,提高学生的思维能力,再者,还还可以让学生体会研究导数所用的思想 方法:先研究函数在某一点的导数,再过渡到一个区间上;在应用导数解决实际问题是,利用函数 在某个区间上的性质来研究取向的某一点处的性质.这种从局部到整体, 再由整体到局部的思想方法 是很值得学生学习的,总之,通过学习导数,使学生学会以动态的、变化的、无限的变化数学观点 来研究问题,为不仅仅是体力在静态、不变的、有限的的常量数学观点上.在学习过程中逐步体会常 量和变量、有限与无限、近似与准确、动与静、直与曲的对立与统一,发展学生的辨证思维能力.

导数在函数问题中的作用
1、利用导数求函数的单调区间 函数的单调性是函数的一个重要性质,是研究函数时经常要注意的一个性质.通常用定义来判 断,但当函数表达式较复杂时判断 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 正负较困难.而函数的单调性与函数的导数密切相

? 关,运用导数知识来讨论函数单调性时,结合导数的几何意义,只需考虑 f (x ) 的正负即可,当
f ?( x) ? 0 时, f (x) 单调递增;当 f ?( x) ? 0 时, f (x) 单调递减.此方法简单快捷而且适用面广.
例 1、 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? d 是定义在 R 上的函数,其图像交 x 轴与 A、B、C 三点,点 B 的

( 0) 坐标为 2, 且 f (x) 在 [?1,0] 和 [0,2] 有相反的单调性.
(1) 求 C 的值; (2) 若函数 f (x) 在 [0,2]和[4,5] 也有相反的单调性, f (x) 的图像上是否存在一点 M, 使得 f (x) 在 M 的切线斜率为 3b?若存在,求出点 M 的坐标.若不存在,说明理由.
2 解:分析(1) f ?( x) ? 3x ? 2bx ? c ,? f (x) 在 [?1,0] 和 [0,2] 有相反的单调性.

? x ? 0, 是f ( x)的一个极值点,故 f ?( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c ? 0 ,?c ? 0 .
(2)由 f ?( x) ? 3x ? 2bx ? 0 得 x1 ? 0,
2

2 x 2 ? ? b ,? f (x) 在 [0,2]和[4,5] 也有相反的单调性. 3

? f (x) 在 [0,2]和[4,5] 也有相反符合.
故2 ? ?

2 b ? 4 ? ?6 ? b ? ?3 . 3

假设存在点 M ( x0 , y0 ) 使得 f (x) 在 M 的切线斜率为 3b,则 f ?( x0 ) ? 3b .
2 即 3x0 ? 2bx0 ? 3b ? 0,? ? ? 4b 2 ? 4 ? 3 ? (?3b) ? 4b(b ? 9),

而 f ?( x0 ) ? 3b .? ? ? 0 故不存在点 M ( x0 , y0 ) 使得 f (x) 在 M 的切线斜率为 3b.

5

2、利用导数求参数的值与在指定区间内的极值
求参变量的取值范围是数学中的一个重要内容, 有不少求参变量取值范围的问题依靠传统的方 法不容易解决,但是借助求导的方法确是一种很有效的解决途径.所以在一些含位置参数的题中, 有我 们通过运用导数似乎可以化简函数,从而更快速的求出参数. 同理在求函数多元参变量的值的主体思路是根据已知条件直接得到参数之间的关系式或者利 用导函数条件与图象性质得到特殊关系、然后得方程或方程组求解。而在指定区间内求函数的极值 时,则需首先要讨论函数的单调区间,特殊情况还需在给定条件范围内构造新的函数,然后通过讨 论新的构造函数的单调性,找到构造函数的增减区间,进而找到该函数的极值点,再求得函数的极 值。 例2、 求出 a 的范围,使不等式 x ? 4 x ? 2 ? a 对任意的 x 都成立.
4 3

分析: 将含参数的不等式问题转化为函数问题,利用导数求得函数最小值,方可确定出参数的范 围.
4 3 3 2 解:令 f ( x) ? x ? 4 x ,则 f ?( x) ? 4 x ? 12x ,

? 再设 f ( x) ? 0 ,可求得 x ? 0 或 x ? 3 ,
当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ; 当 0 ? x ? 3 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? 3 时, f ?( x) ? 0 . 所以 x ? 3 时, f (x) 取得极值为-27, 从而 f (x) 有最小值为-27,则 f ( x)

min

? ?27 ? 2 ? a ,故有 a ? 29 .

所以解决本题的关键在于构造函数,通过导数判断函数极小值的位置. 例3. (08福建文21). 已知函数 f ( x) ? x ? mx ? nx - 2 的图像过点(-1,-6) ,且函数
3 2

g ( x) ? f '( x) ? 6 x 的图像关于y轴对称。
(1)求m,n的值及函数 y ? f (x) 的单调区间; (2)若a>0,求函数 y ? f (x) 在区间 (a ? 1, a ? 1) 内的极值。 解: (1)由函数f (x)图像过(-1,-6) ,得m-n=-3,??①
3 2 2 由 f ( x) ? x ? mx ? nx - 2 ,得: f ?( x) ? 3x ? 2mx ? n ,

而 g ( x) ? 3x ? (2m ? 6) x ? n 图像关于y轴对称,所以: ?
2

2m ? 6 ? 0 ,即m=-3, 2?3

代入①得n=0
2 于是 f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3x ? ( x ? 2) ,由 f ?( x) ? 0 得x>2或x<0,

故 f (x) 的单调递增区间是 (??,0), (2,??) ;

6

由 f ?( x) ? 0 得0<x<2,故 f (x) 的单调递减区间是 (0,2) (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ?( x) ? 3x ? ( x ? 2) 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 0或x ? 2 当 x 变化时, f ?(x) 、 f (x) 的变化情况如下表:

x
f ?(x)

(??,0)

0 0 极大值

(0,2)
- ↘

2 0 极小值

(2,??)

+ ↗

+ ↗

f (x)
由此可得:

当0<a<1时, f (x) 在 (a ? 1, a ? 1) 内有极大值 f (0) ? ?2 ,无极小值; 当a=1时, f (x) 在 (a ? 1, a ? 1) 内无极值; 当1<a<3时, f (x) 在 (a ? 1, a ? 1) 内有极小值 f (2) ? ?6 ,无极大值; 当a≥3时, f (x) )在 (a ? 1, a ? 1) 内无极值. 综上得:当0<a<1时, f (x) 有极大值-2,无极小值,当1<a<3时, f (x) 有极小值-6,无极大 值;当a=1或a≥3时, f (x) 无极值.

3、利用导数在函数不等式证明中的应用
不等式是数学的重要部分,它遍及数学的每一个分支学科.证明他们的方法很多,有些更是具有 很强的技巧性,对于某些不等式不易证明时,可根据给出不等式的特点构造函数,利用导数知识研 究函数的单调性,然后利用函数的单调性来加以证明,往往可以达到事半功倍的效果,定会觉得豁 然开朗.以下两个例题是利用导数法解函数证明题和函数与数例综合题此类考题是高考数学题中综 合性最强,难度最大的考题之一,通常以证明变量的相等关系或不等关系为主,证明时要注意到参 变量与函数在条件区间中与其他变量的关系,结合等式或不等式的性质来证明等量或不等量关系。 而利用导数法解函数与数例综合题时,则要注意寻找数列公差、公比、求和、递推等知识点与函数 性质来综合求解。 例 4(08 湖南文 21) .已知函数 f ( x) ? (I)证明: ?27 ? c ? 5 ; (II)若存在实数 c,使函数 f (x) 在区间 ? a, a ? 2? 上单调递减,求 a 的取值范围。 解: (I)因为函数 f ( x) ?

1 4 9 x ? x3 ? x 2 ? cx 有三个极值点。 4 2

1 4 9 x ? x3 ? x 2 ? cx 有三个极值点, 4 2
7

所以 f ?( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? c ? 0 有三个互异的实根. 设 g ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? c, 则 g?( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 3( x ? 3)( x ?1), 当 x ? ?3 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 在 (??, ?3) 上为增函数; 当 ?3 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 在 (?3,1) 上为减函数; 当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 在 (1, ??) 上为增函数; 所以函数 g ( x) 在 x ? ?3 时取极大值,在 x ? 1 时取极小值. 当 g (?3) ? 0 或 g (1) ? 0 时, g ( x) ? 0 最多只有两个不同实根. 因为 g ( x) ? 0 有三个不同实根, 所以 g (?3) ? 0 且 g (1) ? 0 . 即 ?27 ? 27 ? 27 ? c ? 0 ,且 1 ? 3 ? 9 ? c ? 0 , 解得 c ? ?27, 且 c ? 5, 故 ?27 ? c ? 5 . (II)由(I)的证明可知,当 ?27 ? c ? 5 时, f ( x ) 有三个极值点. 不妨设为 x1,x2,x3 ( x1 ? x2 ? x3 ) ,则 f ?( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 ). 所以 f ( x ) 的单调递减区间是 (??,x1 ] , [ x2 , x3 ] 若 f (x) 在区间 ? a, a ? 2? 上单调递减, 则 ?a, a ? 2? ? (??,x1 ] , 或 ?a, a ? 2? ? [ x2 , x3 ] , 若 ?a, a ? 2? ? (??,x1 ] ,则 a ? 2 ? x1 . 由(I)知, x1 ? ?3 ,于是 a ? ?5. 若 ?a, a ? 2? ? [ x2 , x3 ] ,则 a ? x2 且 a ? 2 ? x3 .由(I)知, ?3 ? x2 ? 1.
3 2 2 又 f ?( x) ? x ? 3x ? 9 x ? c, 当 c ? ?27 时, f ?( x) ? ( x ? 3)( x ? 3) ;

当 c ? 5 时, f ?( x) ? ( x ? 5)( x ?1) .
2

因此, 当 ?27 ? c ? 5 时, 1 ? x3 ? 3. 所以 a ? ?3, 且 a ? 2 ? 3. 即 ?3 ? a ? 1. 故 a ? ?5, 或 ?3 ? a ? 1. 反之, 当 a ? ?5, 或 ?3 ? a ? 1 时, 总可找到 c ? (?27,5), 使函数 f (x) 在区间 ? a, a ? 2? 上单调递减.
8

综上所述, a 的取值范围是 (??, 5) ? (?3,1) ? 例 5(08 福建理)已知函数 f ( x ) ?

1 3 x ? x2 ? 2 . 3

2 (Ⅰ)设{an}是正数组成的数列,前 n 项和为 Sn,其中 a1=3.若点 (an , an?1 ? 2an?1 ) (n∈N*)在函

数 y=f′(x)的图象上,求证:点(n, Sn)也在 y=f′(x)的图象上; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间(a-1, a)内的极值. 解:(Ⅰ)证明:因为 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 2, 所以 f ′(x)=x2+2x, 3

2 由点 (an , an?1 ? 2an?1 )(n ? N? ) 在函数 y=f′(x)的图象上,

2 2 得 an?1 ? 2an?1 ? an ? 2an ,即 (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 2) ? 0 ,

又 an ? 0(n ? N? ), 所以 an?1 ? an ? 2 ,又因为 a1 ? 3 , 所以 S n ? 3n ?

n(n ? 1) ? 2=n 2 ? 2 n , 2
2

又因为 f ′(n)=n +2n,所以 Sn ? f ?(n) , 故点 (n, Sn ) 也在函数 y=f′(x)的图象上. (Ⅱ)解: f ?( x) ? x ? 2x ? x( x ? 2) ,
2

由 f ?( x) ? 0, 得 x ? 0或x ? ?2 . 当 x 变化时, f ?( x ) ﹑ f ( x ) 的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,-2) + ↗

-2 0 极大值

(-2,0) ↘

0 0 极小值

(0,+∞) + ↗

注意到 (a ?1) ? a ? 1 ? 2 ,从而 ①当 a ? 1 ? ?2 ? a, 即 ? 2 ? a ? ?1时,f ( x)的极大值为f ( ?2) ? ?

2 ,此时 f ( x ) 无极小值; 3

②当 a ?1 ? 0 ? a,即0 ? a ? 1 ,f ( x) 的极小值为 f (0) ? ?2 ,此时 f ( x ) 无极大值; 时 ③当 a ? ?2或 ?1 ? a ? 0或a ? 1 ,f ( x) 既无极大值又无极小值. 时

4、利用导数作函数的图像
在中学数学教材中介绍的描点法作作函数图像,作图比较粗糙不准确.一般只适用于简单的函

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数,但对比较复杂的函数就很难做出,现用导数的知识来做函数图像就相当的简便.作函数图像的一 般步骤: (1) 求出函数的定义域; (2) 考察函数的奇偶性、周期性; (3) 求函数的一些特殊点,如与两坐标轴的交点等(列表); (4) 确定函数的当调区间、极值点、凸性区间及拐点(列表); (5) 考察渐近线; (6) 作图. 例 6、作函数 y ? x 3 ? 6x 2 ? 15x ? 20 的图像. 解:(1)函数的定义域: ?? ?,??? ;

(2)曲线与两坐标轴的交点分别为 (
2

5 ? 105 - 5 ? 105 , , ; ,0) ( - 1,0) ( ,0) (0,20) 2 2
解得 x ? ?5,1 . 解得 x ? ?2

(3)令 y? ? 3x ? 12x ? 15 ? 3( x ? 1)(x ? 5) ? 0 ,

y ?? ? 6 x ? 12 ? 6( x ? 2) ? 0 ,

(4)现列表讨论函数的单调区间、极值点、凸性区间及拐点:

x
y?

(??,?5)
+ -

?5
0 -

(?5,?2)
-

?2
0

(?2,1)
+

1
0 +

(1,??)
+ +

y ??
y

?凹

80极大

?凸

26拐点

?凹

- 28极小

?凹

(5)无渐近线. (6)作图

10

5、导数在函数的数列中的应用
1 导数在数列求和中的应用 数列求和是数学中比较常见的问题, 也是学生难以掌握的问题, 用常规方法求数列的和, 有时技 巧性很高,或者计算十分繁琐,如果借助导数这一工具,用导数的相关性质来解决此类问题,常可化 繁为简,化难为易.

例7.求 1 ? 2 x ? 3x 2 ? ? ? nxn?1 ( x ? 0, x ? 1, n ? N * ) 解:因 x ? x 2 ? x 3 ? ? ? x n ?
两边都是关于的函数,两边求导得,

x ? x n?1 ,x 1? x

1 ? 2 x ? 3x 2 ? ? ? nxn ?1 ? (

x ? x n ?1 1 ? (n ? 1) x n ? nxn ?1 )? ? . 1? x (1 ? x) 2

1 2 3 n 例2. 求和: Sn ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn (n ? N*) . 0 1 2 n 解:因 (1 ? x)n ? Cn ? Cn x ? Cn x 2 ? ? ? Cn x n ,则该式两边都是关于 x 的函数, 两边都

对 x 求导得
1 2 3 n n(1 ? x)n?1 ? Cn ? 2Cn x ? 3Cn x2 ? ? ? nCn xn?1 , 1 2 3 n 令 x ? 1 ,得 n ? 2 n?1 ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn , 即 S n ? n ? 2 n?1

由此可知数列是一种特殊的函数, 它有通项公式 an 和前项 n 和公式 S n , 并且 an 、S n 是关于 n 的函数,因此可以把 S n 看作是某个函数的导数.

2 求数列中的最大(小)项
将数列看作正整数集上的函数, 然后将定义域扩充为正实数, 用导数的方法求解问题是解决上 述问题的一种好方法.

例8. 数列 ?an ?中, an ? n ?
解:构造函数 f ( x) ? x ? 令 f ?( x ) ? 1 ?

90 ,求 ?an ?中的最小项. n

90 ( x ? 0) , x

90 ? 0 ,解得 x ? 3 10 , x2

则当 x ? 3 10 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 3 10 时, f ?( x) ? 0 , 所以当 x ? 3 10 时, f (x) 取得值最小. 因为 9 ? 3 10 ? 10,通过计算知 an 中的最小项为 a9 ? a10 ? 19 .

11

总之把数列通项 an 构造为函数,将数列的最小项问题转化为函数的最小值问题,从而利用导数 求解.

3 结束语
导数及其应用是微积分学的重要组成部分,是解决许多问题的有力工具,它全面体现了数学的 价值:既给学生提供了一种新的方法,又给学生提供了一种重要的思想.总之,开设导数不仅促进 学生全面认识了数学的价值,而且发展了学生的辩证思维能力,也为今后进一步学好微积分打下基 础.因此,在高中阶段为学生开设导数及其应用具有深刻的意义.所以本文讨论了导数在求曲线的切 线方程、研究函数的性质、证明不等式、求极限和数列等方面都有广泛的应用.导数这部分内容不仅 是函数的深化和拓展,还与其他许多知识都有着密切的联系,用导数法往往比传统法更具有优越性. 导数不但丰富了初等数学的解题思路、解题方法,而且给我们主动探索提供了很大的空间. 参考文献 [1]同济大学数学教研室.高等数学(上册)[M].高等教育出版社,2005,94-107. [2]窦宝泉,导数在中学教学中的应用[J].数学通讯,2003(12),12-13. [3]徐智愚,用导数解初等数学题[J].数学通报,2000(10),35. [4]李绍平.高考对导数问题考查的五大热点.中学数学研究.2004(5) [5]徐永忠,例谈导数法证明不等式[J].中学教学,2003(9),32-33. [6]邓亚轩.利用导数巧求和.数理化学习(高中版) ,2006(4) .24 [7]祁丽娟.谈在高中数学课程中开设导数及其应用的必要性.甘肃教育,2006(4) .48 [8]陈斌.弹好用导数证不等式的前奏.数理化学习(高中版) ,2006(4) .13–15

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